2 圆的对称性-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

九年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 如图， ∠AOB=90° ， C ， D 是 A " B 的三等分点， AB 分别交 OC ， OD 于点 E ， F． 求证： AE=CD=BF. 【分析】 由 ∠AOB=90° ， C ， D 是 A " B 的三等分点， 可知 ∠AOC=∠COD= ∠DOB=30° ， AC=CD=DB ， 而要证明 AE=CD=BF ， 只需证 AC=AE ， DB=BF 即可， 所以就转化为分别证明 △ACE 和 △BDF 的两个内角相等的问题 . 【证明】 如图， 连接 AC 和 BD ， ∵C ， D 是 A " B 的三等分点， ∴A " C =D " C = B " D . 又 ∵∠AOB＝90° ， ∴AC=CD=DB ， ∠AOC=∠COD=∠DOB=30°. ∵AO=OB ， ∴∠OAB=∠OBA=45°. ∴∠AEC=∠OAB+∠AOC=75°. 又 ∵OA=OC ， ∠AOC=30° ， ∴∠OAC=∠ACO=75°. ∴∠AEC=∠ACO=75°. ∴AC=AE. 又 ∵AC=CD ， ∴AE= CD. 同理得 BF=CD ， ∴AE=CD=BF. 【点拨】 本题考查同圆或等圆中圆心角、 弧、 弦之间关系的定理的应用 . 在同圆或等圆中， 这三个基本量， 如果有一组量对应相等， 那么其他两个量也对应相等 . 应用这三者之间关系的定 理时， 特别需要注意下列两点： 第一， 使用的前提条件是同圆或等圆； 第二， 如果题目的条件 是弧上的等分点， 那么首先要转化为一组弧相等， 然后才能导出一组弦 （或圆心角） 相等 . 基础巩固 达标闯关 1. 如图， 已知 BD 是 ⊙O 的直径， 点 A ， C 在 ⊙O 上， A " B =B " C ， ∠AOB=60° ， 则 ∠COD 的度数是 °． 2. 如图， AD 是 ⊙O 的直径， 且 AD=6 ， 点 B ， C 在 ⊙O 上， Am " B =An " C ， ∠AOB=120° ， 点 E 是线段 CD 的中点， 则 OE= . 3. 如图， 已知 AB ， CD 是 ⊙O 的两条直径， 且 ∠AOC=50° ， 作 AE∥CD ， 交 ⊙O 于点 E ， 则 ∠AOE 的度数为 （ ） A． 80° B． 75° C． 70° D． 65° A B O C E D F 例题答图 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 O D C B A E m n E A C D O B 2 圆的对称性 A B O C E D F 例题图 A B C O D 58 圆 第三章 4. A ! B 和C ! D 是同圆中的两段弧， 且A ! B =2C ! D ， 则弦 AB 和 CD 的关系为 （ ） A. AB=2CD B. AB＜2CD C. AB＞2CD D. 不能确定 5. 已知 P 是半径为 5 的 ⊙O 内一定点， 且 OP=4 ， 则过点 P 的所有弦中， 弦长可能取得 的整数值为 （ ） A. 5 ， 4 ， 3 B. 10 ， 9 ， 8 ， 7 ， 6 ， 5 ， 4 ， 3 C. 10 ， 9 ， 8 ， 7 ， 6 D. 12 ， 11 ， 10 ， 9 ， 8 ， 7 ， 6 6. 如图， 已知 ⊙O 的半径为 5 ， 弦 AB ， CD 所对的圆心角分别是 ∠AOB ， ∠COD ， 若 ∠AOB 与 ∠COD 互补， 弦 CD=6 ， 则弦 AB 的长为 （ ） A． 6 B． 8 C． 5 2 姨 D． 5 3 姨 7. 如图， AB 是 ⊙O 的直径， B B C =C ! D =D ! E ， ∠COD=35° ， 求 ∠AOE 的度数 . 8. 如图， AB ， CD 为 ⊙O 的两条弦， 且 AB=CD ， M ， N 分别为 AB ， CD 的中点， 那么 ∠AMN 与 ∠CNM 相等吗？ 请说明你的理由 . 能力提升 综合拓展 9. 如图， AB ， CD 是 ⊙O 的直径， DF ， BE 是弦， 且 DF=BE ， 那么 ∠D=∠B 是否成立？ 请说明理由 . 第 7 题图 A B M N O C D 第 8 题图 O A B C D E 第 9 题图 O CA F E B D 第 6 题图 O A B C D 59 九年级下册 （北师大版）数学 10. 如图， 在 ⊙O 中， D ， E 分别为半径 OA ， OB 上的点， 且 AD=BE ， 点 C 为 A A B 的中 点， 连接 CD ， CE． 试说明 CD=CE． 11. 如图， A ， B 是 ⊙O 上的两点， ∠AOB=120° ， C 是 A A B 的中点 ． （ 1 ） 求证： AB 平分 ∠OAC. （ 2 ） 延长 OA 至 P 使得 OA=AP ， 连接 PC ， BC ， 若 ⊙O 的半径 R=1 ， 求 PC 的长 ． 中考链接 真题演练 12. （ 2022 ·聊城） 如图， AB ， CD 是 ⊙O 的弦， 延长 AB ， CD 相交 于点 P. 已知 ∠P=30° ， ∠AOC=80° ， 则 B B D 的度数是 （ ） A. 30° B. 25° C. 20° D. 10° 13. （ 2022 ·怀化） 如图， 点 A ， B ， C ， D 在 ⊙O 上， A A B =C A D . 求证： （ 1 ） AC=BD. （ 2 ） △ABE∽△DCE. O A C B D P 第 12 题图 O A C B E D 第 13 题图 O E D A B C 第 10 题图 A B C O P 第 11 题图 60 九年级下册 （北师大版）数学 * 15. 解： 如图， 连接 OD. ∵AB 是 ⊙O 的直径， ∴OD= 1 2 AB. ∵AB=2DE ， ∴DE=OD. ∴∠DOE=∠E=18°. ∴∠OCD= ∠ODC=36°. ∴∠AOC=∠OCD+∠E=54°. 16. 解： 如图， 设 OA 交 ⊙O 于点 C ， 连接 BC ， ∵ 点 A′ ， B′ 分别是点 A ， B 的反演点， ∴OA′ · OA=OB′ · OB=r 2 . 而 r=4 ， OA=8 ， ∴OA′=2. ∵OB=r=4 ， ∴OB′=4 ， 即点 B 和 B′ 重合 . ∵∠BOA=60° ， OB=OC ， ∴△OBC 为等边三角形 . 而点 A′ 为 OC 的中点， ∴B′A′⊥OC. 在 Rt△OA′B′ 中， sin∠A′OB′= A′B′ OB′ ， ∴A′B′=4sin 60°=2 ３ 姨 . 2 圆的对称性 1. 120 2. 3 3 姨 2 3. A 4. B 5. C 6. B 7. 解： ∵Ｂ & Ｃ ＝Ｃ & Ｄ ＝Ｄ & Ｅ ， ∠COD=35° ， ∴∠EOD=∠BOC=∠COD=35°. ∴∠EOB=105°. ∴∠AOE=180°－∠EOB=75°. 8. 解： 相等 . 理由： 如图， 连接 OM ， ON. ∵M ， N 分别是 AB ， AC 的中点， ∴OM⊥AB ， ON⊥CD. ∴∠AMO= ∠CNO=90°. 又 ∵AB=CD ， ∴OM=ON. ∴∠OMN=∠ONM. ∴∠AMO－∠OMN=∠CNO－∠ONM ， 即 ∠AMN=∠CNM. 9. 解： 成立 . 理由： 如图， 过点 O 作 OM⊥DF 于点 M ， ON⊥BE 于点 N. 由垂径定理得 DM= 1 2 DF ， BN= 1 2 BE. 又 ∵DF=BE ， ∴DM=BN. 又 ∵OD=OB ， ∴Rt△ODM≌Rt△OBN. ∴∠D=∠B. 10. 解： 如图， 连接 OC. ∵D ， E 分别为 ⊙O 半径 OA ， OB 上的点， AD=BE ， OA=OB ， ∴OD=OE. ∵C 是Ａ & Ｂ 的中 点， ∴Ａ & C =B & C . ∴∠AOC=∠BOC. 又 ∵OC=OC ， ∴△DCO≌△ECO. ∴CD=CE． 11. （ 1 ） 证明： 如图， 连接 OC. ∵∠AOB=120° ， C 是Ａ & B 的中点， ∴Ａ & C =B & C ， ∠AOC=∠BOC=60°. ∵OA=OC ， ∴ △ACO 是等边三角形 . ∴OA=AC ， 同理 OB=BC ， ∴OA=AC=BC=OB. ∴ 四边形 AOBC 是菱形 . ∴AB⊥OC ， AB 平分 ∠OAC. （ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 知 △ACO 是等边三角形 ， ∴OA=AC ， ∠AOC=∠OAC=60° . ∵OA=AP ， ∴AP=AC. ∴ ∠APC=30°. ∴△OPC 是直角三角形 . 又 ∵ 半径 R=1 ， ∴AC=1 ， OP=2. ∴PC= 3 姨 . 12. C 13. 证明： （ 1 ） ∵Ａ & Ｂ =C & D ， ∴Ａ & Ｂ +B & C =C & D +B & C ， 即Ａ & C =B & D ， ∴AC=BD. （ 2 ） ∵∠A＝∠D ， ∠B＝∠C ， ∴ △ABE∽△DCE. * 3 垂径定理 1. 2 21 姨 2. 26 寸 3. 25π 4. 7 cm 或 3 cm 5. B 6. D 7. B 8. C 9. 解： 如图， 过点 O 作 OE⊥AB 于点 E ， 则 CE=DE= 1 2 CD=3 cm ， AE=BE= 1 2 AB=5 cm. ∴AC=AE－CE= 2 cm. 10. 解： 如图， 过点 O 作 OD⊥AC 于点 D ， 则 AD=DC. ∵∠AOB=90° ， ∠ADO=90° ， ∠A=∠A ， ∴△AOD∽△ABO. ∴ OA AB = AD OA . ∴OA 2 =AB · AD. 又 ∵AB=13 ， OB=12 ， 由 勾股定理得 OA 2 =AB 2 －OB 2 =25. ∴25=13AD. ∴AD= 25 13 . ∴AC=2AD= 50 13 . 11. 解： 如图， 过点 O 作 OF⊥CD 于点 F ， 连接 OC ， 则 CF=DF. ∵AE=1 ， EB=5 ， ∴AO=3 ， EO=2. 在 Rt△EFO 中， ∵∠DEB=60° ， EO=2 ， FO= 3 姨 ， OC=OA=3 ， 由勾股定理得 CF 2 =CO 2 － 第 11 题答图 A B C O P 第 16 题答图 O A B A′ C （ B′ ） 第 15 题答图 B E D O A C 第 10 题答图第 9 题答图第 8 题答图 A B M N O C D O CA F E B D M N O E D A B C 第 10 题答图第 9 题答图 B A D O C O A C B D E 第 11 题答图 O C D E A B F 第 14 题答图 A C D B O 214