专题3.2 圆的对称性 讲义-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

圆的对称性知识归纳与题型总结 思维导图 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 圆的对称性 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴 员的旋转对称性 圆的对称性 定理 圆心角及其所对的弧、弦的关系 推论 弧、弦、圆心角 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 培优讲练 考点01圆的对称性 考点梳理 1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心. 2.圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴. 3.圆的旋转对称性 将圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都能与原来的图形重合，所以圆是特殊的 中心对称图形，圆心是对称中心. 考点02弧、弦、圆心角 考点梳理 1.圆心角及其所对的弧、弦的关系 1/8 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 ② 如图，①= ③ABCD 推论：(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相 等 ①= 如上图，② ③ABCD (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧 分别相等， ①= 如上图，③ABCD 和 由圆心角、弦、弧的关系及推论可知，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧 (同为优弧或劣弧)、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量都分别相 等，简称“知一推二”， 2.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等， 典例引领 考向01利用弧、弦、圆心角的关系求解 △ABC,⊙O CD ∠ACB=60° 【例1】如图， 是的内接三角形， 平分<ACB ，若 ,则 AC+BC CD 2/8 0 D 【答案】√3 【分析】过点D作DE⊥AB于点E,延长CA,过点D作DF⊥CA于点F,证明 RtBDE≌RaFD1HL,得出AF=BE,证明△CDE≌aCDF(AAS),得出CE=CP,根据 cos∠DCE=CE ,得出CE-5。 ,Rnc-9ow-9c0-m,银 2 2 2 AC+BC=CF-AF+CE+BE=CE+CF=V5CD,即可得出答案. 【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E,延长CA,过点D作DF⊥CA于点F,如图所示： C 0 B D :CD平分∠ACB, ∴·DE=DF, ∠ACD=∠BCD 2∠4CB=30 1 ..AD =BD, ,RtaBDE≌Rt△FDAHL) ..AF=BE, ∠DCE=∠DCF,∠DEC=∠DFC=90°，AD=AD, 3/8 △CDE≌ACDF(AAS) ∴.CE=CF, 在RIACDE中，os∠DCE=CS CD' ∴.C0s30°= CE CD √5_CE 即2CD, .CE-cD .CF-CE- 2 CD CE+CF= -CD+ LCD=√3CD 2 .AF=BE, AC+BC=CF-AF+CE+BE=CE+CF=CD AC+BC_CD= .CD CD 考向02利用弧、弦、圆心角的关系求证 【例2】如图，已知B、CD为o0。 AB<CD ，连接 AO BO CD 为的两条弦， 并延长交弦 于点E、F,且CF=DE. (1)求证：AB∥CD: 2)如果4C=01:4E,求证： AB=AC 4/8 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)连接OC,0D 先证 △CFO2△DEO(SASY),则OE=OF,然后根据等边 对等角以及三角形内角和定理证明∠4=∠7，即可证明平行： (2)先证明△CA0∽△EAC,再证明 △OAC≌△OAB(AAS 即可. OC.OD 【详解】(1)证明：连接 6 3542 D OC=OD ∠1=∠2 .CF=DE :△CFO≌△DEO[SAS) ..OE=OF ∠3=∠4=180°-∠5 2 .OA=OB ÷∠7=∠8=180°-∠6 2 ∠5=∠6 ∴∠4=∠7 AB∥CD: (2)证明：AC=0AAE AC AE 六OAAC ,·∠CAO=∠EAC 5/8 .△CAO∽△EAC ∠9=∠4， ∠4=∠7=∠8 .∠9=∠7=∠8 ,·OA=OC ∠9=∠0AC=∠7=∠8， .OA=OA :△OAC≌△OAB(AAS) .AB=AC, :.AB-Ac 户对提线入 【对点1】下列说法正确的是() A.平行四边形是轴对称图形 B.相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 C.三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分 D.甲乙两射击运动员训练成绩的方差分别为号=13，S足=0.6 那么选择甲参加比赛更 稳妥一些 【答案】C 【分析】本题根据轴对称图形定义、同圆或等圆中圆心角弧弦的关系、三角形中线的性质、 方差的意义，逐一判断各选项正误即可 【详解】解：对于选项A,平行四边形不一定是轴对称图形，A错误。 对于选项B,在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，B错误. 对于选项C,三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，C正确. 对于选项D,方差越小数据波动越小，成绩越稳定，又号=1,3>S号=0.6 ,乙的成绩更稳 定，选择乙参加比赛更稳妥，D错误， 【对点2】如图，射线4M交一圆于点B,C,射线交该圆于点D,E,且BC=DE 6/8 D E (1)求证：AC=AE (2)利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F(保留 作图痕迹，不写作法)求证：EF平分∠CEN 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【断】a作oPL,00L于0，连接40，D.D0,E4P0e40 由BC=DE,得CP=EQ后得证： (2)按照要求作出图形，根据AC=AE得∠ECM=∠CEN,由CE=EF得 ∠rCE=∠PEC=MCE=CEN得证， 【详解】(1)证明：如图，作OP14M,0OLA 于Q,连接40，B0,D0 M .BC=DE ..BC=DE, OP⊥AM,OQ⊥AN :BP=1BC- DE=DO, 2 7/8 .OB=OD, .∴RtAOBP≌RtAODO(HL) :.OP=00 .A0=AO, ∴.Rt△APO≌Rt△AQO(HL) .'AP=A0, .CP=EO, ...AP+CP=A0+OE,AC=AE (2)解：作图如下： B E M 证明：AC=AE, ∠ACE=∠AEC, .∠ECM=∠CEN, :AF是CE的垂直平分线， :.CF=EF, ∠rcE=∠Prc=MCE-4cE ∴.EF平分∠CEN. 8/8 圆的对称性 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 圆的对称性 考点梳理 1. 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心． 2. 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴． 3. 圆的旋转对称性 将圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都能与原来的图形重合，所以圆是特殊的中心对称图形，圆心是对称中心． 考点02 弧、弦、圆心角 考点梳理 1. 圆心角及其所对的弧、弦的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 如图，①= ⇒ ② ③ABCD 推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 如上图，② ⇒ ①= ③ABCD （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．如上图，③ABCD ⇒ ①= 和 由圆心角、弦、弧的关系及推论可知，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（同为优弧或劣弧）、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量都分别相等，简称“知一推二”． 2. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等． 典例引领 考向01 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【例1】如图，是的内接三角形，平分，若，则______． 考向02 利用弧、弦、圆心角的关系求证 【例2】如图，已知、为的两条弦，，连接、并延长交弦于点、，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 对点提升 【对点1】下列说法正确的是（   ） A．平行四边形是轴对称图形 B．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 C．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分 D．甲乙两射击运动员训练成绩的方差分别为，那么选择甲参加比赛更稳妥一些 【对点2】如图，射线交一圆于点，射线交该圆于点，且． (1)求证： (2)利用尺规作图，分别作线段的垂直平分线与的平分线，两线交于点（保留作图痕迹，不写作法）求证：平分 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $