第8章 平面向量（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第二册）

第8章 平面向量（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．（2025·上海·模拟预测）已知，若，则 ． 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）在中，，，，则 . 3．（24-25高二上·甘肃武威·开学考试）已知向量的夹角为，且，，则 ． 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知平面向量，，则在方向上的投影向量为 ． 5．（24-25高三上·上海杨浦·开学考试）若平面向量，，，则向量，的夹角为 . 6．（24-25高三上·山东威海·阶段练习）已知三角形中，是上中线的三等分点满足，记则 . 7．（24-25高一下·上海·单元测试）若，，与的夹角为，则向量与的夹角为 . 8．（24-25高三上·上海闵行·期中）如图，已知点，分别在的边，上，且，，直线交边的延长线于点，记，则 . 9．（23-24高一下·全国·课后作业）已知，不共线，，，要使，是一组基底，则实数的取值范围是 . 10．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是锐角的外心，，若，则实数 . 11．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知在一个平面上过点作单位圆的两条切线和，点和点分别为切点，则的最小值是 . 12．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）设为平面内的任意两个向量，定义一种向量运算“”：对于同一平面内的向量，给出下列结论： ①；②； ③；④若是单位向量，则． 以上所有正确结论的序号是 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且 只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．（24-25高三上·上海·开学考试）设、是非零向量，则“”是“为锐角”的（    ）条件. A．充分必要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 14．（23-24高一下·全国·课后作业）若向量，，，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·广东揭阳）如图，在中，是的中点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一下·上海·期末）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）. （24-25高二上·上海·期中）已知向量，. (1)若与的夹角为，求实数的值； (2)若，求向量在向量上的投影向量坐标. 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）. （23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知是同一平面内的三个向量，其中. (1)若，且，求； (2)若，且与垂直，求实数的值. 19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题8分）. （24-25高一上·河北保定·期末）如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合） (1)证明：为定值； (2)求的最小值，并求此时的，的值. 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）. （24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）在中，为的中点，在边上，交于，且，设 (1)试用表示； (2)若，求的余弦值； (3)若在上，且,设，若，求的范围. 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）. （23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，角A的平分线AD与BC交于点D，且，若，求． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 平面向量（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．（2025·上海·模拟预测）已知，若，则 ． 【答案】/ 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由平面向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由得，解得. 故答案为：. 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）在中，，，，则 . 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标计算数量积即可. 【详解】 如图建立平面直角坐标系，，，， 所以，， 所以， 故答案为： 3．（24-25高二上·甘肃武威·开学考试）已知向量的夹角为，且，，则 ． 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模 【分析】求得，，进而利用可求值. 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知平面向量，，则在方向上的投影向量为 ． 【答案】 【知识点】求投影向量 【分析】利用投影向量的意义求解即可. 【详解】平面向量，， 则， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为： 5．（24-25高三上·上海杨浦·开学考试）若平面向量，，，则向量，的夹角为 . 【答案】 【知识点】反三角函数、向量夹角的计算 【分析】根据数量积的定义可得夹角的余弦值，即可利用反三角函数的性质求解. 【详解】，，， 由于，故. 故答案为： 6．（24-25高三上·山东威海·阶段练习）已知三角形中，是上中线的三等分点满足，记则 . 【答案】1 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】根据已知及向量加减、数乘的几何意义用表示出求参数，即可得结果. 【详解】如图， ， 所以，则. 故答案为：1. 7．（24-25高一下·上海·单元测试）若，，与的夹角为，则向量与的夹角为 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及向量夹角公式计算即得. 【详解】依题意，，， ，， 因此，而， 所以向量与的夹角。 故答案为： 8．（24-25高三上·上海闵行·期中）如图，已知点，分别在的边，上，且，，直线交边的延长线于点，记，则 . 【答案】 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量 【分析】连接，由2次三点共线可得，分别用和表示和，进而可得的值. 【详解】连接，由题意可知，，三点共线，则， 又因为，，三点共线，则， 所以，即，即， 因为， 又因为， 所以. 故答案为：. 9．（23-24高一下·全国·课后作业）已知，不共线，，，要使，是一组基底，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】求出与共线时的值，即可得出与不共线时的取值范围. 【详解】由题意，当时，设， 则有，故可得，解得，； 即当时，， 又因为与是一组基底，所以与不共线，则. 故答案为：. 10．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是锐角的外心，，若，则实数 . 【答案】/ 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、数量积的运算律 【分析】设的外接圆半径为，化简得，结合正弦定理求出值. 