压轴题10 向量的坐标表示及应用（四类压轴必考题型+压轴能力测评）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学下册压轴题攻略（沪教版2020必修第二册）

压轴题10 向量的坐标表示及应用 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 类型一、向量基本定理 2 类型二、向量线性运算的坐标表示 6 类型三、向量数量积与夹角的坐标表示 8 类型四、向量的应用 13 压轴能力测评（28题） 15 知识点01 平面向量的基底、坐标、坐标表示、特殊向量的坐标 （1）基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底. （2）坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对（x，y）叫做向量a的坐标. （3）坐标表示：a＝（x，y）. （4）特殊向量的坐标：i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）. 知识点02 平面向量的加减法坐标运算 设向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），λ∈R，则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a＋b＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2） 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a－b＝（x 1－x 2，y 1－y 2） 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则＝（x 2－x 1，y 2－y 1） 知识点03 平面向量数乘运算的坐标表示 设向量a＝（x，y），则有λa＝（λx，λy），这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 知识点04 平面向量共线的坐标表示与中点坐标公式 设a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），其中b≠0.向量a，b（b≠0）共线的充要条件是x 1 y 2－x 2 y 1＝0. 中点坐标公式：若P 1，P 2的坐标分别是（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段P 1P 2的中点P的坐标为（x，y），则.此公式为线段P 1 P 2的中点坐标公式. 知识点05 两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 已知两个非零向量，向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），a与b的夹角为θ. 数量积：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：a·b＝x 1 x 2＋y 1 y 2 向量垂直：a⊥b⇔x 1 x 2＋y 1 y 2＝0 知识点06 与向量的模、夹角相关的三个重要公式 ①向量的模：设a＝（x，y），则|a|＝. ②两点间的距离公式：若A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则||＝. ③向量的夹角公式：设两非零向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），a与b的夹角为θ，则 知识点07 平面几何中的向量方法 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；（3）把运算结果“翻译”成几何关系. 知识点08 向量在物理中的应用举例 （1）向量与力：向量是既有大小，又有方向的量，它们可以有共同的起点，也可以没有共同的起点.而力是既有大小和方向，又有作用点的量.用向量知识解决力的问题时，往往把向量平移到同一作用点上. （2）向量与速度、加速度、位移：速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算. （3）向量与功、动量：力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ（θ为F和s的夹角）.动量mν实际上是数乘向量. 类型一、向量基本定理 1．（23-24高一下·上海·期末）如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形的边长为1，则（  ）. A．0 B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·期中）已知平面上不共线的三点，点在该平面上且不与重合.若动点满足，则点一定落在的（    ） A．某一边上的高所在直线上 B．某一边上的中线所在直线上 C．某一内角的角平分线所在直线上 D．某一边上的中垂线所在直线上 3．（23-24高一下·上海·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，点在边上，且与相交于点，若，则实数 . 4．（22-23高一下·江苏淮安·期中）中，，，，是边上的中线，，分别为线段，上的动点，交于点.若面积为面积的一半，则的最小值为 5．（23-24高一下·上海浦东新·期中）矩形中，，，动点满足，，则下列说法中正确的是 . ①若，则的面积为定值            ②若，则的最小值为4     ③若，则满足的点不存在    ④若，，则的面积为 6．（22-23高一下·上海浦东新·期中）如图，中，，，CD与BE交于F，设，，，则为 ． 7．（21-22高一下·上海嘉定·期末）如图，三角形ABC中，，D是线段BC上一点，且，F为线段AB的中点，AD交CF于点M，若，则 . 8．（21-22高一下·上海普陀·期末）“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围为 . 9．（23-24高一下·上海·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则 . 10．（23-24高一下·上海·期中）在中，，，的平分线交于点．若，则 ． 11．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知 三点共线于直线，对直线外任意一点，都有，则的最小值为 ． 12．（21-22高一下·上海闵行·期中）如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，，，. (1)用表示，，； (2)求证：B，E，F三点共线. 13．（21-22高一下·上海宝山·期中）如图，在中，，．点D在边BC上，且． (1)，，求； (2)，AD恰为BC边上的高，求角A； (3)，求t的取值范围． 类型二、向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）已知点，将绕坐标原点逆时针方向旋转至，再将延长至，使，则点的坐标为 . 2．（23-24高一下·上海·期中）如图所示，是正六边形的外接圆，若点是上的动点，设，则的最大值是 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上三点A、B、C的坐标分别是、、，P为直线AC上的一动点，问：P在什么位置时，取到最小值？ 4．（23-24高一下·上海·期中）已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值． 5．（23-24高一下·上海·期中）将所有平面向量组成的集合记作．如果对于向量，存在唯一的向量与之对应，其中坐标由确定，则把这种对应关系记为或者，简记为．例如就是一种对应关系．若在的条件下有最大值，则称此最大值为对应关系的模，并把的模记作；若存在非零向量及实数使得，则称为的一个特征值． (1)如果，求； (2)如果，计算的特征值，并求相应的； (3)若，要使有唯一的特征值，实数应满足什么条件？试找出一个对应关系，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②，并验证满足这两个条件． 6．（23-24高一下·上海浦东新·期中）个有次序的实数，，，所组成的有序数组，，，称为一个维向量，其中，2，，称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，，，称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且． (1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量． (2)证明：不存在6个两两垂直的6维信号向量． (3)已知个两两垂直的2024维信号向量，，，满足它们的前个分量都是相同的，求证：． 类型三、向量数量积与夹角的坐标表示 1．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知平面向量，，若是直角三角形，则的可能取值是（    ） A．2 B． C．5 D． 2．（22-23高一下·上海浦东新·期末）矩形中，，，动点满足，，，则下列说法中错误的是（    ） A．