精品解析：重庆市合川中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

合川中学高2026届高二（下）第一次月考 数学试题 （全卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线在点处的切线的斜率为（ ） A B. C. D. 1 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. 为的极小值点 B. 为的极大值 C. 在区间上，是增函数 D. 在区间上，是减函数 4. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极小值为 B. 的极大值为 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 5. 用这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的奇数共有（ ） A. 120个 B. 72个 C. 60个 D. 48个 6. 函数的单调递增区间是（ ） A. ， B. C. D. 7. 函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在 ，使得，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分. 9. 已知在处取得极大值3，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 现安排高二年级，，三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ） A. 所有可能的方法有种 B. 若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有种 C. 若同学必须去工厂甲，则不同的安排方法有种 D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有种 11. 关于函数，下列判断正确的是（ ） A. 函数的图像在点处的切线方程为 B. 是函数的一个极值点 C. 当时， D. 当时，不等式解集为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知函数的极大值为，则实数_______. 13. 用长为铁丝围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问：当长方体的长为_________m时，该长方体的体积最大值为________m3. 14. 已知函数，若关于的方程有个不同实根，则实数取值范围为__________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求过点且与曲线相切的直线的切点坐标. 16. 已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. （1）求函数的解析表达式； （2）求函数的极值. 17. 已知函数. （1）当时，求的最小值； （2）若函数在上不具有单调性，求实数的取值范围. 18. 消毒液已成为生活必需品，日常的消费需求巨大．某商店销售一款酒精消毒液，每件的成本为元，销售人员经调查发现，该款消毒液的日销售量（单位：件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式． （1）求该款消毒液日利润与销售价格间的函数关系式； （2）求当该款消毒液每件售价为多少元时，每日销售该款消毒液所获得的利润最大，并求出日最大利润． 19. 设函数，. （1）当时，判断函数的单调性； （2）若函数在定义域内有两个不同的极值点，求实数的取值范围； （3）设两个不同的极值点为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 合川中学高2026届高二（下）第一次月考 数学试题 （全卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数运算公式和复合函数的求导法则计算即得. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，令，则，故C正确； 对D，为常数，所以，故D错误. 故选：C 2. 抛物线在点处的切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数，令求出即为切线的斜率. 【详解】令，得，得 故选：D 3. 已知函数导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. 为的极小值点 B. 为的极大值 C. 在区间上，是增函数 D. 在区间上，是减函数 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数的图象，分析出函数的单调性及单调区间，再逐项分析即可. 【详解】由导函数的图象可知，当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 所以为的极大值点，故A、 D错误； 当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 所以为的极大值点，即为的极大值，故B正确， 函数在单调递减，在上单调递增，所以C错误. 故选：B 4. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极小值为 B. 的极大值为 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调区间，进而求出函数的极值. 【详解】因为，所以， 令，得或；令，得； 所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减， 所以在处有极大值，极大值为； 在处有极小值，极小值为. 故选：B. 5. 用这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的奇数共有（ ） A. 120个 B. 72个 C. 60个 D. 48个 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法原理，先安排个位数字，再安排余下的4个位置. 【详解】根据题意，先安排个位数字，在3和5中选一个共有种， 再安排余下的4个位置，有种， 所以组成无重复数字的五位数，不同的奇数共有种. 故选：D. 6. 函数的单调递增区间是（ ） A. ， B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，结合函数的定义域解不等式即可. 【详解】因为（）， 所以（）， 由. 所以函数的单调增区间是. 故选：B 7. 函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求函数的导数，根据切线和直线平行建立在定义域上有解，利用参数分离法进行求解即可. 【详解】因， 故存在切点，使得， 所以有解， 由于，，所以（当且仅当取等号），即. 故选：D． 8. 已知函数，若存在 ，使得，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由可得：存在，使得，转化成：存在，使得，求出，问题得解． 【详解】因为， 所以存在 ，使得，可转成： 存在 ，使得， 即：存在 ，使得， 即：，又 所以 故选B 【点睛】本题主要考查了导数的运算公式及计算能力，考查了转化能力及函数的最值求法，属于中档题． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分. 9. 已知在处取得极大值3，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据原函数极值点即为导函数零点可得，即可知，再根据极大值为3可解得或；易知当时，在处取得极小值，与题意不符，当时，函数在处取得极大值，符合题意，可得，，即，即可判断出结论. 【详解】由题意可得， 且是函数极大值点，即，可得， 又极大值为3，所以，解得或； 当时，，此时， 时，，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 此时函数在处取得极小值，与题意不符，即舍去； 当时，，此时， 时，，时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 此时函数在处取得极大值，符合题意， 所以，，即，所以A正确，B错误； 此时，所以，，即C错误，D正确. 故选：AD 10. 现安排高二年级，，三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确是（ ） A. 所有可能的方法有种 B. 若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有种 C. 若同学必须去工厂甲，则不同的安排方法有种 D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有种 【答案】BD 【解析】 【分析】由特殊元素（特殊位置）优先考虑的原则，再按乘法原理依次判断得解. 【详解】A.三位同学依次选择都有4种方法，根据乘法原理有种方法； B.所有选法是64种，甲工厂没有同学去有种 故甲工厂必须有同学去有种， C.同学必须去工厂甲，另外两名同学到工厂各有4种方法，故有种； D.三名同学所选工厂各不相同，不同的安排方法有种. 故选: BD. 11. 关于函数，下列判断正确的是（ ） A. 函数的图像在点处的切线方程为 B. 是函数的一个极值点 C. 当时， D. 当时，不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先对函数求导，得到，求出函数的图像在点处的切线方程，即判断A；根据时，恒成立，得到函数单调，无极值点，可判断B；根据导数的方法求出时，的最小值，即可判断C；根据导数的方法判断时函数的单调性，根据单调性列出不等式组求解，即可得出结果. 【详解】因为，所以，， 所以， 因此函数的图像在点处的切线方程为， 即，故A正确； 当时，在上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点；故B错； 当时，，由得；由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 因此，即；故C正确； 当时，在上恒成立， 所以函数在上单调递减； 由可得，解得：，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查求曲线在某一点处的切线方程，以及导数的方法研究函数的单调性、极值最值等，属于常考题型. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知函数的极大值为，则实数_______. 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式求导，根据导数与函数单调性的关系，可得其单调区间，结合极值的定义，可得答案. 【详解】由，求导可得， 令，解得或， 当或时，，当时，， 所以在与上单调递减，在上单调递增， 故函数的极大值在处取得，即. 故答案为：. 13. 用长为的铁丝围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问：当长方体的长为_________m时，该长方体的体积最大值为________m3. 【答案】 ① 2 ②. 3 【解析】 【分析】设长方体的宽为，体积为，则，利用导数求出的最大值即可求解. 【详解】设长方体的宽为，则长方体的长为，故长方体的高为， 则，解得， 设长方体的体积为， 所以， 则， 令，解得，令，解得， 故在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值为3，此时长为． 故答案为：2；3 14. 已知函数，若关于的方程有个不同实根，则实数取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导函数研究出函数的单调性，极值情况，画出函数图象，并将函数的根的问题转化为两函数交点个数问题，数形结合求出实数的取值范围. 【详解】当时，，， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 且，当时，， 当时，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，且， 画出的图象如下： 要想关于的方程有个不同实根，则要函数与有个不同的交点即可， 显然当时，符合题意，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求过点且与曲线相切的直线的切点坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）设切点坐标为，利用导数的几何意义求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切点的坐标. 【小问1详解】 因为，求导得，故， 因此，曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 设切点坐标为，则曲线在点处的切线的斜率为， 故所求切线方程为， 将点的坐标代入切线方程得， 整理可得，即，解得或， 故所求切点的坐标为或. 16. 已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. （1）求函数的解析表达式； （2）求函数极值. 【答案】（1） （2）极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）求导，由求得的值，得解； （2）利用导数判断单调性，求出极值. 【小问1详解】 根据题意，，则， 解得， . 【小问2详解】 由（1）， 令，解得或， 令，解得， 所以当或时，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，取得极大值，极大值为， 当时，取得极小值，极小值为. 17. 已知函数. （1）当时，求的最小值； （2）若函数在上不具有单调性，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，由函数单调性以及最值的关系即可得解； （2）由导数求出函数单调区间，结合题意即可列不等式求解. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 所以， 当时，，单调递减； 当时，； 当时，，单调递增， 所以当时，取到最小值为. 【小问2详解】 因为， 所以， 令，得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又在上不具有单调性， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 18. 消毒液已成为生活必需品，日常的消费需求巨大．某商店销售一款酒精消毒液，每件的成本为元，销售人员经调查发现，该款消毒液的日销售量（单位：件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式． （1）求该款消毒液的日利润与销售价格间的函数关系式； （2）求当该款消毒液每件售价为多少元时，每日销售该款消毒液所获得的利润最大，并求出日最大利润． 【答案】（1） （2）当该款消毒液每件售价为元时，每日销售该款消毒液所获得的利润最大，最大利润为元. 【解析】 【分析】（1）由可整理得到结果； （2）利用导数可求得函数单调性，验证和的情况即可求得最大利润. 【小问1详解】 由题意知：， 即. 【小问2详解】 由（1）得：， 令，解得：（舍），， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 又，当时，；当时，； 当该款消毒液每件售价为元时，每日销售该款消毒液所获得的利润最大，最大利润为元. 19. 设函数，. （1）当时，判断函数的单调性； （2）若函数在定义域内有两个不同的极值点，求实数的取值范围； （3）设的两个不同的极值点为，证明：. 【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时易求出，利用的正负即可判断函数的单调性； （2）将问题转化为关于的带参数的一元二次方程有两个不同的正根，结合判别式、韦达定理等求出的取值范围； （3）利用第（2）问的结果，结合韦达定理将转化为关于的函数，再次利用导数求该函数的最值即可证明. 【小问1详解】 的定义域为，当时，， 令，得或， 当时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 ，不妨设在上有两个不同的极值点， 即方程有两个不同的正根，则有 ，解得， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 ， 设，则， 则在上单调递增，所以， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$