第8章 平面向量 易错训练与压轴训练（5易错+4压轴）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第二册）

第8章 平面向量 易错训练与压轴训练 01 目录 易错题型一 忽视零向量 1 易错题型二 向量找夹角忽视了共起点 2 易错题型三 向量数量积不满足结合律 2 易错题型四 求向量模忽视了开根号 3 易错题型五 两个向量成锐角（钝角）忽略了同向共线（反向共线） 3 压轴题型一　坐标法求向量数量积最值（范围） 4 压轴题型二 向量数量积的极化恒等式法 5 压轴题型三 向量模的最值（范围） 5 压轴题型四 三角形四心 6 02 易错题型 易错题型一 忽视零向量 例题1：（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列叙述中正确的个数是（    ） ①若，则 ；②若，则或；③若，则；④若，则. A． B． C． D． 例题2：（23-24高二下·重庆·期末）下列命题中，正确的个数是（    ） ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若满足，且与同向，则 ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若，则 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 巩固训练 1．（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）下列说法中正确的是（　　） A．若都是单位向量，则 B．已知，为非零实数，若，则与共线 C．与非零向量共线的单位向量是唯一的 D．若向量，，则 2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．两个单位向量的长度相等 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 易错题型二 向量找夹角忽视了共起点 例题1：（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）若向量都是单位向量，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 易错题型三 向量数量积不满足结合律 例题1：（23-24高一下·广东梅州·阶段练习）下面给出的关系式中，正确的个数是 （    ） ①；②；③； ④；⑤. A．0 B．1 C．2 D．3 例题2：（2024高一下·全国·专题练习）对于任意向量，下列命题中正确的是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）在等式①；②；③；④若，且，则；其中正确的命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）对于任意的平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B．若，且，则 C．若且，则 D． 易错题型四 求向量模忽视了开根号 例题1：（24-25高二上·云南昭通·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 例题2：（23-24高一·上海·课堂例题）已知向量，，求的坐标及． 巩固训练 1．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知平面向量，且，则（    ） A．2 B．16 C．4 D．5 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则 . 易错题型五 两个向量成锐角（钝角）忽略了同向共线（反向共线） 例题1：（23-24高二上·上海杨浦）已知，向量，. （1）若向量与平行，求k的值； （2）若向量与的夹角为钝角，求k的取值范围 例题2：（23-24高一下·上海浦东新）已知. (1)若，求实数的值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 巩固训练 1．（23-24高二·上海青浦）已知若,,和夹角为钝角,则的取值范围是 . 2．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）已知，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 . 03 压轴题型 压轴题型一　坐标法求向量数量积最值（范围） 例题1：（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2：（23-24高一下·上海·期末）如图，正六边形的边长为，半径为1的图的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为 例题3：（23-24高三下·上海松江·阶段练习）如图，在矩形中，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为 . 巩固训练 1．（23-24高一下·上海·期末）已知是边长为6的等边三角形，是的内切圆上一动点，则的最大值为 ． 2．（2024·上海崇明）正方形的边长为4，点是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点．点为平面上一点，满足，则的最小值为 ． 3．（23-24高一下·上海杨浦）在中，，，.为所在平面内的动点，且，则的取值范围是 . 压轴题型二 向量数量积的极化恒等式法　 ①平行四边形形式：若在平行四边形中，则 ②三角形形式：在中，为的中点，所以 例题1：（24-25高三上·河南·阶段练习）铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．2 D．4 例题2：（2024·四川乐山·一模）已知正方形边长为，是正方形的外接圆的一条动弦，，为正方形边上的动点，则的最大值为 . 巩固训练 1．（24-25高三上·上海浦东新·期中）在中，，，，P，Q是平面上的动点，，M是边BC上的一点，则的最小值为 ． 2．（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是 ． 压轴题型三 向量模的最值（范围） 例题1：（24-25高三上·山东青岛·期中）已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 例题2：（24-25高二上·上海·阶段练习）已知是实数，向量、、满足，，，则的最小值为 巩固训练 1．（2024·上海闵行·二模）已知、是空间中两个互相垂直的单位向量，向量满足，且，当取任意实数时，的最小值为 . 2．（2025高三·全国·专题练习）平面直角坐标系中，角 满足 ，设点 是角 终边上一动点，则 的取值范围为 压轴题型四 三角形四心　 例题1：（23-24高一下·河南郑州·期中）已知O，P，N在所在平面内，满足，且，则点P，O，N依次是的（    ） A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心 C．垂心，外心，重心 D．外心，重心，内心 例题2：（23-24高一下·江西·期末）已知点O是的重心，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，则 . 巩固训练 1．（2024高三·全国·专题练习）设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则点P的轨迹经过的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 2．（23-24高一下·天津·期中）已知G是的重心，若，则（    ） A． B． C． D． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 平面向量 易错训练与压轴训练 01 目录 易错题型一 忽视零向量 1 易错题型二 向量找夹角忽视了共起点 3 易错题型三 向量数量积不满足结合律 4 易错题型四 求向量模忽视了开根号 6 易错题型五 两个向量成锐角（钝角）忽略了同向共线（反向共线） 7 压轴题型一　坐标法求向量数量积最值（范围） 9 压轴题型二 向量数量积的极化恒等式法 14 压轴题型三 向量模的最值（范围） 17 压轴题型四 三角形四心 19 02 易错题型 易错题型一 忽视零向量 例题1：（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列叙述中正确的个数是（    ） ①若，则 ；②若，则或；③若，则；④若，则. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量、平面向量的概念与表示 【分析】由向量不能比较大小判断①；举反例判断②；由时判断③；由相等向量和平行向量的关系判断④. 【详解】因为向量不能比较大小，所以①错误， 单位向量模都为1，方向任意，所以②错误， 当时，和可能不平行，所以③错误， 两个向量相等则它们一定平行，所以④正确. 故选：B 例题2：（23-24高二下·重庆·期末）下列命题中，正确的个数是（    ） ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若满足，且与同向，则 ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若，则 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量 【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可. 【详解】单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误； 模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误； 向量有方向，不能比较大小，故③错误； 向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点与终点不一定相同，故④错误； 当时，可满足，但与不一定平行，故⑤错误； 综上，正确的个数是0， 故选：A． 巩固训练 1．（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）下列说法中正确的是（　　） A．若都是单位向量，则 B．已知，为非零实数，若，则与共线 C．与非零向量共线的单位向量是唯一的 D．若向量，，则 【答案】B 【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量 【分析】利用两向量相等：大小相等、方向相同，即可判断A错误; 对于B选项：由两向量共线定理判断即可；与非零向量共线的单位向量方向可与其相同也可相反即可判断C错误;当时，D错误. 【详解】对于A选项：都是单位向量，即，但方向可能不一样.故A错误; 对于B选项：，为非零实数，若，即，由两向量共线定理可知与共线.故B正确; 对于C选项：与非零向量共线的单位向量有两个：与.故C错误. 对于D选项：当时，错误. 故选：B. 2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．两个单位向量的长度相等 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【答案】C 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】A. 由判断；B.由平面向量的定义判断；C. 由单位向量的定义判断； D.由共线向量判断. 【详解】A. 当时，满足，，而不一定平行，故错误； B.两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误； C. 由单位向量的定义知，两个单位向量的长度相等，故正确； D.若两个单位向量平行，则方向相同或相反，但大小不一定相同，则这两个单位向量不一定相等，故错误； 故选：C 易错题型二 向量找夹角忽视了共起点 例题1：（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】根据向量的模长公式可得，即可根据夹角公式求解，或者利用向量的几何法求解. 【详解】依题意，，可得， 构造如图所示的图形，观察可知， 故选：B． 巩固训练 1．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）若向量都是单位向量，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的计算 【分析】作，根据菱形性质可得. 【详解】设，因为， 则，解得， 因为，所以， 所以四边形是的菱形， 所以与的夹角即. 故选：A. 易错题型三 向量数量积不满足结合律 例题1：（23-24高一下·广东梅州·阶段练习）下面给出的关系式中，正确的个数是 （    ） ①；②；③； ④；⑤. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、向量数乘的有关计算 【分析】根据数量积的运算律及定义一一判断即可. 【详解】对于①：，故①正确； 根据数量积的运算律可知②，③均正确； 对于④：因为表示与共线的向量，表示与共线的向量， 所以不一定成立，故④错误； 对于⑤：因为，又， 所以，故⑤错误. 故选：D 例题2：（2024高一下·全国·专题练习）对于任意向量，下列命题中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法法则的几何应用、用定义求向量的数量积、平面向量数量积的定义及辨析 【分析】利用向量的数量积及向量加法法则，逐项分析判断即得. 【详解】，当且仅当共线时取等号，A错误； 由向量加法的三角形法则知，，当且仅当同向或至少一个为零向量时取等号，B错误； 是与共线的向量，是与共线的向量，因此与不一定相等，C错误； ，因此，D正确. 故选：D 巩固训练 1．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）在等式①；②；③；④若，且，则；其中正确的命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析 【分析】由零向量、向量数乘、数量积等概念和性质，即可判断正误，进而确定答案. 【详解】零向量与任何向量的数量积都为0，故①错误； 0乘以任何向量都为零向量，故②正确； 向量的加减、数乘满足结合律，而向量数量积不满足结合律，故③错误； 不一定有，如满足条件，结论不成立，故④错误； 故选：A 2．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）对于任意的平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B．若，且，则 C．若且，则 D． 【答案】C 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、平面向量数量积的定义及辨析、平面向量数量积的几何意义 【分析】平面向量共线的传递性可得A错误，由向量数量积的定义可判断B，根据向量相等的概念可判断C，根据数量积及共线向量的概念可判断D. 【详解】对A，若且，则当为零向量时，与不一定共线，即A错误； 对B，若，则， 又，所以， 因为与的夹角不一定相等，所以不一定成立，即B错误； 对C，若且，则，即C正确； 对D，因为与共线，与共线， 所以不一定成立，即D错误. 故选：C． 易错题型四 求向量模忽视了开根号 例题1：（24-25高二上·云南昭通·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】由题意，根据向量平行与向量垂直的坐标表示得、，进而求出的坐标，结合向量的几何意义计算即可求解. 【详解】由，得，解得， 由，得，解得， 所以， 则. 故选：D 例题2：（23-24高一·上海·课堂例题）已知向量，，求的坐标及． 【答案】， 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】根据平面向量的坐标运算，模长公式求解即可. 【详解】根据向量的坐标运算公式， ， . 巩固训练 1．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知平面向量，且，则（    ） A．2 B．16 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示、坐标计算向量的模 【分析】根据模的坐标运算得，根据垂直关系可得，再根据模长关系运算求解. 【详解】因为，所以，， 又因为，所以，则， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则 . 【答案】10 【知识点】坐标计算向量的模、向量模的坐标表示 【分析】根据题意，由向量模长的坐标表示代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，，则， 所以. 故答案为： 易错题型五 两个向量成锐角（钝角）忽略了同向共线（反向共线） 例题1：（23-24高二上·上海杨浦）已知，向量，. （1）若向量与平行，求k的值； （2）若向量与的夹角为钝角，求k的取值范围 【答案】（1）或；（2）. 【知识点】由向量共线（平行）求参数、利用数量积求参数 【解析】（1）利用向量平行的坐标表示列式计算即得结果； （2）利用，且不共线，列式计算即得结果. 【详解】解：（1）依题意，，， 又，得，即 解得或； （2）与的夹角为钝角，则，即， 即，解得或. 由（1）知，当时，与平行，舍去， 所以. 【点睛】思路点睛：两向量夹角为锐角（或钝角）的等价条件： （1）两向量夹角为锐角，等价于，且不共线； （2）两向量夹角为钝角，等价于，且不共线. 例题2：（23-24高一下·上海浦东新）已知. (1)若，求实数的值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2)且 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算 【分析】（1）根据向量共线的性质，列式计算即可； （2）设夹角为，则，得到，计算可得的范围，注意与不同向共线. 【详解】（1）若，则，解得. （2）若与夹角为锐角，设该夹角为，则， 故只需，解得 且与不同向共线，即， 所以实数的取值范围为且. 巩固训练 1．（23-24高二·上海青浦）已知若,,和夹角为钝角,则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示 【分析】根据题意，由向量数量积的性质分析可得有，且和不平行，得到不等式组，解得的取值范围，即可得答案． 【详解】解：,，和夹角为钝角， 解得且即 故答案为： 【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，涉及向量夹角的判定，属于基础题． 2．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）已知，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 . 【答案】λ>－5且λ≠－ 【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示 【分析】依据两个向量的夹角为锐角，所以可得且，然后计算即可. 【详解】因为与的夹角为锐角，则，且， 即＝2＋λ＋3>0，且，则λ>－5且λ≠－. 故答案为：λ>－5且λ≠－. 03 压轴题型 压轴题型一　坐标法求向量数量积最值（范围） 例题1：（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】利用三角形的对称性建立坐标系，利用坐标运算再结合二次函数求出结果即可. 【详解】以中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， 设， 则， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意建立坐标系，用坐标表示向量的数量积计算即得. 例题2：（23-24高一下·上海·期末）如图，正六边形的边长为，半径为1的图的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】根据题意，以为原点建立平面直角坐标系，设点，则，将表示为关于的表达式，结合正六边形的性质算出的取值范围. 【详解】以为原点，六边形的左、右顶点所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则圆的方程为，当在轴下方，且位于正六边形与轴平行的边上时， 的纵坐标为，可得，其中， 设，则，． 可得，， 所以， 结合，当时，有最小值5， 当时，有最大值7，可知， 根据图形的对称性，可知：当在正六边形其它的边上时，也成立. 综上所述，的取值范围为. 故答案为： 例题3：（23-24高三下·上海松江·阶段练习）如图，在矩形中，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法计算数量积，再由二次函数的性质计算可得. 【详解】如图，以为原点建立平面直角坐标系，则，，，， 设，则，， 则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 当时，当时，当时， 所以. 故答案为： 巩固训练 1．（23-24高一下·上海·期末）已知是边长为6的等边三角形，是的内切圆上一动点，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】取的中点，建立平面直角坐标系，设，，表示出，，根据数量积的坐标表示及余弦函数的性质计算可得. 【详解】如图取的中点，建立平面直角坐标系，则，，， 则内切圆的圆心在上，设圆心为，则为靠近的三等分点，即， 内切圆的半径， 因为点是的内切圆上一动点，设，， 则，， 所以， 因为，所以， 则， 则，当，即时取得最大值. 故答案为： 2．（2024·上海崇明）正方形的边长为4，点是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点．点为平面上一点，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，根据求出点的坐标，设出，将转化为关于，即可求出其最小值. 【详解】如图，以为坐标原点，以过且平行于的直线为轴，以过且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，则, 所以， 所以，即点的坐标为， 设，则（）， 所以， 所以 ， 所以当，且时，取得最小值， 故答案为：    3．（23-24高一下·上海杨浦）在中，，，.为所在平面内的动点，且，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】建立直角坐标系表示各点坐标，再利用三角恒等变换即可求出结果. 【详解】    如图所示建立直角坐标系，设， 为所在平面内的动点，且， 设， 则， ， 其中， 则的取值范围是， 故答案为：. 压轴题型二 向量数量积的极化恒等式法　 ①平行四边形形式：若在平行四边形中，则 ②三角形形式：在中，为的中点，所以 例题1：（24-25高三上·河南·阶段练习）铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【知识点】向量加法法则的几何应用、数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】取的中点，连接，由向量的加法和数量积结合图形运算即可； 【详解】 取的中点，连接（图略），则 ． 因为正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合， 所以，所以． 故选：B. 