【详解】在锐角中，，则， 设的外接圆半径为， 由正弦定理可得，所以，， 又因为， 所以. 所以由外接圆圆心的特点及向量数量积的几何意义可得： ， 所以， 由正弦定理可得， . 故答案为：. 11．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知在一个平面上过点作单位圆的两条切线和，点和点分别为切点，则的最小值是 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】设，把用表示出来，然后求最小值． 【详解】设，，则，. 从而，故. 故. 当时，. 所以的最小值是. 故答案为：． 12．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）设为平面内的任意两个向量，定义一种向量运算“”：对于同一平面内的向量，给出下列结论： ①；②； ③；④若是单位向量，则． 以上所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④ 【知识点】数量积的运算律、向量新定义 【分析】分与是否共线，根据新定义和向量数量积性质，以及向量模的性质可判断①；按照新定义验证与共线的情形可判断②；按照新定义验证，，共线的情形可判断③；根据新定义，结合单位向量的定义可判断④. 【详解】对于①，当与不共线时，； 当与共线时，，①正确. 对于②，当与共线时，，， 所以与不一定相等，②错误. 对于③，当，，共线时，，， 所以与不一定相等，③错误. 对于④，当与不共线时，记，则； 当与共线时，，④正确. 故答案为：①④ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且 只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．（24-25高三上·上海·开学考试）设、是非零向量，则“”是“为锐角”的（    ）条件. A．充分必要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】C 【知识点】判断命题的必要不充分条件、用定义求向量的数量积 【分析】先考虑必要性，再考虑充分性可得解. 【详解】当“为锐角”时，，所以“”是“为锐角”的必要条件； 当时，，所以“”是“为锐角”的不充分条件. 所以“”是“为锐角”的必要不充分条件. 故选：C. 14．（23-24高一下·全国·课后作业）若向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用基底表示向量、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量的坐标运算得出选项. 【详解】, 因为不共线，所以基底表示向量系数 唯一，B正确. 故选：B. 15．（23-24高一下·广东揭阳）如图，在中，是的中点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量基本定理的应用 【分析】由平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为是的中点， 所以， 所以． 故选：D. 16．（23-24高一下·上海·期末）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、利用数量积求参数 【分析】因为与的夹角是锐角，所以且不共线，所以求出且即可得解. 【详解】因为与的夹角是锐角， 所以且， 所以且， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）. （24-25高二上·上海·期中）已知向量，. (1)若与的夹角为，求实数的值； (2)若，求向量在向量上的投影向量坐标. 【答案】(1)或； (2). 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的坐标表示、利用向量垂直求参数、求投影向量 【分析】（1）根据数量积的定义和坐标运算即可求得； （2）根据求得，再根据投影向量的定义即可求得. 【详解】（1）因为，则，，， 若与的夹角为，则由， 可得：，解的：或， 则实数的取值为或. （2），因为，则， 则，可得：，，， 则在方向上的投影向量为：. 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）. （23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知是同一平面内的三个向量，其中. (1)若，且，求； (2)若，且与垂直，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】（1）利用向量平行的坐标表示求得，进而得到，再利用向量的模长公式即可得解； （2）利用向量线性运算的坐标表示得到与，再利用向量垂直的坐标表示列式即可得解. 【详解】（1）因为，，， 所以，，， 所以. （2）因为，， 所以，， 又与垂直，所以， 即，则. 19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题8分）. （24-25高一上·河北保定·期末）如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合） (1)证明：为定值； (2)求的最小值，并求此时的，的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）求出，从而由三点共线，可得答案； （2）结合（1）可得，化简后利用基本不等式可求得结果. 【详解】（1）因为是边边上中线，，所以. 又是的中点，， 所以. 因为三点共线，所以且 所以，即为定值； （2）由（1） 所以 ， 当且仅当,即时，等号成立. 所以时，的最小值. 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）. （24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）在中，为的中点，在边上，交于，且，设 (1)试用表示； (2)若，求的余弦值； (3)若在上，且,设，若，求的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律、向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】（1）由，三点共线结合平面向量基本定理可得答案； （2）由（1）及题目条件，结合两向量夹角余弦公式可得答案； （3）设，结合及（1）可得 ，即可得出结果. 【详解】（1）由三点共线，则存在使得， 则，整理可得， 由三点共线，则存在使得， 则，整理可得； 根据平面向量基本定理可得，解得； 因此； （2）由（1）可得， 又，由①可得； 又，则, 则， ， ； 则， 所以的余弦值为. （3）由（1）可知，则， 由共线，设， 又，可得， 则，可得； 所以，即， 因此，又，则， 则，解得，故的范围为. 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）. （23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，角A的平分线AD与BC交于点D，且，若，求． 【答案】(1)1 (2)①证明见详解；② 【知识点】充要条件的证明、数量积的运算律、向量夹角的坐标表示、向量新定义 【分析】（1）根据题意直接代入公式运算即可； （2）①根据向量的坐标运算可得，进而可知，结合题意即可分析证明；②根据角平分线的性质结合数量积可得，且可知点为的重心，进而求，即可得结果. 【详解】（1）因为， 所以. （2）①因为 ， 且，，则， 所以. 若，等价于，即， 所以的充分必要条件是； ②因为角A的平分线AD与BC交于点D，则，即， 则， 可得， 即，可得， 又因为，可知点为的重心，则， 可得， 则， ， ， 可得， 所以. 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是平面向量的数量积的坐标表示. / 学科网（北京）股份有限公司 $$