精品解析：河北省部分高中2026-2027学年高三上学期开学数学试题

河北省部分高中2026-2027学年高三上学期开学数学试题 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. {3} 【答案】A 【解析】 【分析】利用列举法表示全集，再利用补集的定义求解. 【详解】依题意，，所以. 故选：A 2. 已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，而，则， 因此，又，所以与的夹角为． 3. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图像的平移变换和伸缩变换得出结论. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 得到的图象， 再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得的图象. 故选：A. 4. 若函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】对求导，即可求解的图象在点处的切线方程，进而对求导，即可得解. 【详解】由题意得，则，所以的图象在点处的切线方程为，即． 设直线与的图象相切于点， 又，则，解得， 所以，即，则． 故选：C． 5. 已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将直线方程整理为， 该式对任意实数恒成立，故需满足 解得，即直线恒过定点.圆心，半径. 圆心到定点的距离. 当直线时，弦长最小. 由弦长公式得最小值为. 故的最小值为. 6. 冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程.主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）.已知某蔬菜的保鲜时间y（单位：小时）与贮藏温度x（单位：℃）之间满足：（其中a，b为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为9℃的环境下保鲜时间为261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过（ ） A. 12℃ B. 14℃ C. 16℃ D. 18℃ 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件求出指数函数的参数，再通过不等式求解温度范围. 【详解】已知保鲜时间与贮藏温度的关系为（为常数）. 当时，，代入得：① 当时，，代入得：② 将①②化简可得：，即，解得：， 代入①式求得：， 由题意，即：，即， 则，将代入：， 化简可得： ，当指数大于等于零时不等式成立，即 ，解得：. 所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过. 7. 在等比数列中，，，若不等式成立，则的最小值为（ ） A. 25 B. 24 C. 27 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等比数列性质求得，进而求得及，最后对分奇偶数分类求和即可. 【详解】设的公比为，由， 得， 则，令，因此， 记， 当为偶数时，，无正整数解； 当为大于2的奇数时，， 由，解得， 又为奇数，因此的最小值为27. 故选：C 8. 如图，一块长方体大理石板材斜靠在与水平地面垂直的墙面上，仅点与墙面接触，点到墙面的距离分别为，若，则该长方体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，取为一组基底，利用空间向量数量积求出长方体的棱长，进而求出其外接球半径即可得解. 【详解】设，则，方向向右的单位向量为墙所在平面的法向量， 取为一组基底，显然两两垂直，由空间向量基本定理知， 存在唯一一组有序实数组，使得， 由点到墙面的距离分别为，得， 则，所以，而， 所以，即，解得， 则，长方体外接球半径， 所以其外接球的表面积. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，则（ ） A. 的实部是 B. 的虚部是 C. D. 在复平面内所对应的点位于第二象限 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数除法运算可化简得到，由共轭复数、复数的实部和虚部定义、复数模长运算与几何意义依次判断各个选项即可. 【详解】； 对于A，由实部定义知：的实部为，A正确； 对于B，，的虚部是，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，对应的点为，位于第二象限，D正确. 故选：AD. 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. 若，则的最大值为1214 D. 的前36项和为1226 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，求出的表达式，再结合单调性及并项求和法逐一分析判断. 【详解】对于A，，数列是首项， 公差为5的等差数列，，A正确； 对于B，由选项A得， 数列均为递增数列，数列中除外，其它项均不为1，B错误； 对于C，由选项B得， 当时，，因此的最大值为1214，C正确； 对于D，由选项B得，因此数列的前36项和为 ，D错误. 故选：AC 11. 已知抛物线的焦点为，点为的准线上一点，过焦点且斜率大于0的直线与C交于，两点（在第一象限），与准线交于点，为原点，直线，分别交于，两点，则（ ） A. 若，则直线的斜率为 B. 若过点的的切线与交于点，则 C. 若的面积为，则 D. 若，则直线的倾斜角为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意先求，进而得抛物线方程，再根据抛物线的性质和直线与抛物线的关系逐项验证即可求解. 【详解】如图： 由题意得，所以抛物线，所以， 设，直线 对于A：由，解得，所以，解得，所以，所以，故A错误； 对于B：由，所以，又点位于第一象限，所以，，所以，所以， 所以过点的切线方程为：，即，令，，所以， 所以，所以，所以，故B正确； 对于C：由，消元整理得，所以， 所以，所以， 又到直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的直线方程为：，令得，所以， 同理得，所以 ，故C正确； 对于D：由直线，令，得，所以， 所以，所以， 由得：， 所以， 又， 所以，解得，所以， 又因为，解得，又， 所以，即，又，所以， 所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中所有奇数项的系数和为________． 