热点05 三角形（10大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点•重点•难点】专练（广东专用）

热点05 三角形 中考广东数学中数与式部分主要考向分为四类： 一、三角形概念（每年1~2道，3~6分） 二、等腰三角形和等边三角形（每年1~3道，3~9分） 三、全等三角形（每年2~3道，3-9分） 四、相似三角形（每年2~3道，3-9分） 三角形的全等问题中：①注重基础知识的掌握，包括全等三角形的定义、判定定理、性质等内容；②强调实际应用能力。例如，在图形变换、面积计算、角度计算等方面，可能会涉及到全等三角形的判定与性质；③重视逻辑推理能力的考查。在考试中，可能会出现给定一些条件，要求学生通过推理证明两个三角形全等的题目；④考查综合运用能力，可能会涉及到多个知识点的综合运用，包括全等三角形、相似三角形、三角函数等。 考向一：三角形的基本知识 【题型01 三角形的三边关系】 三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 1．（2024·广东·模拟预测）已知一个三角形的两边长分别为4和1，则这个三角形的第三边长可能是（       ） A．1 B．3 C．4 D．5 2．（2024·广东韶关·模拟预测）如图，人字梯的支架的长度都为（连接处的长度忽略不计），则B，C两点之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东中山·模拟预测）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长是（     ） A．9 B．15 C．12或15 D．不能确 4．（2024·广东河源·一模）在下列长度的四条线段中，能与长5cm，12cm的两条线段围成一个三角形的是（    ） A．5cm B．7cm C．15cm D．17cm 5．（2024·广东广州·一模）现有长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型02 三角形内角和定理与外角定理】 三角形的内角和 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 解题技巧： （1）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （2）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角 1．（2025·广东·模拟预测）如图所示，已知，点在线段上（不与点、点重合），，．则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳·一模）如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东·模拟预测）如图，在与中，点在上，点在上，且，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 4．（2024·广东·模拟预测）如图所示，在中，将点A与点B分别沿和折叠，使点A，B都与点C重合，若，则的度数为（） A． B． C． D． 5．（2024·广东深圳·模拟预测）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【题型03 三角形的角平分线与垂直平分线】 1．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 高分技巧：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 2．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 高分技巧：已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 1．如图，在中，，尺规作图：（1）分别以，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；（2）连接、、，交于点，则下列结论中错误的是（　　）    A．垂直平分 B．若，则 C． D．若，则垂直平分 2．（2025·广东·模拟预测）如图，在中，，．以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；分别以D，E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；作射线．则的度数为 ． 3．（2024·广东·模拟预测）如图，在 中，是的角平分线． (1)实践与操作：用尺规作图法，在上找到一点E使得为以为底边的等腰三角形；(保留作图痕迹，不写作法) (2)应用与计算：在（1）的条件下，过点D作交于点F，求证： 4．（2024·广东江门·模拟预测）如图，在中，，为的平分线． (1)尺规作图：过点作的垂线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，求证：． 考向二：等腰三角形和等边三角形 【题型04 利用等腰（边）三角形的性质求解】 1．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 2．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 1．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、， 连接， 则 °    2．（2024·广东广州·二模）如图，在等腰中，，延长边到点D，延长边到点E，连接，若，则 ． 3．（2024·广东广州·一模）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，，则高为 ．（参考数据：，，） 4．（2024·广东·模拟预测）如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起（点A 处），摆出，． 固定住长木棍， 转动短木棍， 得到等腰三角形， 此时B， C， D三点在同一条直线上，则 ． 5．（2024·广东江门·模拟预测）春节期间，小宇去表哥家拜年，好学的他发现在表哥新装修的房子里，钢琴房的背景墙上有用岩板作的几何图案造型．如图，这个图案是由正六边形、正方形及拼成的（不重叠，无缝隙），则的度数是 ． 【题型05 等腰（边）三角形的判定和性质】 1．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 2．等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 1．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，把一个含有角的直角三角尺绕着角的顶点顺时针旋转，使得点与延长线上的点重合，其中点的对应点为点，连接． (1)是_____三角形，的度数是_____ (2)若，求的面积． 2．（2024·广东中山·模拟预测）如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使． (1)用尺规作图的方法，过点作，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）． (2)求证：． 3．（2024·广东中山·三模）如图，和的斜边分别为正方形的边和，其中，线段与线段相交于． (1)求证：是等腰直角三角形． (2)若，的面积是2，求长． 4．（2024·广东潮州·一模）如图所示，和都是等腰直角三角形，是的中点，．    (1)求证：； (2)求的长． 5．（2024·广东惠州·三模）某兴趣小组在数学项目式学习活动中拟做以下探究：在中，， 是边上一点，且（为正整数），是边上的动点，过点作的垂线交直线于点． 【初步感知】（1）如题1图，当时，该兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程； 【深入探究】（2）如题2图，当时且点在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明； 【深入探究】（3）请通过类比、归纳、猜想、探究，归纳出线段之间数量关系的一般结论．    6．（2024·广东广州·二模）如图，在等腰直角三角形中，，，D、E分别是、上一点，且；    (1)如图1，当时，求的长度． (2)如图2，过点E作，交于点F，作，交于点G，求证：． (3)连接，当的长度最小时，求的面积． 考向三：直角三角形 【题型06 直角三角形的性质】 1．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 2．直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 1．（2023·广东·模拟预测）如图，已知，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则∠2的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·广东·模拟预测）如图，为斜边上的中线，E为的中点．若，，则 ． 3．（2024·广东惠州·一模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则的度数是 ． 4．（2024·广东江门·一模）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为 度． 5．（2024·广东阳江·二模）如图，在中，，，平分，交边于点，连接，若，则的长为 ． 【题型07 勾股定理及逆定理】 1．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 2．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 3．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 1．（2024·广东中山·模拟预测）如图，，，，若，则 ． 2．（2024·广东广州·二模）如图，在中，，是的平分线，若，，则的面积为 ． 3．（2024·广东梅州·一模）如图，在中，以点A为圆心AB长为半径作弧交于点F，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接并延长交于点E，，，则的长为 ． 4．（2024·广东湛江·二模）如图，在中，是边上的一点，连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，交于两点，作直线交于点，连接．若，则的度数是 ． 5．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，点、分别是、边上的点，将沿翻折，点的对应点恰好落在 的延长线上，且平分，若，则长为 ．    6．（2024·广东广州·一模）如图，在中，，，为斜边的中点，为形外一点，，①若，则 ；②若，，则的值为 ． 考向四：三角形的全等和相似 【题型08 全等三角形的判定和性质】 1.全等三角形的性质： （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 1．（2025·广东·模拟预测）如图，点 ， 在 上，，，．求证：． 2．（2025·广东广州·模拟预测）如图，点在一条直线上，，求证：． 3．（2025·广东清远·一模）如图，在中，是对角线． (1)作线段的垂直平分线，垂足为点，与边、分别交于点、（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：． 4．（2024·广东揭阳·一模）如图，在四边形中，，，点，分别是，上的点，连接，，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 5．（2023·广东惠州·二模）如图，，，于． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 6．（2023·广东阳江·一模）如图，在等腰和等腰中，已知，，，，连接交于点M． (1)求证：． (2)若，求的度数． 7．（2025·广东广州·模拟预测）问题情境： 如图1，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）将图中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，．如图，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，．猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【题型09 相似的基本概念和性质】 1.比例的基本性质与常用性质： （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 2．比例线段的定义与判别方法： （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 1．（2024·广东深圳·模拟预测）若是，则的值等于 ． 2．（2025·广东深圳·一模）若，其中，则的值为 ． 3．（2024·广东深圳·一模）已知，且，那么 ． 4．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，D是中上的中点，连接，是的中线，的延长线与交于点，则 ． 5．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，，D为上一点，且满足，过D作交延长线于点E，则 ． 6．（2024·广东深圳·模拟预测）在四边形中，，点E为对角线的中点，连接并延长交线段于点F，，则的长为 ． 【题型10 相似三角形的判定和性质】 1．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 2．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 3．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 1．（2025·广东广州·一模）如图，是的边上的两点，连接交于点的面积为，的面积为，四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为 ． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 ． 3．（2024·广东广州·二模）如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长为 ． 4．（2024·广东深圳·三模）如图，在正方形，点E，F在射线上，，则最大值是 ．    5．（2024·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，点M在直线上，连接，    （1）当，则 （2）当最大时， 6．（2025·广东广州·模拟预测）如图，中，，是边上的高，求证：． 7．（2025·广东梅州·一模）如图，中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)点是线段上一点，满足交于点． ①求证：； ②若，求的长． 8．（2024·广东·模拟预测）综合探究 【教材回顾】 （1）如图（1），在中，，垂足为D．求证：． 【尝试应用】 （2）如图（2），是的高．以为边在右侧作菱形，点E恰好落在上，且，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 （3）如图（3），在中，点D为上一点，于点H，点E，F分别在上，且，求的值． 一、单选题 1．（2025·广东深圳·一模）已知，，，成比例线段．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 3．（2025·广东·模拟预测）如图，大正方形面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 4．（2025·广东广州·模拟预测）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，为的中点，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广东深圳·一模）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，茗茗同学从中得到启发，在活动课上做“小孔成像”实验，他认为小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象，也可以利用数学知识解决隐藏在其中的问题．如图，若，，蜡烛火焰倒立像，则下列说法中，错误的是（   ） A．蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形 B． C．蜡烛火焰长 D．线段的中点与线段的中点的连线不一定经过点O 二、填空题 6．（2024·广东深圳·二模）如果（都不等于零），那么 ． 7．（2025·广东清远·一模）如题图，三个顶点都在格点上，已知小方格的边长为1，则 8．（2024·广东潮州·二模）如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，将沿着折痕翻折后，点A恰好落在线段的延长线上的点P处，如果，那么折痕的长为 ． 9．（2024·广东深圳·模拟预测）小明希望测量出电线杆的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点处立一标杆使标杆的影子与电线杆的影子部分重叠即点，，在一直线上，量得，，，则电线杆的长为 ． 10．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形中，点为边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，交于点，连接，交于点，已知，，，则= ． 三、解答题 11．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 12．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，在五边形中，，，．求证：． 13．（2024·广东汕头·一模）如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接． (1)求证：； (2)直接写出和的位置关系． 14．（2024·广东·模拟预测）如图，已知矩形的平分线交的延长线于点E． (1)尺规作图：过点B作的垂线交于点G（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）所作的图形中，连接，若平分，求证：． 15．（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 16．（2023·广东深圳·模拟预测）【探究证明】 （1）如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB、CD于点E、F，GH分别交AD、BC于点G、H，求证： ； 【模型应用】 （2）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值． 【变式拓展】 （3）如图3，平行四边形，，，直线与平行四边形相交，将平行四边形沿直线l折叠，当其中有一组对角顶点重合时，请直接写出折痕的长度． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点05 三角形 中考广东数学中数与式部分主要考向分为四类： 一、三角形概念（每年1~2道，3~6分） 二、等腰三角形和等边三角形（每年1~3道，3~9分） 三、全等三角形（每年2~3道，3-9分） 四、相似三角形（每年2~3道，3-9分） 三角形的全等问题中：①注重基础知识的掌握，包括全等三角形的定义、判定定理、性质等内容；②强调实际应用能力。例如，在图形变换、面积计算、角度计算等方面，可能会涉及到全等三角形的判定与性质；③重视逻辑推理能力的考查。