精品解析：四川省达州市达川区铭仁园学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

达州铭仁园学校2027届高一下学期第一次月考数学 一、单选题 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用诱导公式可求出的值. 【详解】根据诱导公式可得. 故选：D. 【点睛】本题考查利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题. 2. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正切函数的最小正周期再结合周期公式计算可得. 【详解】由周期公式可得最小正周期为. 故选：B. 3. “角是锐角”是“角是第一象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用任意角定义及充分不必要条件定义即可得到结果. 【详解】若角是锐角，则角是第一象限角； 但角是第一象限角，则角不一定是锐角， 故“角是锐角”是“角是第一象限角”的充分不必要条件， 故选：A. 4. 函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题． 5. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象平移的规则判断． 【详解】由， 因此向左平行个单位得到图象， 故选：C． 6. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的表达式是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的最值求得，根据函数的周期求得，根据函数图像上一点的坐标求得，由此求得函数的解析式. 【详解】由题图可知，且即，所以， 将点的坐标代入函数， 得，即， 因为，所以， 所以函数的表达式为．故选D. 【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数的解析式，属于基础题. 7. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简函数为，结合正弦函数与二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数， 因为， 所以当时，可得；当时，可得， 所以函数的值域为. 故选：D. 8. 已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦函数的图像性质列出关于的不等式，进而求得的取值范围. 【详解】函数的简图如下： 函数在区间上恰有3个零点， 则，解之得. 故选：C 二、多选题 9. 已知角与的终边相同，则角可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】依题意，判断选项. 【详解】依题意，当时，，当时，，所以选项符合，选项不符合. 故选:. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件可得，利用同角三角函数的基本关系及诱导公式逐项判断可确定正确选项. 【详解】因为，所以. ，选项A正确. ，选项B正确. ，选项C错误. ，选项D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 在上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据周期判断A选项，结合单调区间判断B选项，根据对称轴和对称中心判断C,D选项. 【详解】函数， 对于选项A，的最小正周期，A选项错误； 对于选项B，由，在上单调递增，B选项正确； 对于选项C，由解得，的图象不关于直线对称，选项C错误； 对于选项D，由解得，当时，，所以的图象关于点对称，D选项错误. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知，且为第二象限角，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系与二倍角公式即可求得结果 【详解】，且为第二象限角，, 又， 故答案为： 13. 已知，则________. 【答案】##-0.6 【解析】 【分析】先利用诱导公式将进行变形，再结合二倍角公式进行求解. 【详解】因为， q， 已知，将其代入可得： . 因为，所以.  故答案为：. 14. 函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论： ① ； ② 是函数的周期； ③ 函数在区间上单调递增； ④ 函数所有零点之和为. 其中，正确结论的序号是___________. 【答案】① ③ ④ 【解析】 【分析】由可得直接计算即可判断① ；根据函数的奇偶性和对称性即可求得周期，从而可判断② ；先判断在的单调性，再根据奇函数关于原点对称的区间单调性相同即可判断③ ；根据对称性以及函数图象交点的个数即可判断④. 【详解】对于①：由可得，故①正确； 对于② ：由可得关于直线对称， 因为是定义域为R的奇函数，所以 所以， 所以函数的周期为，故② 不正确； 对于③ ：当时，单调递增，且， 在单调递减，且， 所以在单调递增，因为是奇函数， 所以函数在区间上单调递增；故③ 正确； 对于④ ：由可得关于直线对称，作出示意图 函数所有零点之和即为函数与两个函数图象交点的横坐标之和，当时，两图象交点关于对称，此时两根之和等于 ，当时两图象交点关于对称，此时两根之和等于，当时两图象交点关于对称，此时两根之和等于时两图象无交点 ， 所以函数所有零点之和为.故④ 正确； 故答案为：① ③ ④ 【点睛】求函数零点的方法：画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；将函数拆成两个函数，和的形式，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象交点个数；零点之和即为两个函数图象交点的横坐标之和. 四、解答题 15. 已知角的终边经过点． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义可求出结果； （2）根据诱导公式以及同角公式可求出结果. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，. 【小问2详解】 原式 . 16. 已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r． （1）若，求扇形的弧长． （2）若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由扇形弧长公式计算； （2）由扇形面积公式及二次函数求最值即可. 【小问1详解】 设扇形的弧长为l． 因为，即， 所以． 【小问2详解】 由题设条件，知，则， 所以扇形的面积． 当时，S有最大值36， 此时， 所以当时，扇形的面积最大，最大面积是36． 17. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）求在区间上的最小值，并求出此时对应的x的值. 【答案】（1）最小正周期为；单调递减区间为， （2）当时， 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用三角恒等变换公式化简，即可得到，再由正弦型函数的单调区间代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由正弦型函数的值域，代入计算，即可得到结果； 【小问1详解】 因为， 所以的最小正周期， 令，， 解得，， 所以单调递减区间为， 【小问2详解】 因为，所以，当时，即时， 取得最小值. 18. 如图,一个半径为米的水轮逆时针转动,水轮圆心距离水面米,已知水轮每分钟转动圈,如果当水轮上一点从水中浮现时(图中点)开始计时. 将点与水面的有向距离 (单位:米)表示为时间 (单位:秒)的函数;[注:当在水面上方时,有向距离为正;当在水面下方时,有向距离为负] 点在转动一周中有多长时间离水面在米以上? 【答案】 【解析】 【分析】（1）以为原点建立如图直角坐标系，可设（），由题意,与轴的夹角为， ，，就是转速，每秒钟转动的角度，然后由时，在处，可求出，得函数解析式； （2）由可得． 【详解】如图,以为原点建立直角坐标系由题意,与轴的夹角为, 每分钟转动每秒钟内所转过的角为,在角的终边上,得的纵坐标为: , 令,得, ，， ，，， 故点在转动一周中有离水面在米以上. 【点睛】本题考查三角函数模型的应用．设出函数模型为，根据条件求出各参数即可． 19. 设函数 （1）若，，求角； （2）若不等式对任意时恒成立，求实数的取值范围； （3）将函数的图像向左平移个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据三角恒等变换化简得，则，根据即可解出的值； （2）对不等式化简得，利用换元法再分离参数即可求出的范围； （3）根据正弦函数的有界性结合题目条件解出，分和讨论即可. 【小问1详解】 ∵， 又∵，即， ∴或， ∵，∴或. 【小问2详解】 令，，， ∴，∴，， 即， 令， 设，， 任取，且， 则 ，，，， ，即， 在上单调递减，， ∴，解得：. 【小问3详解】 ∵， ∴的图象向左平移个单位，横坐标变为原来的， 可得 ∵，存在非零常数，对任意的，成立， 在上的值域为，则在上的值域为，∴ 当时，，1为的一个周期，即1为最小正周期的整数倍． 所以，即（且） 当时， 由诱导公式可得，,即， 当时，且； 当时，. 综上，实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是利用正弦函数的值域以及函数定义域为时，函数左右平移不改变其值域的性质，再结合题目条件求出或，然后再分类讨论即可, 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达州铭仁园学校2027届高一下学期第一次月考数学 一、单选题 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 3. “角是锐角”是“角是第一象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为 A. B. C. D. 5. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 6. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的表达式是 A. B. C. D. 7. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知角与的终边相同，则角可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 在上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 三、填空题 12. 已知，且为第二象限角，则________. 13. 已知，则________. 14. 函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论： ① ； ② 是函数的周期； ③ 函数在区间上单调递增； ④ 函数所有零点之和为. 其中，正确结论的序号是___________. 四、解答题 15. 已知角的终边经过点． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r． （1）若，求扇形的弧长． （2）若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积． 17. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）求在区间上的最小值，并求出此时对应的x的值. 18. 如图,一个半径为米的水轮逆时针转动,水轮圆心距离水面米,已知水轮每分钟转动圈,如果当水轮上一点从水中浮现时(图中点)开始计时. 将点与水面的有向距离 (单位:米)表示为时间 (单位:秒)的函数;[注:当在水面上方时,有向距离为正;当在水面下方时,有向距离为负] 点在转动一周中有多长时间离水面在米以上? 19. 设函数 （1）若，，求角； （2）若不等式对任意时恒成立，求实数的取值范围； （3）将函数的图像向左平移个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $