第13章 立体几何初步（知识归纳+题型突破 14题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第二册）

第13章 立体几何初步（14题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1：棱柱 （1）棱柱的定义 定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 （2）棱柱的图形 （3）棱柱的分类及表示 ①按棱柱底面边数分类: ②按棱柱侧棱与底面位置关系分类: ③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱 表示法：用各顶点字母表示棱柱，如图棱柱 知识点2：棱锥 （1）棱锥的定义 定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 （2）棱锥的图形 （3）棱锥的分类及表示 按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为： 三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 特别地，三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥 表示法：棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如图棱锥 知识点3：棱台 （1）棱台的定义 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：除上下底面以外的面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 （2）棱台的图形 （3）棱台的分类及表示 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 用各顶点字母表示棱柱，如棱台 知识点4：圆柱 （1）圆柱的定义 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 圆柱的轴：旋转轴 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 （2）圆柱的图形 （3）圆柱的表示 圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱 知识点5：圆锥 （1）圆锥的定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 锥体：棱锥和圆锥统称为锥体 （2）圆锥的图形 （3）圆锥的表示 用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥 知识点6：圆台 （1）圆台的定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台 轴：圆锥的轴 底面：圆锥的底面和截面 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分 台体：棱台和圆台统称为台体 （2）圆台的图形 （3）圆台的表示 用表示它的轴的字母表示，如图，圆台 知识点7：空间几何体的直观图 （1）空间几何体的直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形. 直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形. （2）水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法） （1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或） （2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段. （3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半. （4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图. 方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有. 知识点8：空间几何体的直观图的绘制方法 （1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点, 画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点, 且使”(或）, 它们确定的平面表示水平面； （2）画底面. 已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段； （3）画侧棱. 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半； （4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图. 知识点9：斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 知识点10：棱柱、棱锥、棱台的表面积 （1）正方体、长方体的表面积 正方体、长方体的表面积就是各个面的面积的和 长、宽、高分别为的长方体的表面积： 棱长为的正方体的表面积： . （2）棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图 棱柱的侧面展开图为平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长.如图: 棱锥的侧面展开图由若干个三角形拼成如图 棱台的侧面展开图由若干个梯形拼成如图 （3）棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱的表面积： 棱锥的表面积： 棱台的表面积： 知识点11：棱柱、棱锥、棱台的体积 （1）棱柱的体积 ①棱柱的高：柱体的两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长. ②棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即. （2）棱锥的体积 ①棱锥的高：锥体的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长. ②棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即理解. （3）棱台的体积 ①棱台的高：台体的两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，此点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长 ②棱台的体积：(,分别为上下底面面积，为台体的高) 知识点12：圆柱、圆锥、圆台的表面积 （1）圆柱的表面积 ①圆柱的侧面积： 圆柱的侧面展开图是一个矩形.圆柱的底面半径为,母线长为,那么这个矩形的一边长为圆柱的底面周长，另一边长为圆柱的母线长，故圆柱的侧面积为. ②圆柱的表面积： . （2）圆锥的表面积 ①圆锥的侧面积： 圆锥的侧面展开图是一个扇形.圆锥的底面半径为,母线长为,那么这个扇形的弧长为圆锥的底面周长，半径为圆锥的母线长，故圆锥的侧面积为 ②圆锥的表面积： （3）圆台的表面积 ①圆台的侧面积： 圆台的侧面展开图是一个扇环.圆台的上底面半径为,下底面半径为,母线长为,故圆台的侧面积为 ②圆台的表面积： 知识点13：圆柱、圆锥、圆台的体积 （1）圆柱的体积： （2）圆锥的体积： （3）圆台的体积： 知识点14：球的表面积和体积 （1）球的表面积： （2）球的体积: 知识点15：异面直线 （1）异面直线的概念 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 （2）异面直线的画法 画异面直线时,为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托 （3）异面直线的判定 ①定义法 ②两直线既不平行也不相交 知识点16：直线与平面平行 (1)直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号表述： 图形语言 直线与平面的平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关系(平面问题) 即 线线平行 线面平行 (2)直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 符号表述：，， 简记：线线平行 线面平行 注意：①定理中三个条件缺一不可 ②简记：线面平行，则线线平行 ③定理的作用：判断直线与直线平行的重要依据 ④定理的关键：寻找平面与平面的交线 知识点17：平面与平面平行的判定定理 （1）两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.（定理简述：线面平行，则面面平行。） （2）符号语言 （3）图形语言 （4）定理应用 线线平行面面平行 知识点18：平面与平面平行的性质定理 （1）平面与平面平行的性质定理 两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. （2）符号语言 （3）图形语言 （4）定理应用 面面平行线线平行 知识点19：异面直线所成角的概念 已知两条异面直线，，经过空间任一点分别作直线，，我们把直线与所成的 角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角） 知识点20：异面直线所成角的范围 由异面直线所成角的定义得，异面直线所成的角是锐角或直角，即. 注意：①异面直线所成角的大小不能是，若两条直线所成角是，则这两条直线平行，不可能异面.②空间两直线所成的角的范围是. 知识点21：直线与平面垂直 （1）定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足. （2）符号语言：对于任意，都有. （3）图形语言： （4）应用：①若直线与平面垂直，则这条直线与这个平面内的所有直线都垂直，从而可判断直线与平面内的直线互相垂直，即“若,,则”,简述为“若线面垂直，则线线垂直”因此直线与平面垂直的定义不仅是直线与平面垂直的判定方法，也是证明直线与直线垂直的重要且常用的方法. ②重要结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；过一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 知识点22：直线与平面垂直的判定定理 （1）直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 简记：线线垂直线面垂直 （2）符号语言：，，，， （3）图形语言：如图 知识点23：直线与平面所成角 （1）直线与平面所成角的定义 如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. （2）说明：①为斜线 ②与的交点为斜足 ③直线为在平面上的射影 ④直线与射影所成角(角)为直线与平面上所成角 ⑤当直线与平面垂直时：；当直线与平面平行或在平面内时： ⑥直线与平面所成角取值范围：. （3）直线与平面所成角的求解步骤 ①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键； ②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义； ③算：一般借助三角形的相关知识计算. 知识点24：二面角 （1）二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面． （2）符号语言： ①二面角. ②在,内分别取两点，(,),可记作二面角; ③当棱记作时，可记作二面角或者二面角. 知识点25：二面角的平面角 （1）定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直与直线的射线,,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角. （2）说明： ①二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度； ②二面角的大小与垂足在上的位置无关一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的； ③构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可，前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性，后一个要素表明平面角所在的平面与棱垂直； ④二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，；当两个半平面合成一个平面时， ⑤当两个半平面垂直时，，此时的二面角称为直二面角. 知识点26：二面角的平面角求法 （1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角. （2）三垂线定理及其逆定理 ①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角. (3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角. (4)转化法：化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角（或其补角）. (5)向量法：用空间向量求平面间夹角的方法（该方法我们将在选择性必修第一册中学到). 知识点27：平面与平面垂直 （1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. （2）符号语言: （3）图形语言 知识点28：平面与平面垂直的判定定理 （1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直) （2）符号（图形）语言:， （3）应用：线面垂直面面垂直. 知识点29： 平面与平面垂直的性质定理 （1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)符号（图形）语言：，， . (3)应用：①面面垂直线面垂直 ②作平面的垂线. 03 题型归纳 题型一棱柱、棱锥、棱台、旋转体的结构特征 例题1：（多选）（23-24高一下·江苏连云港·期中）下列说法中正确的是（    ） A．直四棱柱是长方体 B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．棱台的侧面是等腰梯形 例题2：（多选）（23-24高一下·江苏无锡）下列说法正确的是（    ） A．棱柱的侧棱长都相等 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．棱台的侧面是等腰梯形 D．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面 例题3：（2024高一·江苏·专题练习）下列关于棱锥、棱台的说法： ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； ②棱台的侧面一定不会是平行四边形； ③棱锥的侧面只能是三角形； ④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确的序号是 ． 巩固训练 1．（多选）（2024高一·江苏·专题练习）（多选）下列说法中，正确的是（　　） A．棱锥的各个侧面都是三角形 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥 C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 D．棱锥的各侧棱长相等 2．（多选）（2024高一·江苏·专题练习）（多选）下列说法正确的是（　　） A．圆柱的底面是圆面 B．经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面 C．圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交 D．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体 3．（2024高一·全国·专题练习）下列说法正确的是 .（填序号） ①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥； ④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面． 题型二 空间几何体展开图及最短距离问题　 例题1：（23-24高一下·江苏无锡·期中）半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M，N分别在线段，上，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 例题2：（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为 .    例题3：（24-25高二上·安徽池州·阶段练习）如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 . 巩固训练 1．（23-24高一下·宁夏银川）如图，已知圆锥的母线长为2，底面半径为，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面爬行一周返回A点，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A．1 B． C． D．4 2．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，某圆柱的高为，底面圆的半径为，则在此圆柱侧面上，从圆柱的左下点A到右上点B的路径中，最短路径的长度为 ． 3．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知圆台上下底面半径分别为，，母线长为，圆台的轴截面如图所示，为的中点，则从点沿圆台的侧面到点的最短路径长是 ．    题型三 空间几何体截面有关的计算 例题1：（24-25高二上·北京·期中）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（1）（5） 例题2：（2024·河南濮阳·模拟预测）某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（    ） A． B． C． D．2 例题3：（2024高一·江苏·专题练习）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，.过点A作与棱PC垂直的平面α，则四棱锥P﹣ABCD截平面α所得截面的面积为 . 巩固训练 1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知四棱锥中，平面，四边形为正方形，，平面过，，的中点，则平面截四棱锥所得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海普陀·阶段练习）已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏南京）已知正方体棱长为2，为棱中点，过，，三点的平面截正方体，所得截面面积为 ． 题型四 直观图中有关的计算　 例题1：（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知一个水平放置的四边形ABCD，用斜二测画法画出它的直观图是一个底角为45º，上底长为1，下底长为2的等腰梯形，则四边形ABCD的面积为（    ） A． B． C． D． 例题2：（23-24高一下·江苏南京·期中）如图是水平放置的的直观图，是中边的中点，三条线段对应原图形中的线段，那么（    ） A．最短的是 B．最短的是 C．最短的是 D．无法确定谁最短 例题3：（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形周长是 ． 巩固训练 1．（2024高一下·江苏·专题练习）如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（    ） A． B．8 C．6 D． 2．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是 ． 3．（23-24高一下·江苏淮安·期中）如图，是水平放置的的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且的面积为12，则的长度为 .    题型五 证明三线共点或三点共线问题　 例题1：（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 例题2：（23-24高二上·四川乐山·期末）如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且 (1)求证：四点共面； (2)设与交于点，求证：三点共线. 例题3：（23-24高一上·内蒙古乌兰察布·阶段练习） 如图，已知空间四边形，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足. 求证： (1)，，，四点共面； (2)，，三线共点． 巩固训练 1．（24-25高一·湖南·课后作业）如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点．求证： (1)，O，M三点共线； (2)E，C，，F四点共面． 2．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如图，在三棱柱ABC-中，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点. (1)求证：E，F，C1，四点共面； (2)求证：A1E，F，B交于一点. 3．（23-24高二上·上海虹口·阶段练习）如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 题型六 直线与平面位置关系的证明　 例题1：（江西省景德镇市2024-2025学年高二上学期1月期末质量检测数学试卷）如图，在四棱锥中，平面，分别为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 例题2：（2024高三·全国·专题练习）如图，已知等腰梯形中，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 例题3：（24-25高二上·北京·期中）如图，三棱柱中，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若点在线段上，且平面，求证：点为中点. 巩固训练 1．（24-25高二上·上海宝山·期末）如图，在棱长为1的正方体中，及分别为棱和的中点． (1)求证：平面； (2)若为棱的中点，求证：平面． 2．（24-25高二上·江苏南通·期中）如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是直角三角形，，点分别在上，且． (1)证明：平面； (2)若平面，求． 3．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知直三棱柱，F为BC中点，，与交于点 (1)求证：平面 (2)若是等边三角形且，求证：平面 题型七 平面与平面位置关系的证明 例题1：（24-25高二上·四川达州·期中）三棱柱中，底面，且各棱长均相等，为的中点．F为AB的中点.    (1)证明：平面平面； (2)证明：平面平面． 例题2：（24-25高二上·北京石景山·期末）如图，在三棱柱中，底面，底面为等边三角形，分别为的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 例题3：（2024高三·全国·专题练习）如图，正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面平面 (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 巩固训练 1．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且. (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. 2．（23-24高一下·山西）如图，PA⊥平面ABC，AB为圆O的直径，E，F分别为棱PC，PB的中点． (1)证明：EF平面ABC． (2)证明：平面EFA⊥平面PAC． 3．（23-24高二上·四川德阳）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，为的中心，，，是的中点，与交于点． (1)证明：平面． (2)证明：平面平面． 题型八 异面直线所成角 例题1：（23-24高一下·江苏无锡·期中）正方体中，为的中点，则直线与直线所成角为（    ） A． B． C． D． 例题2：（23-24高一下·江苏镇江·期末）正方体中，，分别为棱，中点，则与所成角为（    ） A． B． C． D． 例题3：（23-24高二下·江苏徐州·期中）在三棱锥中，、、分别是、、的中点，，则和所成角的度数为 ． 巩固训练 1．（23-24高一下·江苏泰州·期末）在正方体中，与所成的角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏南通·期中）在正四面体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 3．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，若，则异面直线，所成角为 ． 题型九 线面角问题 例题1：（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）在四面体中，平面，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 例题2：（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，点M，N分别在，上，且，．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 例题3：（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）如图，在四棱锥中，侧棱底面，四边形为正方形，且，点为棱的中点，点为棱上一点. (1)若点为中点，求证：平面； (2)若点满足， （i）求证：； （ii）求直线与平面所成角的正切值. 巩固训练 1．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）如图，四边形是矩形，，，平面，，.点为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求和平面所成角的正弦值. 2．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，棱长为a的正方体中，分别是上的点，． (1)求B点到平面的距离； (2)求与平面所成角的余弦值．（请不用空间向量法，用空间向量法不得分） 3．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）在四棱锥中，底面是矩形，平面． (1)求证：平面 (2)若，试求与平面所成角的正切值． 题型十　二面角问题 例题1：（24-25高三上·江苏泰州·期中）在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上，且． (1)证明：平面； (2)求二面角的大小． 例题2：（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）如图，在三棱台中，和都为等腰直角三角形，，为线段的中点，为线段上的点，且平面． (1)求证：点为线段的中点； (2)求二面角的余弦值． 例题3：（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）如图，在长方体中，，点是的中点. (1)证明：； (2)在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求，若不存在，说明理由； (3)求二面角的正切值. 巩固训练 1．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，是的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的余弦值. 2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）在四棱锥中，已知是正三角形，底面为矩形，且平面平面.若.    (1)证明：面； (2)求二面角面的余弦值. 3．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，正三棱柱中，各棱长均相等，､､､分别为棱､､､的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值. 题型十一 空间几何体表面积　 例题1：（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，直线与平面所成角的正切值为，则正三棱柱的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 例题2：（2024·全国·一模）已知正三棱台的上､下底面的边长分别为2和4，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的表面积为（ ） A． B． C． D． 例题3：（23-24高二下·江苏连云港·期末）用油漆涂一个正四棱锥形铁皮做的冷水塔塔顶（铁皮的正反面都要涂漆），其高是，底面的边长是，已知每平方米需用油漆，共需用油漆 kg.（精确到） 巩固训练 1．（2024·陕西·模拟预测）将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为（    ） A． B．1 C． D．3 2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面EBC中，若，则该几何体的表面积为 3．（2024·安徽池州·模拟预测）如图所示的“升”是我国古代测量粮食的一种容器，从形状上可抽象成一个正四棱台．现有一个上、下底面边长分别为和的“升”，侧棱长为，要做成一个该“升”的几何体，其侧面所需板材的最小面积为 ． 题型十二 空间几何体体积 例题1：（24-25高三上·北京·期中）中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的“曲池”，其高为,底面，底面扇环所对的圆心角为,长度为长度的3倍，且线段，则该“曲池”的体积为（    ）    A． B． C． D． 例题2：（24-25高三上·江苏·期末）已知四棱锥的底面是平行四边形，点E满足．设三棱锥和四棱锥的体积分别为和，则的值为 ． 例题3：（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）如图，在三棱锥中，为正三角形，E是的中点，.    (1)求证：； (2)若，，二面角的大小为，求三棱锥的体积. 巩固训练 1．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏·阶段练习）若正六棱台的高为6，且，，则该正六棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏南京·期末）一个封闭的正三棱柱容器的高为，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点，，，分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为 . 题型十三 内切球问题 例题1：（24-25高二上·辽宁·期中）某三棱锥的体积为，表面积为，则该三棱锥的内切球的直径为（    ） A． B． C． D． 例题2：（2024·江苏徐州·模拟预测）圆柱与圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥内切球半径为（   ） A． B． C． D． 例题3：（2024·江苏·模拟预测）夹弹珠游戏是儿童特别喜欢的游戏，夹弹珠能有效提高参与者的注意力与协调性，调整逻辑思维判断和空间控制平衡能力，锻炼小肌肉，增强手眼协调，培养敏捷的反应能力，从而提高参与者的适应能力.如图，三个半径都是的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器（不计厚度）中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的表面积（包括容器的内部和外部两部分）是（    ）    A． B． C． D． 巩固训练 1．（2024·安徽安庆·三模）已知圆锥的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津滨海新·二模）如图所示，这是古希腊数学家阿基米德最引以为自豪的发现：圆柱容球定理.圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，在当时并不知道球的面积和体积公式的情况下，阿基米德用穷竭法解决面积问题，用杠杆法解决体积问题.我们来重温这个伟大发现，求圆柱的表面积与球的表面积之比和圆柱体积与球体积之比（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（2024·天津河北·一模）一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的体积为（    ） A．18 B．27 C．36 D．54 题型十四 外接球问题 例题1：（24-25高三上·江苏·期末）已知正四棱锥的底面边长为2，侧面积为，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 例题2：（24-25高三上·江苏南通·期中）已知一个正三棱柱的底面边长为6，高为4，则该正三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 例题3：（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知正四面体的棱长为，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为 ． 巩固训练 1．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知圆台的上底半径为1，下底半径为2，母线长为，则此圆台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏泰州·期末）已知圆锥底面半径为3，体积为，若圆锥底面圆周和顶点都在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河北邯郸·期末）已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 立体几何初步（14题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1：棱柱 （1）棱柱的定义 定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 （2）棱柱的图形 （3）棱柱的分类及表示 ①按棱柱底面边数分类: ②按棱柱侧棱与底面位置关系分类: ③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱 表示法：用各顶点字母表示棱柱，如图棱柱 知识点2：棱锥 （1）棱锥的定义 定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 （2）棱锥的图形 （3）棱锥的分类及表示 按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为： 三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 特别地，三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥 表示法：棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如图棱锥 知识点3：棱台 （1）棱台的定义 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：除上下底面以外的面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 （2）棱台的图形 （3）棱台的分类及表示 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 用各顶点字母表示棱柱，如棱台 知识点4：圆柱 （1）圆柱的定义 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 圆柱的轴：旋转轴 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 （2）圆柱的图形 （3）圆柱的表示 圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱 知识点5：圆锥 （1）圆锥的定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 锥体：棱锥和圆锥统称为锥体 （2）圆锥的图形 （3）圆锥的表示 用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥 知识点6：圆台 （1）圆台的定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台 轴：圆锥的轴 底面：圆锥的底面和截面 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分 台体：棱台和圆台统称为台体 （2）圆台的图形 （3）圆台的表示 用表示它的轴的字母表示，如图，圆台 知识点7：空间几何体的直观图 （1）空间几何体的直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形. 直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形. （2）水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法） （1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或） （2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段. （3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半. （4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图. 方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有. 知识点8：空间几何体的直观图的绘制方法 （1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点, 画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点, 且使”(或）, 它们确定的平面表示水平面； （2）画底面. 已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段； （3）画侧棱. 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半； （4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图. 知识点9：斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 知识点10：棱柱、棱锥、棱台的表面积 （1）正方体、长方体的表面积 正方体、长方体的表面积就是各个面的面积的和 长、宽、高分别为的长方体的表面积： 棱长为的正方体的表面积： . （2）棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图 棱柱的侧面展开图为平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长.如图: 棱锥的侧面展开图由若干个三角形拼成如图 棱台的侧面展开图由若干个梯形拼成如图 （3）棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱的表面积： 棱锥的表面积： 棱台的表面积： 知识点11：棱柱、棱锥、棱台的体积 （1）棱柱的体积 ①棱柱的高：柱体的两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长. ②棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即. （2）棱锥的体积 ①棱锥的高：锥体的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长. ②棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即理解. （3）棱台的体积 ①棱台的高：台体的两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，此点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长 ②棱台的体积：(,分别为上下底面面积，为台体的高) 知识点12：圆柱、圆锥、圆台的表面积 （1）圆柱的表面积 ①圆柱的侧面积： 圆柱的侧面展开图是一个矩形.圆柱的底面半径为,母线长为,那么这个矩形的一边长为圆柱的底面周长，另一边长为圆柱的母线长，故圆柱的侧面积为. ②圆柱的表面积： . （2）圆锥的表面积 ①圆锥的侧面积： 圆锥的侧面展开图是一个扇形.圆锥的底面半径为,母线长为,那么这个扇形的弧长为圆锥的底面周长，半径为圆锥的母线长，故圆锥的侧面积为 ②圆锥的表面积： （3）圆台的表面积 ①圆台的侧面积： 圆台的侧面展开图是一个扇环.圆台的上底面半径为,下底面半径为,母线长为,故圆台的侧面积为 ②圆台的表面积： 知识点13：圆柱、圆锥、圆台的体积 （1）圆柱的体积： （2）圆锥的体积： （3）圆台的体积： 知识点14：球的表面积和体积 （1）球的表面积： （2）球的体积: 知识点15：异面直线 （1）异面直线的概念 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 （2）异面直线的画法 画异面直线时,为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托 （3）异面直线的判定 ①定义法 ②两直线既不平行也不相交 知识点16：直线与平面平行 (1)直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号表述： 图形语言 直线与平面的平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关系(平面问题) 即 线线平行 线面平行 (2)直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 符号表述：，， 简记：线线平行 线面平行 注意：①定理中三个条件缺一不可 ②简记：线面平行，则线线平行 ③定理的作用：判断直线与直线平行的重要依据 ④定理的关键：寻找平面与平面的交线 知识点17：平面与平面平行的判定定理 （1）两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.（定理简述：线面平行，则面面平行。） （2）符号语言 （3）图形语言 （4）定理应用 线线平行面面平行 知识点18：平面与平面平行的性质定理 （1）平面与平面平行的性质定理 两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. （2）符号语言 （3）图形语言 （4）定理应用 面面平行线线平行 知识点19：异面直线所成角的概念 已知两条异面直线，，经过空间任一点分别作直线，，我们把直线与所成的 角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角） 知识点20：异面直线所成角的范围 由异面直线所成角的定义得，异面直线所成的角是锐角或直角，即. 注意：①异面直线所成角的大小不能是，若两条直线所成角是，则这两条直线平行，不可能异面.②空间两直线所成的角的范围是. 知识点21：直线与平面垂直 （1）定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足. （2）符号语言：对于任意，都有. （3）图形语言： （4）应用：①若直线与平面垂直，则这条直线与这个平面内的所有直线都垂直，从而可判断直线与平面内的直线互相垂直，即“若,,则”,简述为“若线面垂直，则线线垂直”因此直线与平面垂直的定义不仅是直线与平面垂直的判定方法，也是证明直线与直线垂直的重要且常用的方法. ②重要结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；过一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 知识点22：直线与平面垂直的判定定理 （1）直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 简记：线线垂直线面垂直 （2）符号语言：，，，， （3）图形语言：如图 知识点23：直线与平面所成角 （1）直线与平面所成角的定义 如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. （2）说明：①为斜线 ②与的交点为斜足 ③直线为在平面上的射影 ④直线与射影所成角(角)为直线与平面上所成角 ⑤当直线与平面垂直时：；当直线与平面平行或在平面内时： ⑥直线与平面所成角取值范围：. （3）直线与平面所成角的求解步骤 ①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键； ②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义； ③算：一般借助三角形的相关知识计算. 知识点24：二面角 （1）二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面． （2）符号语言： ①二面角. ②在,内分别取两点，(,),可记作二面角; ③当棱记作时，可记作二面角或者二面角. 知识点25：二面角的平面角 （1）定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直与直线的射线,,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角. （2）说明： ①二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度； ②二面角的大小与垂足在上的位置无关一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的； ③构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可，前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性，后一个要素表明平面角所在的平面与棱垂直； ④二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，；当两个半平面合成一个平面时， ⑤当两个半平面垂直时，，此时的二面角称为直二面角. 知识点26：二面角的平面角求法 （1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角. （2）三垂线定理及其逆定理 ①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角. (3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角. (4)转化法：化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角（或其补角）. (5)向量法：用空间向量求平面间夹角的方法（该方法我们将在选择性必修第一册中学到). 知识点27：平面与平面垂直 （1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. （2）符号语言: （3）图形语言 知识点28：平面与平面垂直的判定定理 （1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直) （2）符号（图形）语言:， （3）应用：线面垂直面面垂直. 知识点29： 平面与平面垂直的性质定理 （1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)符号（图形）语言：，， . (3)应用：①面面垂直线面垂直 ②作平面的垂线. 03 题型归纳 题型一棱柱、棱锥、棱台、旋转体的结构特征 例题1：（多选）（23-24高一下·江苏连云港·期中）下列说法中正确的是（    ） A．直四棱柱是长方体 B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．棱台的侧面是等腰梯形 【答案】BC 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类 【分析】利用直四棱柱的定义可以判断A，由棱柱的定义可判断B，利用正棱锥的定义可以判断C，利用正棱台的定义可以判断D. 【详解】对于选项A，长方体为底面为长方形的直四棱柱，故A错误； 对于选项B，由棱柱的定义可知，上下底面全等且平行，所以侧面都是平行四边形，故B正确； 对于选项C，根据正棱锥定义，底面为正多边形，侧棱都相等，所以侧面是全等的等腰三角形，故C正确； 对于选项D，若棱台为正棱台，则侧面都是等腰梯形，故D错误； 故选：BC. 例题2：（多选）（23-24高一下·江苏无锡）下列说法正确的是（    ） A．棱柱的侧棱长都相等 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．棱台的侧面是等腰梯形 D．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面 【答案】ABD 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、球的结构特征辨析 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台和球的几何结构特征，逐项判定，即可求解. 【详解】由棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，所以棱柱的侧棱长都相等，所以A正确； 由棱锥的所有侧面均为交于一点的三角形，底面为多边形，所以有一个面是四边形的棱锥一定是四棱锥，B正确； 根据棱台的定义，棱台的各个侧面都是梯形，棱台的侧棱长可能不相等，所以C不正确； 根据球的截面的性质，可得用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面，所以D正确. 故选：ABD. 例题3：（2024高一·江苏·专题练习）下列关于棱锥、棱台的说法： ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； ②棱台的侧面一定不会是平行四边形； ③棱锥的侧面只能是三角形； ④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确的序号是 ． 【答案】②③④ 【知识点】棱锥的结构特征和分类、判断几何体是否为棱锥、棱台的结构特征和分类、判断几何体是否为棱台 【分析】根据棱锥和棱台的定义、结构特征依次判断命题即可求解. 【详解】①：若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥， 棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，故①错误； ②：棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，故②正确； ③：由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形，故③正确； ④：由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥，故④正确； ⑤：如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥，故⑤错误； 故答案为：②③④. 巩固训练 1．（多选）（2024高一·江苏·专题练习）（多选）下列说法中，正确的是（　　） A．棱锥的各个侧面都是三角形 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥 C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 D．棱锥的各侧棱长相等 【答案】AC 【知识点】棱锥的结构特征和分类 【分析】 根据棱锥的结构特征，结合选项依次判断即可. 【详解】 A：由棱锥的定义知，棱锥的各侧面都是三角形，故A正确； B：有一个面是多边形，其余各面都是三角形， 如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故B错误； C：四面体就是由4个三角形所围成的封闭几何体， 因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故C正确； D：棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故D错误． 故选：AC 2．（多选）（2024高一·江苏·专题练习）（多选）下列说法正确的是（　　） A．圆柱的底面是圆面 B．经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面 C．圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交 D．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体 【答案】AB 【知识点】圆柱的结构特征辨析、圆台的结构特征辨析、柱、锥、台体的轴截面 【分析】根据圆柱和圆台的结构特征，依次判断选项即可. 【详解】A：圆柱的底面是圆面，故A正确； B：如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面，故B正确； C：圆台的母线延长相交于一点，故C错误； D：圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故D错误.    故选：AB 3．（2024高一·全国·专题练习）下列说法正确的是 .（填序号） ①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥； ④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面． 【答案】③④ 【知识点】圆柱的结构特征辨析、圆锥的结构特征辨析、圆台的结构特征辨析、球的结构特征辨析 【分析】利用圆锥、圆柱、圆台的结构特征逐一判断，可得出结果. 【详解】对于①，以直角梯形直角腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台， 以直角梯形的斜腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体不是圆台，①错； 对于②，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，②错； 对于③，以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥，③对； 对于④，用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面，④对. 故答案为：③④. 题型二 空间几何体展开图及最短距离问题　 例题1：（23-24高一下·江苏无锡·期中）半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M，N分别在线段，上，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】棱锥的展开图、组合体表面两点间的最短路径 【分析】将几何体展开为平面图形，利用两点之间线段最短求的最小值. 【详解】将该半正多面体展开为平面，且在线段两侧（两线段在两点之间），如下图所示，      由半正多面体中，棱长为2，得，， 且，故， 所以，当且仅当在展开图中共线时等号成立. 故选：D. 【点睛】方法点睛： 空间图形求表面上折线段之和最小值时，关键是弄清几何体中的有关点、线在展开图中的相应位置关系，解决的方法就是把各侧面展开铺在平面上，根据“平面内连结两点的线段最短”的方法来解决. 例题2：（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为 .    【答案】 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】沿着正三棱柱的侧棱剪开，把侧面展成一个平面图形，得到一个矩形，结合矩形的对角线长，即可求解. 【详解】如图所示，沿着正三棱柱的侧棱剪开， 把正三棱柱的侧面展成一个平面图形，可得一个长为，宽为一个矩形， 可矩形的对角线长为，即最短路线的长为. 故答案为：.    例题3：（24-25高二上·安徽池州·阶段练习）如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 . 【答案】 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥侧面展开图的问题，转化为平面上两点的距离问题即可. 【详解】解：由题意得： 圆锥的底面周长是，则，解得： 可知圆锥侧面展开图的圆心角是，如图所示： 则圆锥的侧面展开图中：，， 所以在圆锥侧面展开图中： 故答案为： 巩固训练 1．（23-24高一下·宁夏银川）如图，已知圆锥的母线长为2，底面半径为，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面爬行一周返回A点，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【知识点】弧长的有关计算、余弦定理解三角形、圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】利用圆锥展开图得出蚂蚁爬行的最短距离，结合圆心角公式及余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知，圆锥的母线长为2，底面半径为， 所以圆锥底面周长为， 所以圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为，如图所示 在中，， 由余弦定理可知，， 所以, 所以蚂蚁爬行的最短距离为. 故选：C. 2．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，某圆柱的高为，底面圆的半径为，则在此圆柱侧面上，从圆柱的左下点A到右上点B的路径中，最短路径的长度为 ． 【答案】/ 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】将圆柱侧面展开，则最短路径的长度为线段，根据勾股定理即可得解. 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开， ， 则在圆柱侧面的展开图上，最短路径的长度为． 故答案为：. 3．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知圆台上下底面半径分别为，，母线长为，圆台的轴截面如图所示，为的中点，则从点沿圆台的侧面到点的最短路径长是 ．    【答案】5 【知识点】圆台的展开图 【分析】求出侧面扇环圆心角，画出圆台侧面展开图，利用勾股定理可得答案. 【详解】圆台上下底面半径分别为，，母线长为， 则圆台侧面扇环圆心角为， 圆台侧面展开图如图示，    在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为． 由题意可得A是FB的中点，因为， 所以．由为中点，可得， 所以． 故答案为：5 题型三 空间几何体截面有关的计算 例题1：（24-25高二上·北京·期中）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（1）（5） 【答案】D 【知识点】圆柱轴截面的有关计算、圆锥中截面的有关计算 【分析】该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为（1），不过上、下底的中心时截面图形为（5）. 【详解】当该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为（1）； 当不过上、下底的中心时，截面图形为（5）. 所以只有（1）、（5）正确. 故选：D. 例题2：（2024·河南濮阳·模拟预测）某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【知识点】圆锥中截面的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】由题意先计算出母线长，再求出底面半径，从而可求出圆锥的高，进而可求出轴截面的面积 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形， 所以，解得， 因为，所以，得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的轴截面的面积是， 故选：C. 例题3：（2024高一·江苏·专题练习）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，.过点A作与棱PC垂直的平面α，则四棱锥P﹣ABCD截平面α所得截面的面积为 . 【答案】 【知识点】棱锥中截面的有关计算 【分析】作AM⊥PC，垂足为M，作MH⊥PC，交于，可得平面，设平面与交于，则MF⊥PC，从而点四点共面，故平面AFMH即为平面α， 然后利用等面积法求出AM的长度，再利用比例关系求出FH的长度，求解截面的面积即可. 【详解】作AM⊥PC，垂足为M，作MH⊥PC，交于， 又，所以平面， 设平面与交于，则MF⊥PC， 所以平面AFMH即为平面α， 底面ABCD是边长为1的正方形， 所以，PA⊥底面ABCD，， 所以， 由等面积法可得， 解得，由对称性可得到FHBD， 在△PAC中，，所以， 又，CD=1， 所以PC2=PD2+DC2，故∠PDC=90°， 在△PDC中，， 所以， 所以， 在△PBD中，，所以， 所以棱锥P﹣ABCD截平面α所得截面的面积为. 故答案为： 【点睛】在解有关空间几何体的截面问题时，先确定截面，再利用空间几何体的性质、等面积法，结合题意中相关量的关系解出答案. 巩固训练 1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知四棱锥中，平面，四边形为正方形，，平面过，，的中点，则平面截四棱锥所得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】棱锥中截面的有关计算 【分析】顺次连接E，F，G，H，I，则平面EFGHI即为过E，F，H的平面截四棱锥P-ABCD所得截面，求其面积，可得答案. 【详解】分别取，，，的中点，，，，线段上靠近的四等分点， 连接, 因为, 所以,四边形是平行四边形，即四点共面， 设中点为,易得,故，所以五点共面， 则平面即为平面，如图， 在中，,可得, 所以，，， 在等腰三角形中，，，所以高为， 故所求截面面积为矩形面积与三角形面积之和，． 故选：A 【点睛】关键点点睛：分别取，，，的中点，，，，线段上靠近的四等分点作出并证明平面即为平面是解题的关键，属于中档题. 2．（24-25高二上·上海普陀·阶段练习）已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆锥的结构特征辨析、圆锥中截面的有关计算 【分析】依据题意作出圆锥的轴截面，再分析其轴截面三角形的顶角是否大于等于，结合三角函数即可得解. 【详解】 如图，是圆锥的轴截面，设圆锥的底面圆半径为. 若,所得截面面积最大值为,则,故不符合题意； 若，此时所得截面面积得最大值为，符合题意， 此时有，解得，又，则. 故选：D. 3．（23-24高一下·江苏南京）已知正方体棱长为2，为棱中点，过，，三点的平面截正方体，所得截面面积为 ． 【答案】 【知识点】判断正方体的截面形状 【分析】根据线线平行，即可求解截面四边形为等腰梯形，由梯形面积即可求解. 【详解】取的中点为,连接,则,又,故,则梯形梯形即为截面四边形， 由于,, 所以梯形为等腰梯形，则高为, 所以面积为， 故答案为：    题型四 直观图中有关的计算　 例题1：（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知一个水平放置的四边形ABCD，用斜二测画法画出它的直观图是一个底角为45º，上底长为1，下底长为2的等腰梯形，则四边形ABCD的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据题意求直观图等腰梯形的面积，结合原图与直观图之间的关系运算求解即可. 【详解】由题意可知：等腰梯形的高为， 可得等腰梯形的面积为， 所以四边形ABCD的面积为. 故选：A. 例题2：（23-24高一下·江苏南京·期中）如图是水平放置的的直观图，是中边的中点，三条线段对应原图形中的线段，那么（    ） A．最短的是 B．最短的是 C．最短的是 D．无法确定谁最短 【答案】C 【知识点】斜二测画法辨析 【分析】利用斜二测画法规则，结合给定的图形分析判断得解. 【详解】依题意，轴，轴，是的中点， 由斜二测画法规则知，在原图形中应有，且为边上的中线， 因此为等腰三角形，为边上的高，所以相等且最长，最短. 故选：C 例题3：（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形周长是 ． 【答案】 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】由直观图还原为原图，分别求得边长从而得到周长. 【详解】如图所示， 在直观图中，设与交于点，则，，， 在原图形中，，，，， 所以原图形的周长是． 故答案为：． 巩固训练 1．（2024高一下·江苏·专题练习）如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（    ） A． B．8 C．6 D． 【答案】B 【知识点】由直观图还原几何图形 【分析】利用斜二测画法的知识结合平面图形的周长求解. 【详解】根据斜二测画法得出原图形四边形的性质，然后可计算周长． 由题意， 所以原平面图形四边形中，，，， 所以， 所以四边形的周长为：． 故选：B． 2．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是 ． 【答案】 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据直观图中的位置关系以及线段长度还原出原图形，即可计算出面积. 【详解】易知， 所以原图形中，且，如下图所示： 因此其面积为. 故答案为： 3．（23-24高一下·江苏淮安·期中）如图，是水平放置的的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且的面积为12，则的长度为 .    【答案】2 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】设根据直观图得和分别在以为原点的平面直角坐标的x和y轴上且得、即可由的面积求出，即求出. 【详解】因为、均在坐标轴上，设， 所以由图和分别在以为原点的平面直角坐标的x和y轴上， 且、， 所以， 所以. 故答案为：2. 题型五 证明三线共点或三点共线问题　 例题1：（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的点共线问题 【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行线的性质，结合基本事实进行证明即可； （2）根据面面交成线进行证明即可. 【详解】（1）因为、分别是、的中点， 所以， 又因为、分别在、上，且． 所以，于是有， 所以、、、四点共面； （2）∵EG与HF交于点P， ∴P在面ABC内， 同理P在面DAC内. 又∵面面， ∴P在直线AC上，∴P、A、C三点共线． 例题2：（23-24高二上·四川乐山·期末）如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且 (1)求证：四点共面； (2)设与交于点，求证：三点共线. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的点共线问题 【分析】（1）根据题意，利用中位线定理和线段成比例，先证明，进而证明问题； （2）先证明平面，平面，进而证明点P在两个平面的交线上，然后证得结论. 【详解】（1）连接分别是的中点，.在中，.所以四点共面. （2），所以， 又平面平面， 同理：，平面平面， 为平面与平面的一个公共点. 又平面平面，即三点共线. 例题3：（23-24高一上·内蒙古乌兰察布·阶段练习） 如图，已知空间四边形，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足. 求证： (1)，，，四点共面； (2)，，三线共点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】平行公理、空间中的点（线）共面问题、空间中的线共点问题 【分析】（1）根据利用三角形的中位线平行于第三边，平行线分线段成比例，得到分别平行于和，利用平行线的传递性，即可得到，即可证明四点共面； （2）利用分别在两个平面内的点在两个平面的交线上，即可证得三线共点. 【详解】（1）因为，分别为，的中点， 所以. 又因为， 所以. 所以， 所以E，F，G，H四点在同一平面内， 即E，F，G，H四点共面． （2）因为E，F分别为AB，BC的中点，所以，. 由题意知＝，，，所以四边形为梯形，直线和必相交，设交点为M， 即， 因为平面， 所以点平面， 同理可得点平面. 又因为平面平面， 所以点直线， 所以直线，，三线共点． 巩固训练 1．（24-25高一·湖南·课后作业）如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点．求证： (1)，O，M三点共线； (2)E，C，，F四点共面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的点共线问题 【分析】（1）由题意得平面，又可证平面，根据基本事实，即可得证 （2）根据平行的传递性，可证，根据基本事实的推论，即可得证. 【详解】（1）由题意得平面， 又，平面， 所以平面， 由基本事实3可得，点在平面和平面的交线上， 所以三点共线 （2）连接EF、、， 因为E、F分别为AB、的中点， 所以， 又正方体， 所以， 所以， 因为两平行直线可确定一个平面， 所以E，C，，F四点共面. 2．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如图，在三棱柱ABC-中，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点. (1)求证：E，F，C1，四点共面； (2)求证：A1E，F，B交于一点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的线共点问题 【分析】（1）连接EF，根据E，F分别为AB，BC的中点，得到，再根据三棱柱的性质证明即可； （2）由（1）得且E，F，，四点共面，得到与必相交，设，再证明即可. 【详解】（1）证明：如图， 连接EF， ∵E，F分别为AB，BC的中点， ∴.. 又在三棱柱中，， ∴. 则E，F，，四点共面. （2）由（1）得且E，F，，四点共面， 则与必相交. 设. ∵平面，∴P∈平面. ∵⊂平面，∴P∈平面.. 又平面∩平面 ∴. 则，，交于一点. 3．（23-24高二上·上海虹口·阶段练习）如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的点共线问题、空间中的线共点问题 【分析】（1）证明，即可说明、、、四点共面. （2）先证明点面和面，即点在面与面的交线上在证明面 面 ，即点，即可得到答案. （3）延长交于,由于面 面，则在交线上. 【详解】（1）连接 在长方体中 、分别是和的中点 、、、四点共面 （2） 确定一个平面 面 面 对角线与平面交于点 面 在面与面的交线上 面且面 面 面 即点共线. （3）延长交于 面 面 面 面 面 面 、、三线共点. 题型六 直线与平面位置关系的证明　 例题1：（江西省景德镇市2024-2025学年高二上学期1月期末质量检测数学试卷）如图，在四棱锥中，平面，分别为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）连接，设，连接，证明，由线线平行即可证得线面平行； （2）由（1）已得，结合，可得菱形，即得，再由平面易得，最后由线线垂直推出线面垂直即可. 【详解】（1） 如图，连接，设，连接. 因，，可得，则， 又，则得， 因平面，平面， 故平面. （2）由（1）已得，因，故四边形为菱形，则， 因平面平面则， 又平面，故平面. 例题2：（2024高三·全国·专题练习）如图，已知等腰梯形中，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【知识点】证明线面垂直、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】（1）作辅助线得到四边形是菱形，则，可证出平面，再证四边形是平行四边形，即可证结论； （2）假设线段上存在点，使平面，作辅助线得到四点共面，且四边形为平行四边形，则，即是的中点，即可求结果. 【详解】（1）如图，在梯形ABCD中，连接DE，而E是BC的中点， 所以，又， 所以，又， 所以四边形是平行四边形， 因为，所以四边形是菱形，从而， 沿着AE翻折成后，有， 又平面， 所以平面， 由题意，易知， 所以四边形是平行四边形，故， 所以平面. （2）假设线段上存在点，使得平面， 过点作交于，连接，如图所示： 所以，则四点共面， 又平面，面面，所以， 所以四边形为平行四边形，故，所以是的中点， 故在线段上存在点，使得平面，且. 例题3：（24-25高二上·北京·期中）如图，三棱柱中，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若点在线段上，且平面，求证：点为中点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行 【分析】（1）取的中点，构造平行四边形，可得，根据判定定理即可得证； （2）分别取的中点，构造过点且与平面平行的平面，可得，即可得证. 【详解】（1） 证明：取的中点，连接，在三棱柱中， 因为分别为的中点，则，且，为的中点， 则，且，则且， 则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面. （2） 证明：分别取的中点，连接， 设，则，且， 则则四点共面， 因为，又平面，平面 则平面，又平面，平面， 则平面，又， 则平面平面，又平面， 则平面，又平面平面， 平面平面，则， 又为的中点，则为的中点. 巩固训练 1．（24-25高二上·上海宝山·期末）如图，在棱长为1的正方体中，及分别为棱和的中点． (1)求证：平面； (2)若为棱的中点，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）利用中位线定理与线面平行的判定定理即可得证； （2）利用线面垂直的性质与判定定理即可得解. 【详解】（1）在正方体中，E，F，G分别为棱和的中点， ，且，则四边形是平行四边形，， 而平面平面DEG，所以平面DEG. （2）在正方体中，平面，面，则， 由是正方形边的中点，得，则， 为棱的中点，在正方形中，， 则，即，则， 又平面DEG，所以平面DEG. 2．（24-25高二上·江苏南通·期中）如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是直角三角形，，点分别在上，且． (1)证明：平面； (2)若平面，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、线面平行的性质 【分析】（1）由题意可得，结合，可证结论； （2）确定唯一平面，设平面，连接，进而可得，四边形是平行四边形，从而可求. 【详解】（1）因为侧棱底面，底面，所以， 又，，平面， 所以平面； （2）因为，所以确定唯一平面， 设平面，连接， 因为平面，所以， 又因为，底面，底面，所以底面， 又平面，平面底面， 所以，所以，所以， 又因为，，所以四边形是平行四边形，所以， 所以，所以. 3．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知直三棱柱，F为BC中点，，与交于点 (1)求证：平面 (2)若是等边三角形且，求证：平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）连接，利用相似比相等可证得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）根据线面垂直的性质可得，由线面垂直的判定定理与性质可得，由三角形的性质可得，结合线面垂直的判定定理即可证明. 【详解】（1）连接，且， 又在中，， ， 又平面，平面， 平面 （2）因为直三棱柱， 平面ABC，又平面ABC， ， 又是等边三角形，F为BC中点， ，又，BC，平面， 平面，又平面， 在中，，， 在中，，， ， ，即， 又，，，平面， 平面 题型七 平面与平面位置关系的证明 例题1：（24-25高二上·四川达州·期中）三棱柱中，底面，且各棱长均相等，为的中点．F为AB的中点.    (1)证明：平面平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】面面垂直证线面垂直、证明面面垂直、证明面面平行 【分析】（1）根据面面平行的判断定理，转化为证明两组线面平行； （2）根据面面垂直的判断定理转化为证明线面垂直，即可证明平面. 【详解】（1）如图，连结， 因为点分别是和的中点，所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，且平面，平面， 所以平面， 因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 且平面，平面， 所以平面，且，平面 所以平面平面    （2）因为平面，且平面， 所以平面平面，平面平面， 因为是等边三角形，且点是的中点， 所以，且平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面. 例题2：（24-25高二上·北京石景山·期末）如图，在三棱柱中，底面，底面为等边三角形，分别为的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、证明面面垂直 【分析】（1）利用作图并证明平行四边形，从而可证线线平行，再利用线面平行的判定定理即可； （2）先证明平面，再利用平行关系，可得平面，再由面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】（1）    如图：取的中点，连结，由于分别为的中点． 所以，而，所以有， 又因为， 所以四边形是平行四边形， 故，又因为平面，平面， 所以平面； （2）底面为等边三角形，分别为的中点．可得， 又因为底面， 底面，所以， 又因为，平面， 所以平面，又因为， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面． 例题3：（2024高三·全国·专题练习）如图，正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面平面 (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【知识点】面面垂直证线面垂直、证明面面垂直 【分析】（1）根据线面垂直、面面垂直的判定定理可证平面平面； （2）在平面内过点作交于点，根据面面垂直的性质定理可得平面，根据相似可得. 【详解】（1）在正三棱柱中，因为点为的中点， 则， 又平面，平面， 则有， 而，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， （2）在平面内过点作交于点， 因为平面平面，平面， 所以平面，则点即为所要找的点， 如下图所示，因为，， 所以与相似， 因此， 即有，于是，，所以. 巩固训练 1．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且. (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明面面平行、证明线面平行 【分析】（1）利用三角形中位线证明，可证平面. （2）证明，，可证得平面，平面，所以平面平面. 【详解】（1）连接，正四棱锥中，为底面中心，则为中点， 又为的中点，则有， 平面，平面，所以平面. （2），分别为，的中点，则有， 平面，平面，则有平面， ，分别为，的中点，有， 又，则有， 平面，平面，则有平面， 平面，， 所以平面平面. 2．（23-24高一下·山西）如图，PA⊥平面ABC，AB为圆O的直径，E，F分别为棱PC，PB的中点． (1)证明：EF平面ABC． (2)证明：平面EFA⊥平面PAC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明面面垂直、证明线面垂直、证明线面平行 【分析】（1）利用中位线定理得到EFBC，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）由AB为圆O的直径，得到BC⊥AC，再利用线面垂直得到BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC，结合（1）中，所以EF⊥平面PAC，得到面面垂直. 【详解】（1）因为E，F分别为棱PC，PB的中点，所以EFBC， 因为平面ABC，平面ABC， 所以EF平面ABC； （2）因为AB为圆O的直径，所以BC⊥AC． 因为PA⊥平面ABC，平面ABC，所以BC⊥PA， 又，PA，平面PAC，所以BC⊥平面PAC， 由（1）知，所以EF⊥平面PAC，又平面EFA， 所以平面EFA⊥平面PAC． 3．（23-24高二上·四川德阳）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，为的中心，，，是的中点，与交于点． (1)证明：平面． (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【知识点】证明线面平行、证明面面垂直 【分析】（1）取的中点，连接，由已知证得四边形是平行四边形，再由线面平行的判定即可证得平面； （2）由已知可得，可得，又，可得平面，则平面，又平面，所以平面平面． 【详解】（1） 取的中点，连接， 因为三棱柱的底面是正三角形，是的中点， 所以，， 为的中心， 在上，且 又，， 又与交于点，， ， 四边形是平行四边形，， 又平面， 平面． （2）由（1）知平面即为平面， 三棱柱的底面是正三角形，， 所以，则， 又分别是的中点， 所以，则， 又，平面， 所以平面， 又，所以平面， 又平面， 所以平面平面． 题型八 异面直线所成角 例题1：（23-24高一下·江苏无锡·期中）正方体中，为的中点，则直线与直线所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、求异面直线所成的角 【分析】利用正方体的性质，通过平行至相交直线所成角，再利用余弦定理即可求解. 【详解】 如图，设为底面中心，为上底面中心，易得， 所以异面直线与所成的角就是或其补角， 设正方体的棱长为，可得，，， 由余弦定理得：， 所以，异面直线与所成的角是， 故选：C. 例题2：（23-24高一下·江苏镇江·期末）正方体中，，分别为棱，中点，则与所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】由题意画出图形，数形结合可得答案. 【详解】如图，连接，，， 因为，分别为棱，中点，所以，所以为与所成角，因为在正方体中，， 所以为等边三角形，所以， 故选：C 例题3：（23-24高二下·江苏徐州·期中）在三棱锥中，、、分别是、、的中点，，则和所成角的度数为 ． 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】由中位线的性质可得，，再利用异面直线所成角的定义即可得. 【详解】、分别为、的中点，则，同理可得， ，因此，和所成角为的补角，即为. 故答案为：. 巩固训练 1．（23-24高一下·江苏泰州·期末）在正方体中，与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】根据异面直线的定义，转化为相交直线所成的角，即可求解. 【详解】因为，所以异面直线与所成的角就是与所成的角，即或其补角， 是等边三角形，， 所以异面直线与所成的角为. 故选：B 2．（24-25高二上·江苏南通·期中）在正四面体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】取的中点，连接，则与所成的角为异面直线与所成角，结合余弦定理可求得结果. 【详解】取的中点，连接如图所示： ， 因为点分别是的中点，所以， 即与所成的角为异面直线与所成角， 设正四面体的棱长为， 则， 在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 故答案为：. 3．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，若，则异面直线，所成角为 ． 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】取的中点，利用异面直线所成角的定义求解即得. 【详解】在四面体中，取的中点，连接， 由M、N分别为，的中点，得， 则是异面直线AC与BD所成的角或其补角， 显然，而，有， 于是， 所以异面直线AC与BD所成的角是. 故答案为： 题型九 线面角问题 例题1：（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）在四面体中，平面，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求线面角、余弦定理解三角形 【分析】用解三角形建立四面体中边角关系得到方程组，从而解出，再由线面角的定义得出本题答案. 【详解】设，， 则， 则， 由②③可得代入①得 ， ∵，∴，∴， ∵平面，∴则直线与平面所成角为. ∴ 故选：A 例题2：（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，点M，N分别在，上，且，．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、求线面角 【分析】（1）分析题意，利用线面垂直的判定定理求解即可. （2）利用线面垂直找到线面角，放到三角形中求解正弦值，再求角度即可. 【详解】（1）    如图，连接，∵，且， ，∴， 又因为直三棱柱，所以， 所以面，故， 所以四边形是平行四边形， 而，所以平行四边形是菱形， 因为，所以菱形是正方形，∴． ∵，，，面 ∴平面，∵平面，∴， 又∵，面，∴平面． （2）连接，由（1）知平面， ∴是直线与平面所成角． 由勾股定理得，， 则，∴， 故直线与平面所成角为． 例题3：（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）如图，在四棱锥中，侧棱底面，四边形为正方形，且，点为棱的中点，点为棱上一点. (1)若点为中点，求证：平面； (2)若点满足， （i）求证：； （ii）求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析；（ii） 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求线面角 【分析】（1）根据条件可得，从而证得平面；（2）（i）首先证明平面PBC，从而证明平面DEF，即可得到；（ii）由（i）可知即为直线与平面所成的角，根据边长关系求出即可得到答案. 【详解】（1）中，点，分别为棱，的中点， ∴ 又四边形是正方形，∴， ∴， 又平面，平面， ∴平面. （2）（i）在四棱锥中， 平面，四边形为正方形, ,, ,平面，平面， 平面 平面 在中，，为中点 ，，平面，平面 平面 平面 又，，平面，平面 平面，又平面 . （ii）由（i）可知即为直线与平面所成的角， 在中，，，则 又，∴， ∴ 故直线与平面所成的角的正切值为 巩固训练 1．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）如图，四边形是矩形，，，平面，，.点为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求和平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求线面角、证明线面垂直、证明线面平行 【分析】（1）连接交于，证明，根据线面平行判定定理证明结论； （2）根据线面垂直判定定理证明平面，结合线面角定义确定和平面所成的角，解三角形求解即可. 【详解】（1）连接交于，连接，因为为、的中点， 所以为的中位线； 所以，而平面，平面， 故平面；                                             （2）因为平面，平面，所以， 又由，而，平面， 故平面； 故即为和平面所成的角. 由已知，，， 在直角三角形中，可得， 所以和平面所成角的正弦值为. 2．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，棱长为a的正方体中，分别是上的点，． (1)求B点到平面的距离； (2)求与平面所成角的余弦值．（请不用空间向量法，用空间向量法不得分） 【答案】(1) (2) 【知识点】求线面角、求点面距离、证明线面垂直 【分析】（1）首先证明平面，再根据点到平面的距离定义求解； （2）首先利用平行关系转化，在根据（1）的垂直关系，求线面角，即可求解. 【详解】（1）连结，，交于点， 因为平面，平面，所以， ，，且平面 所以平面， 所以点到平面的距离为； （2）在上取点，连结，使，且， 所以，且，又，且, 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以与平面所成角为与平面所成角, 由（1）知，平面，所以为所求角， ，， 所以，， 所以与平面所成角的余弦值为. 3．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）在四棱锥中，底面是矩形，平面． (1)求证：平面 (2)若，试求与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）由，，根据线面垂直的判定定理可证； （2）因为平面，所以为与平面所成角，求解即可. 【详解】（1）因为底面是矩形，则， 又平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面； （2）设，则， 因为平面，所以为与平面所成角， . 题型十　二面角问题 例题1：（24-25高三上·江苏泰州·期中）在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上，且． (1)证明：平面； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、求二面角 【分析】（1）可得为中位线，从而，根据线面平行的判断定理可得平面； （2）根据空间垂直关系的转化可得，利用解三角形可求二面角的大小。 【详解】（1） 连接，在菱形中，， 故，而底面， 平面，故，而，故，\ 同理，. 因为，而，故，而， 故，而平面，平面， 故平面. （2）由（1）中可得且. 由菱形可得，而底面，平面， 故，而，平面， 故平面，而平面，故， 故为二面角的平面角， 由（1）可得，而，为等腰三角形， 故，而为三角形内角， 故即二面角的平面角为. 例题2：（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）如图，在三棱台中，和都为等腰直角三角形，，为线段的中点，为线段上的点，且平面． (1)求证：点为线段的中点； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【知识点】线面平行的性质、线面垂直证明线线垂直、求二面角、证明线面垂直 【分析】（1）利用线面平行的性质，结合三角形中位线的性质推理得证. （2）根据给定条件，结合线面垂直的判定性质，作出二面角的平面角，再在直角三角形中计算即可. 【详解】（1）连接，设，连接， 由平面平面，平面平面，得， 三棱台中，有，又为线段的中点，则， 于是四边形为平行四边形．即是的中点，所以点是的中点． （2）过点作交于，连接， 由，得， 由（1）知，，则，又平面， 于是平面，而平面，则， 又三角形为等腰直角三角形，为斜边的中点，即，且， 而平面，因此平面， 由平面，得， 由平面，得平面，则， 于是为二面角的平面角， 在中，，， 在中，，， 从而， 所以二面角的余弦值为. 例题3：（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）如图，在长方体中，，点是的中点. (1)证明：； (2)在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求，若不存在，说明理由； (3)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，； (3). 【知识点】证明线面平行、补全线面平行的条件、求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）连接，利用线面垂直的判定、性质推理即得. （2）为的中点，取的中点，利用线面平行的判定推理即得. （3）连接，利用线面垂直的判定性质及二面角的定义求出二面角的正切值即可. 【详解】（1）在长方体中，连接交于点O，则O为的中点，如图，    由四边形是正方形，得， 由平面，平面，得， 而平面，，因此平面， 又平面，所以. （2）存在一点满足时，使得平面 ，    当点满足，即为的中点，取的中点，连接， 在中，为中点，则， 在长方体中，是的中点， 则且， 于是 且，四边形 为，则， 又平面，平面，所以平面. （3）连接，由为矩形边的中点，得， ，则， 由平面，平面，得， 而平面，于是平面，又平面， 因此，是二面角的平面角，， 而二面角的大小为，所以二面角的正切值为. 巩固训练 1．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，是的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【知识点】求二面角、二面角的概念及辨析、证明面面垂直、证明线面垂直 【分析】（1）由线面垂直的性质可得又，结合线面垂直和面面垂直的判定定理即可证明； （2）如图，确定是二面角的平面角，利用定义法求解即可. 【详解】（1）因为是一条母线，所以平面， 而平面则 因为是底面一条直径，C是的中点，所以，即， 又平面且， 所以平面，而平面， 则平面平面. （2）设，则， 因为C是的中点，为底面圆心，所以平面， 作，交于点连接， 由可知，是二面角的平面角. 则，即， 在直角中，. 所以. 故二面角的余弦值为. 2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）在四棱锥中，已知是正三角形，底面为矩形，且平面平面.若.    (1)证明：面； (2)求二面角面的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【知识点】求二面角、证明线面垂直 【分析】（1）在平面内，过点作的垂线，垂足为.利用面面垂直可得平面，进而可得，结合可得结论； （2）在平面内，过点作的垂线，垂足为，连接，可得为二面角面的平面角，求解即可. 【详解】（1）在平面内，过点作的垂线，垂足为.    因为平面平面，平面，， 平面平面.所以平面， 因为平面，所以. 又因为底面为矩形，所以， 由于，平面，， 所以平面. （2）在平面内，过点作的垂线，垂足为，连接.    由（1）知平面，因为平面，所以. 因为，由于，平面，， 所以平面，因为平面，所以 所以为二面角面的平面角. 因为，设， 因为是正三角形，所以， 因为底面为矩形，所以，所以， 所以， 所以二面角面的余弦值. 3．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，正三棱柱中，各棱长均相等，､､､分别为棱､､､的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】证明线面平行、证明面面垂直、求二面角 【分析】（1）先根据证明平行四边形得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明即可； （2）应用线面垂直判定定理及面面垂直判定定理证明即可； （3）根据面面垂直结合二面角定义找到二面角，再应用边长求正弦及余弦值即可. 【详解】（1） 连接，，， 又为的中点，，， 四边形是平行四边形， 又平面，平面， 平面， （2）平面，， 是的中点，，又，平面， 平面， 又因为平面，， 在正方形中，､分别为棱､的中点， ，平面， 平面， 又平面，平面平面. （3）由（2）知平面，平面， 平面平面平面，且平面平面， ，设与交于点，则平面， 过作垂直，连接，则， 为二面角的平面角， 令，则，， ， 又因为，， 为的中点， ， 在直角三角形中，， 由图知，为锐角， ， 由图知二面角的平面角与二面角的平面角互补， 故二面角的平面角的余弦值为. 题型十一 空间几何体表面积　 例题1：（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，直线与平面所成角的正切值为，则正三棱柱的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求线面角 【分析】根据给定条件，利用线面角的正切求出，再求出正三棱柱的外接球半径，再得出球的表面积即可. 【详解】在正三棱柱中，取的中点，连接，如图， 则， 由平面，平面，得，又， 平面，因此平面， 所以是直线与平面所成的角， 则，由，得，而， 则，， 因此正三棱柱的外接球球心到平面的距离， 而的外接圆半径， 所以正三棱柱的外接球的半径， 所以. 故选：D 例题2：（2024·全国·一模）已知正三棱台的上､下底面的边长分别为2和4，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】棱台表面积的有关计算、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】求得棱台的斜高，进而计算出三棱台的表面积. 【详解】设分别是的中点，连接， 设分别是正三角形和正三角形的中心， 则，且， 由于平面平面，所以， 由于平面， 所以平面，由于平面， 所以，所以是棱台的侧面与底面所成的二面角的平面角， 所以，过作，垂足为，则， 所以， 所以三棱台的表面积为. 故选：C 例题3：（23-24高二下·江苏连云港·期末）用油漆涂一个正四棱锥形铁皮做的冷水塔塔顶（铁皮的正反面都要涂漆），其高是，底面的边长是，已知每平方米需用油漆，共需用油漆 kg.（精确到） 【答案】/ 【知识点】棱锥表面积的有关计算 【分析】求出正四棱锥的侧面积，因为铁皮的正反面都要涂漆，所以共需用油漆，算出即可. 【详解】 如图，正四棱锥表示冷水塔塔顶，表示底面中心，是高，是斜高， 则，底面的边长是，在中，由勾股定理得，， 所以， 因为铁皮的正反面都要涂漆，所以共需用油漆， 由精确到，实际问题向上取整，可得共需用油漆. 故答案为：. 巩固训练 1．（2024·陕西·模拟预测）将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【知识点】正棱台及其有关计算、棱台表面积的有关计算 【分析】作出正四棱台的图形，设，利用该四棱台侧面的面积求得，进而利用勾股定理即可得解. 【详解】设，则. 因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上、下底面为正方形， 在四边形中，过点作于点， 则，所以， 所以，解得， 在平面中，过点作于点， 易知为正四棱台的高，则， 所以. 故选：C. 2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面EBC中，若，则该几何体的表面积为 【答案】 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】根据几何体直观图，由题意结合几何体表面积的计算公式可求表面积. 【详解】如图所示，该几何体可视为两个直三柱挖去一个四棱锥， 且四棱锥为正四棱锥，其斜高长为. 由题设有，故， 故两个直三棱柱的表面积和为， 两者有公共侧面，其面积为， 而四棱锥的侧面积为， 故几何体的表面积为， 故答案为：. 3．（2024·安徽池州·模拟预测）如图所示的“升”是我国古代测量粮食的一种容器，从形状上可抽象成一个正四棱台．现有一个上、下底面边长分别为和的“升”，侧棱长为，要做成一个该“升”的几何体，其侧面所需板材的最小面积为 ． 【答案】 【知识点】棱台表面积的有关计算 【分析】根据棱台的几何性质确定斜高，再根据侧面性质确定面积即可. 【详解】 如图，由题意知该“升”的各侧面为上底、下底长分别为，腰长为的等腰梯形， 取中点为， 所以其侧面的高为． 若将各侧面展开，可拼接成一个一条边长为，另一条边长为的平行四边形， 该平行四边形的高为，所以所求面积为． 故答案为：. 题型十二 空间几何体体积 例题1：（24-25高三上·北京·期中）中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的“曲池”，其高为,底面，底面扇环所对的圆心角为,长度为长度的3倍，且线段，则该“曲池”的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】弧长的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】借助弧长公式，把长度，长度之间的关系转化所对应半径之间的关系，再利用圆柱体的体积公式，把曲池的体积表示成两个圆柱体体积的差的即可. 【详解】设对应的半径为，对应的半径为，曲池的高为. 因为，所对的圆心角相同，设为，则由弧长公式可知， 的弧长等于，的弧长等于， 且长度为长度的3倍，所以， 因为，所以， 所以曲池的体积为. 故选：D 例题2：（24-25高三上·江苏·期末）已知四棱锥的底面是平行四边形，点E满足．设三棱锥和四棱锥的体积分别为和，则的值为 ． 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】根据题意，由锥体的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 设点到平面的距离为， 因为，则， 则，其中三棱锥的体积为， 则，， 又，所以，则. 故答案为： 例题3：（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）如图，在三棱锥中，为正三角形，E是的中点，.    (1)求证：； (2)若，，二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）由三角形全等得到，由三线合一得到⊥，⊥，从而得到线面垂直，线线垂直； （2）由（1）得到为二面角的平面角，即，作出辅助线，由（1）知，⊥，证明出⊥平面，并求出，求出，由锥体体积公式得到答案. 【详解】（1）为正三角形，为中点，故⊥， 因为，，，所以≌， 故，又为中点，故⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以； （2）由（1）知，⊥，⊥， 故为二面角的平面角，即， 因为，，所以， 由勾股定理得， 过点作⊥于点， 由（1）知，⊥平面，而平面， 所以⊥， 因为平面，， 所以⊥平面， 其中， 即三棱锥的高为，    由勾股定理得， 故， 三棱锥的体积为. 巩固训练 1．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】根据棱台的体积公式，求出，即可解出. 【详解】设四棱台的高度为h，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长为6， 则， 所以. 故选：D. 2．（23-24高一下·江苏·阶段练习）若正六棱台的高为6，且，，则该正六棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】利用正六棱台的性质求得上下底面，再利用棱台的体积公式计算即可. 【详解】设正六棱台上、下底面的面积分别为、， 因为，，高为， 所以，， 所以该棱台的体积 . 故选：C. 3．（23-24高一下·江苏南京·期末）一个封闭的正三棱柱容器的高为，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点，，，分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为 . 【答案】/ 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】由题意，根据图乙将棱柱的体积用的面积表示出来，设出甲图中水面高度，利用放倒前后水的体积相等即可求得. 【详解】设的面积为， 因，，，分别为所在棱的中点， 则，， ， 设图甲中水面高度为，则，解得，， 即图甲中水面的高度为. 故答案为：. 题型十三 内切球问题 例题1：（24-25高二上·辽宁·期中）某三棱锥的体积为，表面积为，则该三棱锥的内切球的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】利用棱锥内切球半径与棱锥的面积、体积的关系列式即可得解. 【详解】设该三棱锥的体积为，表面积为，该三棱锥的内切球的半径为， 则，所以， 故该三棱锥的内切球的直径为. 故选：B. 例题2：（2024·江苏徐州·模拟预测）圆柱与圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥内切球半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多面体与球体内切外接问题、圆锥表面积的有关计算、圆柱表面积的有关计算 【分析】由等面积法先求出圆锥底面圆的半径，再由等面积法求出圆锥轴截面内切圆的半径即可得解. 【详解】若圆柱与圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为， 则，其中为圆锥底面圆的半径， 根据对称性，圆锥内切球半径为圆锥轴截面内切圆的半径， 设内切圆圆心为点，圆锥底面圆心为点，为圆锥的母线， 设，由题意， 由等面积法有. 故选：C. 例题3：（2024·江苏·模拟预测）夹弹珠游戏是儿童特别喜欢的游戏，夹弹珠能有效提高参与者的注意力与协调性，调整逻辑思维判断和空间控制平衡能力，锻炼小肌肉，增强手眼协调，培养敏捷的反应能力，从而提高参与者的适应能力.如图，三个半径都是的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器（不计厚度）中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的表面积（包括容器的内部和外部两部分）是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据题意，由条件可得大球的半径，再由球的表面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】在面上的投影为为大球球心，为小球球心.   ，大球半径为， ， ， 故选：D. 巩固训练 1．（2024·安徽安庆·三模）已知圆锥的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】柱、锥、台体的轴截面、球的表面积的有关计算 【分析】根据截面图分析即可得半径比，然后可得答案. 【详解】如图，等边三角形的内切圆和外接圆的半径即为内切球和外接球的半径， 记内切球和外接球的半径分别为和， 则 所以其外接球与内切球的表面积之比为. 故选：A． 2．（2024·天津滨海新·二模）如图所示，这是古希腊数学家阿基米德最引以为自豪的发现：圆柱容球定理.圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，在当时并不知道球的面积和体积公式的情况下，阿基米德用穷竭法解决面积问题，用杠杆法解决体积问题.我们来重温这个伟大发现，求圆柱的表面积与球的表面积之比和圆柱体积与球体积之比（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】圆柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】设球的半径为，利用球和圆柱的表面积、体积公式求解即可. 【详解】设球的半径为，则圆柱的底面圆半径为，圆柱的高为， 所以圆柱的表面积，体积， 球的表面积，体积， 所以圆柱的表面积与球的表面积之比， 圆柱体积与球体积之比， 故选：C 3．（2024·天津河北·一模）一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的体积为（    ） A．18 B．27 C．36 D．54 【答案】D 【知识点】柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先根据球的体积公式，求出内切球的半径，进而求出正三棱柱的高；再根据内切球的半径等于底面正三角形内切圆半径求出正三角形的边长，进而利用公式求出结果. 【详解】设球的半径为， 则由球的体积，∴， ∴正三棱柱的高. 设正三棱柱的底面边长为， ∵球的半径等于底面正三角形内切圆半径， ，， ∴底面正三角形的面积. ∴正三棱柱的体积. 故选：D. 题型十四 外接球问题 例题1：（24-25高三上·江苏·期末）已知正四棱锥的底面边长为2，侧面积为，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】求出棱锥的斜高和高，求外接球的半径，由球的表面积公式即可求解. 【详解】设正四棱锥的斜高为，高为h，外接球的半径为R，相交于点， 因为正四棱锥侧面积为，则，解得， 故，取的中点，连接，故， 则正四棱锥的高， 其中，则， 其中， 则，即，解得， 则该四棱锥的外接球的表面积 故选：B. 例题2：（24-25高三上·江苏南通·期中）已知一个正三棱柱的底面边长为6，高为4，则该正三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，用勾股定理求出外接球的半径即可求其表面积. 【详解】根据题意，    底面外接圆半径设为，则，∴， 外接球半径设为R， 则，. 故选：C. 例题3：（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知正四面体的棱长为，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为 ． 【答案】/ 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】将正四面体放在正方体中，求正方体的外接球的体积即为所求． 【详解】解：正四面体各面都是全等的等边三角形， 所以，又正方体的面对角线可构成正四面体， 正四面体棱长为，可得正方体的棱长为1， 所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球， 所以外接球的直径为，半径为， 所以球O的体积为． 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知圆台的上底半径为1，下底半径为2，母线长为，则此圆台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆台的结构特征辨析、球的截面的性质及计算、球的表面积的有关计算 【分析】利用圆台、球体轴截面的性质及已知求圆台的高，结合球体半径与圆台上下底面半径、高的关系求球体的半径，进而求球体的表面积. 【详解】圆台轴截面如下图示，圆为圆台外接球的截面，为圆台上下底面的圆心， 根据已知，圆台的高， 设球体半径为，则，可得，则. 故选：C 2．（23-24高一下·江苏泰州·期末）已知圆锥底面半径为3，体积为，若圆锥底面圆周和顶点都在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】球的截面的性质及计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据题意，求得圆锥的高，结合球的截面圆的性质，以及球的表面积公式，即可求解. 【详解】设圆锥的高为，因为圆锥的体积为，可得，解得， 设圆锥的外接球的半径为，可得，即， 解得，所以外接球的表面积为. 故选：A. 3．（23-24高一下·河北邯郸·期末）已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据正四棱柱的体对角线长等于其外接球直径求出球的半径，即可求得结果. 【详解】设正四棱柱的底面边长为，因为正四棱柱的高为6，体积为24， 所以，即，得，正四棱柱的各顶点都在一个球面上， 所以正四棱柱的体对角线长等于球的直径，即， 所以球的半径为，球的表面积. 故选:B. 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$