专题04 立体几何中线面、面面平行与垂直问题（专项训练）数学苏教版必修第二册

专题04立体几何中线面、面面平行与垂直问题 目录 A题型建模・专项突破 题型01线面、面面平行与垂直小题 题型02证明线面平行 题型03线面平行的性质应用 题型04证明面面平行 题型05面面平行的性质应用 题型06证明线面垂直 题型07线面垂直的性质应用 题型08证明面面垂直 题型09面面垂直的性质应用 B综合攻坚・能力跃升 题型01线面、面面平行与垂直小题 1．（多选）在正方体中，，，分别为，，的中点，则（    ） A． B．平面平面 C． D．平面平面 【答案】ABC 【分析】求得与位置关系判断选项A；求得平面与平面位置关系判断选项B；求得与位置关系判断选项C；求得平面与平面位置关系判断选项D. 【详解】在中，因为，分别为，的中点， 所以．又，所以，A正确． 在中，因为，分别为，的中点， 所以．因为平面，平面， 所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面．又因为， 所以平面平面，B正确． 因为，，所以，C正确． 取的中点，连接，，则是二面角的平面角． 设正方体棱长为a，则， 又，则，所以平面与平面不垂直． 又平面平面，所以平面与平面不垂直，D错误． 故选：ABC． 2．（多选）已知、是不重合直线，、、是不重合平面，则下列命题中真命题是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BD 【详解】对于A，若，，则或、相交，A错； 对于B，若，，则，B对； 对于C，若，，则或，C错； 对于D，若，，则，D对. 3．（多选）设为两个平面，为两条直线，且，则下列说法正确的是（   ） A．若或，则 B．若，则或 C．若或，则 D．若，则或 【答案】BC 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系，利用反例法判断选项A，D；分情况讨论判断选项B；利用线面垂直推出线线垂直判断选项C． 【详解】选项A：设是相邻墙面，交线为墙角线，是底面上平行于的直线，此时与可以垂直，不能推出，故A错误； 选项B：， 当时，；当时，，当时，，故B正确； 选项C：若，则内所有直线，而，则； 若，则内所有直线，而，则，故C正确； 选项D：设与成锐角，且，此时不垂直于，且不垂直于，故D错误 故选：BC． 4．（多选）已知三个不同的平面和三条不同的直线，下列命题中为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【答案】AC 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】A，根据线面垂直的性质得，若，，则，正确； B，若，，则或，错误； C，如图所示，因为是不同的直线， 由题意，且，所以，又，且， 所以，所以，正确； D，如图所示，在正方体中， 设平面为平面，平面为平面，平面为平面， 此时满足，，但与为相交平面，错误. 5．（多选）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，，，分别是，，的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ACD 【分析】利用线面平行的判定定理证明平面，判断A的真假；假设平面，可得，根据未必成立，可得假设错误，进而判断B时错误的；利用面面平行的判定定理证明平面平面，判断C的真假；利用面面垂直的判定定理证明平面平面，判断D的真假. 【详解】对A：因为分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面.故A正确； 对B：假设平面成立，因为平面，所以，因为四边形为矩形，所以未必成立，所以假设错误.故B错误； 对C：因为分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. 因为，平面，且，所以平面平面.故C正确； 对D：因为平面，平面，所以； 又因为四边形为矩形，所以， 因为，平面，且，所以平面， 又平面，所以平面平面，故D正确. 6．（多选）在正三棱台中，为的中点，则（   ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BD 【详解】如图，将三棱台补足为三棱锥， 对于A，由于，而与相交，则与相交，故A错误； 对于B，由于平面平面，且平面，则平面，故B正确； 对于C，由于，且，则，又因为在平面内，所以与不垂直，故C错误； 对于D，由于，，且，，平面，则平面，故D正确. 题型02证明线面平行 7．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点.证明：平面PBC； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理，结合三角形中位线的性质及平行四边形的性质推理得证. 【详解】取PB中点，连接，由分别为的中点， 得且，且， 则，且，因此四边形为平行四边形， 则，而平面平面， 所以平面. 8．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，G，F分别是线段，的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】连接，因为四边形为正方形，G是线段的中点， 所以G是线段的中点. 又因为F是线段的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 9．如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，，，分别是对角线，上异于端点的动点，且.求证：直线平面； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理即可证得. 【详解】过作与交于点， 过作与交于点，连接. 由已知条件，可知矩形与矩形全等. 因为，且， 所以， 所以，又， 则四边形为平行四边形，所以， 因为不在平面内，平面，所以平面. 10．如图，在三棱锥中，平面，，，，，，，，分别为棱，，，，的中点，，分别为线段，上一点，且，（）.当时，证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】连接，在线段上取一点，使，在线段上取一点，使，连接，结合已知先证，再由线面平行的判定证明结论. 【详解】连接，在线段上取一点，使， 在线段上取一点，使，连接，，， 则，且， 因为，，，分别为棱，，，的中点. 则，且，，， 所以，， 又，所以，， 所以四边形为平行四边形，同理四边形为平行四边形， 所以，，所以. 因为平面，不包含于平面，所以平面. 11．已知梯形中，，为上的一点且，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取PE的中点，证明平面平面，再利用面面平行的性质定理证明. 【详解】取的中点，连接、， 因为点为棱的中点，且，所以且， ，平面，平面， 所以平面，同理可得平面. 因为平面，平面，且， 所以平面平面. 因为平面，所以平面. 12．如图，在六面体中，侧面是直角梯形，，，底面是矩形，且.设，二面角的大小为，六面体的体积为.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】由面面平行的判定定理可得平面平面，然后由面面平行的性质定理即可证明. 【详解】 因为底面是矩形，所以， 因为平面，平面，故平面， 在直角梯形中，， 因为平面，平面，故平面， 又因为，平面， 故平面平面， 又因为平面，故平面. 题型03线面平行的性质应用 13．如图，在多面体中，四边形，均为矩形，点为线段上一点，且平面.若平面，求证：点是的中点. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用线面平行的性质推理得证. 【详解】连接，交于点，连接， 由平面，平面，平面平面，得， 在矩形中，点为线段的中点，所以点是的中点. 14．如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，为平面外一点，分别是的中点．记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 【答案】直线//平面，证明见解析 【分析】利用线面平行的判定、性质推理判断并证明. 【详解】直线平面，证明如下： 分别是的中点，得， 又平面，且平面，则平面， 而平面，且平面平面，因此， 又平面，平面，所以平面. 15．已知四棱锥的底面是平行四边形，平面． 若平面与平面的交线为，证明：； 【答案】证明见解析 【分析】由题意可得平面，再由线面平行的性质定义即可得证. 【详解】因为底面是平行四边形， 故平面，平面 可得平面， 又因为平面， 平面平面， 所以． 16．在四棱锥中，O为与的交点，平面，是正三角形，，． (1)求异面直线和所成角的大小； (2)若点E为棱上一点，且平面，求的值． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）根据异面直线的定义可得为所求角，即可利用线面垂直的性质求解； （2）根据线面平行的性质可得，即可由相似求解. 【详解】（1）因为，所以异面直线和所成角为和所成角，即． 因为是正三角形，， 所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以是等腰直角三角形， 所以， 即异面直线和所成角为． （2）因为平面，平面， 平面平面，所以，所以， 因为，，所以， 所以． 17．如图，四棱锥中，底面是菱形，，分别是棱，上的点，平面，且.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】设，连接交于点，连接，过点作，交于点，根据线面平行的性质证明，再利用相似比即可得出结论. 【详解】如图，设，连接交于点，连接， 平面，平面，平面平面， ， 为的中点，， 过点作，交于点，则， ，，，即. 18．已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，是的中点.为的中点，为上一点，平面，证明：为中点. 【答案】证明见解析 【详解】如图，取的中点为，由三点确定一个平面，交于点， 由平面，平面， 平面平面，可得， 又因为为的中点，所以，， 又因为，所以， 由平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以， 又因为，所以， 则四边形是平行四边形，故， 又因为， 是的中点.， 所以，结合， 可得是的中位线，即为中点. 题型04证明面面平行 19．已知正方体，棱长为2，线段、BD的中点分别为点M、P、N． (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）连接、、、，借助中位线性质及线面平行判定定理可得平面，平面，再利用面面平行判定定理即可得证； 【详解】（1）连接、、、， 由线段、BD的中点分别为点M、P、N， 则、， 又平面，平面， 平面，平面， 故平面，平面， 又，、平面， 故平面平面； 20．如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，AB，DE的中点分别为F，G.将沿直线AB翻折到，设CE的中点为H.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【详解】因为四边形为平行四边形，F、G分别为的中点， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面， 又H、G分别为的中点，所以. 平面，平面，所以平面， 因为FD、平面，， 所以平面平面. 21．如图所示，四边形为菱形，平面，平面. (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）先证明平面，再结合证明平面，从而再由面面平行知识即可求解证明； 【详解】（1）由题意平面，平面，则， 又因为平面，平面，所以平面， 因为四边形为菱形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，，所以平面平面. 22．如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，满足即可，理由见解析 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理推得，利用三棱柱的性质易得，即可由线线平行证得线面平行； （2）线段上存在点，满足，即可由线线平行推得线面平行再证明面面平行即可. 【详解】（1）因，，则，故， 在三棱柱中，，则， 因平面，平面，则平面. （2） 如图，线段上存在点，满足，即可使平面平面，理由如下： 因，则，则，因平面， 平面，故平面， 由（1），因平面， 平面，故平面， 又平面，故平面平面. 题型05面面平行的性质应用 23．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，分别为棱，的中点，且，.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取中点G，连接，通过平面，平面，得到平面平面，即可求证. 【详解】证明：如下图，取中点G，连接， 因为E，F分别为棱BC，PA的中点，G为AD中点，所以， 由在平面内，不在平面内，故平面， 由在平面内，不在平面内，故平面， 又且都在平面内，所以平面平面， 因为平面，所以平面. 24．如图所示，已知多面体的底面是正方形，底面，，.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理证明平面，平面，然后利用面面平行的判定定理证得平面平面，进而得到平面. 【详解】因为底面是正方形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面， 且与相交于点， 所以平面平面， 又平面，所以平面. 25．如图，在正方体中， (1)若，求证：平面． (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1) 过点作交于，过点作交于，进而根据相似比的关系证明四边形MNFE是平行四边形，即可根据判定定理证明结论； （2）根据正方体的性质证明平面，平面，进而结合判定定理即可证明； 【详解】（1）证明：过点作交于，则① 过点作交于，则② 连接EF．，， ，即：， 四边形MNFE是平行四边形， 平面，平面 平面 （2）证明：正方形中，， ∴四边形是平行四边形， ∵平面，平面 平面 同理平面 ，平面，平面， 平面平面 26．如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，.    (1)求证：平面平面； (2)求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由线面平行的判定定理可证平面，结合题中条件及面面平行的判定定理即可证明； （2）由（1）知：平面平面，根据面面平行的性质定理即可证明； 【详解】（1）∵，平面，平面，∴平面. ∵平面，平面，，平面，平面， ∴平面平面. （2）由（1）知：平面平面. 又平面平面，平面平面， ∴. 题型06证明线面垂直 27．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得. 【详解】取的中点，连接， 在中，因为点是棱的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以， 因为，所以， 由底面为菱形，且，可得为等边三角形， 因为是的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. 28．在如图的空间几何体中，，，四边形为直角梯形，，，，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取中点，连接,可得平面平面，进而可得结论； （2）通过已知线段长度，利用勾股定理逆定理证明BM与CM、BM与MN垂直； 【详解】（1）如图取中点，连接, 是中点，是的中位线，故, 平面，平面，所以平面， 由，得，且， 故四边形是平行四边形，得， 同理可得平面， 又，因此平面平面, 平面，故平面； （2）由，得，又，故， 已知，由勾股定理得， 已知，故， 由勾股定理逆定理得，即， 又平面，故平面； 29．如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形.点是棱上的动点（不与端点重合），且.证明：平面. 【答案】证明见解析 【详解】在正方形中，由，得，， 则，，因此， 由是圆柱的母线，得平面，而平面，则， 又平面，所以平面. 30．如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，.求证：平面POC； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的性质判定推理得证. 【详解】连接，延长交于点，由为底面圆的直径，得， 由，得，， 又，则平分，， 又，则为正三角形，是其中心， 于是是中点，， 而平面，平面，则， 又,且,平面，所以平面. 31．如图，已知空间四边形的边，，作于点，作于点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】通过证明，，可得平面，进而可得，又，所以平面，所以，又因为，所以平面． 【详解】连接，取的中点，连接，，如图所示， 因为，为的中点，所以， 同理，，为的中点，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，且，平面平面， 所以平面． 32．如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，利用中位线性质可得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）连接，利用中位线性质可得，首先证明平面，从而得到，同理得到，结合线面垂直的判定定理即可证明平面，即可得到结论. 【详解】（1）连接，因为为正方形， 所以为中点，同理，为中点， 在中，、分别为、的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）连接，中，、分别为、的中点，所以. 在正方形中，， 又因为为正方体，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理可得：，，， 所以平面，所以平面； 题型07线面垂直的性质应用 33．如图，在四棱锥－中，底面是矩形，平面，，是的中点，，分别在，上，且，．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的判定定理可证平面，平面，则可得． 【详解】∵平面，平面，∴， 又，∴， ∵，是的中点，∴， 又，，平面，∴平面， ∵，，∴， 又，，，平面， ∴平面，∴． 34．如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先证明，即可得到，再由，即可得证； （2）首先证明平面，即可得到，同理可证，即可得到平面，结合（1）的结论，即可得证． 【详解】（1）在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以， 因为，，平面，平面． 所以平面． （2）因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 同理可证， 又，平面，平面． 所以平面． 又平面，所以． 35．如图，是等边三角形，直线平面ABC，直线平面ABC，且，F是线段EB的中点．求证：平面ABC． 【答案】证明见解析 【分析】取AB的中点M，先证四边形是平行四边形，则，再利用线面垂直的性质、线面平行的判定推理得证． 【详解】取AB的中点M，连接FM和CM， 在中，F是EB的中点，M是AB的中点，则且， 由平面，而平面，得， 所以，，因此四边形是平行四边形，， 而平面，平面，所以平面． 36．如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为等腰直角三角形，，D为中点．求证：； 【答案】证明见解析 【分析】用线面垂直证明线线垂直即可. 【详解】证明：设的中点为，连接，连接，则， 又因为为等腰直角三角形，， ，又是正三角形， ， 又因为平面，则面，面， . 37．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）由平面PAB，证明，结合等腰三角形中，即可证明平面ANMD，由线面垂直性质得； 【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又因为，，且两直线在平面内，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以， 因为，且N为PB中点，所以， 又因为，所以平面ANMD， 又因为平面ANMD，所以． 38．如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 【答案】证明见解析 【分析】应用菱形得出，，进而应用线面垂直判定定理得出平面即可得出所以，再应用平行四边形得出线线垂直. 【详解】图1中，在四边形中，，，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为菱形，所以，， 所以在图2中，，，又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又在四边形中，，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以； 题型08证明面面垂直 39．如图，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直，且.证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【详解】因为平面平面，交线为，，平面， 所以平面，又平面，故. 又因为，，平面， 所以平面，而平面， 故平面平面. 40．如图，在四棱锥中，平面，，是以为斜边的等腰直角三角形．证明：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的判定先证明平面，即可根据面面垂直的判定求证. 【详解】由是以为斜边的等腰直角三角形，得， 由平面，平面，得， 而平面， 则平面，又平面， 所以平面平面． 41．如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点．. 求证： (1)平面； (2)平面平面； (3)求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】(1)三角形中位线定理可得，结合线面平行的判定定理得证. (2)推导出，，从而面，由此能证明平面平面. (3)直接由已知条件，结合棱锥体积公式求解. 【详解】（1） 是的中点，是的中点，， 又平面，平面， 平面. （2）底面，， 又，且，平面， 而平面，平面平面 （3）面，，，是正方形，面积 棱锥体积． 42．如图，在正三棱柱中，分别为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据正三棱柱的结构特点证明线面垂直，进而得到线线垂直. （2）根据棱柱的长度，先证，结合（1）的结论，可证平面，进而根据面面垂直的判定定理证明面面垂直. 【详解】（1）因为三棱柱为正三棱柱，所以平面平面. 又为正三角形，为中点，所以， 又平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）因为，，分别为的中点， 所以，，所以， 所以，所以， 由（1）可得，平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. 43．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且底面，，，分别为棱，，的中点. 求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】由，，根据线面垂直的判定定理证出平面PBD，再根据面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】∵底面ABCD，平面ABCD， ∴. 如图，连接AC． ∵底面ABCD为正方形，∴， ∵M，N分别为棱AB，BC的中点， ∴，∴， 又平面PBD， ∴平面PBD， ∵平面MNE， ∴平面平面PBD． 44．如图，四边形是正方形，平面，． (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）利用线面垂直的性质得，进而可得，利用正方形的性质得，再由线面垂直的判定定理，即可求解； 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，所以， 因为四边形是正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 题型09面面垂直的性质应用 45．如图，在三棱锥中，平面平面，点是BC边的中点，连接. (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）根据面面垂直的性质先推知平面，从而，结合题干可得证明； （2）根据二面角的定义用几何法作出来，然后求解. 【详解】（1）由题知，平面平面， 又平面平面，平面，又， 根据面面垂直的性质定理，平面， 又平面，则， 又，平面，， 根据线面垂直的判定定理，平面 46．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为AC的中点，将沿BD翻折至，使得平面与平面CBD垂直． (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理得证. 【详解】（1）依题意，，而平面， 则平面，又平面， 所以. 47．在三棱柱中，，为的三等分点，侧面为正方形，，. (1)证明：平面平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知和正方形性质证明平面，然后由面面垂直的判定定理可证； （2）先证平面，然后可得，再根据面面垂直的性质定理即可得证. 【详解】（1）由四边形是正方形，可知， 又，，平面，则平面. 而平面，故平面平面. （2）因为，，，平面，则平面， 而平面，则. 由（1）知平面平面，平面平面，平面，且， 故平面. 48．已知平面四边形由一个等边与一个直角拼接而成，且 ，现将沿折叠，折叠后使平面平面. 取中点，证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据面面垂直的性质定理可得平面，则，再由线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面，平面，所以， 因为为正三角形，为的中点，所以， 又，平面，所以平面 49．如图，在四棱锥中，平面，平面平面. 证明：平面PAD. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，先证平面，得，再结合线面垂直可得，然后由线面垂直的判定定理可证. 【详解】取的中点，连接. 因为，所以. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又平面平面，所以. 又，平面 所以平面. 50．如图，和所在平面垂直，且，，． (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得出平面，再利用线面垂直的性质定理可证得； （2）取线段的中点，求证或其补角为平面ABC与平面ACD的夹角，在中计算余弦值即可. 【详解】（1）因和所在平面垂直，， 平面平面，平面， 则平面， 又平面，则； 1．如图，在直角梯形中，，，，为中点，将沿折起，使到处．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】连接交于点，连接，由中位线性质可得，根据线面平行的判定定理即可得证. 【详解】因为，，，所以四边形为矩形， 连接交于点，连接，则点为中点， 又为中点，所以是中位线，所以， 又平面，平面，所以平面． 2．如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据垂直关系的转化，结合平行线的性质，转化为证明，，即可证明线面垂直. 【详解】在等腰梯形中，，， 则四边形是平行四边形，则， 因为，所以为等边三角形，则 因为为中点，所以， 在等腰梯形中，可得 连接，在中， 由余弦定理可得：， 则，所以，则． 因为、分别是、中点，所以，所以， 从而可得，， 因为，、平面，所以平面. 3．如图，在中，．将沿AD翻折至．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】由余弦定理求出，，由勾股定理逆定理可得，故，从而证明出平面. 【详解】，∴，， 由余弦定理得， 故， ，即，翻折后， 又平面， 所以平面. 4．如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，． (1)证明：． (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可得，再由正三棱柱的性质证明，进而由线面垂直的判定定理证得平面，即得； （2）由（1）的结论可得，通过计算边长，利用勾股定理证得，再由线面垂直的判定定理即可证得平面． 【详解】（1）在等边中，因为为的中点，可得. 在正三棱柱中，可得平面，且平面，所以 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）由（1）得平面，因平面，则. 又，则， ，则由，可得， 因平面，故平面. 5．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为与的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）通过连接，利用中点条件证明 是 的中位线，得到，再根据“平面外一条直线与平面内一条直线平行，则直线与平面平行”的判定定理，直接得出 平面； （2）先利用正方体的性质，证明平面，再根据线面垂直的性质，得到 ，再通过计算三条线段的长度，用勾股定理逆定理证明，最后根据线面垂直判定定理，可得平面. 【详解】（1） 连接，∵ 为与的交点，∴ 是中点， 在中，是中点，是 中点， ∴ 是的中位线，∴ ， 又∵ 平面，平面， ∴ 平面. （2）∵ 底面 ， 底面 ，∴， ∵ 四边形为正方形，∴， 又∵ ，平面， ∴平面， ∵ 平面 ，∴， 因为正方体棱长为2，所以， ，， ， 平面平面 平面. 6．如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆周上的点且，在线段上且，是的中点．    (1)求证：直线平面； (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，则求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）利用线面垂直的性质和判定证明即可； （2）构造平行四边形，由线面平行的判定定理得平面，确定. 【详解】（1）因为垂直于所在的平面，所在的平面，所以， 又是的直径，点是圆周上的点，所以， 因为，平面， 所以平面． （2）在线段上存在点，使得平面，且， 理由如下： 取的三等分点为（靠近），在中过点作，， 则，且， 因为是中点，是中点，所以，且， 又，所以， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面, 故线段上存在点，使得平面，且.    7．如图，四边形是菱形，平面平面，，且，为的中点． 证明：； 【答案】证明见解析 【分析】根据中位线的性质以及题中条件可证明四边形是平行四边形，进而得，利用面面垂直的性质即可求证. 【详解】连接，交于点，连接． 因为四边形是菱形，则，， 因为为的中点，则， 又，且，故得， 故四边形是平行四边形，则． 又平面平面，平面平面， ，平面， 则平面，又平面， 则，故． 8．如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面//平面？并说明理由． 【答案】当为的中点时，平面//平面．理由见解析 【详解】当为的中点时，平面平面．理由如下： 为的中点，为的中点，连接， 易证四边形是平行四边形，则． 平面，平面． 平面． 分别为的中点， ，同理可得平面，又， ∴平面平面． 反之，当不为的中点时，设为中点，则平面平面， 而平面与平面相交，即平面与平面相交，矛盾. 综上，为的中点时，平面平面. 9．在矩形中，，.点，分别在，上，且，.沿将四边形翻折至四边形，点平面.求证：平面. 【答案】由条件根据线面平行判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，结合面面平行性质证明结论. 【详解】证明：因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，故平面平面， 而平面，故平面. 10．如图，在三棱锥P-ABC中，平面平面ABC，且，E为棱PC的中点，F为棱PB上的点，证明：． 【答案】 【解析】略 11．如图，在四棱锥中，底面，.设分别为的中点，为的重心，证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】连接，延长交于，连接.只需证明平面及平面，进而证得平面，根据面面平行的性质，证得结果； 【详解】因为分别为的中点，则. 又在平面外，则平面. 连接，延长交于，连接.因为为的重心，则 为的中点，从而. 又在平面外，则平面. 因为是平面内的两条相交直线，则平面平面. 因为平面，所以平面. 12．如图，等腰梯形中，，，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥.在四棱锥中，点，分别在线段，上，且.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】若分别是上的点，且，得到，通过平面，平面，进而可求证. 【详解】若分别是上的点，且， 连接，又， 所以，即四点共面， 由平面，平面，则平面， 同理可证平面，又，且都在平面内， 所以平面平面，平面， 故平面. 13．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面平面PAD，证明：平面平面ABCD； 【答案】 【详解】如图，过点作于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为底面是正方形，所以， 又，，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04立体几何中线面、面面平行与垂直问题 目录 A题型建模·专项突破 题型01线面、面面平行与垂直小题 题型02证明线面平行 题型03线面平行的性质应用 题型04证明面面平行 题型05面面平行的性质应用 题型06证明线面垂直 题型07线面垂直的性质应用 题型08证明面面垂直 题型09面面垂直的性质应用 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型01线面、面面平行与垂直小题 1.(多选)在正方体ABCD-ABCD中，M,N,P分别为AB,AC,AD的中点，则() A.MN∥AD B.平面MNP∥平面BC,D C.MN⊥CD D.平面MWP⊥平面A,BD 2.(多选)已知m、n是不重合直线，a、B、Y是不重合平面，则下列命题中真命题是() A.若a1Y,B⊥Y,则a/B B.若aB,yIB,则y/a c.若a⊥B,m⊥B,则m/la D.若m⊥a,n⊥a,则m/n 3.(多选)设a,B为两个平面，m,n为两条直线，且a∩B=m,则下列说法正确的是() A.若n/la或nB,则m/ln B.若m/1n,则n/1a或nlB C.若n⊥a或n上B,则m⊥n 1/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.若m⊥n,则n⊥a或n上B 4.(多选)已知三个不同的平面，F,Y和三条不同的直线m,n,1,下列命题中为真命题的是() A.若m∥n,m⊥a,则n⊥a B.若m∥n,m/1a,则n/1 c.若∩B=m,nca,IcB,n/l,则m/1n/1l D.若a1y,B⊥Y,则a/Ip 5.(多选)如图，在四棱锥M-ABCD中，四边形ABCD为矩形，AM⊥平面ABCD,E,F,G分别 是MC,MD,AD的中点，则() G B A.FG/I平面ABM B.AC⊥平面MBD C.平面EFG/I平面ABM D.平面MAD⊥平面MCD 6.(多选)在正三棱台ABC-ABC中，D为BC的中点，则() A.AD∥AB B.AD∥平面ABC C.AD⊥AC D.BC⊥平面AAD 题型02证明线面平行 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，E,F分别为CD,PA的中点证明：EF/I平面 PBC; 8.如图，在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为正方形，G,F分别是线段BD,EC的中点.求证：GF∥ 2/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 平面ABE. D G B 9.如图所示，己知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，AD=2AF=2AB=2,M,N分别是 对角线BD,AE上异于端点的动点，且BM=AN求证：直线MNII平面CDE: 10.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=120°，AB=AC=4,PA=6,D,E,F, G,H分别为棱PC,PB,AB,BC,AC的中点，M,N分别为线段EF,AF上一点，且FN=2AN, FPM=FE（0≤1s1),当1=3时，证明：NH1/平面MGD E 3/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 L.己形PRCD中，PDUBC?B为PD上的点且BE1 PD PE-B-1BC=-ED,将△PBB 2 沿BE翻折使得二面角P-BE-C的平面角为O,连接PC、PD,F为棱PD的中点，求证：FCII平面PBE. E B 12.如图，在六面体ABCDEF中，侧面ADEF是直角梯形，AD L DE,AF∥DE,DE=2AF=2,底面 ABCD是矩形，且BC+CD=3,设CD=t,二面角E-AD-C的大小为a,六面体ABCDEF的体积为'，求 证：BF∥平面CDE B 题型03线面平行的性质应用 13.如图，在多面体ABCDMN中，四边形ABCD,ADMN均为矩形，点E为线段AB上一点，且DM⊥ 平面ABCD.若BM/I平面NDE,求证：点E是AB的中点. M E B 14.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，P为平面ABC外一点，E,F分别是PA,PC的 中点.记平面BEF与平面ABC的交线为1，试判断直线I与平面PAC的位置关系，并加以证明. P 4119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.己知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，AP=AD=4,AB=3,PA⊥平面ABCD.若平面 PAD与平面PBC的交线为l,证明：BC/II; C 16.在四棱锥P-ABCD中，O为AC与BD的交点，AB⊥平面PAD,△PAD是正三角形，DC∥AB, DA=DC=2AB D (1)求异面直线PC和AB所成角的大小： AE (2)若点E为棱PA上一点，且OE11平面PBC,求PE的值. 17.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，E,F分别是棱PD,PC上的点，BF∥平面ACE, 且2PE=3ED求证：PF=)FC D A 18.己知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PA⊥平面ABCD,ABIICD,AB⊥BC, AB=BC=2CD,G是CD的中点E为pB的中点，F为PG上一点，EF∥平面PHD'证明：F为PG中 点 E 5/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04证明面面平行 19.己知正方体ABCD-AB,CD,棱长为2，线段ADBC、BD的中点分别为点M、P、N. D A B D D A (1)求证：平面MNP/平面CDD,C: 20.如图，正三角形ABC'和平行四边形ABDE在同一个平面内，AB,DE的中点分别为F,G,将△ABC'沿 直线AB翻折到△ABC,设CE的中点为H.求证：平面CDF∥平面AGH, G 21.如图所示，四边形ABCD为菱形，DE⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD E C B (1)求证：平面ABF‖平面CDE; 22.如图，在三棱柱ABC-4BC中，E,F分别为线段AC,AC上的点，AE=1AC,AF=元AC, 元∈(0,1) 6 6/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：EF/平面BCC,B. (2)在线段BC上是否存在一点G,使平面EFG//平面ABBA?请说明理由. 题型05面面平行的性质应用 23.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PC⊥平面ABCD,E,F分别为棱BC, p1的中点，且pC=BC=CD=2∠ABc=8e0引 0,2]证明：EF1平面pcD E 24.如图所示，已知多面体ABCDEP的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD,DE=LAP,1>0.证明： CE∥平面PAB 25.如图，在正方体ABCD-AB,CD中， 7/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C N B1 M A B (1)若DN=CM,求证：MN/平面ABB4. (2)求证：平面CDB/1平面AB,D,. 26女园，三花维p-AC各校长均为1，测校上nER满是PD-D485天，线段C 上的点G满足AG/I平面DEF,点Q在PC上，AQ/IDF. (1)求证：平面AQG1/平面DEF: (2)求证：QG/1EF: 题型06证明线面垂直 27.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD,点E 是棱PB的中点.求证：AB⊥CE, 8/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 28.在如图的空间几何体CABMN中，∠ACB=90°，BC=AC,四边形ABMN为直角梯形，ABIIMN, ∠MBA=90°，BM=1,AB=4,MN=2,CM=√7，D为BC的中点. D (1)证明：DM∥平面ACN; (2)证明：BM⊥平面CMN; 29.如图，PB是圆柱OO的母线，四边形ABCD是底面内接正方形.点E,F是棱BC,CD上的动点(E,F 不与端点重合)，且CE=DF.证明：AE⊥平面PBF D B 30.如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C,D为圆O上不与A,B重合的点，且PO=AB=2, BD=V3,AB⊥CD.求证：BDL平面POC; D 、O ==B D 9119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 31.如图，已知空间四边形ABCD的边BC=AC,AD=BD,作BE⊥CD于点E,作AH⊥BE于点H. 求证：AH⊥平面BCD, B… C 32.如图，在正方体ABCD-A'B'CD'中，E是AD的中点，BD与AC交于点O,AB与AB交于点G. D' A B C B (1)证明：OG∥平面BCCB: (2)证明： EG⊥平面ABC': 题型07线面垂直的性质应用 33. 如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD的中点， M,N分别在AB,PC上，且MN⊥AB,MN⊥PC.证明：AE//MN. E D M 34. 如图所示，在正方体ABCD-A,BCD,中，EF与AC,AD都垂直相交，垂足分别是点F、点E. D C A B E D 10/19