第13章 立体几何初步（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第二册）

第13章 立体几何初步（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）定义：通过小时内降水在平地上的积水厚度（）来判断降雨程度；其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）；小明用一个圆锥形容器（如图）接了小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（   ）    A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 3．（23-24高一下·江苏无锡·期末）若为空间中两条不同的直线，为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 4．（2024高二上·江苏·学业考试）在正方体中，直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知圆锥的底面半径和球的半径相等，且它们的表面积相等，则该圆锥和球的体积之比为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若，是两个不同的平面，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）足球起源于中国东周时期的齐国，当时把足球称为“蹴鞠”.汉代蹴鞠就是训练士兵的手段，制定了较为完备的体制.如专门设置了球场，规定为东西方向的长方形，两端各设六个对称的“鞠域”，也称为 “鞠室”，各由一人把守，比赛分为两队，互有攻守，以踢进对方鞠室的次数决定胜负. 1970年以前的世界杯用球多数由举办国自己设计，所以每一次球的外观都不同，拼块的数目如同掷骰子一样没准. 自1970年起，世界杯官方用球选择了三十二面体形状的足球，沿用至今，如图 ，三十二面体足球的面由边长相等的12块正五边形和20块正六边形拼接而成，形成一个近似的球体，现用边长为的上述正五边形和正六边形所围成的三十二面体的外接球作为足球，其大圆圆周展开图可近似看成是由4个正方形与4个正五边形以及2条正六边形的边所构成的图形的对称轴截图形所得的线段，如图，则该足球的体积为（   ）参考数据： A． B． C． D． 8．（24-25高三上·江苏连云港·期中）设P，A，B，C是球表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，球的体积为，二面角的大小为，则三棱锥的体积为（    ） A．2 B． C． D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平面的是（    ） A．     B．   C．   D．   10．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图所示，AB是半圆O的直径，垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．平面VAC B．平面ABC C．MN与BC所成的角为 D．平面平面VBC 11．（24-25高二上·江苏南通·期中）在正三棱台中，为线段上一动点，，则（   ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．当平面时，为的中点 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二上·上海·期末）正四面体的棱长为1，则点A到平面的距离为 13．（23-24高一下·江苏·期中）已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则下列命题正确的有 ． ①直线与所成角的正切值为    ②三棱柱外接球的半径为 ③平面截正方体所得截面为等腰梯形  ④点到平面的距离为 14．（23-24高二下·江苏常州）如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点.现将沿折起，使平面平面，在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2024高二上·江苏·学业考试）如图，已知正方体.求证： (1)平面； (2)平面. 16．（24-25高二上·江苏·假期作业）如图，在直三棱柱中，已知，，，点，分别在棱，上，且，. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 17．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)若为上的动点，则线段上是否存在点N，使得平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由. 18．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，侧面是正三角形，是上一动点，N是的中点. (1)若∥平面，求证：M是的中点； (2)若平面平面，求线段的长； (3)是否存在点M、使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．（23-24高一下·江苏苏州·期末）在三棱柱中，，，，，分别为的中点. (1)证明：平面∥平面； (2)证明：平面⊥平面； (3)若为线段上的动点，求二面角的平面角的余弦值的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 立体几何初步（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆锥表面积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】根据圆锥表面积公式和球的表面公式得到，解出即可. 【详解】圆锥的表面积为，球的表面积为， 故，即，故（负舍）． 故选：D． 2．（2024高三·全国·专题练习）定义：通过小时内降水在平地上的积水厚度（）来判断降雨程度；其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）；小明用一个圆锥形容器（如图）接了小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（   ）    A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 【答案】B 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】计算圆锥的体积，进而可得降雨高度，即可判断. 【详解】    做出容器的轴截面，如图所示， 则，，， 则为中点， 则，， 由已知在直径为的圆柱内的降雨总体积， 则降雨高度为， 所以降雨级别为中雨， 故选：B. 3．（23-24高一下·江苏无锡·期末）若为空间中两条不同的直线，为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】根据空间中线线、线面和面面之间的关系，结合选项依次判断即可. 【详解】A：若，则，故A正确； B：若，则，故B正确； C：若，，则，故C正确； D：若，则或与异面或与相交，故D错误. 故选：D 4．（2024高二上·江苏·学业考试）在正方体中，直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求线面角 【分析】根据正方体的特征结合线面角的定义得出线面角为，再计算正切即可. 【详解】 在正方体中，设， 又因为平面， 所以直线与平面所成角为，所以正切值. 故选：D. 5．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知圆锥的底面半径和球的半径相等，且它们的表面积相等，则该圆锥和球的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】设球的半径及圆锥的底面半径均为，圆锥的母线长为，再根据球与圆锥的表面积公式求得，根据勾股定理求得，再结合球与圆锥的体积公式分析体积比即可 【详解】设球的半径及圆锥的底面半径均为， 圆锥的母线长为， 则，所以， 球的体积为，圆锥的高， 圆锥的体积为， 所以圆锥的体积与球的体积的比值为． 故选：C． 6．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若，是两个不同的平面，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、线面关系有关命题的判断、证明面面垂直 【分析】由面面垂直的判定定理得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立，得到答案. 【详解】，，由面面垂直的判定定理可知，，充分性成立， ，，则或，必要性不成立， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）足球起源于中国东周时期的齐国，当时把足球称为“蹴鞠”.汉代蹴鞠就是训练士兵的手段，制定了较为完备的体制.如专门设置了球场，规定为东西方向的长方形，两端各设六个对称的“鞠域”，也称为 “鞠室”，各由一人把守，比赛分为两队，互有攻守，以踢进对方鞠室的次数决定胜负. 1970年以前的世界杯用球多数由举办国自己设计，所以每一次球的外观都不同，拼块的数目如同掷骰子一样没准. 自1970年起，世界杯官方用球选择了三十二面体形状的足球，沿用至今，如图 ，三十二面体足球的面由边长相等的12块正五边形和20块正六边形拼接而成，形成一个近似的球体，现用边长为的上述正五边形和正六边形所围成的三十二面体的外接球作为足球，其大圆圆周展开图可近似看成是由4个正方形与4个正五边形以及2条正六边形的边所构成的图形的对称轴截图形所得的线段，如图，则该足球的体积为（   ）参考数据： A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】球的体积的有关计算 【分析】先由图Ⅱ求出球的大圆的周长，可求得球的半径，利用球体的体积公式可求得结果. 【详解】设正五边形的边长为，则，如下图，在正五边形中内角为，边长为， 中，，， 在正六边形中，内角为，边长为，正六边形的轴长为， 所以大圆的周长为， 设球体半径为，则，得， 所以足球的体积为. 故选：A 8．（24-25高三上·江苏连云港·期中）设P，A，B，C是球表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，球的体积为，二面角的大小为，则三棱锥的体积为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【知识点】球的体积的有关计算、锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】把三棱锥补成一个长方体，长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体的对角线就是其外接球的直径，由此求得，即得，作，垂足为，连接，是二面角的平面角，，从而可得，即得，再由体积公式可得结论． 【详解】∵PA，PB，PC两两垂直，所以可以把三棱锥补成一个长方体，如图，是该长方体同一顶点处的三条棱， 长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体的对角线就是其外接球的直径， 由得， 所以， 作，垂足为，连接， 因为平面，平面，所以，同理， 又，平面，所以平面， 而平面，所以， 所以是二面角的平面角，所以， 由得，而， 又， 所以，所以， ， 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平面的是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】ACD 【知识点】证明线面平行 【分析】结合题目条件，根据线面平行的判断定理，构造线线平行，证明线面平行. 【详解】对A：如图：    连接，因为为正方体棱的中点，所以，又，所以， 平面，平面，所以平面.故A正确； 对B：如图：    因为是正方体棱的中点，所以，，， 所以， 同理：，. 所以5点共面，所以平面不成立.故B错误； 对C：如图：    因为是正方体棱的中点，所以，，所以. 平面，平面，所以平面.故C正确； 对D：如图：    因为为正方体棱的中点，连接交于，连接， 则为的中位线，所以， 平面，平面，所以平面.故D正确. 故选：ACD 10．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图所示，AB是半圆O的直径，垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．平面VAC B．平面ABC C．MN与BC所成的角为 D．平面平面VBC 【答案】BCD 【知识点】判断线面是否垂直、判断面面是否垂直、求异面直线所成的角、判断线面平行 【分析】对于A，举例判断，对于B，利用线面平行的判定定理分析判断，对于C，利用异面直线所成的角求解判断，对于C，利用面面垂直的判定理分析判断. 【详解】对于A，连接，因为AB是半圆O的直径，所以，所以与不垂直， 因为平面，所以与平面不可能垂直，所以A错误， 对于B，因为M，N分别为，的中点，所以‖， 因为平面，平面，所以‖平面，所以B正确， 对于C，由选项B可知‖，所以为MN与BC所成的角， 因为，所以MN与BC所成的角为，所以C正确， 对于D，因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，所以D正确， 故选：BCD 11．（24-25高二上·江苏南通·期中）在正三棱台中，为线段上一动点，，则（   ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．当平面时，为的中点 D．的最小值为 【答案】BCD 【知识点】棱台的结构特征和分类、证明线面垂直、余弦定理解三角形、线面垂直证明线线垂直 【分析】对于A，由棱台定义知与平面必相交，易得与不可能平行，排除A；对于B，证明平面得即可说明；对于C，利用线面垂直的性质得，结合条件即得；对于D，通过翻折将平面移至与平面共面时，利用三点共线时，的值最小即可求得. 【详解】 对于A，如图1由正三棱台的定义知，与必相交，故与平面必相交， 而平面,故与不可能平行，即A错误； 对于B，设正三棱台的上下底面中心分别为,连接，则平面， 因平面，则； 连接并延长交于，则， 由正棱台结构性之可知与延长线交于一点， 所以过与的平面有且只有一个记为平面， 又平面，故平面， 又平面，故， 即当点与点重合时，成立，故B正确； 对于C，若平面，因平面,则， 又平面，且为正三角形，故为的中点，即C正确； 对于D，绕着边翻折至与共面时，连接交于点(如图2所示)， 由图可知当三点共线时的值最小. 如图3，在梯形中，作于点，则， 因，则， 在中，由余弦定理，， 同理,故， 又，故的最小值为，即D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二上·上海·期末）正四面体的棱长为1，则点A到平面的距离为 【答案】/ 【知识点】求点面距离 【分析】作出辅助线，得到即为点A到平面的距离，为等边三角形的中心，结合勾股定理求出答案. 【详解】取的中点，连接，则⊥， 过点作⊥平面，垂足为，即为点A到平面的距离， 则点在上，且为等边三角形的中心， 因为正四面体的棱长为1，则， 由勾股定理得，则， 因为，由勾股定理得， 则点A到平面的距离为. 故答案为： 13．（23-24高一下·江苏·期中）已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则下列命题正确的有 ． ①直线与所成角的正切值为    ②三棱柱外接球的半径为 ③平面截正方体所得截面为等腰梯形  ④点到平面的距离为 【答案】①②④ 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求点面距离、求异面直线所成的角、多面体与球体内切外接问题 【分析】借助等角定理可得直线与所成角与直线与所成角相等，计算出可判断①；由三棱柱外接球与正方体外接球相同，故计算正方体体对角线的一半可判断②；借助平行线的性质可作出该截面，计算边长可判断③：借助等体积法计算可判断④. 【详解】对于①：由，故直线与所成角与直线与所成角相等， 连接，可得，又， 平面，平面，所以， 故，故①正确； 对于②：三棱柱外接球与正方体外接球相同， 故其外接球半径为，故②正确； 对于③：如图：取中点，连接，过点作， 交于点，则，所以平面截正方体所得截面为梯形， 由，所以， 所以，，所以， 所以梯形不是等腰梯形，故③错误； 对于④：如图：设点到平面的距离为，则， 而， ， 所以，故④正确. 故答案为：①②④. 14．（23-24高二下·江苏常州）如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点.现将沿折起，使平面平面，在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】设，求得关于的表达式，根据的取值范围结合求得的取值范围. 【详解】如图，在平面ADF内过点D作，垂足为，连接． 过点作，交于点． 设，，所以． 设，则． 因为平面平面ABC，平面平面， ，平面ABD，所以平面ABC， 又平面，所以． 又因为，，，平面DKH，所以平面，所以，即． 在中，，， 因为和都是直角三角形，， 所以，． 因为，， 所以，得． 因为，所以，所以． 又，即，故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2024高二上·江苏·学业考试）如图，已知正方体.求证： (1)平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直 【分析】（1）通过证明AB，可完成证明； （2）通过证明可完成证明. 【详解】（1）由题，四边形为正方形，则AB. 又平面，面，则平面； （2）由题，平面，又面，则. 又四边形为正方形，则. 因，平面，， 则上平面 16．（24-25高二上·江苏·假期作业）如图，在直三棱柱中，已知，，，点，分别在棱，上，且，. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、求线面角、锥体体积的有关计算 【分析】（1）直三棱柱中，平面，可得，利用线面垂直的判定定理可得平面. （2）在中，，，，则，得到垂直关系，计算三角形面积，利用等体积变换求得与平面之间的距离，继而利用线面所成角的正弦值． 【详解】（1）直三棱柱中，平面，又平面， 且， 又，平面平面； （2）在中，，，则， 因此， 直三棱柱中，平面，又平面，， 且平面， 所以平面，与平面之间的距离为1， 因为平面，平面，所以平面， 与平面之间的距离与与平面之间的距离相等， 与平面之间的距离为1， ， 设与平面之间的距离为，，， 得，与平面所成的角的正弦值为. 17．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)若为上的动点，则线段上是否存在点N，使得平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)点为的中点，理由见解析. 【知识点】证明线面平行、证明面面平行 【分析】（1）利用平行四边形截面，由线线平行即可证明线面平行； （2）要证明动直线和另一个平面平行，只需要证明动直线所在的平面与另一个平面平行即可. 【详解】（1）    取点为棱的中点，又因为点为棱的中点，所以，且， 又因为，且，所以 则四边形是平行四边形，即， 又因为平面，平面，所以平面； （2）      存在点为的中点，满足平面. 因为点为的中点，点为棱的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 再由平面，，平面，平面， 所以平面平面，又因为平面， 所以平面. 18．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，侧面是正三角形，是上一动点，N是的中点. (1)若∥平面，求证：M是的中点； (2)若平面平面，求线段的长； (3)是否存在点M、使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，1 【知识点】补全线面垂直的条件、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、证明线面垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）根据线面平行的性质可得，再结合平行线的性质分析证明； （2）根据面面垂直的性质可得平面，进而可得，即可得结果； （3）做辅助线，可证平面，平面，可得，即可得结果. 【详解】（1）若∥平面，且平面，平面平面， 可得， 在中，点N是中点，所以点M是中点. （2）如图，取中点F，连接，. 因为是正三角形，则， 且平面平面，平面平面，平面， 可得平面， 由平面，可得， 在因为侧面是正三角形，则. 因为底面是菱形，且， 可知是等边三角形，则且. 所以. （3）取中点E，连接，. 因为四棱锥的底面是菱形，侧面是正三角形， 则，. 由（2）可得，， 且平面，，所以平面， 由平面，可得. 又因为，、在平面内，所以平面. 过E作交于点M. 因为，所以点平面. 所以平面， 因为平面，所以， 因为E为的中点，， 所以，即. 19．（23-24高一下·江苏苏州·期末）在三棱柱中，，，，，分别为的中点. (1)证明：平面∥平面； (2)证明：平面⊥平面； (3)若为线段上的动点，求二面角的平面角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】判断面面是否垂直、求二面角、证明面面平行 【分析】（1）只需分别证明面，面，结合面面平行的判定定理即可得证； （2）只需证明 平面，再结合面面垂直的判定定理即可得证； （3）引入参数，将所求表示为的函数即可进一步求解. 【详解】（1）三棱柱中，四边形为平行四边形，分别为的中点，所以，且， 又因为，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又由于面，面，所以面， 在中，，且，同理，且， 所以，又由于面，面，所以面， 又面，，平面， 所以平面∥平面； （2）连接 ， ， 因为 ，所以 ，又因为 ，且，所以 ， 因为 ， 平面 ，且 ， 所以 平面 ，因为 平面 ， 所以 ，在 中， ， ， ， 由余弦定理求得 ， 则 ， ， 因为，所以 ，解得 ， 在，， ，可知，又， 在中，，因此 ． 由（1）知， ，且 ， 平面 ，且 ， 所以 平面， 因为 平面 ，因此平面 平面 ． （3）设，，， 所以到平面的距离为， 在平行四边形中，计算得， 在中可得， 在平行四边形中，计算得， 在中可得， 在中，， 所以到的距离为， 设二面角的平面角为，. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于引入参数，并表示出二面角的平面角的余弦值，由此即可顺利得解. / 学科网（北京）股份有限公司 $$