例题2：（2024·四川乐山·一模）已知正方形边长为，是正方形的外接圆的一条动弦，，为正方形边上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】向量减法的运算律、数量积的运算律 【分析】根据题意，正方形外接圆的半径，取弦的中点，求得，再由，得到,进而求得的最大值. 【详解】如图所示，因为正方形边长为，可得圆的半径为， 又因为是正方形的外接圆的一条动弦，且， 取弦的中点，可得， 则， 所以, 因为，即在以为圆心，半径为的圆上， 当点在正方形边与圆的交点上时，此时， 所以，即的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用圆上弦中点的特点将问题转化为求的最值，从而得解. 巩固训练 1．（24-25高三上·上海浦东新·期中）在中，，，，P，Q是平面上的动点，，M是边BC上的一点，则的最小值为 ． 【答案】2 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】根据向量运算可得，结合图形分析的最小值即可得结果. 【详解】取PQ的中点N，则， 可得， ∵，当且仅当N在线段AM上时，等号成立， 故， 显然当时，取到最小值， ∴， 故. 故答案为：2. 2．（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】结合图形将所求数量积中的向量转化，化简为，从而只需求的取值范围，由图易得的最大最小值，代入即得. 【详解】 如图，取的中点,连接. 则, 因为圆的直径，长度为4，故得,要求的取值范围，即要求的取值范围. 根据正六边形的性质，结合图形可知，当点与正六边形的顶点重合时， 当点为正六边形的边的中点时(如图点)，故. 故答案为： 【点睛】思路点睛：本题解题思路在于结合图形的特点，分别将其中的向量进行分解、计算、化简，将问题转化为求距离的最大最小值问题. 压轴题型三 向量模的最值（范围） 例题1：（24-25高三上·山东青岛·期中）已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】根据向量共线定理设(t∈R)，得，两边平方根据二次函数知识可得结果. 【详解】因为向量与共线，所以可设(t∈R)， 所以，所以， 因为向量，为单位向量，且， 所以， 所以，所以的最小值为. 故选：A 例题2：（24-25高二上·上海·阶段练习）已知是实数，向量、、满足，，，则的最小值为 【答案】． 【知识点】已知数量积求模 【分析】已知等式平方求得，同时求得，然后求转化为关于的二次函数，可得最小值，从而得出结论． 【详解】∵，∴，即，即， 又，所以， ， 所以时，，即． 故答案为：． 巩固训练 1．（2024·上海闵行·二模）已知、是空间中两个互相垂直的单位向量，向量满足，且，当取任意实数时，的最小值为 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】由向量的模长和数量积的运算结合二次函数求出最值即可. 【详解】因为，，，， 所以 ， 所以当时，的最小值为， 故答案为：. 2．（2025高三·全国·专题练习）平面直角坐标系中，角 满足 ，设点 是角 终边上一动点，则 的取值范围为 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】设 ，先由二倍角公式求得， 得 为第四象限的角， 求得，求得，再利用向量数量积知识将化成的函数，求其值域即得答案. 【详解】设 ， 由 ， ∴ 为第四象限的角，不妨设，则， ， 所以 （当且仅当 时等号成立）， 所以 的取值范围为 . 故答案为：. 压轴题型四 三角形四心　 例题1：（23-24高一下·河南郑州·期中）已知O，P，N在所在平面内，满足，且，则点P，O，N依次是的（    ） A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心 C．垂心，外心，重心 D．外心，重心，内心 【答案】C 【知识点】三角形的心的向量表示 【分析】根据到三角形三个顶点的距离相等，得到为外心；根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 【详解】，到三个顶点的距离相等，所以为外心； ，，所在直线经过中点，与中线共线，同理可得，分别与，边的中线共线，是三角形中三条中线的交点，是重心； ，，，同理得到另外两个向量都与边垂直，得到是三角形的垂心. 故选：C. 例题2：（23-24高一下·江西·期末）已知点O是的重心，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，则 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、三角形的心的向量表示 【分析】利用重心的向量性质，即可得到边的关系，再利用余弦定理即可求角. 【详解】由点O是的重心，可知：， 又，可设，则， 再由余弦定理得：， 又因为，所以. 故答案为： 巩固训练 1．（2024高三·全国·专题练习）设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则点P的轨迹经过的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】C 【知识点】向量的线性运算的几何应用、三角形的心的向量表示、数量积的运算律 【分析】根据数量积的运算可得，进而根据可得，结合垂线的定义即可求解. 【详解】， 则，即，故，即点的轨迹经过的垂心. 故选：C 2．（23-24高一下·天津·期中）已知G是的重心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形、三角形的心的向量表示、正弦定理边角互化的应用 【分析】先利用正弦定理得，再由三角形重心性质得出，再结合三边一角用余弦定理即可求出结果. 【详解】因为， 所以由正弦定理得， 由三角形重心性质知，得， 即， 故由余弦定理得. 故选：D / 学科网（北京）股份有限公司 $$