【答案】121 【解析】 【详解】展开式的通项为，， 当，2，4时,，，， 其系数和为． 13. 已知双曲线的右顶点为，点．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】法1：设点在渐近线上，由向量垂直得数量积为零，整理出关于的一元二次方程，利用方程有解判别式非负，结合双曲线关系化简，最终求得离心率范围. 法2：由向量垂直知在以为直径的圆上，利用渐近线与圆有公共点，得圆心到渐近线距离不大于半径，代入双曲线关系化简，求出离心率取值范围. 【详解】法1：双曲线的右顶点， 不妨取渐近线方程为.设，则，. 由，得，整理得. 由题意知该关于的方程有解，所以. 化简可得，即，所以，又. 所以，即的离心率的取值范围是． 法2：由知，点在以为直径的圆上. 由题意知的渐近线与圆有公共点，所以到的渐近线的距离满足，即， 所以，所以. 所以，又，所以，即的离心率的取值范围为． 14. 某数学兴趣小组有4名男生与2名女生参加答题活动，规则如下：先从这6人中随机选1人回答问题，再从剩下的5人中随机选1人回答问题，依次进行，直到剩下的学生的性别一样或仅剩1人时答题结束．为答题结束时选取答题的人数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】确定的所有可能取值，再结合排列、组合及古典概型概率计算公式求得对应概率即可求解. 【详解】由题意的可能取值为2，3，4，5， 则 ，， ，， 所以 ． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了解学生初中升学的数学成绩对高一数学学习的影响，在高一年级随机抽取6名学生，对其入学的数学成绩（分）和高一第一学期期末考试数学成绩（分）进行了统计，如下表： 中考数学成绩 50 60 70 80 90 100 高一第一学期期末数学成绩 65 80 95 105 120 130 （1）规定高一期末数学成绩不低于90分为及格，不低于120分为优秀，从所抽取的6人中随机选取1人，记为“学生的高一第一学期期末数学成绩及格”，为“学生的高一第一学期期末数学成绩优秀”，求； （2）由散点图可知与之间具有线性相关关系，求关于的经验回归方程并估计某中考数学成绩为110分的学生高一第一学期期末考试的数学成绩（成绩保留整数，采用四舍五入法）． 附：经验回归模型中，； 参考数据：． 【答案】（1）； （2），估计该学生高一第一学期期末考试的数学成绩为145分. 【解析】 【分析】（1）利用古典概率公式及条件概率公式求解. （2）由给定数表求出，再利用最小二乘法求出回归直线方程，进而进行数据估计. 【小问1详解】 依题意，， 所以. 【小问2详解】 依题意，，， 则， ，因此， 当时，， 所以估计该学生高一第一学期期末考试的数学成绩为145分. 16. 如图，在三棱柱中，平面，侧面是菱形，且，点为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为平面，平面，所以， 因为侧面是菱形，，所以是等边三角形， 又点为的中点，所以， 又因为，平面，，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，进而可得，利用线面垂直的判定定理可证结论； （2）由题意可证，，两两垂直，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，则， 因为平面，平面， 所以，所以， 由（1）知，平面，平面，所以， 所以，，两两垂直，以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的一个法向量， 则，即 令，解得，，所以， 设平面的一个法向量，则 ，即， 令，解得， 所以， 设平面与平面的夹角为，则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 17. 在中，内角、、的对边分别是、、，且． （1）若，，求； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合三三角恒等变换化简得出，利用二倍角的余弦公式求出的值，利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用正弦定理可求得的值； （2）由为锐角三角形求出的取值范围，再利用正弦定理结合余弦函数的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 由及正弦定理得 ， 因为、，则，所以， 由可得. ①若，可得，矛盾； ②若，可得. 因为，所以， ， 由正弦定理得. 【小问2详解】 因为为锐角三角形，则，解得， 由正弦定理可得，即的取值范围是. 18. 已知圆，点为圆上的动点，线段的中垂线交线段于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．设与轴交于点（点在轴的负半轴上），过点且斜率为的直线交于点． （1）求的方程； （2）当时，求四边形的面积； （3）若点关于原点的对称点为，直线交于点，记直线的斜率为，判断是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是定值，为 【解析】 【分析】（1）证明，根据椭圆定义判断Q的轨迹为椭圆，根据椭圆的几何性质即可求出其标准方程； （2）写出l的方程，与椭圆方程联立，消去y得到关于x的方程，设，利用韦达定理求出，根据四边形的面积，即可求出； （3）设l的方程为，代入椭圆的方程，消去x得到关于y的方程，设．写出直线AD、BN的方程，联立它们的方程求出G的坐标，从而可求，代入化简，即可得到答案． 【小问1详解】 如图： 连接，由题意知，点在圆内部， ∴， 由椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆． 设其方程为，则， ∴，故； 【小问2详解】 由（1）得， 当时，直线的方程为，代入的方程并化简，得， 设，则，， ∴， ∴四边形的面积； 【小问3详解】 设的方程为，代入的方程并化简，得， 显然判别式，设， 则，， ∴直线的方程为， 直线的方程为， 由，解得， ∴， 又，∴，即为定值，且定值为． 19. 已知函数的定义域和值域分别为，若函数满足：（i）的定义域为；（ii）的值域为；（iii），则称与具有关系. （1）若，判断下列两个函数是否与具有关系，并说明理由； ①；②. （2）若与具有关系，证明：函数的图象与的图象关于直线对称； （3）已知函数与具有关系，令. ①判断函数的单调性； ②证明：. 【答案】（1）根据题意知的定义域为，值域为， ①的定义域为，值域为，满足（i）（ii）， ，所以与①不具有关系； ②的定义域为，值域为，满足（i）（ii）， ，满足（iii）， 所以与②具有关系. （2）设上任一点为，上任意一点为 则若与具有关系，则，则， ， 这就意味着与互为反函数，则互为反函数的图象关于直线对称； （3）①单调递增， ②根据题意知， 当时，，令， 则， 令，则， 所以单调递增，则， 所以，则单调递增， 则， 所以， 则 【解析】 【分析】(1)根据定义可判断函数与是否具有关系； (2)要证明函数的图象与的图象关于直线对称，只需证明上任意一点关于对称点在上即可，即与互为反函数； (3)要证明，只需证明，构造新的函数，对其求导得到新的函数，在对函数进行缩放，对新函数求导，可得到其单调性，以此再向上推，即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①由(2)知若与具有关系，则与互为反函数， 函数，则函数， ，对求导， 可得，令， ， 当时，，单调递减， 当时，单调递增， 所以，所以， 则单调递增. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省部分高中2026-2027学年高三上学期开学数学试题 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. {3} 2. 已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 5. 已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程.主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）.已知某蔬菜的保鲜时间y（单位：小时）与贮藏温度x（单位：℃）之间满足：（其中a，b为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为9℃的环境下保鲜时间为261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过（ ） A. 12℃ B. 14℃ C. 16℃ D. 18℃ 7. 在等比数列中，，，若不等式成立，则的最小值为（ ） A. 25 B. 24 C. 27 D. 26 8. 如图，一块长方体大理石板材斜靠在与水平地面垂直的墙面上，仅点与墙面接触，点到墙面的距离分别为，若，则该长方体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，则（ ） A. 的实部是 B. 的虚部是 C. D. 在复平面内所对应的点位于第二象限 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. 若，则的最大值为1214 D. 的前36项和为1226 11. 已知抛物线的焦点为，点为的准线上一点，过焦点且斜率大于0的直线与C交于，两点（在第一象限），与准线交于点，为原点，直线，分别交于，两点，则（ ） A. 若，则直线的斜率为 B. 若过点的的切线与交于点，则 C. 若的面积为，则 D. 若，则直线的倾斜角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中所有奇数项的系数和为________． 13. 已知双曲线的右顶点为，点．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是________． 14. 某数学兴趣小组有4名男生与2名女生参加答题活动，规则如下：先从这6人中随机选1人回答问题，再从剩下的5人中随机选1人回答问题，依次进行，直到剩下的学生的性别一样或仅剩1人时答题结束．为答题结束时选取答题的人数，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了解学生初中升学的数学成绩对高一数学学习的影响，在高一年级随机抽取6名学生，对其入学的数学成绩（分）和高一第一学期期末考试数学成绩（分）进行了统计，如下表： 中考数学成绩 50 60 70 80 90 100 高一第一学期期末数学成绩 65 80 95 105 120 130 （1）规定高一期末数学成绩不低于90分为及格，不低于120分为优秀，从所抽取的6人中随机选取1人，记为“学生的高一第一学期期末数学成绩及格”，为“学生的高一第一学期期末数学成绩优秀”，求； （2）由散点图可知与之间具有线性相关关系，求关于的经验回归方程并估计某中考数学成绩为110分的学生高一第一学期期末考试的数学成绩（成绩保留整数，采用四舍五入法）． 附：经验回归模型中，； 参考数据：． 16. 如图，在三棱柱中，平面，侧面是菱形，且，点为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 在中，内角、、的对边分别是、、，且． （1）若，，求； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 18. 已知圆，点为圆上的动点，线段的中垂线交线段于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．设与轴交于点（点在轴的负半轴上），过点且斜率为的直线交于点． （1）求的方程； （2）当时，求四边形的面积； （3）若点关于原点的对称点为，直线交于点，记直线的斜率为，判断是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 19. 已知函数的定义域和值域分别为，若函数满足：（i）的定义域为；（ii）的值域为；（iii），则称与具有关系. （1）若，判断下列两个函数是否与具有关系，并说明理由； ①；②. （2）若与具有关系，证明：函数的图象与的图象关于直线对称； （3）已知函数与具有关系，令. ①判断函数的单调性； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $