辽宁省大连市三校联考2024-2025学年高三下学期模拟考数学试卷

2025年三校联考数学试卷参考答案及评分标准 1-4.DBBB 5-8.CABA 9.AB 10.BCD 11.ABD 12.3或4（写对一个即可）13.214号 15(2) 16.解析：(1)零假设：H。体育锻炼频率的高低与年龄无关， 由题得2×2列联表如下： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 125 95 220 体育锻炼频率高 75 105 180 合计 200 200 400 X2 400x125x105-75x95)≈9.091>6.635， 一3分 200×200×220×180 根据小概率值《=0.01的独立性检验推断H。不成立， -4分 (2)即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01. 由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在[30,40)，[50,60]内的人数分别为 1,2, 依题意，5的所有可能取值分别为为0,1,2， 品3+写=10A+0=10=x0u=0=E 56 P(5=1)=PX=0,Y=1)+P(X=1Y=0)+P(X=1,Y=2)= CC! C 1 C P(5=2)=P(X=0,Y=2)= C 5 56 --7分 所以5的分布列：： 5 0 1 2 P 20 31 56 56 品 20 所以5的数学期望为E(5)=0× 1×31士2×541 56 -9分 5656 (3)记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A,B,C, 星期天选择跑步为事件D,- -10分 则0-P5PrC= PD0PD-号ro9 3 -12分 所以P(D)=P(A)P(DA)+P(B)P(DB)+P(C)P(DC) 号 -13分 7 所以小明星期天选择跑步的概率为 15 17.【解析】(1)f(x)=hx-+1,定义域为(0，+o), 所以f)=1-a=1- 当a≤0时，f'(x)>0,故fx)在(0，+w)上单调递增， -1分 当a>0时，由f>0,得0<x<:由f9<0,得x> a 故)在)上单，在合 上单调递减， -3分 综上：当a≤0时，fx)在(0，+o)上单调递增， 当a>0时，在(0日}上单调增，在合 上单调递减。 4 分 (2)因为fw)=】-a,曲线f)在x=2处的切线垂直于直线y=2x, 则)在x=2处的切线的刻率为分，即了=a=分解得：a=1, -5 分 则f(x)=lnx-x+1. 对任意x∈(0，+∞)，f(x)+br-2≤0恒成立，即对任意xe(0,+∞)，hx-x+bx-1≤0， 即对任意xe(0,+o.b≤-nx++1恒成立， xx 令p=-ax+lxe0,网， xX p0n2.令p对=0，得=e 当xe(0,e2)时，p(x)<0,g(x)为减函数： 当xe(e,+o)时，p(x)>0,g()为增函数： pw=e)-l是 7分 :b≤1-己，则实数b的最大值1 e -8分 (3)函数g(x)=[fx)+lnx-2]=2xlnx-a2-x(a∈R),g'(x)=2nx-2ar+1, 因为x,为函数g()的极值点，所以2lh七-2ax+1=0,所以2nx。+1=2心。， 要证明不等式：e>1+2x成立，只需证e>x。+1+2x,hx。, -9 分 由(1)知，a=1时，有f(x)≤f(1)=0,从而得nx≤x-1, 所以e-1≥x,e≥x+1. ①当0<<1时，因为≥x。+12xh。<0,所以>+1+2xnx。·-一--10 分 ②当，21时，因为nx≤x-1,所以x血x。≤x(x。-1),所以2xhx≤2x(化-1)， 要证e>x+1+2xlhx,成立，只需证e>x。+1+2x,(。-1)=2x-x。+1, 证法一：即证2-+1<1对≥1成立. e 令)=2-x+x≥0，因为h0)=-2x+5r-2_--2X2x-少 e e 当1<x<2时，h(x)>0,h(x)单调递增：当x>2时，h(x)<0,h(x)单调递减， 所以6s2-子，即头21时，e>5+12xx成 立. -一14分 证法二：即证e0-2x0+x0-1>0, 设t(x)=e-2x2+x-1,x≥1 t'(x)=e*-4x+1,x≥1 设k(x)=t(x)=e-4x+1,x≥1 则k'(x)=e-4,x≥1 由k(x)=0得x=ln4 又k(x)在[1，+∞)上单调递增， 则k(x)在(1，ln4上递减，在(m4+)上递增 于是k(ln4<k(1)=e-3<0,又k(2)=e2-7>0 则存在x1∈(1,2)，使得k(x1)=e1-4x1+1=0 xe(1,x)时，k(x)=t(x)<0,t(x)单调递减， xe(x1,+∞)时，k(x)=t(x)>0,t(x)单调递增， 于是t(x)最小值=tx1)=e-2x好+x1-1 =(1-2x1)x1-2)>0 从而当x,21时，不等式e0-2x0+x0-1>0成立， 即x21时，e>x。+1+2xhx成立. -14分 综上所述，原不等式成立. -15分 18.【解析】： (1)y2=x -4分 (2)证明：设A(5,片B(Gy),C(5y)D(y). 若x=x2,x3=x4,则直线AB,CD斜率不存在， 由对称性，可知MN,H均在x轴上，则M,H,N三点共线： 若x≠x2,x≠X4,则直线斜率存在， 直线AB方程为：y=二(K-x)+y,结合旷==x, x2-x1 则=点K-x)+男=--》+时=g+,-= X2-X y2- 同理可得CD方程：(y+y,)y-y=x,AC方程：（y+y)y-y=x, BD方程：(y+y)y-y=x.设M(xw,)N(xw,yw), 因AB∥CD,则+头=男+，→当兰=当，兰→%= 2 2 则直线MW与x轴平行，设直线W与线段AC,BD交点为P(x,y)(x2,y。): 将y=当+业代入直线4C方程， 2 则x=(+)当兰-y-公+%+)， 2 2 将y=当十y代入直线方程， 2 则=+y)”-y=+y+)》 2 2 注意到-=+y0+马）广出--+y+业 +y-y-少+y,-y)(出+出-yyy+当-) 2 =y二y出=0，又yp=y2=yw=w,则PQ两点重合， 2 即P,Q为线段AC与BD交点H,且点MHN三点共线： --10分 (3)由(2)，直线MW与x轴平行， 则2M=|HN=2→2(xg-w)=xw-xH=2. 又w==十上，同理可得w=父， 2 2 2 又由(2)+y+上.+⅓+)-4 2 2 则-w=公+，》遇里=1=为0%+y）)--对=2， 3 2 ,-=2=_++）》巧-y0以+y)+%以=4 由y+y,=y+y,则y-为(y+片+乃-为)+（片+y-为）=4， 2y+y-3vv-y+y=4. 则2y+-3y,”-y+-[(g+y)-y-]=2 →2y+2-4yy=2→(y-y2)'=1→y-=1. 如图，过B作MW平行线，交CD为E,则四边形BW为平行四边形， 结合2m4=N=2,则B=3,S.-By-= 因AB∥CD,则△AHB-aCHD,结合2HM=HN, AB MHAH BH 1 则 CD M☑C可Di2又M为AB中点，则B为Nc中点. 则Sog=SBa= 4S.S.CD=28ARD 则四边形ABCD的面积 .c+6.c6x9. 2 -17分 19.【详解】(1)an=2n-1÷S。=2”-1…1分 不防令n=2,m=1,(m-m)Sa+m=S3=7,(m+m)(Sn-Sm)=3(S2-S1)=6 (n-m)S+m≠(n+m)(S。-Sm),数列{a}不恒满足条件②…2分 (2)若m=1,由②得(n-1)Sn+1=(m+1)(Sm-S)即2Sm=(m-1)a+1+(n+1)a1 当n≥2时，2Sm-1=(m-2)a,+na1两式相减得2an=(n-1)a+1-(n-2)a+a1 nan (n-1)an+i+a1 (n+1)an+1=nan+2+a1 两式相减得nan-(n+1)a+1=(n-1)an+1-nan+2 即nan+nan+2=2na+1n22六an+at2=2an+1…4分 又2S=(m-1)a+1+(m+1)a1,∴n=2时，2S2=a3+3a1,即a1+a3=2a25 分 数列{}是等差数列 …6分 设数列{a}的公差为d,a2025=a1+2024d=4050,d=o502 2024 {a}是无穷数列，aeN,an≠an+deN ×a1=2,d=2或a1=2026,d=1.8分 am=2n或an=n+2025 10分 C3)当n2时，由@得a=a:+a)小 即a-a,a.a小n23所以h-a2h-q≥3…1分 若a1=a2:由①不妨设a1=a2=peN,则an=p,则数列{a}为常数列.…12分 若a≠4，当n>g4-q+2时，，-a=2h-ae(0,与a,∈N矛盾.… 13分 当m23时，令b.=max{a,a.}eN, 则a品a:a)sa:ta)s写0+0kn≥3 ta)sa*a)水色+ak点， bn+1=max{a,an+i}≤bn,.ba≤b1-1,n≥2 则b-b≤-1，b-b≤-1，…，b24+1-b2m-1≤-1. 各式相加得b,m+1-b,≤-n. 当n≥b时，bH≤b-n≤0，与b1∈N矛盾.…16分 综上所述，只有当m=2,即a-:+a1=2a,且an=p时满足①③， 故数列{4}为常数列。…17分三校联考数学试卷第 1 页 共 5 页 2025 年高考三校联合模拟考试数学试卷 命题学校：大连育明高级中学 命题人：高三备课组 注意事项： 1. 答卷时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．已知集合 {1, 2}A  ，   2R log 1 1B x x    ，则 A B  （ ） A． B．{1} C．{1,2} D．{2} 2．复数 3 4i 1 2i z   ，则 z在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．有四张卡片，每张卡片的一面上写着英文字母，则另外一面上写着数字.现在规定： 当牌的一面写着数字 7时，另外一面必须写着字母H .你的任务是：为了检验下面 4 张卡 牌是否有违反规定的写法，你需要翻看哪些牌？（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．④③ 4．若正实数 ,x y满足 3xy x y   ，则 x y 的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．某教学楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级， 某同学从二楼到三楼准备用 7 步恰好走完，则第二步走两级台阶的概率为（ ） A． 3 10 B． 7 10 C． 3 7 D． 4 7 三校联考数学试卷第 2 页 共 5 页 6．墙上挂着一幅高为 1m 的画，画的上端到地面的距离为 2m，某摄像机在地面上拍摄这 幅画．将画上端一点 A、下端一点 B与摄像机连线的夹角称为视角（点 A，B 与摄像机在 同一竖直平面内），且把最大的视角称为最佳视角．若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不 计，则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正弦值为（ ） A． 1 3 B． 2 3 C． 3 3 D． 2 3 7．已知点 M 是椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     上的一点， 1F ， 2F 分别是 C 的左、右焦点， 且 1 2 60F MF  ，点 N在 1 2FMF 的平分线上，O 为原点， 1/ /ON MF， ON b ，则 C的 离心率为（ ） A． 6 3 B． 2 7 7 C． 2 3 D． 4 7 8．  0,x   ，不等式  2 1e 1 2 lnx a x ax x        恒成立，则正实数 a的最大值是（ ）． A． e 2 B． e C． e 1 D． e 2 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9．已知函数� � = �sin �� + � � > 0, � > 0,0 < � < π ，若� � 及其导函数�' � 的 部分图象如图所示，则（ ） A．� � +π = � � B．函数� � 在 π 12 , 7π 12 上单调递减 C．�' � 的图象关于点 − π 6 , 0 中心对称 D．� � + �' � 的最大值为5 2 10.已知正四棱锥�− ����的棱长均为 2，下列说法正确的是（ ） A．平面���与平面����夹角的正弦值为 3 3 B．若点�满足�� = ��� + ��� + 1 − � − � �� ，则 �� 的最小值为2 6 3 三校联考数学试卷第 3 页 共 5 页 C．在四棱锥�− ����内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积的最大值 为 16 − 8 3 D．点�在底面����内，且 �� = 2 �� ，则点�轨迹的长度为4π 9 11.设数列 �� 满足��+1 = ��2 − 5�� + 9, �1 = 5，记数列 1 ��−2 的前�项和为��，则（ ） A．��+1 > �� B． 1 �5 < 1 1806×1807 C．�2025 ≤ 5 2 + 5 2 2025 D．�� < 1 2 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知幂函数� � = 2� + 3 ��，写出一个使得不等式   11 3 2 6 f x     成立的自然 数 x的值 . 13．点 M 为圆    2 2: 1 1 1C x y    上的一个动点，点� 1,0 ，则向量��在�� 方向上的 投影数量的最大值为 . 14．记  max , ,a b c 表示 , ,a b c三个数中的最大数．若函数 )2ln()( 2 cbxaxxf  )0(  cba 的值域为R ，则max , ,a b c b c c a a b        的最小值为 ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13 分） 如图，已知在四棱锥. � − ����中， PD⟂平面 ABCD,四边形 ABCD 为直角梯形， �� ⊥ ��, ��//��, �� = �� = �� = 2, �� = 4,点 E是棱 PC 上靠近 P端的三等分点. (1)证明: PA//平面 BDE; (2)求平面 BDE 与平面 PBC 夹角的余弦值. 三校联考数学试卷第 4 页 共 5 页 16. （15 分） 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中 400 名 居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表. 年龄 次数 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 每周 0~2 次 70 55 36 59 每周 3~4 次 25 40 44 31 每周 5 次及以上 5 5 20 10 （1）若把年龄在[20,40)的锻炼者称为青年，年龄在[40,60]的锻炼者称为中年，每周 体育锻炼不超过 2次的称为体育锻炼频率低，不低于 3次的称为体育锻炼频率高，根据 小概率值 0.01  的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； （2）从每周体育锻炼 5 次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分 层随机抽样，抽取 8人，再从这 8人中随机抽取 3人，记这 3人中年龄在 [30,40)与[50,60] 的人数分别为 , ,X Y X Y   ，求ξ的分布列与期望； （3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽 毛球 3 种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星 期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 1 2 2, , 3 5 3 ，求小明星期 天选择跑步的概率. 参考公式：           2 2 . n ad bc n a b c d a b c d a c b d            ， 附： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 ax 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 三校联考数学试卷第 5 页 共 5 页 17. （15 分） 已知函数 ( ) ln 1, Rf x x ax a    ． (1)讨论函数 ( )f x 的单调区间； (2)若曲线 ( )f x 在 2x  处的切线垂直于直线 2y x ，对任意 (0, ), ( ) 2 0x f x bx     恒成立，求实数 b的最大值； (3)若 0x 为函数 ( ) [ ( ) ln 2]g x x f x x   的极值点，求证： 0202 e 1 xax   ． 18．（17 分） 如图，直线 1 1:l x my n  与直线 2 2:l x my n  ，分别与抛物线 2: 2 ( 0)T y px p  交于点 A， B 和点 C，D（A，D在 x轴同侧），线段 AC与 BD交于点 H ．当 1l 经过 T的焦点 F时 A、B 两点的纵坐标之积的等于− 1 4 (1)求抛物线 T 的标准方程； (2)线段 AC 与 BD 交于点 H，线段 AB 与 CD 的中点分别为 M，N ①求证：M，H，N三点共线； ②若 2 2HM HN  ，求四边形 ABCD 的面积． 19.（17 分） 已知 na 是无穷数列，Sn是数列 na 的前 n 项和，对于�,k, *Nm ，给出下列三个条件： ① *Nna  ；② � − � Sn+m = � +� Sn − Sm ；③ 11 nn k n k na a a ma       （� > �）； (1)若�� = 2�−1,对任意的�, *Nm ，数列 na 是否恒满足条件②，并说明理由； (2)若� = 1，数列 na 同时满足条件①②，且�2025 = 4050，�� ≠ ��+1,求数列 na 的通 项公式； (3)若 2k  ， 1m  ，数列 na 同时满足条件①③，求证：数列 na 为常数列.