若，则的面积为定值 B．若，则的最小值为 C．若，则满足的点不存在 D．若，，则的面积为 3．（22-23高一下·上海松江·期中）设平面向量，，满足：，，，，则的取值范围是 ． 4．（23-24高一下·上海宝山·期中）将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，……，，若的坐标为则的值为 5．（23-24高一下·上海·期末）如图，正六边形的边长为，半径为1的图的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为 6．（23-24高一下·上海·期末）已知是边长为6的等边三角形，是的内切圆上一动点，则的最大值为 ． 7．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，其图像的最高点从左到右依次记为，，，，，其图像与轴的交点从左到右依次记为，，，，，则 8．（23-24高一下·上海松江·期末）已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为 ． 9．（21-22高一下·上海黄浦·期中）已知、、、、五个点，满足，，则的最小值为 ． 10．（21-22高一下·上海黄浦·期末）已知向量，，. (1)若，，三点共线，求实数的值； (2)若为锐角，求实数的取值范围. 11．（23-24高一下·上海·期中）已知的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，. (1)若，试判断的形状并证明； (2)若，边长，角，求的面积. 12．（21-22高一下·上海徐汇·期末）已知向量，单位向量与向量的夹角为． (1)求向量； (2)若向量与坐标轴不平行，且与向量垂直，令，请将t表示为x的函数，并求的最大值． 13．（22-23高一下·上海奉贤·期中）已知、是同一平面内的两个向量，其中，． (1)求与的夹角； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 14．（21-22高一下·上海长宁·期末）（1）已知点，点是直线上一点，且，求点的坐标； （2）已知与的夹角为，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 15．（22-23高一下·上海静安·期末）如图，平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基.若，则将有序实数对称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为.        (1)记向量，，求向量在这个基下的斜坐标； (2)设，，求； (3)请以（2）中的问题为特例，提出一个一般性的问题，并解决问题. 16．（23-24高一下·上海·期中）定义向量的“对应函数”为；函数的“对应向量”为（其中为坐标原点），记平面内所有向量的“对应函数”构成的集合为 (1)设，求证： (2)已知且，是函数的“对应向量”，，求 (3)已知，向量的“对应函数”在处取得最大值，当变化时，求的取值范围 17．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知坐标平面内，向量，，． (1)求满足的实数、； (2)若向量满足，且，求的坐标． 18．（23-24高一下·上海徐汇·期末）平面直角坐标系中，设点是线段的等分点，其中.    (1)当时，试用表示； (2)当时，求的值； (3)当时，求的最小值. 19．（23-24高一下·上海·期中）已知平面上不共线的三点，且，是的中点. (1)若，求的余弦值； (2)若是线段上任意一点，且，求的最小值； (3)若是内一点，且，求的最小值. 20．（22-23高一下·上海黄浦·期末）如图，已知为平行四边形．    (1)若，，，求及的值； (2)记平行四边形的面积为，设，，求证： 21．（23-24高一下·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点在直线上运动，动点在直线上运动，为平面上的一个动点，记，，. (1)若，，求与夹角的余弦值； (2)若，求的取值范围； (3)若点，且满足，求的最小值. 类型四、向量的应用 1．（20-21高一下·上海奉贤·期中）设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高一下·上海宝山·期中）设O为△ABC内部的一点，且，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为 ． 3．（21-22高一下·上海浦东新·期中）点在△所在的平面内，则以下说法正确的有 ． ①若，则点为△的重心； ②若，则点为△的垂心； ③若，则点为△的外心． 4．（23-24高一下·上海·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10，点在其边上运动，则的取值范围是 . 5．（21-22高一下·上海浦东新·阶段练习）已知平面向量满足，且与的夹角为，则的取值范围是 . 6．（23-24高一下·上海·期中）已知线段经过半径为12的圆的圆心，且，，若，为此圆上的两个动点，则的取值范围为 . 7．（21-22高一下·上海浦东新·期末）在梯形中，，分别为直线上的动点. (1)当为线段上的中点，试用和来表示； (2)若，求； (3)若为的重心，若在同一条直线上，求的最大值. 8．（23-24高一下·上海·阶段练习）如图，点是重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线． (1)设，将用、、表示； (2)设，，问：是否是定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，记与的面积分别为、，求的取值范围． 一、单选题 1．（21-22高一下·上海长宁·阶段练习）已知的外心是O，且，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·上海黄浦·阶段练习）在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 3．（22-23高一下·上海浦东新·期中）在△ABC中，G满足，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点． 若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·上海·期中）如图，的三边长为，且点分别在轴，轴正半轴上移动，点在线段的右上方．设，记，分别考查的所有可能结果，则（    ） A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值 C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值 二、填空题 5．（22-23高一下·上海黄浦·阶段练习）已知A、B、C是半径为1的圆O上的三点，AB为圆O的直径，P为圆O上一点，则的取值范围为 . 6．（22-23高一下·上海杨浦·期末）在中，，，.为所在平面内的动点，且，则的取值范围是 . 7．（21-22高一下·上海浦东新·阶段练习）已知､､､，则向量在方向上的投影向量为 8．（21-22高一下·上海浦东新·阶段练习）平面直角坐标系中，，，，为等腰直角三角形，且A､B､C按顺时针排列，则B点的坐标为 9．（21-22高一下·上海奉贤·阶段练习）已知正方形的边长为2，点满足，则 ． 10．（23-24高一下·上海·阶段练习）如图，点P是线段OB及AB的延长线、AO的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且，则x的取值范围是 ．      11．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）已知向量，若与的夹角为锐角，其中，则的取值范围是 ． 12．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点，，则的值为 . 13．（21-22高一下·上海闵行·期末）如图，△ABO中，已知，，，，则用向量，表示＝ ． 14．（21-22高一下·上海长宁·期中）已知平面向量、、满足，，，，则最大值为 . 15．（21-22高一下·上海宝山·阶段练习）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有 ． ①   ② ③     ④ 16．（21-22高一下·上海奉贤·阶段练习）已知，向量，，，、、是坐标平面上的三点，使得，，则的最大值为 ． 17．（22-23高一下·上海·期中）已知函数（），其图像的最高点从左到右依次记为，其图像与轴的交点从左到右依次记为，则 . 18．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中分别是轴，轴正方向的单位向量），则点的斜坐标为，且向量的斜坐标为.给出以下结论，其中所有正确的结论的序号是 ①若，，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则 三、解答题 19．（22-23高一下·上海松江·期中）已知是坐标原点，， (1)求向量在方向上的投影向量的坐标和数量投影； (2)若，，，请判断C、D、E三点是否共线，并说明理由. 20．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知平面内给定三个向量． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 21．（23-24高一下·上海·期中）如下图，是线段外一点，是线段的垂直平分线上的动点 (1)若，求 (2)求 22．（22-23高一下·上海奉贤·阶段练习）设平面上有两个向量. (1)求的最大值； (2)当向量与的模相等时，求的大小（用角度制表示）. 23．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）已知向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求向量与的夹角． 24．（23-24高一下·上海·期中）已知向量，，函数，. (1)若，求的值； (2)用表示，若时，的最小值为，求实数的值； (3)设为正整数，函数在区间上恰有2024个零点，请求出所有满足条件的的值及相应的取值范围. 25．（20-21高一下·广东深圳·期末）如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设． (1)用表示； (2)如果，且，求． 26．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）如图，点、分别是角、的终边与单位圆的交点，. (1)若，，求的值； (2)证明角、在上述范围下的两角差的余弦公式，即. 27．（22-23高一下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，，设点，是线段AB的n等分点，其中，. (1)当时，使用，表示，； (2)当时，求的值； (3)当时，求（，，i，）的最小值. 28．（21-22高一下·上海浦东新·阶段练习）设是边长为1的正三角形，点四等分线段（如图所示）. (1)求的值； (2)为线段上一点，若，求实数的值； (3)在边的何处时，取得最小值，并求出此最小值. 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题10 向量的坐标表示及应用 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 类型一、向量基本定理 2 类型二、向量线性运算的坐标表示 14 类型三、向量数量积与夹角的坐标表示 20 类型四、向量的应用 41 压轴能力测评（28题） 49 知识点01 平面向量的基底、坐标、坐标表示、特殊向量的坐标 （1）基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底. （2）坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对（x，y）叫做向量a的坐标. （3）坐标表示：a＝（x，y）. （4）特殊向量的坐标：i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）. 知识点02 平面向量的加减法坐标运算 设向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），λ∈R，则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a＋b＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2） 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a－b＝（x 1－x 2，y 1－y 2） 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则＝（x 2－x 1，y 2－y 1） 知识点03 平面向量数乘运算的坐标表示 设向量a＝（x，y），则有λa＝（λx，λy），这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 知识点04 平面向量共线的坐标表示与中点坐标公式 设a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），其中b≠0.向量a，b（b≠0）共线的充要条件是x 1 y 2－x 2 y 1＝0. 中点坐标公式：若P 1，P 2的坐标分别是（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段P 1P 2的中点P的坐标为（x，y），则.此公式为线段P 1 P 2的中点坐标公式. 知识点05 两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 已知两个非零向量，向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），a与b的夹角为θ. 数量积：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：a·b＝x 1 x 2＋y 1 y 2 向量垂直：a⊥b⇔x 1 x 2＋y 1 y 2＝0 知识点06 与向量的模、夹角相关的三个重要公式 ①向量的模：设a＝（x，y），则|a|＝. ②两点间的距离公式：若A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则||＝. ③向量的夹角公式：设两非零向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），a与b的夹角为θ，则 知识点07 平面几何中的向量方法 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；（3）把运算结果“翻译”成几何关系. 知识点08 向量在物理中的应用举例 （1）向量与力：向量是既有大小，又有方向的量，它们可以有共同的起点，也可以没有共同的起点.而力是既有大小和方向，又有作用点的量.用向量知识解决力的问题时，往往把向量平移到同一作用点上. （2）向量与速度、加速度、位移：速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算. （3）向量与功、动量：力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ（θ为F和s的夹角）.动量mν实际上是数乘向量. 类型一、向量基本定理 1．（23-24高一下·上海·期末）如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形的边长为1，则（  ）. A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】通过作辅助线，将相关向量线性表示出来，再利用数量积定义式和运算律计算即得. 【详解】 如图，连接，延长交于点，延长交于点. 则由题意和图形的对称性，可知， 且，， 由题意可知， . 故选：D. 2．（23-24高一下·上海·期中）已知平面上不共线的三点，点在该平面上且不与重合.若动点满足，则点一定落在的（    ） A．某一边上的高所在直线上 B．某一边上的中线所在直线上 C．某一内角的角平分线所在直线上 D．某一边上的中垂线所在直线上 【答案】B 【分析】根据向量的运算，对条件进行化简，得到，根据系数和为零得到三点共线，进而可得答案. 【详解】取的中点，则， 因为 所以， 又 所以三点共线， 即点在直线上，所以点一定落在的某一边上的中线所在直线上. 故选：B. 3．（23-24高一下·上海·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，点在边上，且与相交于点，若，则实数 . 【答案】/ 【分析】将用表示，然后利用三点共线列方程求解即可. 【详解】由得， 因为， 则， 因为三点共线， 所以，解得. 故答案为：. 4．（22-23高一下·江苏淮安·期中）中，，，，是边上的中线，，分别为线段，上的动点，交于点.若面积为面积的一半，则的最小值为 【答案】2 【分析】利用平面向量的共线定理结合基底表示数量积，转化为函数求最值即可. 【详解】设，由向量共线的充要条件不妨设， 则， 即， 又面积为面积的一半可得：， 所以. ， 易知 当时，即重合时取得最小值. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：由点共线及向量间的关系，设、、得到，面积关系得，最后应用数量积运算律转化数量积为关键. 5．（23-24高一下·上海浦东新·期中）矩形中，，，动点满足，，则下列说法中正确的是 . ①若，则的面积为定值            ②若，则的最小值为4     ③若，则满足的点不存在    ④若，，则的面积为 【答案】①③④ 【分析】根据、的不同取值，分析点所在的位置，结合题意逐项分析即可. 