16特殊三角形和三角形全等相似证明与计算 每日一练 2025年中考数学一轮复习（江苏适用）

班级：____________　　姓名：____________ 16特殊三角形和三角形全等相似证明与计算 一．选择题 1．若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（ ） A. 70° B. 45° C. 35° D. 50° 2．若等腰三角形的两边长分别是3 cm和5 cm，则这个等腰三角形的周长是（ ） A．8 cm B．13 cm C．8 cm或13 cm D．11 cm或13 cm 3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC上，且 ＝ ，则AE的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 1或 D. 1或2 第3题图 第6题图 第7题图 二．填空题 4．等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 　 　． 5．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰三角形ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 　 　． 6．在△ABC中，，，，分别为，，的对边.若，则的值为 　 　． 7．“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点；第2次折叠使点落在点处，折痕交于点．若，则　 　． 8．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝15，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线BE交AC于点D，则线段AD的长为 　 　． 三．解答题 9．如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BC＝EF． （1）求证：△GEC是等腰三角形； （2）连接AD，则AD与l的位置关系是 　 　． 10．如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF＝DE．求证：CF∥AB． 11．如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：AF=CE． 12．如图，△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF．求证：（1）△CEF≌△AED；（2）四边形DBCF是平行四边形． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF． （1）求证：△ADE≌△ADF； （2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数． 参考答案 一．选择题 1．若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（ ） A. 70° B. 45° C. 35° D. 50° 【答案】C 2．若等腰三角形的两边长分别是3 cm和5 cm，则这个等腰三角形的周长是（ ） A．8 cm B．13 cm C．8 cm或13 cm D．11 cm或13 cm 【答案】D【解析】当3 cm是腰长时，3，3，5能组成三角形；当5 cm是腰长时，5，5，3能组成三角形．则三角形的周长为11 cm或13 cm．故选D． 3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC上，且 ＝ ，则AE的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 1或 D. 1或2 【答案】D【解析】∵∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝BC＝2，AC＝2BC＝4. ∵D为AB的中点，∴AD＝AB＝. ∵ ＝ ，∴DE＝1. ①如图1，过点D作DF⊥AC于点F，∵∠A＝30°，∴DF＝AD＝. 在Rt△DEF中，sin∠DEF＝ ＝，∴∠DEF＝60°. ∵∠A＝30°，∴∠ADE＝90°.∴AE＝2DE＝2. 图1 图2 ②如图2，过点D作DG⊥AC于点G，同理，可得∠DEG＝60°，∴∠ADE＝∠DEG∠A＝30°.∴∠ADE＝∠A. ∴AE＝DE＝1.综上所述，AE＝1或2． 二．填空题 4．等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 　 　． 【答案】6 5．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰三角形ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 　 　． 【答案】6【解析】∵等腰三角形ABC是“倍长三角形”，∴AB＝2BC或BC＝2AB.若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，腰的长为6；若，则，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，，此时不能构成三角形，这种情况不存在.综上所述，腰AB的长是6． 6．在△ABC中，，，，分别为，，的对边.若，则的值为 　 　． 【答案】【解析】在△ABC中，，，，.等式两边同时除以ac得：，令＝x，则有，，解得：x1＝，x2＝，（舍去），∴sin A＝＝. 7．“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点；第2次折叠使点落在点处，折痕交于点．若，则　 　． 【答案】6【解析】如图，由折叠得：，，，.是△ABC的中位线..，． 8．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝15，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线BE交AC于点D，则线段AD的长为 　 　． 【答案】【解析】如图，过点D作DH⊥BC于点H．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝15，∴BC17.由作图可知BE平分∠ABC，∵DA⊥AB，DH⊥BC，∴DA＝DH，∵S△ABC＝S△ABD+S△DCB，∴8×158×AD17×DH，∴AD＝DH．故答案为：． 三．解答题 9．如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BC＝EF． （1）求证：△GEC是等腰三角形； （2）连接AD，则AD与l的位置关系是 　 　． 解：（1）证明：在△ABC和△DFE中， ∴△ABC≌△DFE（SSS）， ∴∠ACB＝∠DEF， ∴GE＝GC， ∴△GEC是等腰三角形. （2）平行，理由如下： 连接AD，过点A作AM⊥直线l于点M，过点D作DN⊥直线l于点N，如图所示： 则∠AMB＝∠DNF＝90°，AM∥DN. ∵△ABC≌△DFE， ∴∠ABM＝∠DFN. 在△ABM和△DFN中， ， ∴△ABM≌△DFN（AAS）， ∴AM＝DN， ∴四边形AMND为平行四边形， ∴AD∥l． 10．如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF＝DE．求证：CF∥AB． 证明：∵E是AC的中点， ∴AE＝CE， 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（SAS）， ∴∠ADE＝∠CFE， ∴CF∥AB． 11．如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：AF=CE． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝CB，AD∥CB.∴∠DAF＝∠BCE. ∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AFD＝∠CEB＝90°. 在△ADF和△CBE中，， ∴△ADF≌△CBE（AAS）.∴AF＝CE． 12．如图，△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF．求证：（1）△CEF≌△AED；（2）四边形DBCF是平行四边形． 证明：（1）∵E为AC的中点， ∴CE＝AE. ∵∠CEF＝∠AED，EF＝ED，∴△CEF≌△AED（SAS）. （2）∵△CEF≌△AED， ∴∠A＝∠FCE.∴BD∥CF. ∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DF∥BC.∴四边形DBCF是平行四边形． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF． （1）求证：△ADE≌△ADF； （2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数． （1）证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD．由作图知：AE＝AF． 在△ADE和△ADF中， ， ∴△ADE≌△ADF（SAS）. （2）解：∵∠BAC＝80°，AD为△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠BAC＝40°. 由作图知：AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE. ∴∠ADE＝×（180°40°）＝70°. ∵AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，∴AD⊥BC． ∴∠BDE＝90°∠ADE＝20°． 学科网（北京）股份有限公司 $$