在考试中，可能会出现给定一些条件，要求学生通过推理证明两个三角形全等的题目；④考查综合运用能力，可能会涉及到多个知识点的综合运用，包括全等三角形、相似三角形、三角函数等。 考向一：三角形的基本知识 【题型01 三角形的三边关系】 三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 1．（2024·广东·模拟预测）已知一个三角形的两边长分别为4和1，则这个三角形的第三边长可能是（       ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的第三边大于两边之差小于两边之和，据此得出第三边的取值范围，即可作出判断． 【详解】解：设三角形的第三边为， ∵三角形的两边长分别为和， ∴， 即， ∴这个三角形的第三边长可能是． 故选：C． 2．（2024·广东韶关·模拟预测）如图，人字梯的支架的长度都为（连接处的长度忽略不计），则B，C两点之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】根据三角形任意一边小于其它两边两边之和求出的取值范围，判断各选项即可得的答案．本题主要考查了三角形的三边关系，掌握据三角形任意一边小于其它两边两边之和是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 即． 只有A选项数值满足上述的范围， 故选：A． 3．（2024·广东中山·模拟预测）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长是（     ） A．9 B．15 C．12或15 D．不能确 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的定义． 先利用因式分解法解得到，，然后分类讨论：当三角形的腰为6，底为3时，得三角形的周长；当三角形的腰为3，底为6时不符合三角形三边的关系，舍去． 【详解】解：， ， 或， 解得：，， 当三角形的腰为6，底为3时，三角形的周长为， 当三角形的腰为3，底为6时，，故不符合三角形三边的关系，舍去， 所以三角形的周长为15． 故选：B． 4．（2024·广东河源·一模）在下列长度的四条线段中，能与长5cm，12cm的两条线段围成一个三角形的是（    ） A．5cm B．7cm C．15cm D．17cm 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系．首先设第三条线段长为，再利用三角形的三边关系可得的范围，然后可得答案． 【详解】解：设第三条线段长为，由题意得： ， 解得：， 只有适合， 故选：C． 5．（2024·广东广州·一模）现有长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系直接进行求解即可． 【详解】解：当取这三根木棒时，则有：，故不可以构成三角形； 当取这三根木棒时，则有，故不能构成三角形； 当取这三根木棒时，则有，故能构成三角形； 当取这三根木棒时，则有，故可以构成三角形； ∴能构成三角形的有2个； 故选B． 【题型02 三角形内角和定理与外角定理】 三角形的内角和 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 解题技巧： （1）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （2）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角 1．（2025·广东·模拟预测）如图所示，已知，点在线段上（不与点、点重合），，．则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角的性质、平行线的性质．根据三角形的外角性质可求得，再由平行线的性质即可求的度数． 【详解】解：，， ， ， ． 故选：A ． 2．（2025·广东深圳·一模）如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质求角度、等边对等角、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质结合等边对等角可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2025·广东·模拟预测）如图，在与中，点在上，点在上，且，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角性质，熟记三角形内角和定理、三角形外角性质是解题的关键，根据三角形内角和定理求出，再根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：，，， ， ，， ， 故选：． 4．（2024·广东·模拟预测）如图所示，在中，将点A与点B分别沿和折叠，使点A，B都与点C重合，若，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，折叠的性质是解题关键．根据折叠的性质得，，，再根据三角形内角和定理，最后由求的度数． 【详解】解：将点与点分别沿和折叠，使点、与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得 故选：B． 5．（2024·广东深圳·模拟预测）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两直线平行同位角相等、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了平行线的性质，延长交于点，先利用平行线的性质可得，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 故选：． 6．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、对顶角相等 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数，由平行线的性质求出的度数即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∵一束平行于主光轴的光线， 故选：A． 【题型03 三角形的角平分线与垂直平分线】 1．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 高分技巧：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 2．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 高分技巧：已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 1．如图，在中，，尺规作图：（1）分别以，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；（2）连接、、，交于点，则下列结论中错误的是（　　）    A．垂直平分 B．若，则 C． D．若，则垂直平分 【答案】B 【知识点】作垂线(尺规作图)、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、三角形角平分线的定义 【分析】由题意知，垂直平分，进而可判断A的正误；当，则，，，证明是等边三角形，则，，即，由，进而可判断B的正误；根据，计算求解可判断C的正误；当，可证是的等边三角形，则，，可得垂直平分，进而可判断D的正误． 【详解】解：由题意知，垂直平分，则A正确，故不符合要求； 当，则， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则B错误，故符合要求； ∵， ∴C正确，故不符合要求； 当， ∵，， ∴是的等边三角形， ∴，， ∴垂直平分，则D正确；故不符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了作垂线，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，垂直平分线的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 2．（2025·广东·模拟预测）如图，在中，，．以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；分别以D，E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；作射线．则的度数为 ． 【答案】/65度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、作角平分线(尺规作图) 【分析】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的作图、角平分线的定义，根据三角形外角的性质求出的度数，再由平分即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意知：平分， ∴， 故答案为：． 3．（2024·广东·模拟预测）如图，在 中，是的角平分线． (1)实践与操作：用尺规作图法，在上找到一点E使得为以为底边的等腰三角形；(保留作图痕迹，不写作法) (2)应用与计算：在（1）的条件下，过点D作交于点F，求证： 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【知识点】三角形角平分线的定义、作已知线段的垂直平分线、等腰三角形的性质和判定、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了作垂直平分线，角平分线的定义，三角形全等的判定及性质，解题的关键是作出相应的辅助线； （1）理解是需要作线段的垂直平分线即可； （2）利用垂直平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质证明出，再通过等量代换即可证明． 【详解】（1）解：作图如下： （2）证明：作图如下： 是的角平分线，的垂直平分线交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ． 