【详解】 对于①，当时，由向量加法的平行四边形法则知，点应该在边上， 在中，以为底边，高为点到的距离， 所以为定值，故①正确； 对于②，当时，由向量加法的平行四边形法则知，点应该在边上， 当位于点处时， 有最小值2，故②错误； 对于③，当时，取的中点，的中点，连接， 此时点位于上，如图点与重合，此时、夹角为， 同理，若点与重合，此时、夹角也为， 若不与、重合，设、夹角为，则， 又因为，， 所以 ， 因为、，所以、， 所以，由题意知，， 、夹角为，所以， 又因为、夹角为， 所以， ，，且，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以，所以、夹角为锐角， 综上，无论怎么移动，，都不会垂直，故③正确； 对于④，当，时，由向量加法的平行四边形法则作图， 此时到的距离为， 所以，故④正确. 故答案为：①③④ 6．（22-23高一下·上海浦东新·期中）如图，中，，，CD与BE交于F，设，，，则为 ． 【答案】 【分析】设，，根据平面向量基本定理，将用已知向量，表示出来，列出方程组即可求解. 【详解】解：设， ， 同理设， ， 根据平面向量基本定理，得 ，解得， ， 故答案为： 7．（21-22高一下·上海嘉定·期末）如图，三角形ABC中，，D是线段BC上一点，且，F为线段AB的中点，AD交CF于点M，若，则 . 【答案】/ 【分析】由于F为线段AB的中点，结合已知条件可得，再由直线与相交于点，设，则,从而得，进而求出的值 【详解】因为F为线段AB的中点， 所以, 因为， 所以， 所以, 因为， 所以, 由直线与相交于点，设，则 , 所以， 所以，解得 故答案为： 8．（21-22高一下·上海普陀·期末）“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据向量的共线表示以及平面向量基本定理，可表达出，结合图形特征以及数量积的运算即可求解. 【详解】 过点作于所以且,其中, 当点与点重合时，在方向上的投影最大，此时,取得最大值为； 当点与点重合时，此时，即,故,取得的最小值为 的取值范围是． 故答案为：． 9．（23-24高一下·上海·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则 . 【答案】 【分析】根据向量平行四边形法则及线性运算得，再利用平面向量基本定理建立方程即可求得参数. 【详解】由题意可知，因为点F在BE上， 所以， 所以，所以，所以. 故答案为： 10．（23-24高一下·上海·期中）在中，，，的平分线交于点．若，则 ． 【答案】 【分析】由题意在中，，再由三角形的角平分线定理可得：，最后由分点恒等式将用，表示出来，从而求出和即可 【详解】因为在中，，，所以， 又因为的平分线交于点， 所以在中，由正弦定理可得：， 同理在中， 因为，， 所以， 则， 所以，，则 故答案为： 11．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知 三点共线于直线，对直线外任意一点，都有，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先由A、B、C三点共线，得到，利用基本不等式“1”的妙用求最值. 【详解】由题意，A、B、C三点共线 所以存在实数λ使得，即， 所以 而 所以 则， 所以 当且仅当,即时取等号． 因此的最小值为． 故答案为：． 12．（21-22高一下·上海闵行·期中）如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，，，. (1)用表示，，； (2)求证：B，E，F三点共线. 【答案】(1)；；； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用向量加法法则、数乘向量直接计算作答. （2）由（1）的信息，结合向量减法法则，再借助共线向量求解作答. 【详解】（1）在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，，，则， ，， 所以，，，. （2）由（1）知，，，于是有， 所以B，E，F三点共线. 13．（21-22高一下·上海宝山·期中）如图，在中，，．点D在边BC上，且． (1)，，求； (2)，AD恰为BC边上的高，求角A； (3)，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题易知，转化问题为求的模，进而求解； （2）由AD为BC边上的高，则，即，根据，，整理即可求解； （3）易知，则，整理等式，结合且求解即可. 【详解】（1）由题，因为，所以，即点为边的中点， 所以， 因为，，， 所以. （2）由题，因为，所以， 因为AD恰为BC边上的高，所以， 因为，， 且，， 所以 ， 所以，则. （3）由题，， 则， 因为，且，， 所以， 则， 所以， 因为，则， 因为，则， 解得. 类型二、向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）已知点，将绕坐标原点逆时针方向旋转至，再将延长至，使，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】由三角函数的定义和三角恒等变换结合向量的坐标表示计算即可. 【详解】设的终边对应的角为， ， 则的终边对应的角为， ， ， ， ， 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海·期中）如图所示，是正六边形的外接圆，若点是上的动点，设，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设，写出相关向量得到方程组，解出，则得到的表达式，求出其最值即可. 【详解】如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，不失一般性可假设正六边形边长为2， 则，，设， 则， 因为，即， 即， 则，解得， 则，因为，则 故答案为：. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上三点A、B、C的坐标分别是、、，P为直线AC上的一动点，问：P在什么位置时，取到最小值？ 【答案】当时，取到最小值，且 【分析】当时，取到最小值，设，利用、求出可得答案. 【详解】当时，取到最小值， 设，则，， 则，① 又因为，所以，② 由①②解得， 所以，解得， 所以当时，取到最小值， 此时. 4．（23-24高一下·上海·期中）已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值． 【答案】或 【分析】根据已知条件及向量的线性运算，利用向量平行的条件即可求解. 【详解】因为向量，，， 所以，, 因为，，三点共线， 所以平行， 所以，即， 将代入中，得或. 5．（23-24高一下·上海·期中）将所有平面向量组成的集合记作．如果对于向量，存在唯一的向量与之对应，其中坐标由确定，则把这种对应关系记为或者，简记为．例如就是一种对应关系．若在的条件下有最大值，则称此最大值为对应关系的模，并把的模记作；若存在非零向量及实数使得，则称为的一个特征值． (1)如果，求； (2)如果，计算的特征值，并求相应的； (3)若，要使有唯一的特征值，实数应满足什么条件？试找出一个对应关系，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②，并验证满足这两个条件． 【答案】(1) (2)，其中且 (3)，答案见解析 【分析】（1）利用向量的坐标运算可得，可求得，可求得. （2）利用向量相等的条件可得，进而可求得，进而可得其中且． （3）利用，可得，进而可得，进而可证明当时，有唯一的特征值，且． 【详解】（1）由题意，所以，当时，，最大值也为2，所以． （2）由，可得：， 解此方程组可得：，解得． 当时，解方程组，此时这两个方程是同一个方程， 所以此时方程有无穷多个解，为（写出一个即可），其中且． （3），可得． 因为都不为0，从而向量与平行， 所以存在实数满足，即． 要使存在且唯一，则应满足：． 当时，有唯一的特征值，且．具体证明为： 由的定义可知：，所以为特征值． 此时满足：，所以有唯一的特征值． 在的条件下，从而有． 【点睛】关键点点睛：新定义题型，考查数乘向量的坐标运算，相等向量的坐标的关系，考查运算求解能力与转化能力，学生的阅读理解能力是解本题的关键. 6．（23-24高一下·上海浦东新·期中）个有次序的实数，，，所组成的有序数组，，，称为一个维向量，其中，2，，称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，，，称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且． (1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量． (2)证明：不存在6个两两垂直的6维信号向量． (3)已知个两两垂直的2024维信号向量，，，满足它们的前个分量都是相同的，求证：． 【答案】(1)，1，1，，，，1，，，1，，，，1，1， (2)证明见解析 (3)证明见解析. 【分析】（1）由维信号向量的定义可写出4个两两垂直的4维信号向量； （2）假设存在6个两两垂直的6维信号向量，根据题意不妨设，利用，可得有3个分量为，进而可得的前3个分量中有个，则后3个分量中有个，，由题意可得，可证结论； （3）任取，计算内积，，设的第个分量之和为，利用，可得结论. 【详解】（1）依题意，可写出4个两两垂直的4维信号向量为： ，，，． （2）假设存在6个两两垂直的6维信号向量， 因为将这6个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变， 所以不妨设， 因为，所以有3个分量为， 设的前3个分量中有个，则后3个分量中有个，， 则， ，则，矛盾， 所以不存在6个两两垂直的6维信号向量． （3）任取，计算内积， 将所有这些内积求和得到，则， 设的第个分量之和为， 则从每个分量的角度考虑，每个分量为的贡献为， 所以， 则，所以，故. 【点睛】方法点睛：新定义题型，认真阅读，弄清题意是关键，理解内积的定义，与所学内容类比，转化，考查运算求解能力与逻辑思维能力，对综合素养要求较高. 类型三、向量数量积与夹角的坐标表示 1．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知平面向量，，若是直角三角形，则的可能取值是（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】计算，考虑当是直角顶点，是直角顶点，是直角顶点三种情况，根据向量的数量积为0得到答案. 【详解】，，则， 当是直角顶点时：，； 当是直角顶点时：，无解； 当是直角顶点时：，； 综上所述：或. 故选：A 2．（22-23高一下·上海浦东新·期末）矩形中，，，动点满足，，，则下列说法中错误的是（    ） A．若，则的面积为定值 B．若，则的最小值为 C．若，则满足的点不存在 D．若，，则的面积为 【答案】B 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求出点的坐标，利用平面向量的坐标运算逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下所示的空间直角坐标系，    则点、、，则，， 因为，即点， 对于A选项，当时，，则点到直线的距离为， 则，A对； 对于B选项，当时，，则， 因为，则，则， 当且仅当时，等号成立，B错； 对于C选项，当时，则，，， ， 所以，若，则满足的点不存在，C对； 对于D选项，若，，则， 此时，点到直线的距离为，则，D对. 故选：B 3．（22-23高一下·上海松江·期中）设平面向量，，满足：，，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题设条件，设出的坐标，利用坐标运算进行求解 【详解】依题意，设，，. 根据，即，即，整理得. 显然，否则，，与已知矛盾，故可得. 由，即，故，解得. 故. 故答案为： 4．（23-24高一下·上海宝山·期中）将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，……，，若的坐标为则的值为 【答案】 【分析】画图像可知，与交点为个，且和,和关于对称，所以，即可得出的值. 【详解】    由题意，做出图象，可得函数 和直线 的所有交点共计个，根据余弦函数的中心对称性可知， 直线 的所有交点共计个，根据余弦函数的中心对称性可知，和,和关于对称， ∴则 故答案为: . 5．（23-24高一下·上海·期末）如图，正六边形的边长为，半径为1的图的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为 【答案】 【分析】根据题意，以为原点建立平面直角坐标系，设点，则，将表示为关于的表达式，结合正六边形的性质算出的取值范围. 【详解】以为原点，六边形的左、右顶点所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则圆的方程为，当在轴下方，且位于正六边形与轴平行的边上时， 的纵坐标为，可得，其中， 设，则，． 可得，， 所以， 结合，当时，有最小值5， 当时，有最大值7，可知， 根据图形的对称性，可知：当在正六边形其它的边上时，也成立. 综上所述，的取值范围为. 故答案为： 6．（23-24高一下·上海·期末）已知是边长为6的等边三角形，是的内切圆上一动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】取的中点，建立平面直角坐标系，设，，表示出，，根据数量积的坐标表示及余弦函数的性质计算可得. 【详解】如图取的中点，建立平面直角坐标系，则，，， 则内切圆的圆心在上，设圆心为，则为靠近的三等分点，即， 内切圆的半径， 因为点是的内切圆上一动点，设，， 则，， 所以， 因为，所以， 则， 则，当，即时取得最大值. 故答案为： 7．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，其图像的最高点从左到右依次记为，，，，，其图像与轴的交点从左到右依次记为，，，，，则 【答案】 【分析】根据条件可得出，，，，，，，，， 然后得出，，，，这样即可得出答案. 【详解】根据题意得，，，， ，，，，，， ， ，， ， . 故答案为： 8．（23-24高一下·上海松江·期末）已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【分析】由公式求出投影的数量，在乘与同方向的单位向量得到投影向量. 【详解】在方向上的投影的数量为， 所以在方向上的投影向量为， 故答案为：. 9．（21-22高一下·上海黄浦·期中）已知、、、、五个点，满足，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意设出合理的向量模，再将其置于坐标系中，利用坐标表示出，再用基本不等式求解出最值即可. 【详解】由题意设，则，， 设，如图，因为求的最小值， 则，，，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故答案为：. 【点睛】关键点睛：首先是对向量模的合理假设，然后为了进一步降低计算的复杂性，我们选择利用坐标法将涉及的各个点用坐标表示，最后得到，再利用基本不等式即可求出最值. 10．（21-22高一下·上海黄浦·期末）已知向量，，. (1)若，，三点共线，求实数的值； (2)若为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量运算得，，进而结合向量共线的坐标表示求解即可； （2）结合题意得且与不共线，再根据数量积运算与共线的坐标表示求解即可. 【详解】（1）解：因为，，， 所以，， 因为，，三点共线，所以与共线， 所以，解得. 所以实数的值 （2）解：因为向量，，， 所以，， 因为为锐角， 所以且与不共线，即，解得且， 所以，实数的取值范围是 11．（23-24高一下·上海·期中）已知的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，. (1)若，试判断的形状并证明； (2)若，边长，角，求的面积. 【答案】(1)为等腰三角形，证明见解析 (2) 【分析】（1）由可得，再利用正弦定理即可证明结论； （2）由可得，再利用余弦定理可得到，解此方程即可求得的值，从而可求得的面积． 【详解】（1）为等腰三角形，理由如下： ，，， ， 由正弦定理得：即，其中是外接圆半径， 为等腰三角形. （2），由题意可知， ， 由余弦定理可知， 即， 或（舍） ． 12．（21-22高一下·上海徐汇·期末）已知向量，单位向量与向量的夹角为． (1)求向量； (2)若向量与坐标轴不平行，且与向量垂直，令，请将t表示为x的函数，并求的最大值． 【答案】(1)或 (2)，， 【分析】（1）设，向量是单位向量，向量与向量夹角为，解方程组，由此求出． （2）首先可判断向量，根据向量垂直，得到，即可得到，再由二次函数的性质计算可得． 【详解】（1）解：设， 向量是单位向量， ． 向量与向量夹角为， ， ， 解方程组， 解得或． 或． （2）解：与坐标轴平行， 向量，又向量与向量垂直， ， ，即． 又 ， 即， 因为所以， 所以，； 所以当时，． 13．（22-23高一下·上海奉贤·期中）已知、是同一平面内的两个向量，其中，． (1)求与的夹角； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用数量积求夹角； （2）夹角为锐角即，并且不平行于 ，运用数量积求解. 【详解】（1） ； （2）因为与得夹角为锐角，，并且与不平行， 其中， 解得，并且； ； 综上，，. 14．（21-22高一下·上海长宁·期末）（1）已知点，点是直线上一点，且，求点的坐标； （2）已知与的夹角为，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）的坐标为或；（2） 【分析】（1）设点的坐标，由向量的坐标运算求得，由转化得或，解方程可求点的坐标； （2）向量与夹角为锐角等价于且不平行于，解方程和不等式可求的取值范围． 【详解】（1）设点的坐标，由， 得， 因为点是直线上一点，且， 所以或， 即 或， 解得或，所以点的坐标为或； （2）因为与的夹角为， 所以， ， 因为与的夹角为锐角，所以，即， 解得，又当与共线时有，解得，所以， 综上，实数的取值范围是． 15．（22-23高一下·上海静安·期末）如图，平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基.若，则将有序实数对称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为.        (1)记向量，，求向量在这个基下的斜坐标； (2)设，，求； (3)请以（2）中的问题为特例，提出一个一般性的问题，并解决问题. 【答案】(1) (2)1 (3)答案见解析 【分析】（1）根据向量的线性运算、新定义运算可得答案； （2）根据向量的数量积运算可得答案； （3）设，，求的斜坐标表示公式，根据向量的数量积运算可得答案；或设，，的充要条件为. 【详解】（1）， 所以，向量； （2）由已知，有，， ； （3）设，，求的斜坐标表示公式， ，， ， 或，设，，的充要条件为. 16．（23-24高一下·上海·期中）定义向量的“对应函数”为；函数的“对应向量”为（其中为坐标原点），记平面内所有向量的“对应函数”构成的集合为 (1)设，求证： (2)已知且，是函数的“对应向量”，，求 (3)已知，向量的“对应函数”在处取得最大值，当变化时，求的取值范围 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到对应的向量为，即可得证； （2）化简函数，得到，进而求得的值； （3）根据题意，由函数 在处取得最大值，得到，求得，结合三角函数的有界性求得，结合单调性，即可求解. 【详解】（1）证明：因为， 根据题意，可得函数对应的向量为， 又因为平面内所有向量的“对应函数”构成的集合为，所以； （2）由函数 ， 因为，所以， 又因为，所以， 可得. （3）由函数 ，其中， 因为在处取得最大值，所以， 即，此时， 令，可得， 即，其中， 可得，解得，所以， 当时，； 当时，单调递减，； 当时，单调递减，. 综合可得的取值范围为. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键时理解对应向量以及对应函数的定义，明确其内涵，能根据该定义结合向量的坐标运算进行求解. 17．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知坐标平面内，向量，，． (1)求满足的实数、； (2)若向量满足，且，求的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）借助向量坐标运算计算即可得； （2）借助向量坐标运算中垂直性质与模长公式计算即可得. 【详解】（1）由，则有，解得， 即，； （2）设，则有，解得或， 故或. 18．（23-24高一下·上海徐汇·期末）平面直角坐标系中，设点是线段的等分点，其中.    (1)当时，试用表示； (2)当时，求的值； (3)当时，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件得，，由向量的线性运算即可求解； （2）由基底表示出，再求出，最后求模即可； （3）由基底表示出，，从而表示出，再利用求函数的最值的知识求出最小值． 【详解】（1）由题意可得：， 当时，所以，. （2）因为，则， 由（1）可得：， 当时，则，， 所以 因为， 所以， 所以 （3）当时，，， 则，同理， 令， 当，2，3时，， 当时，上式有最小值为； 当 时，， 当，6，7时，，当时，上式有最小值为， 综上，的最小值为． 【点睛】关键点点睛：根据向量的线性运算得，即可结合数量积的运算求解. 19．（23-24高一下·上海·期中）已知平面上不共线的三点，且，是的中点. (1)若，求的余弦值； (2)若是线段上任意一点，且，求的最小值； (3)若是内一点，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，分别写出点的坐标，再根据平面向量内积的定义即可求解. （2）先求解的坐标表示，再结合二次函数的最值求解的最小值. （3）先求解的坐标表示，再结合基本不等式求解的最小值. 【详解】（1）依题意，以点为坐标原点，所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同， 所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同，建立平面直角坐标系，如图所示： 令，则，，，所以，， ，， ，， ， 所以. （2）依题意，以点为坐标原点，所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同， 所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同，建立平面直角坐标系，如图所示： 因为，所以，，， 因为直线的斜率为， 所以直线的方程为， 因为是线段上任意一点， 所以设，， ，， ， 因为， 所以当且仅当时，的最小值为. （3）设，则，如图所示： 因为， 所以，得， 因为， 所以，得， 所以 ， 当且仅当， 即时，取得最小值36， . 20．（22-23高一下·上海黄浦·期末）如图，已知为平行四边形．    (1)若，，，求及的值； (2)记平行四边形的面积为，设，，求证： 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由，根据数量积的运算律求出，再根据计算可得； （2）由面积公式得到，将两边平方，再由同角三角函数的基本关系、夹角公式及数量积、模的坐标表示计算可得. 【详解】（1）在平行四边形中， 所以 ， 即，解得， 所以 . （2）因为，将两边平方可得， 又， 所以， 整理得， 又，，， 所以， 所以. 21．（23-24高一下·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点在直线上运动，动点在直线上运动，为平面上的一个动点，记，，. (1)若，，求与夹角的余弦值； (2)若，求的取值范围； (3)若点，且满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接使用数量积的定义和坐标表示即可求出夹角余弦值； （2）设，并由条件证明，进而得到，再验证对任意的都存在满足的即可； （3）设，，然后直接计算可知条件等价于，再使用不等式证明，最后给出取到等号的例子即可. 【详解】（1）由于，，故. （2）设，，由于，，故 ，. 由，知. 所以，得. 对，令，则此时，. 所以的取值范围是. （3）设，. 由于，，，故. 从而，这表明条件等价于. 而在的条件下，我们有 （这一步使用了不等式，其中） ， 所以. 而当，时，有，且 . 所以的最小值是. 【点睛】方法点睛：解决的方法即是尽量借助于向量坐标计算，没有坐标的，可选设基向量，运用平面向量基本定理进行表达解决，有时还需利用函数的性质或基本不等式辅助解决. 类型四、向量的应用 1．（20-21高一下·上海奉贤·期中）设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长到，使，延长到，使，连接，则由已知条件可得为的重心，由重心的性质可得，再结合中点可求出，的面积，进而可求得答案 【详解】解：延长到，使，延长到，使，连接， 因为，所以， 所以为的重心， 所以设，则，, 所以, 所以， 故选：D 2．（20-21高一下·上海宝山·期中）设O为△ABC内部的一点，且，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为 ． 【答案】 【分析】令，，则为△的重心，利用重心的性质：即可求比值. 【详解】若，， ∴，即为△的重心， 令，，则，， ∴，由， 故答案为： 3．（21-22高一下·上海浦东新·期中）点在△所在的平面内，则以下说法正确的有 ． ①若，则点为△的重心； ②若，则点为△的垂心； ③若，则点为△的外心． 【答案】①③ 【分析】根据向量的线性关系及数量积，结合对应的几何意义判断点线的位置关系，进而确定△的心. 【详解】①若，即的中点与三点共线，故在中线上，同理在的中线上，故为△的重心，正确； ②由、分别平行于以顶角为的等腰三角形的底边，但不一定有、，故不一定为△的垂心，错误； ③由、表示与、中点的连线，且分别与、垂直，即为、的垂直平分线交点为，故为△的外心，正确． 故答案为：①③ 4．（23-24高一下·上海·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10，点在其边上运动，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出图形，由图可得点在上运动，取的最大值，当在上运动，取的最小值，求得相应最值即可. 【详解】分别过，作的垂线，垂足为，，且，， 因为点在正八边形上运动，所以在上的投影向量的起点为，终点在线段上移动， 则当点在上运动，取的最大值，为， 则当点在上运动，取的最小值，为， 所以的取值范围是 故答案为： 5．（21-22高一下·上海浦东新·阶段练习）已知平面向量满足，且与的夹角为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】画出图形，表示出，，从而确定，利用正弦定理得到，结合，求出的取值范围. 【详解】设，，如图所示， 则， 因为与的夹角为， 所以， 因为，所以由正弦定理得： ，所以， 因为，所以 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海·期中）已知线段经过半径为12的圆的圆心，且，，若，为此圆上的两个动点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】构建直角坐标系，设，求出，结合辅助角公式可求最值，故可得范围. 【详解】构建如下图示，以为原点的直角坐标系，且， 由圆的半径为12， 设， 则，， 所以， ， 令，则， 故， 又 则，故， 综上， 故答案为： 7．（21-22高一下·上海浦东新·期末）在梯形中，，分别为直线上的动点. (1)当为线段上的中点，试用和来表示； (2)若，求； (3)若为的重心，若在同一条直线上，求的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)1. 【分析】(1)结合条件证明，再用和来表示即可； (2)利用表示，根据模的性质和数量积的性质求； (3)由条件确定的关系，结合基本不等式求的最大值. 【详解】（1）因为为线段上的中点，所以，，又方向相同， 所以，所以； （2）因为，所以，因为，，所以，所以， 又，所以 又， 所以； （3）设线段的中点为，连接，交与点，由已知为的重心， 由重心性质可得， 又， ， ， 所以， 设，， 所以，， 由基本不等式可得，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为1. 8．（23-24高一下·上海·阶段练习）如图，点是重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线． (1)设，将用、、表示； (2)设，，问：是否是定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，记与的面积分别为、，求的取值范围． 【答案】(1) (2)是定值， (3) 【分析】（1）在中，利用向量的加法法则知，再根据，计算即可； （2）根据（1）结合，可知，再根据点是重心，，即可求解； （3）根据三角形的面积公式，，由（2）知，所以，通过，的取值范围和函数的单调性即可求解. 【详解】（1）， （2），理由如下： 由（1）可知，又，， 所以， 因为点是重心， 所以， 而，不共线，所以，解得， 所以； （3）， 由（2）知， 所以， 由点、分别是边、上的动点，为重心且、、三点共线， 所以，，则， 设，则，， 因为当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 当时，即，，有最小值，最小值为， 时，即，，，当时，即，，， 所以的最大值为， 所以. 一、单选题 1．（21-22高一下·上海长宁·阶段练习）已知的外心是O，且，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可得为中点，再根据可得为正三角形，进而根据投影向量的定义求解在方向上的投影向量即可 【详解】由题意，即，故为中点， 又，的外心是O，故，故为正三角形， 取中点，根据等边三角形性质可得，为在方向上的投影向量， 又，故在方向上的投影向量为. 故选：C 2．（22-23高一下·上海黄浦·阶段练习）在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】由变形得，设的中点为，推出，点P在线段AB的中垂线上，再根据外心的性质可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 设的中点为，则，则，    所以，所以点P在线段AB的中垂线上，故点P的轨迹过的外心. 故选：A 3．（22-23高一下·上海浦东新·期中）在△ABC中，G满足，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点． 若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由向量的线性运算性质得是三角形的重心，由此可用表示出，由三点共线得出，再利用基本不等式求得最小值． 【详解】延长交于， 因为，所以是的重心，从而是中点， 又， ， 因为三点共线， 所以，即， ，当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值是， 故选：D． 4．（23-24高一下·上海·期中）如图，的三边长为，且点分别在轴，轴正半轴上移动，点在线段的右上方．设，记，分别考查的所有可能结果，则（    ） A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值 C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值 【答案】B 【分析】设，用表示出，然后利用三角函数的性质求最值. 【详解】设， 由余弦定理得 过点作轴，设垂足为， 在中，， 所以 在中， ， 所以 由 即 得， 所以， 当且仅当时取最小值，没有最大值． ， 其中， 因为，所以， 所以，当且仅当即时取最大值，没有最小值． 故选：B. 二、填空题 5．（22-23高一下·上海黄浦·阶段练习）已知A、B、C是半径为1的圆O上的三点，AB为圆O的直径，P为圆O上一点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知结合图象可知，.分不重合以及重合两种情况，结合图象分别计算，即可得出答案. 【详解】   根据题意，，，， 所以. 当不重合时，由已知可得的夹角， 当方向相同时，可知为圆的直径， 此时有，，取得最大值2，所以； 当重合时，，此时. 综上所述，. 所以，. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：对是否重合进行分类，结合图象，得出范围. 6．（22-23高一下·上海杨浦·期末）在中，，，.为所在平面内的动点，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】建立直角坐标系表示各点坐标，再利用三角恒等变换即可求出结果. 【详解】    如图所示建立直角坐标系，设， 为所在平面内的动点，且， 设， 则， ， 其中， 则的取值范围是， 故答案为：. 7．（21-22高一下·上海浦东新·阶段练习）已知､､､，则向量在方向上的投影向量为 【答案】(或) 【分析】先求得向量的坐标，再根据投影向量的定义即可求得答案. 【详解】由题意得 , 则向量在方向上的投影向量为 , 故答案为： 8．（21-22高一下·上海浦东新·阶段练习）平面直角坐标系中，，，，为等腰直角三角形，且A､B､C按顺时针排列，则B点的坐标为 【答案】 【分析】由题设求出，的坐标，结合且求B的坐标，根据A､B､C按顺时针排列确定坐标. 【详解】设，则，，又， 所以，则，即， 又，联立可得或， 因为A､B､C按顺时针排列，所以B点的坐标为. 故答案为： 9．（21-22高一下·上海奉贤·阶段练习）已知正方形的边长为2，点满足，则 ． 【答案】-1 【分析】首先根据条件确定点位置，然后建立平面直角坐标系并写出各点坐标，然后根据数量积的坐标运算进行求解即可. 【详解】建立坐标系如图，正方形的边长为2， 则，，，点满足， 所以，，，所以． 故答案为： 10．（23-24高一下·上海·阶段练习）如图，点P是线段OB及AB的延长线、AO的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且，则x的取值范围是 ．      【答案】 【分析】借助向量加法的平行四边形法则，对进行分类讨论即可得. 【详解】当时，由向量加法的平行四边形法则可知， 点会位于射线与射线或的反向延长线上所围成的区域内， （含射线，不含直线），此时，不符和题意，故舍去； 当时，若，则点会位于线段上，符合要求； 当时，若时，点会位于射线的反向延长线与射线所围成的区域内， （不包括点），此时一定存在符合要求的，使点在阴影区域内，符合要求. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 11．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）已知向量，若与的夹角为锐角，其中，则的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】由与的夹角为锐角，得到，求得，再由向量与共线时，求得，即可得到答案. 【详解】由向量，可得且， 则， 因为与的夹角为锐角， 可得，即，解得 当与共线时，可得，所以，解得， 所以且，即实数的取值范围为. 故答案为：. 12．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点，，则的值为 . 【答案】 【分析】画出图形，由向量的加法结合平面向量的基本定理计算即可； 【详解】如图，在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点，   ，且， 根据平面向量基本定理得，， ， 故答案为：. 13．（21-22高一下·上海闵行·期末）如图，△ABO中，已知，，，，则用向量，表示＝ ． 【答案】 【分析】设，结合已知可得，结合共线可得，求解即可. 【详解】设，因为，，， 所以， 又A，P，N三点共线，B，P，M三点共线，所以， 解得，所以. 故答案为：. 14．（21-22高一下·上海长宁·期中）已知平面向量、、满足，，，，则最大值为 . 【答案】 【分析】设，则由数量积公式可得 ，再由点的轨迹找出到的距离最大值，从而得出所求最值. 【详解】设与所成夹角为 则 因为，，所以的夹角为 设，则 所以，设到的距离为 则，所以 因为，所以点落在以点为圆心，以为半径的圆上 所以到的距离最大值为 所以的最大值为 所以的最大值为 故答案为： 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用向量的运算得出 ，再结合圆的对称性得出所求最值. 15．（21-22高一下·上海宝山·阶段练习）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有 ． ①   ② ③     ④ 【答案】①③④ 【分析】利用三角形外心、重心、垂心的性质，结合平面向量的线性运算法则以及平面向量的数量积的定义及运算律逐项分析即可求出结果. 【详解】对于①，重心为G，有， 故，故①正确； 对于②，外心为O，过三角形ABC的外心O分别作AB、AC的垂线，垂足为D、E，易知D、E分别是AB、AC的中点，有， ∴，故②错误； 对于③，由欧拉线定理得，即，又有， 故，即，故③正确； 对于④，由得，故， 所以，故④正确. 故答案为：①③④. 16．（21-22高一下·上海奉贤·阶段练习）已知，向量，，，、、是坐标平面上的三点，使得，，则的最大值为 ． 【答案】12 【分析】设，利用向量的线性运算及数量积运算可求得，由向量模的运算和三角函数的有界性可求得答案. 【详解】因为，不妨设，由向量， 得 ， 所以 ， 因为，所以，， 则， 所以当时，取最大值12． 故答案为：12. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是设和利用向量的线性运算和数量积的运算，本题考查了向量的坐标运算、三角恒等变换以及三角函数的性质，考查了学生的运算求解能力. 17．（22-23高一下·上海·期中）已知函数（），其图像的最高点从左到右依次记为，其图像与轴的交点从左到右依次记为，则 . 【答案】 【分析】由函数可得,分别写出各点坐标,进一步得到向量坐标,求数量积时会发现每一个数量积均为,整理后即可得到结果. 【详解】由题可知，， ,,为，…，， ,,，…，， 所以， ， 所以， 所以. 故答案为：. 18．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中分别是轴，轴正方向的单位向量），则点的斜坐标为，且向量的斜坐标为.给出以下结论，其中所有正确的结论的序号是 ①若，，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则 【答案】①②③ 【分析】根据所给定义及平面向量线性运算法则判断②③，根据数量积的运算律判断①④. 【详解】对于①：∵，，即， ∴ ，故①正确； 对于②：∵，，即，， ∴， ∴，故②正确； 对于③：∵，，， ∴， ∴，故③正确； 对于④： ，故④错误. 故答案为：①②③ 三、解答题 19．（22-23高一下·上海松江·期中）已知是坐标原点，， (1)求向量在方向上的投影向量的坐标和数量投影； (2)若，，，请判断C、D、E三点是否共线，并说明理由. 【答案】(1)坐标，数量投影是 (2)共线，理由见解析 【分析】（1）根据投影向量和投影的公式，准确计算，即可求解； （2）根据平面向量的共线的坐标表示，得到，即可求解. 【详解】（1）解：由向量，可得 则投影向量的坐标是，， 数量投影是，， 即向量在方向上的数量投影是. （2）解：、、三点共线， 理由：向量， 因为，，， 可得，，， 所以，， 可得，所以、、三点共线. 20．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知平面内给定三个向量． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用向量的线性运算与向量相等的性质即可得解； （2）利用向量数量积的坐标运算即可得解. 【详解】（1）因为向量，，， 可得， 故有，， 则，； （2）因为，，， 所以， 解得， 故的取值范围是 21．（23-24高一下·上海·期中）如下图，是线段外一点，是线段的垂直平分线上的动点 (1)若，求 (2)求 【答案】(1)16； (2) 【分析】（1）由余弦定理求出，利用数量积定义即可求； （2）建立直角坐标系，利用数量积的坐标运算即可求. 【详解】（1）由题意知， . （2）以所在的轴为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如图： 则设， 因为， 所以，解得 所以， 所以. 22．（22-23高一下·上海奉贤·阶段练习）设平面上有两个向量. (1)求的最大值； (2)当向量与的模相等时，求的大小（用角度制表示）. 【答案】(1)2； (2)或. 【分析】（1）根据平面向量减法的坐标运算和平面向量的模长公式求出，再根据余弦函数的性质求出最大值即可； （2）由两边平方化简得，进一步化为，结合可得结果. 【详解】（1）， ， 因为，所以，， 所以当，即时，取最大值. （2）当时，， 得， 得， 因为，， 所以，，， 所以，即， 因为，所以或. 23．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）已知向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求向量与的夹角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，根据向量共线的坐标运算，列出方程，即可求解； （2）根据题意，结合向量垂直的坐标运算，列出方程，求得，再结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）解：由向量，可得， 因为，可得，解得，即实数的值为. （2）解：由向量，可得， 因为，可得， 解得，所以， 则， 所以向量与的夹角为. 24．（23-24高一下·上海·期中）已知向量，，函数，. (1)若，求的值； (2)用表示，若时，的最小值为，求实数的值； (3)设为正整数，函数在区间上恰有2024个零点，请求出所有满足条件的的值及相应的取值范围. 【答案】(1) (2)；. (3)时，;时， 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算得到的解析式，再求的值. （2）利用向量数量积的坐标运算求向量的模；转化成二次函数在给定区间上的值域问题，分类讨论求参数的值. （3）由求出的值，结合余弦函数的图象和性质，明确函数在一个周期上解的个数，然后确定区间，使得函数有2024个解. 【详解】（1）当时， ， 所以. （2）， 又，所以，所以. 所以. 设，，则，最小值为. 若，由（舍去）； 若，由，无解； 若，由. 综上可知：. （3）， 由. 若，则； 若，则. 由. 当时，或，所以在上有2024个零点，此时. 当时，在上有两解，，在上有两解，所以在上有四解， 所以在上有2024个解.此时. 所以当，或，时，函数在区间上恰有2024个零点. 25．（20-21高一下·广东深圳·期末）如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设． (1)用表示； (2)如果，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形，结合向量加，减，和数乘，即可用基底表示向量； （2）由，可得，从而可得，结合已知可得，最后利用数量模的运算公式结合数量积的运算律求解即可． 【详解】（1）因为， 所以， ； （2）因为，所以， 所以，由，可得， 又，所以， 所以． 26．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）如图，点、分别是角、的终边与单位圆的交点，. (1)若，，求的值； (2)证明角、在上述范围下的两角差的余弦公式，即. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件，利用平方关系得到，再通过构角，利用正弦的差角公式，即可求解； （2）根据条件得，再利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）因为，则， 又，则，又， 所以. （2）因为，、在单位圆上， 则，，，所以，， 则， 即. 27．（22-23高一下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，，设点，是线段AB的n等分点，其中，. (1)当时，使用，表示，； (2)当时，求的值； (3)当时，求（，，i，）的最小值. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意结合向量的线性运算求解； （2）根据向量的坐标运算求解； （3）据向量的坐标运算可得，结合函数分析求解. 【详解】（1）由题意可得：， 当时，所以，. （2）因为，则， 由（1）可得：， 当时，则，， 所以 因为， 所以， . （3）当时，，， 可得， ， ， 构建， ①当，7，8，9时，， 可得当时，上式有最小值； ②当时，， ③当，2，3，4时，， 可得当时，上式有最小值； 综上所述：的最小值为. 28．（21-22高一下·上海浦东新·阶段练习）设是边长为1的正三角形，点四等分线段（如图所示）. (1)求的值； (2)为线段上一点，若，求实数的值； (3)在边的何处时，取得最小值，并求出此最小值. 【答案】(1) (2) (3)处，最小值为 【分析】（1）根据向量的加法和运算法则可得，即可得解； （2）由可得，所以，再利用向量的基本定理可得，即可得解； （3）根据题意要使当最小，则P必在线段P2C上，设，由于AP2⊥BC，，利用二次函数求最值即可得解. 【详解】（1）根据题意，为的中点， 所以 ； （2）易知即， 即， 因为Q为线段AP1上一点， 所以，所以； （3）①当P在线段BP2上时（不含P2），此时， ②当P在线段P2C上时，， 要使当最小，则P必在线段P2C上， 设，由于AP2⊥BC， 当时，即当P为P3时，取最小值. 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$