精品解析：天津市西青区杨柳青第一中学2024-2025学年高二下学期第一次阶段检测数学试题

2024-2025年度第二学期高二第一次阶段检测 数学 （2025.3.18） 一､单选题：本题共9小题，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列函数中，值域为的是 A. B. C. D. 2. 设函数 ，的单调递减区间为（ ） A. B. C. 和 D. 3. 已知为导函数，则的大致图象是（ ） A. B. C. D. 4. 第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天等可能的随机选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（ ） A. 0.75 B. 0.7 C. 0.56 D. 0.38 5. 已知定义在上的奇函数满足时，成立，且则的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数与函数的图像上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 党二十大报告提出:“深化全民阅读活动.”今天，我们思索读书的意义、发掘知识的价值、强调阅读的作用，正是为了更好地满足人民群众精神文化生活新期待.某市把图书馆、博物馆、美术馆、文化馆四个公共文化场馆面向社会免费开放，开放期间需要志愿者参与协助管理.现有、、、、共5名志愿者，每名志愿者均参与本次志愿者服务工作，每个场馆至少需要一名志愿者，每名志愿者到各个场馆的可能性相同，则、两名志愿者不在同一个场馆的概率为（ ） A B. C. D. 8. 一玩具制造厂的某一配件由A，B，C三家配件制造厂提供，根据三家配件制造厂以往的制造记录分析得到数据：制造厂A，B，C的次品率分别为0.02，0.01，0.03，提供配件的份额分别为，，，设三家制造厂的配件在玩具制造厂仓库均匀混合且不区别标记，从中随机抽取一件配件，若抽到的是次品，则该次品来自制造厂C概率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函，（为自然对数底数，……），若对成立，则实数a的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 二､填空题：本题共6小题，共30分. 10. 已知函数是可导函数，且，则______. 11. 已知函数，则的导函数______. 12. 若，且，则__________. 13. 设，函数，若恰有两个零点，则的取值范围是______ 14. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________． 15. 已知定义在上的函数的导函数为，若对任意 ，恒成立，则不等式 的解集为_________. 三､解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求函数的极值； 17. 求下列函数的导函数． （1）； （2）． （3）； （4）． 18. 若函数，当时，函数有极值． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若方程有3个不同根，求实数的取值范围． 19. 已知函数 （1）时，求的最小值； （2）若在上递增，求实数的取值范围. 20. 已知，函数 （1）求曲线在处切线方程； （2）若曲线和有公共点，当时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年度第二学期高二第一次阶段检测 数学 （2025.3.18） 一､单选题：本题共9小题，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列函数中，值域为的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依次判断各个函数的值域，从而得到结果. 【详解】选项：值域为，错误 选项：值域为，正确 选项：值域为，错误 选项：值域为，错误 本题正确选项： 【点睛】本题考查初等函数的值域问题，属于基础题. 2. 设函数 ，的单调递减区间为（ ） A. B. C. 和 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，再解不等式即得单调递减区间. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，即，解得或， 所以函数的单调减区间为和. 故选：C 3. 已知为的导函数，则的大致图象是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的奇偶性排除BD；根据单调性排除C，即可得解. 【详解】因为 ，， 所以，， 因为， 所以在上是奇函数，故可排除选项B，D， 令，则， 当时，， 所以在单调递减，即在单调递减，故可排除选项C. 故选：A 4. 第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天等可能的随机选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（ ） A. 0.75 B. 0.7 C. 0.56 D. 0.38 【答案】A 【解析】 【分析】第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解. 【详解】设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”， “第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥， 根据题意得：，，， 则. 故选：A. 5. 已知定义在上的奇函数满足时，成立，且则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设函数，其中，根据的奇偶性得出为偶函数和，根据时，得出在定义域内的单调性，由得出和的值，画出简图，分类讨论即可得出的解集． 【详解】设函数，其中，则， 因为是上的奇函数， 所以，且， 所以是上的偶函数，， 因为当时，， 所以，即在上单调递减，在上单调递增， 因为， 所以， 所以，， 画出的简图，如图所示， 当，时，，则， 当，时，，则， 当，，不合题意， 综上所述，时，， 故选：D 6. 已知函数与函数图像上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点，得到方程有两解，分离参数构造新函数，利用导数求出最值，结合题意分析即可得. 【详解】因为函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点， 所以， 即有两解， 所以有两解， 令， 则， 所以当时，0，此时函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 所以在处取得极大值，， 且时，的值域为， 时，的值域为， 因此有两解时，实数的取值范围为， 故选：C. 7. 党的二十大报告提出:“深化全民阅读活动.”今天，我们思索读书的意义、发掘知识的价值、强调阅读的作用，正是为了更好地满足人民群众精神文化生活新期待.某市把图书馆、博物馆、美术馆、文化馆四个公共文化场馆面向社会免费开放，开放期间需要志愿者参与协助管理.现有、、、、共5名志愿者，每名志愿者均参与本次志愿者服务工作，每个场馆至少需要一名志愿者，每名志愿者到各个场馆的可能性相同，则、两名志愿者不在同一个场馆的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出将5名志愿者分配到4个场馆的方法数，再求出、两名志愿者在同一个场馆的方法数，最后利用古典概型的概率公式及对立事件的概率公式计算可得. 【详解】将5名志愿者分配到4个场馆，共有种不同的方法， 其中、两名志愿者在同一个场馆共有种不同的方法， 所以、两名志愿者不在同一个场馆的概率为. 故选：D. 8. 一玩具制造厂的某一配件由A，B，C三家配件制造厂提供，根据三家配件制造厂以往的制造记录分析得到数据：制造厂A，B，C的次品率分别为0.02，0.01，0.03，提供配件的份额分别为，，，设三家制造厂的配件在玩具制造厂仓库均匀混合且不区别标记，从中随机抽取一件配件，若抽到的是次品，则该次品来自制造厂C概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全概率公式先求出抽到的是次品的概率，再结合次品来自制造厂C概率，根据条件概率公式即可求得答案. 【详解】设事件D：抽到的是次品，事件：抽到的配件来自于A制造厂， 事件：抽到的配件来自于B制造厂，事件：抽到的配件来自于C制造厂， 则， , 故 ， 则抽到的是次品，则该次品来自制造厂C概率为, 故选：A 9. 已知函，（为自然对数底数，……），若对成立，则实数a的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知，进而结合函数，的单调性得，进而将问题转化为，，再构造函数，求函数的最小值即可得答案. 【详解】解：因为，恒成立，即， 所以，， 故令，，在上恒成立， 所以，在上单调递减， 所以，两边取对数得，，即， 记，则， 所以，当，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，的最小值是，故， 所以，实数a的最大值是 ． 故选：C 二､填空题：本题共6小题，共30分. 10. 已知函数是可导函数，且，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】解：因为函数是可导函数，且， 所以，根据导数的定义， 故答案为： 11. 已知函数，则的导函数______. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的导数公式可得. 【详解】由余弦函数的导数公式得. 故答案为： 12. 若，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项分布的方差公式及方差的性质计算即得. 【详解】由，得，而， 所以. 故答案： 13. 设，函数，若恰有两个零点，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】分离参数，问题转化为直线与函数图象有两个交点，求导分析单调性，画出的图象，数形结合即可得到的取值范围. 【详解】∵，∴. 当时，由得，， 当时，由得，， 令，则直线与函数的图象有两个交点， 当时，，函数在上是减函数， 当时，， 由得，由得， ∴在上为减函数，在上为增函数，且当时，函数极小值为， 当时，，当时，，函数图象如图所示， 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，此时函数有两个零点， ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键是分离参数，把问题转化为直线与函数图象交点个数问题，在画函数图象的过程中常借助导数分析单调性. 14. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：利用导数判断函数在上的单调性，确定零点位置，求出参数,再根据函数在上的单调性确定函数最值，即可解出. 【详解】［方法一］：【通性通法】单调性法 求导得， 当时，函数在区间内单调递增，且，所以函数在内无零点； 当时，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增． 当时，；当时，． 要使函数在区间内有且仅有一个零点，只需，解得． 于是函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，，所以最大值与最小值之和为． 故答案为：． ［方法二］： 等价转化 由条件知有唯一的正实根，于是．令，则，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，当时，；当时，． 只需直线与的图像有一个交点，故，下同方法一． ［方法三］：【最优解】三元基本不等式 同方法二得，，当且仅当时取等号， 要满足条件只需，下同方法一． ［方法四］：等价转化 由条件知有唯一的正实根，即方程有唯一的正实根，整理得，即函数与直线在第一象限内有唯一的交点．于是平移直线与曲线相切时，满足题意，如图． 设切点，因为，于是，解得， 下同方法一． 【整体点评】方法一：利用导数得出函数在上的单调性，确定零点位置，求出参数，进而问题转化为闭区间上的最值问题，从而解出，是该类型题的通性通法； 方法二：利用等价转化思想，函数在上有唯一零点转化为两函数图象有唯一交点，从而求出参数，使问题得解； 方法三：通过三元基本不等式确定取最值条件，从而求出参数，使问题得解，是该题的最优解； 方法四：将函数在上有唯一零点转化为直线与曲线相切，从而求出参数，使问题得解． 15. 已知定义在上的函数的导函数为，若对任意 ，恒成立，则不等式 的解集为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合求导公式考虑构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性化简不等式求其解. 【详解】令，因为 所以则 所以在上单调递增， 又不等式可化为 ，又， 所以， 所以， 所以， 所以的解集为. 故答案为：. 三､解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求函数的极值； 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）极大值为，极小值为． 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间； （2）结合（1）的单调性求出函数的极值. 【小问1详解】 函数的定义域为， 又， 当或时，，当时，， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； 小问2详解】 由（1）可知当时，有极大值，且极大值为； 当时，有极小值，且极小值为． 17. 求下列函数的导函数． （1）； （2）． （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）（4）根据基本初等函数的求导公式以及求导法则以及复合函数的求导法则，即可求得答案. 【小问1详解】 由，得； 【小问2详解】 由，得； 【小问3详解】 由，得； 【小问4详解】 由，得. 18. 若函数，当时，函数有极值． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若方程有3个不同的根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对求导后，由已知列方程组，求出，再由导数的意义得到切线的斜率和点代入曲线方程，得到，最后由点斜式得到直线方程； （2）先求出的单调区间和极值，画出函数图象，数形结合求出实数的取值范围. 【小问1详解】 ， 由题意得， 解得， 所以，， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 由（1）得， 令，解得或， 所以 0 0 递增 递减 递增 所以，当时，有极大值；当时，有极小值， 所以得图像大致如下： 若有3个不同的根，则直线与函数的图像有3个交点， 所以. 19. 已知函数 （1）时，求的最小值； （2）若在上递增，求实数的取值范围. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】(1)对函数求导，利用函数的单调性即可求出最小值； (2)先求导，分离参数，转化成恒成立问题，再构造函数，求出参数的取值范围. 【小问1详解】 当时， 由，得到 易知：恒成立 时，；时， 所以当时，的最小值为 【小问2详解】 又在区间上递增，在上恒成立. 由，得到，即 令，单调递增， ，即 当时，，当且仅当时取等号 所以 20. 已知，函数 （1）求曲线在处的切线方程； （2）若曲线和有公共点，当时，求取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导得到斜率，运用点斜式求出切线方程； （2）当时，曲线和有公共点即为在上有零点，求导后分类讨论结合零点存在定理可求. 【小问1详解】 ，故，而， 曲线在点处的切线方程为即. 【小问2详解】 当时， 因为曲线和有公共点，故有解， 设，故，故在上有解， 设，故在上有零点， 而， 若，则恒成立，此时在上无零点， 若，则在上恒成立，故在上为增函数， 而，，故在上无零点， 故， 设，则， 故在上为增函数， 而，， 故在上存在唯一零点， 且时，；时，； 故时，；时，； 所以在上为减函数，在上为增函数， 故， 因为在上有零点，故，故， 而，故即， 此时，故当时，在上存在零点. 设，则， 故在上为增函数， 而，故. 【点睛】思路点睛：导数背景下零点问题，注意利用函数的单调性结合零点存在定理来处理，而多变量的不等式的成立问题，注意从几何意义取构建不等式关系，再利用分析法来证明目标不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$