4．（2024·广东江门·模拟预测）如图，在中，，为的平分线． (1)尺规作图：过点作的垂线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线性质定理及证明、作垂线(尺规作图)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了尺规作垂线，角平分线的定义，垂直平分线的性质，全等三角形的判断．正确的作垂线是解题的关键． （1）以D为圆心，适当长为半径画弧交于M、N，以M、N为圆心，大于长为半径画弧，交于点G，连接，交于E，则是线段的垂直平分线， 即为所求； （2）根据角平分线和垂直平分线的性质得，，证，即可得出结论． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）证明：为的平分线，为的垂线，， ，， 在和中 ， ， ， ． 考向二：等腰三角形和等边三角形 【题型04 利用等腰（边）三角形的性质求解】 1．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 2．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 1．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、， 连接， 则 °    【答案】 【知识点】等边对等角、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．根据等腰三角形的性质可得到，再根据线段垂直平分线的性质得到，推出，最后根据，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 垂直平分， ， ， ， 故答案为：． 2．（2024·广东广州·二模）如图，在等腰中，，延长边到点D，延长边到点E，连接，若，则 ． 【答案】/100度 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的判定与性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角 【分析】过点作，，易得四边形为平行四边形，进而得到，证明，推出为等边三角形，设，根据等边对等角，表示出，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：过点作，，连接， 则：四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 设，则：，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形和特殊图形． 3．（2024·广东广州·一模）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，，则高为 ．（参考数据：，，） 【答案】10.2 【知识点】三线合一、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握三角形函数的应用是解题关键．首先根据等腰三角形的性质可得，然后利用三角形函数计算的长度即可． 【详解】解：∵，，为边上的高， ∴， ∵， ∴在中，可有， ∴． 故答案为：10.2． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起（点A 处），摆出，． 固定住长木棍， 转动短木棍， 得到等腰三角形， 此时B， C， D三点在同一条直线上，则 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的定义、三角形内角和定理的应用 【分析】证明，可得结论．本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故答案为：． 5．（2024·广东江门·模拟预测）春节期间，小宇去表哥家拜年，好学的他发现在表哥新装修的房子里，钢琴房的背景墙上有用岩板作的几何图案造型．如图，这个图案是由正六边形、正方形及拼成的（不重叠，无缝隙），则的度数是 ． 【答案】/15度 【知识点】等边对等角、平面镶嵌、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺）和正多边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，正六边形的每个内角为，即可求，正方形每个内角为，即可求，进而求的大小，根据即可求的度数． 【详解】解：∵正六边形的每个内角为，正方形每个内角为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型05 等腰（边）三角形的判定和性质】 1．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 2．等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 1．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，把一个含有角的直角三角尺绕着角的顶点顺时针旋转，使得点与延长线上的点重合，其中点的对应点为点，连接． (1)是_____三角形，的度数是_____ (2)若，求的面积． 【答案】(1)等腰， (2)的面积． 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质． （1）由旋转，得到，即可得到是等腰三角形，再利用三角形的外角性质可求得的度数； （2）求得中边上的高，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵旋转， ∴，， ∴是等腰三角形，； 故答案为：等腰，； （2）解：作于点， ∵，， ∴， ∴的面积． 2．（2024·广东中山·模拟预测）如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使． (1)用尺规作图的方法，过点作，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线及考查了等边三角形和等腰三角形的性质；作图题要注意保留做题痕迹．证得是正确解答本题的关键． （1）按照过直线外一点作已知直线的垂线步骤来作图； （2）要证可证，根据三线合一得出． 【详解】（1）作图如下： （2）是等边三角形，是的中点 平分（三线合一） 又 又 又 ． 3．（2024·广东中山·三模）如图，和的斜边分别为正方形的边和，其中，线段与线段相交于． (1)求证：是等腰直角三角形． (2)若，的面积是2，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证明，得到，推出，即可得证； （2）证明，得到，三角形的面积公式求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，即可． 【详解】（1）证明：∵正方形， ，           ， ． ； 又 是等腰直角三角形； （2）， 的面积是2，且， ，得 ， 在中，， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 4．（2024·广东潮州·一模）如图所示，和都是等腰直角三角形，是的中点，．    (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质 根据，可以得到，又由是的中点,所以，即可证得； 由和可以得到，于是可求得，即可求得答案. 【详解】（1）解：证明：和都是等腰直角三角形，， ． ． 又是的中点， ． ． ． （2）解：，见答图，    ． ， ． ，， ． ． 在中，是的中点， ． 5．（2024·广东惠州·三模）某兴趣小组在数学项目式学习活动中拟做以下探究：在中，， 是边上一点，且（为正整数），是边上的动点，过点作的垂线交直线于点． 【初步感知】（1）如题1图，当时，该兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程； 【深入探究】（2）如题2图，当时且点在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明； 【深入探究】（3）请通过类比、归纳、猜想、探究，归纳出线段之间数量关系的一般结论．    【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）当在射线上时， ；当在射线上时， 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合、已知正弦值求边长 【分析】（1）如图1，连接，当时，，即，由题意知，则，，即，证明，则，即； （2）如图2，过作于，作于，则四边形是矩形，则，是等腰直角三角形，，，证明，则，设，则，，，，证明，则，，； （3）①当在射线上时，如图3，过作于，作于，则四边形是矩形，，同理（2）可知，，是等腰直角三角形，则，，证明，则，设，则，，，，同理（2），，则，，；②当在射线上时，如图4，过作于，作于，则四边形是矩形，，同理①可得，，设，则，，，，同理（2），，则，，． 【详解】（1）证明：如图1，连接，    当时，，即， ∵， ∴， ∴，，即， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下； 如图2，过作于，作于，则四边形是矩形，    ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当在射线上时， ；当在射线上时， ； ①当在射线上时，如图3，过作于，作于，则四边形是矩形，    ∴， 同理（2）可知，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 同理（2），， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当在射线上时，如图4，过作于，作于，则四边形是矩形，    ∴， 同理①可得，， ∴， 设，则，，， ∴， 同理（2），， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当在射线上时， ；当在射线上时， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正弦等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正弦是解题的关键． 6．（2024·广东广州·二模）如图，在等腰直角三角形中，，，D、E分别是、上一点，且；    (1)如图1，当时，求的长度． (2)如图2，过点E作，交于点F，作，交于点G，求证：． (3)连接，当的长度最小时，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、等腰三角形的性质和判定、已知正切值求边长、四点共圆 【分析】（1）过D作交于S，设，先根据三角函数得到，解方程得到，再根据即可求出的值； （2）由题意知，，，，由，可得，如图2，连接，证明，则，，设，则，，，，，，，由，可知四点共圆，如图2，作的外接圆，延长交的外接圆于，连接，则，由，可得，，则，； （3）如图3，连接，作于，由题意知，，，由（2）可知，，设，则，，，由勾股定理得，，可知当时，最小，即最小，由，代值求解即可. 【详解】（1）解：如图1：过D作交于S，设，    ∵等腰直角三角形， ， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意知，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 如图2，连接，    ∵，，， ∴， ∴，， 设，则，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴四点共圆， 如图2，作的外接圆，延长交的外接圆于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接，作于， 由题意知，，， 由（2）可知，， 设，则，，， 由勾股定理得，， ∵， ∴当时，最小，即最小， ∵， ∴最小时，， ∴当的长度最小时，的面积为． 考向三：直角三角形 【题型06 直角三角形的性质】 1．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 2．直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 1．（2023·广东·模拟预测）如图，已知，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则∠2的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据平行线的性质求角的度数、对顶角相等 【分析】本题主要考查平行线的性质，对顶角的性质，直角三角形的性质，掌握相关性质是解题的关键．由平行线的性质及对顶角的性质可求解∠5的度数，利用直角三角形的性质及对顶角的性质可求解∠2的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 2．（2025·广东·模拟预测）如图，为斜边上的中线，E为的中点．若，，则 ． 【答案】8 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，勾股定理，由直角三角形斜边中线的性质得到，再由等腰三角形的性质得到，，由勾股定理求出长，最后根据求解即可． 【详解】∵在中，为斜边上的中线， ∴， ∵E为的中点， ∴，， ∴， ． 故答案为：8． 3．（2024·广东惠州·一模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、半圆（直径）所对的圆周角是直角、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由是的直径可得，进而得，再由圆内接四边形的性质即可求出的度数，掌握圆的有关性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2024·广东江门·一模）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为 度． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，由入射角等于反射角可得，进而由即可求解，掌握入射角等于反射角是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2024·广东阳江·二模）如图，在中，，，平分，交边于点，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，由平行四边形的性质得，，，再证，则，过点作于点，则，然后由含角的直角三角形的性质得，则，，即可解决问题． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 如图，过点作于点， 则， ， ， ，， ． 故答案为：． 【题型07 勾股定理及逆定理】 1．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 2．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 3．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 1．（2024·广东中山·模拟预测）如图，，，，若，则 ． 【答案】4 【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形、等边对等角、用勾股定理解三角形 【分析】作于H，根据角平分线的性质求出，根据含角直角三角形的性质求出，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作于H． ∵，，， ∴，． ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的性质、等边对等角、含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解题的关键． 2．（2024·广东广州·二模）如图，在中，，是的平分线，若，，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形、根据三线合一证明、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查角平分线的性质定理，等腰三角形三线合一，直角三角形的性质以及勾股定理．直角三角形30度角所对直角边长度是斜边的一半，角平分线上的点到角两边的距离相等，综合运用以上知识是解题的关键． 先过D点作于E，再利用角平分线的性质定理得，然后根据等腰三角形的性质得到，计算得出，得到的长，再由勾股定理得到的长，即可求解． 【详解】解：过D点作于E，如图所示， ， ， 又，是的角平分线，， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：． 3．（2024·广东梅州·一模）如图，在中，以点A为圆心AB长为半径作弧交于点F，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接并延长交于点E，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】作角平分线(尺规作图)、根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】如图：连接，根据尺规作图可得，平分，证明是菱形可得，再运用勾股定理可得，进而可求出的长． 【详解】解：如图所示：连接，交于点O， 由题中作图可知：，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定、尺规作图、勾股定理等知识点，掌握垂直平分线的尺规作图成为解题的关键． 4．（2024·广东湛江·二模）如图，在中，是边上的一点，连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，交于两点，作直线交于点，连接．若，则的度数是 ． 【答案】/度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查了垂直平分线的性质以及直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，先得是的垂直平分线，然后结合，得出，因为即可作答． 【详解】解：根据作图得出是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ 故答案为： 5．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，点、分别是、边上的点，将沿翻折，点的对应点恰好落在 的延长线上，且平分，若，则长为 ．    【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了全等三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，延长交于点，根据折叠的性质以及角平分线的定义得出则，进而得出，证明得出，证明，得出，设，则，在中，得出，则，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，    ∵将沿翻折，点的对应点恰好落在 的延长线上， ∴，，， ∵， ∴ ∵平分， ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又， ∴ 设，则 在中， ∴，又 ∴ 解得： ∴， ∴在中， ∴ 故答案为：． 6．（2024·广东广州·一模）如图，在中，，，为斜边的中点，为形外一点，，①若，则 ；②若，，则的值为 ． 【答案】 4 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）直接利用斜边上的中线和勾股定理求解即可； （2）将绕点旋转90度得到，连接，过点作，旋转结合勾股定理求出的长，根据四边形的内角和，结合旋转推出，利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长，勾股定理求出的长，用求出的长． 【详解】（1）连接， ∵，，为斜边的中点， ∴， ∵为斜边的中点， ∴，； 故答案为：； （2）∵，， ∴为等腰直角三角形， 将绕点旋转90度得到，连接，过点作， 则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：4． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，斜边上的中线，勾股定理，旋转等知识点，综合性质强，难度较大，属于填空题中的压轴题，解题的关键是通过旋转构造特殊三角形． 考向四：三角形的全等和相似 【题型08 全等三角形的判定和性质】 1.全等三角形的性质： （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 1．（2025·广东·模拟预测）如图，点 ， 在 上，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，根据，可推出，再利用证得，从而得到． 【详解】解：， ， 即， 在 和 中， ， ． 2．（2025·广东广州·模拟预测）如图，点在一条直线上，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与平行线的判定，先证，得出，则，再由平行线的判定即可得出结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2025·广东清远·一模）如图，在中，是对角线． (1)作线段的垂直平分线，垂足为点，与边、分别交于点、（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、利用平行四边形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作已知线段的垂直平分线 【分析】（1）利用尺规作出线段的垂直平分线即可； （2）根据垂直平分线的性质得到，，由平行四边形的性质得到，然后证明出，进而得到． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵垂直平分 ∴， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，尺规作线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质． 4．（2024·广东揭阳·一模）如图，在四边形中，，，点，分别是，上的点，连接，，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、利用平行四边形的判定与性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】根据可证，利用可证； 根据，可知，，根据可知，根据可证、，所以可证，所以四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可知，所以． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中，， ； （2）解：，， ∴， ，， ， ， ， 由得：， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 即的长为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、平行线的判定和性质，解决本题的关键是根据图形的性质找到边和角之间的关系． 5．（2023·广东惠州·二模）如图，，，于． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形． （1）过点作，交的延长线于点．由证明，可得，结论得证； （2）证明，可得，可求出． 【详解】（1）证明：过点作，交的延长线于点． ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 又∵ 平分； （2）解：由（1）可得， 在和中， ， ∴， ， ． 6．（2023·广东阳江·一模）如图，在等腰和等腰中，已知，，，，连接交于点M． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质等知识点． （1）根据已知条件先证明，然后运用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，然后运用等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即 在和中， ∴． （2）解：∵， ∴， 由三角形的外角性质得， ∴． 7．（2025·广东广州·模拟预测）问题情境： 如图1，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）将图中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，．如图，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，．猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）四边形为矩形；理由见解析 （2）；理由见解析 【知识点】证明四边形是矩形、根据菱形的性质与判定求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解 【分析】（）由，，得，，再根据菱形的性质，则，，从而证明即可； （）由四边形为菱形，则，，再由旋转性质可知，，证明，最后根据全等三角形的性质和线段和差即可求解． 【详解】解：（）四边形为矩形，理由如下： ∵，， ∴，， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形； （），理由如下： ∵四边形为菱形， ∴，， ∵旋转得到， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，旋转的性质，等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【题型09 相似的基本概念和性质】 1.比例的基本性质与常用性质： （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 2．比例线段的定义与判别方法： （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 1．（2024·广东深圳·模拟预测）若是，则的值等于 ． 【答案】/0.4 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质．根据比例的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 2．（2025·广东深圳·一模）若，其中，则的值为 ． 【答案】10 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，根据合比的性质得，进而可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：10． 3．（2024·广东深圳·一模）已知，且，那么 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质，用分别表示的值是解题的关键．设比值为，利用比例的性质得到，故，求出的值即可得到答案． 【详解】解：设， 故， 故， ， ， 故答案为：． 4．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，D是中上的中点，连接，是的中线，的延长线与交于点，则 ． 【答案】 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．作交于，求出即可得到答案． 【详解】解：作交于， ，D是中上的中点， ， ， ， ，是的中线， ， 且， ， ， ， ， 5．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，，D为上一点，且满足，过D作交延长线于点E，则 ． 【答案】 【知识点】由平行判断成比例的线段、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，平行线分线段成比例，先设，根据，，得出再分别用勾股定理求出，故，再运用解直角三角形得出，，代入，化简即可作答． 【详解】解：如图，过点A作垂足为H, ∵，， 设， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得 ∴，， ∴，， ∴， 过点C作垂足为M， ∴，， ∵,， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2024·广东深圳·模拟预测）在四边形中，，点E为对角线的中点，连接并延长交线段于点F，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】如图所示，过点D作交于T，过点A作于H，延长交于G，证明，得到；再证明都是等腰直角三角形，得到，设，则，；证明，得到，进一步证明，得到，则，即，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作交于T，过点A作于H，延长交于G， ∵， ∴， ∵点E为对角线的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 设，则， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于正确作出辅助线构造全等三角形与相似三角形． 【题型10 相似三角形的判定和性质】 1．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 2．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 3．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 1．（2025·广东广州·一模）如图，是的边上的两点，连接交于点的面积为，的面积为，四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题为相似三角形和平行四边形的综合题，利用平移的性质做出辅助线是解题的关键．将向左平移，使边与边重合，已知，且，根据相似三角形的性质可得，从而得，继而得，所以，再由的面积为，可得，再求得，由即可得图中阴影部分的面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 如图，将沿向左平移，使边与边重合，、、的对应点为，则 ∵的面积为，的面积为， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 ． 【答案】4 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似图形的性质，理解题意，掌握相似的性质是解题的关键． 根据即可求解． 【详解】解：根据题意，设蜡烛火焰高度为， ∴， 解得，， ∴蜡烛火焰高度为， 故答案为： ． 3．（2024·广东广州·二模）如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长为 ． 【答案】8 【知识点】利用相似三角形的性质求解、位似图形相关概念辨析 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，进而得到，则，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴，， ∴， ∵， ∴的周长：的周长， ∵的周长为4， ∴的周长为8， 故答案为：8． 4．（2024·广东深圳·三模）如图，在正方形，点E，F在射线上，，则最大值是 ．    【答案】 【知识点】圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，正方形的性质．过点作交的延长线为点，作于点，作的垂直平分线，在上取点，作使，利用相似三角形的性质求得，求最大值，即求的最大值，点在上，当的延长线经过点时，有最大值，据此计算即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，过点作交的延长线为点，作于点，作的垂直平分线，在上取点，作使，      ∵， ∴， 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为定值， ∴求最大值，即求的最大值， ∵，， ∴， ∴点在上， 当的延长线经过点时，有最大值， ∵，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2024·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，点M在直线上，连接，    （1）当，则 （2）当最大时， 【答案】 3 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、三角形三边关系的应用、用勾股定理解三角形 【分析】①根据矩形的性质和勾股定理即可求解； ②作，过点A作于点E，则连接，取中点O，连接，，先证明，继而，因此，故的最大值转化为的最大值，由，知点E在以点O为圆心，为半径的圆上运动，由，故当三点共线时，取得最大值为18，故． 【详解】解：①∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴由勾股定理得：，， ∴， 故答案为：； ②作，过点A作于点E，则连接，取中点O，连接，，      ∵四边形是矩形， ∴， ∵点O为中点， ∴， ∴由勾股定理得， ∵， ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴的最大值转化为的最大值， ∵， ∴点E在以点O为圆心，为半径的圆上运动， ∵， ∴当三点共线时，取得最大值为18， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形三边关系，构造相似三角形是解决本题的关键． 6．（2025·广东广州·模拟预测）如图，中，，是边上的高，求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用两角对应相等判定相似、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了相似三角形的判定，垂直的定义，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，由相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（2025·广东梅州·一模）如图，中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)点是线段上一点，满足交于点． ①求证：； ②若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质证明、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，证明，推出，即可解答； （2）①通过平行四边形的性质证明，再通过（1）中的结论得到，最后证明，利用对应线段比相等，②把数值代入①中比例线段列方程即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 是的中点， ， ， ， ； （2）①证明： 四边形是平行四边形， ， ， ， ； ②解：由①得， ，即， ． 8．（2024·广东·模拟预测）综合探究 【教材回顾】 （1）如图（1），在中，，垂足为D．求证：． 【尝试应用】 （2）如图（2），是的高．以为边在右侧作菱形，点E恰好落在上，且，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 （3）如图（3），在中，点D为上一点，于点H，点E，F分别在上，且，求的值． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【知识点】由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合、利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先得出，再进行角的等量代换得证明，故，即可作答． （2）先连接与相交于点G．再结合四边形为菱形，得与同理（1）可得因为，则，即可作答． （3）先运用（1）中的结论，表示出的长，进而求得的值．再过点D作于点P，求出的值，然后运用平行线分线段成比例求出的值，即可作答． 【详解】证明：∵， ∴． 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴， 即． （2）． 理由：如图（1），连接与相交于点G． ∵四边形为菱形， ∴ 又 ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴， 同理（1）可得 ∴ （3）． ∴可设，则． ∵， ∴同理（1）可得 ∴ ∴ 如图（2），过点D作于点P，则， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又， ∵ 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形的性质，菱形的性质，平行线分线段成比例，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 一、单选题 1．（2025·广东深圳·一模）已知，，，成比例线段．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查成比例线段，解题的关键是掌握：若四条线段，，，成比例，则（或），是有顺序的，位置不能随意颠倒．据此列式解答即可． 【详解】解：∵，，，成比例线段，且，，， ∴，即， ∴． 故选：B． 2．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、三线合一 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，点D是中点， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴ 故选：C 3．（2025·广东·模拟预测）如图，大正方形面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、二次根式的混合运算、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了算术平方根和三角形的面积和二次根式的混合运算，掌握算术平方根和二次根式的运算是解题的关键． 由题意得出大、小正方形的边长，再求出，利用三角形的面积公式表示出阴影部分面积，再代入数据，利用二次根式混合运算化简，即可得出答案． 【详解】解：∵大正方形面积为，小正方形的面积为， ∴大正方形边长为，小正方形的边长为， ∴， ． 故选：C． 4．（2025·广东广州·模拟预测）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，为的中点，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、折叠问题 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定；连接，根据菱形的性质得出，则是等边三角形，根据等边三角形的性质，勾股定理求得的长，进而求得，根据折叠的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，则是等边三角形， ∵，为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴四边形的面积是， 故选：B． 5．（2025·广东深圳·一模）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，茗茗同学从中得到启发，在活动课上做“小孔成像”实验，他认为小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象，也可以利用数学知识解决隐藏在其中的问题．如图，若，，蜡烛火焰倒立像，则下列说法中，错误的是（   ） A．蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形 B． C．蜡烛火焰长 D．线段的中点与线段的中点的连线不一定经过点O 【答案】D 【知识点】相似三角形实际应用、位似图形的识别 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形，A选项正确； 由题意得：， ∴， ∵， ∴，B选项正确； ∴， ∴， 解得：， ∴蜡烛火焰长，C选项正确； 线段的中点与线段的中点的连线一定经过点O，D选项错误． 故选：D． 二、填空题 6．（2024·广东深圳·二模）如果（都不等于零），那么 ． 【答案】/ 【知识点】比例的性质 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】∵， ∴设，（）， ∴， 故答案为：． 7．（2025·广东清远·一模）如题图，三个顶点都在格点上，已知小方格的边长为1，则 【答案】2 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、求角的正切值 【分析】本题考查了正切的定义，根据网格线的特点可得，，，进而可知是直角三角形，再利用正切的定义即可解答． 【详解】解：由勾股定理可得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 故答案为：2． 8．（2024·广东潮州·二模）如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，将沿着折痕翻折后，点A恰好落在线段的延长线上的点P处，如果，那么折痕的长为 ． 【答案】 【知识点】根据等角对等边证明边相等、折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正切的定义，作出辅助线及准确找到各线段之间的关系是解决本题的关键． 先求出，由等腰直角三角形的性质可得，由锐角三角函数可求的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， ∵将沿着折痕翻折， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（2024·广东深圳·模拟预测）小明希望测量出电线杆的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点处立一标杆使标杆的影子与电线杆的影子部分重叠即点，，在一直线上，量得，，，则电线杆的长为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，根据题意易证，得到，利用相似三角形的相似比即可求出电线杆长． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 10．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形中，点为边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，交于点，连接，交于点，已知，，，则= ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用菱形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】过点作交、的延长线于点，在上截取，连接，由四边形是菱形，则，，再由旋转可得，，从而证明是等边三角形，然后由等边三角形的性质可得∴，，从而，最后由平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：过点作交、的延长线于点，在上截取，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， 由旋转可得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例，菱形的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题 11．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 12．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，在五边形中，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．由等角对等边可得，再根据“”证明全等即可． 【详解】证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴． 13．（2024·广东汕头·一模）如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接． (1)求证：； (2)直接写出和的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，对顶角相等，证明是解答本题的关键． （1）先证明，然后根据即可证明； （2）延长交于点F，交于点N，由全等三角形的性质得，由可证，进而可证结论成立． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）延长交于点F，交于点N ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 14．（2024·广东·模拟预测）如图，已知矩形的平分线交的延长线于点E． (1)尺规作图：过点B作的垂线交于点G（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）所作的图形中，连接，若平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】角平分线的性质定理、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、矩形性质理解 【分析】（1）以点B为圆心，画弧交于两点，再以这两个交点为圆心画弧交于一点，连接B与这点，并延长交于于一点，即为G； （2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得出，再证明因为四边形是矩形，所以 ，用等角对等边，得，结合，则结合勾股定理，得，，因为，所以，即可作答． 本题考查了尺规作图——作垂线，角平分线的性质，勾股定理，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：如图（1）所示，即为所求． （2）证明：如图（2）， ∵平分， ∴ 又∵， ∴ ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴， ， ∵， ∴ 15．（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 【答案】（1）①；②；（2） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）①根据定义列式计算即可．②根据定义求角，根据直径对的圆周角是直角，运用含角的直角三角形的性质求解即可． （2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明，则，进一步证明，当是直径时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， 故答案为：60． ②作圆的直径，连接， 则 ∵圆的半径为5， ∴， ∵， ∴. ∴． （2）如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵是的一条弦， ∴当是直径时，取最大值， 即的最大值是． 【点睛】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 16．（2023·广东深圳·模拟预测）【探究证明】 （1）如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB、CD于点E、F，GH分别交AD、BC于点G、H，求证： ； 【模型应用】 （2）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值． 【变式拓展】 （3）如图3，平行四边形，，，直线与平行四边形相交，将平行四边形沿直线l折叠，当其中有一组对角顶点重合时，请直接写出折痕的长度． 【答案】（1）见解析   （2）  （3）或 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、证明四边形是矩形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）过点作，交于，过点作，交于，如图1，易证，，，然后运用相似三角形的性质就可解决问题； （2）过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图3，易证四边形是矩形，由（1）中的结论可得．设，，则，，根据勾股定理列出方程组解出x，y，问题得以解决． （3）分两种情况，①沿l折叠后点重合，过作垂线垂足为，构造矩形，由（1）的结论可得；②沿l折叠后点 重叠，过作垂线垂足为，由（1）的结论可得． 【详解】解：（1）过点作，交于，过点作，交于，如图1， 四边形是矩形， ∴，． 四边形、四边形都是平行四边形， ，． 又， ， ． 四边形是矩形， ， ， ． ， ， ， （2）过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图2，则四边形是平行四边形． ，是矩形， ，，． ， 由（1）中的结论可得 ， 设，，则，， 在中，①， 在中，②， 由②①得③， 解方程组，得 ， ， ． （3）①若沿l折叠，点重叠，设l与的交点为．则垂直，过作垂线垂足为， ∵，，， ∴， ∴ ∴， 在中 由探究结论可得， ∴， ∴； ②若沿l折叠，点重叠，设l与的交点为．则垂直，过作垂线垂足为， ∵，， ∴， ