精品解析：2025届河南省开封市等三地高三二模数学试题

2025届高三年级第二次质量检测 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算求解即可. 【详解】由，可得， 故选 ：A 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线的方程化成标准形式，确定其焦点位置和焦准距，即可求得. 【详解】由可得，抛物线的焦点在轴的负半轴上，且， 故其准线方程为. 故选：A. 3. 在中，，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的加法和减法法则，计算可得答案. 【详解】由，可得， ，整理可得， . 故选：A 4. 已知是等比数列的前项和，且，，则公比（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据，结合已知条件，直接计算即可. 【详解】由题可知，，故，故. 故选：C. 5. 设，则的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分性和必要性的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，满足，但是不符合，故不是的一个充分条件，故A错误； 对于B，，即，即，所以是的必要不充分条件，故B错误； 对于C，，即，故是的充要条件，故C错误； 对于D，，即，，故是的一个充分不必要条件，故D正确. 故选：D 6. 已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方体的内切球、外接球的半径与正方体边长关系可求解. 【详解】设正方体的边长为， 则正方体内切球的半径为，内切球的体积等于，解得， 所以正方体的体对角线等于， 所以正方体外接球的半径等于，则外接球的表面积等于， 故选:B. 7. 将5名学生分配到3个社区当志愿者，每个社区至少分配1名学生，则不同的分配方法种数是（ ） A. 24 B. 50 C. 72 D. 150 【答案】D 【解析】 【分析】考虑分组为1、1、3和1、2、2两种情况，分别讨论即可得到答案. 【详解】可以分组为1、1、3，或1、2、2两种情况， 若分组为1、1、3，则有； 若分组为1、2、2，则有； 则不同分法为60+90=150种. 故选：D 8. 已知双曲线，圆经过直线，的四个交点，且圆与在第一象限交于点，与轴分别交于点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意判断圆心位置，求得半径，判断点即双曲线的左右两焦点，利用双曲线的定义与勾股定理，建立方程组，求得，即可求的面积. 【详解】设双曲线的半焦距为，由题意，圆的圆心在坐标原点，半径， 点即双曲线的左右两焦点，故有①， 且因为圆的直径，可得，则有②， 将①式两边取平方，， 解得，故的面积为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据集合交并补的运算一一分析即可/ 【详解】， 对A，若，则，则根据有，显然矛盾，故A错误； 对B，假设，则，根据有，显然矛盾，则，故B正确； 对C，由A知，，则，故C正确； 对D，显然，必有，故D错误； 故选：BC. 10. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间（单位：）时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，则下列说法正确的是（ ） A. 小球在开始振动（即）时在平衡位置上方处 B. 每秒钟小球能往复振动次 C. 函数的图象关于直线对称 D. 小球从到时运动的路程是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由可判断A；求得周期可求频率判断B；利用可判断C；求得，可判断D. 【详解】当时，，故A正确； 小球往复振动的周期为，所以每秒钟小球能往复振动次，故B错误； 因为，所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 由，又， ， 所以小球从到时运动的路程是，故D正确. 故选：ACD. 11. 设，表示不超过的最大整数，例如：，．若存在实数，使得，同时成立，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 的最大值是4 D. 的最大值是5 【答案】AC 【解析】 【分析】先计算，得出的范围，设，再求，，，直至算出交集为空集即可. 【详解】对A： ， 则 ； ， 则， 即； ， 则， 即； ， 则， 即； ，则 ，即 ，故 A 正确； 对 B：当时， 显然错误，故 B 错误； 对 CD：设，根据题意， ① ，即， ② ，则 ，即， ③，， 令，则，则在上单调递增，在上单调递减，结合②可得是所有区间左端点中的最大值，从而， 故使得 同时成立的的最大值是4. 故 C 正确，D错误， 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由诱导公式及余弦二倍角公式即可求解. 【详解】， 故答案为： 13. 已知经过椭圆的左顶点和上顶点的弦的中点坐标为，则的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出，再根据椭圆的离心率公式即可得解. 【详解】椭圆的左顶点和上顶点的坐标分别为， 由题意可得，解得， 所以，则， 所以的离心率. 故答案为：. 14. 已知直线与函数，的图象分别交于，两点，则取最小值时，________，最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据两函数的图象关于直线对称，且与垂直，转化为求曲线上一点到直线距离的最小值，利用点到直线的距离及导数即可得解. 【详解】由可得，，即， 所以函数，互为反函数，图象关于直线对称， 因直线互相垂直， 所以问题可转化为求上点到直线距离的最小值的2倍， 因为， 令， 则，当时，， 当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，有最小值3， 此时， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某物业公司为提高对某小区的服务质量，随机调查了该小区50名男业主和50名女业主，每位业主对该物业公司的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表： 满意 不满意 男业主 40 10 女业主 30 20 （1）依据的独立性检验，能否认为该小区男、女业主对该物业公司服务的评价有差异？ （2）从该小区的业主中任选一人，表示事件“选到的人对该物业公司的服务不满意”，表示事件“选到的人为女业主”，利用该调查数据，给出，的估计值． 附：． 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）能认为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据公式求出，再对照临界值点，即可得出结论； （2）根据条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以依据的独立性检验，能认为有差异； 【小问2详解】 由题意， 所以. 16. 已知直线与圆相交于，两点，为圆上不同于，的一点．记的内角，，的对边分别为，，． （1）求角； （2）若，求的面积． 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）根据弦长公式得，再利用正弦定理得到的大小； （2）根据余弦定理得，再对或讨论即可. 【小问1详解】 圆心到直线的距离，圆的半径， 所以， 又为外接圆上一点，所以， 解之得，因为， 所以或； 【小问2详解】 由余弦定理得：， 即，即， ①当时，， 此时， ②当时，， 因为为最大边，所以，与矛盾，所以不成立，舍去， 综上所述，的面积为. 17. 在四棱锥中，，，平面平面 ，，且. （1）求证：平面 ； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】（1）证明：在四棱锥中，由，，得，连接 ， 而，则为等边三角形，取中点 ，连接，则， 由平面平面 ，平面平面，平面 ， 得平面，而平面，则， 又，与 相交，平面 ， 所以平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）取中点 ，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理即得. （2）取 的中点，以为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取 的中点，连接 ，，，， 由平面 ，平面 ，得，即两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，得， ，显然为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为 ，则， 所以直线与平面所成角的正弦值是. 18. 已知函数，． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若有唯一的零点，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求导得，计算出则得到切线方程； （2）求导得，令，利用导数得到其单调递增，再利用隐零点得到，代入运算得. 【小问1详解】 当时，，， 所以， 所以在处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 函数的定义域为， ， 令，则， 即在单调递增，当时，，当时，， 所以，使得，即， 且当时，即单调递减， 且当时，即单调递增， 所以在处取得极小值， 又当时，时，， 故若有唯一的零点，则必有， 即，消去可得， 即，又因为，即， 由②式可得：，即， 将代入可得，即， 综上可知，若有唯一的零点，则. 19. 设为不小于3的正整数，项数为的数列是公差大于0的等差数列，若存在项数为的数列同时满足： ①数列中任意两项均不相同； ②任意正整数，从小到大排列恰好为数列． 此时称数列是-可拆分等差数列． （1）写出一个3-可拆分等差数列及其对应的一个数列； （2）若数列是一个4-可拆分等差数列，表示事件“数列的前三项成等差数列”，求事件发生的概率； （3）求所有满足数列是-可拆分等差数列的正整数的值． 【答案】（1）等差数列，数列； （2）； （3）3和4． 【解析】 【分析】（1）直接根据数列新定义写出相关数列并验证即可； （2）利用排列数计算出总情况数，再分析出满足题意的情况，利用古典概型即可得到答案； （3）根据前面小问得可以取3和4，再分和讨论即可. 【小问1详解】 首先项数为，且数列中任意两项均不相同； ，满足条件②，则上述数列满足题意. 【小问2详解】 数列四项均不相同，故总的排列方法有种． 假设数列各项从小到大排列，即， 则两两相加后最小项，次小项，最大项，次大项． 设等差数列公差为，则， 又数列第三项，第四项；或者第三项，第四项， 所以且，得且； 或者 且，得且， 以上两种情况不能同时成立，由以上分析知使前三项等差的排列方式有4种，故 【小问3详解】 由前两问知可以取3和4． 时，假设数列各项从小到大排列，则两两相加后最小项， 次小项，最大项，次大项， 因为数列等差，故得， ①若，则各不相同，而与两两不同矛盾， 即时数列不可能是－可拆分等差数列； ②时，，即， 此时数列共10项，最小项，次小项，最大项，次大项， 设等差数列公差为，则， 即， 所以， 剩余四项为， 又公差，故是连续三项， 所以只能是第4项或者第7项， 当是第4项时，得，与两两不同矛盾， 当是第7项时，，得，与两两不同矛盾，故不能是5． 综上，满足数列是－可拆分等差数列的正整数只能是3和4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三年级第二次质量检测 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，设，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是等比数列的前项和，且，，则公比（ ） A. B. C. D. 2 5. 设，则的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 将5名学生分配到3个社区当志愿者，每个社区至少分配1名学生，则不同的分配方法种数是（ ） A. 24 B. 50 C. 72 D. 150 8. 已知双曲线，圆经过直线，的四个交点，且圆与在第一象限交于点，与轴分别交于点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间（单位：）时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，则下列说法正确的是（ ） A. 小球在开始振动（即）时在平衡位置上方处 B. 每秒钟小球能往复振动次 C. 函数的图象关于直线对称 D. 小球从到时运动的路程是 11. 设，表示不超过的最大整数，例如：，．若存在实数，使得，同时成立，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 的最大值是4 D. 的最大值是5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________． 13. 已知经过椭圆的左顶点和上顶点的弦的中点坐标为，则的离心率为________． 14. 已知直线与函数，的图象分别交于，两点，则取最小值时，________，最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某物业公司为提高对某小区的服务质量，随机调查了该小区50名男业主和50名女业主，每位业主对该物业公司的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表： 满意 不满意 男业主 40 10 女业主 30 20 （1）依据的独立性检验，能否认为该小区男、女业主对该物业公司服务的评价有差异？ （2）从该小区的业主中任选一人，表示事件“选到的人对该物业公司的服务不满意”，表示事件“选到的人为女业主”，利用该调查数据，给出，的估计值． 附：． 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 16. 已知直线与圆相交于，两点，为圆上不同于，的一点．记的内角，，的对边分别为，，． （1）求角； （2）若，求的面积． 17. 在四棱锥中，，，平面平面 ，，且. （1）求证：平面 ； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 18. 已知函数，． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若有唯一的零点，求的值． 19. 设为不小于3的正整数，项数为的数列是公差大于0的等差数列，若存在项数为的数列同时满足： ①数列中任意两项均不相同； ②任意正整数，从小到大排列恰好为数列． 此时称数列是-可拆分等差数列． （1）写出一个3-可拆分等差数列及其对应的一个数列； （2）若数列是一个4-可拆分等差数列，表示事件“数列的前三项成等差数列”，求事件发生的概率； （3）求所有满足数列是-可拆分等差数列的正整数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $