精品解析：贵州省贵阳市观山湖区第一高级中学2024-2025学年高一下学期3月检测数学试题

贵阳市观山湖区第一高级中学2024-2025学年度第二学期 3月月考高一数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上.） 1. 若向量，满足，，且，则向量与夹角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的夹角公式进行计算即可． 【详解】设向量与的夹角是，则， 又因为，所以． 故选：C． 2. 下列命题中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则是平行四边形 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量相等可判断AD选项的正误，取、、、四点共线可判断B选项的正误，取可判断C选项的正误. 【详解】对于A选项，若，但、方向不相同时，，A选项错误； 对于B选项，若、、、四点共线且，则、、、无法构成四边形，B选项错误； 对于C选项，取，虽然有，，但、不一定平行，C选项错误； 对于D选项，若，，则，D选项正确. 故选：D. 3. 已知实数集合，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可． 【详解】当，时，，或任意，（不符集合元素的互异性，舍）； 当，时，，，不符集合元素的互异性， 所以，，． 故选：A． 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理可以判断出B为钝角，则的形状为钝角三角形. 【详解】由，可得，即 则，又，则 则的形状为钝角三角形 故选：A 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的大小，结合排除法进行排除即可. 【详解】记函数，定义域为R，， 则是偶函数，图象关于y轴对称，排除AC， 又，排除D. 故选∶B. 6. 若实数、满足，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数运算化简条件得，再利用基本不等式求的最小值. 【详解】因为，所以， 实数x、y满足， 所以（当且仅当时等式成立）， 则的最小值为． 故选：A． 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件根据二倍角余弦公式可求，再结合诱导公式求． 【详解】因为， 所以 故选：C． 8. 已知是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值． 【详解】设，共起点， 由可得得， 如图终点在直径的圆上， 设中点为，，夹角为， 因此，的最小值为圆心到向量所在直线的距离2减去半径1，为1. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项符合题目要求，部分选对得部分分，选错的0分.） 9. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得和3为方程的根，且，进而结合韦达定理得到，进而判断ABC；将不等式化简可得，求解即可判断D. 【详解】由题意得，和3为方程的根，且， 则，即，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； 由，即， 即，解得，故D错误. 故选：BC. 10. 中，为上一点且满足．若为线段上一点，且为正实数），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，结合三点共线的向量性质、基本不等式逐一判断即可． 【详解】，故A正确； 由， 又，三点共线， ，故B正确； 由为正实数，，得，当且仅当时等号成立，故C错误； ，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：ABD． 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，下列与有关的结论，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若是锐角三角形，则 C. 若，则一定是等腰三角形 D. 若为非直角三角形，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理、三角形内角和定理、比例的性质，结合诱导公式、正弦函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：由正弦定理可知： ，因此本选项正确； B：因为是锐角三角形， 所以， 因为是锐角三角形， 所以， 因此由，所以本选项正确； C：根据正弦定理由， 因为，所以， 因此由，或， 由，此时该三角形是等腰三角形， 由，此时该三角形是直角三角形， 所以本选项不正确， D：在非直角三角形中， 有 ，所以本选项正确， 故选：ABD 【点睛】关键点睛：本题的关键在于应用正弦定理和比例的性质. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，请将所有答案写在答题卡上.） 12. 已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为30n mile/h，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距______n mile． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求出结果. 【详解】由题意得， ，，， 由正弦定理， 即，解得． 故答案为：． 13. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的公式即可得到结果． 【详解】由题意得，，因为，所以， 所以在上的投影向量的坐标为． 故答案为： 14. 如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域市民健身用地，为提高安全性，拟在点A处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角始终为（其中，分别在边，上），则的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】设，可得,，以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立坐标系,然后求出的坐标,结合数量积的运算和对勾函数的性质求解. 【详解】设, 则，. 以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立坐标系, 则，, 所以. 令，，则，. 由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 所以. 又，所以在上的值域为， 所以. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤，请将所有答案写在答题卡上.） 15. 已知平面向量，． （1）求的值； （2）若向量与夹角为，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由平面向量坐标运算的模长公式，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由平面向量坐标运算的夹角公式，代入计算，即可得到结果． 【小问1详解】 因为，， 所以， 故． 【小问2详解】 因为，且， 所以， 于是有， 两边平方得，整理得， 解得或，经检验，为增根， 所以. 16. 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，再结合，即可求解； （2）由正弦定理结合辅助角公式得到，进而可求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 故， 在中，，，所以，，则， 可得，所以，所以． 【小问2详解】 由正弦定理可得（为外接圆的半径）， 所以， 因为，则，， 所以， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，， 故周长范围为． 17. 类似于平面直角坐标系，定义平面斜坐标系:设数轴、的交点为，与、轴正方向同向的单位向量分别是、，且与的夹角为，其中，由平面向量基本定理:对于平面内的向量，存在唯一有序实数对，使得，把叫做点在斜坐标系中的坐标，也叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为，在平面斜坐标系内，直线的方向向量（与直线平行的向量）、法向量（与直线垂直的向量）、点方向式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义，如时，方程表示斜坐标系内一条过点，且方向向量为的直线． （1）若，，，求； （2）若，已知直线；求的一个法向量； 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）利用定义求出 （2）先求出l的方向向量为，由得法向量 【小问1详解】 由已知，，， 则，且， 则 ∴； 【小问2详解】 直线l的方程可变形为：，直线l的方向向量为； 设的一个法向量为，由得，； 令，则，； 18. 已知函数的部分图像如图所示，且，的面积等于. （1）求函数的解析式； （2）将图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图像，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）的面积求出，即，可求出，图像过点，求出，可得函数解析式； （2）由函数图像的平移，求出解析式，设，化简函数解析式，依题意在区间上单调递减，利用正弦型函数的单调性求的最大值. 【小问1详解】 由题意可得， ， 所以，由解得，所以， 图像过点，则，又因为，所以， 所以， 【小问2详解】 由题意可得， 设 ，当时，恒成立， 即恒成立，即恒成立， 在区间上单调递减， 令，解得， 因为，所以，则， 故，解得， 所以最大值为. 19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）记向量的相伴函数为，若且，求的值； （2）设（），试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相反的单位向量﹔ （3）已知，，，为函数（）的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在， 【解析】 【分析】（1）先根据相伴函数定义再结合两角和差公式计算即可； （2）结合相伴函数定义及反向定义求解； （3）先设点P的坐标，再应用函数求解计算可解. 【小问1详解】 由题意知，向量的相伴函数为 由题意，且，，， 故； 【小问2详解】 因为 故函数的相伴特征向量， 则与反向的单位向量为 【小问3详解】 因为， 其相伴特征向量， 故，所以， 则， 设点， 又，， 所以，， 若，则， 即，， 因为，， 故， 又，故当且仅当时，成立 故在的图象上存在一点，使得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市观山湖区第一高级中学2024-2025学年度第二学期 3月月考高一数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上.） 1. 若向量，满足，，且，则向量与夹角的大小是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则是平行四边形 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 已知实数集合，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若实数、满足，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 1 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项符合题目要求，部分选对得部分分，选错的0分.） 9. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 10. 中，为上一点且满足．若为线段上一点，且为正实数），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，下列与有关的结论，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若是锐角三角形，则 C. 若，则一定是等腰三角形 D. 若为非直角三角形，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，请将所有答案写在答题卡上.） 12. 已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为30n mile/h，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距______n mile． 13. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为_____． 14. 如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域市民健身用地，为提高安全性，拟在点A处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角始终为（其中，分别在边，上），则的取值范围______． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤，请将所有答案写在答题卡上.） 15. 已知平面向量，． （1）求的值； （2）若向量与夹角为，求实数的值． 16. 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 17. 类似于平面直角坐标系，定义平面斜坐标系:设数轴、的交点为，与、轴正方向同向的单位向量分别是、，且与的夹角为，其中，由平面向量基本定理:对于平面内的向量，存在唯一有序实数对，使得，把叫做点在斜坐标系中的坐标，也叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为，在平面斜坐标系内，直线的方向向量（与直线平行的向量）、法向量（与直线垂直的向量）、点方向式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义，如时，方程表示斜坐标系内一条过点，且方向向量为的直线． （1）若，，，求； （2）若，已知直线；求的一个法向量； 18. 已知函数的部分图像如图所示，且，的面积等于. （1）求函数的解析式； （2）将图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图像，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值. 19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）记向量的相伴函数为，若且，求的值； （2）设（），试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相反的单位向量﹔ （3）已知，，，为函数（）的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $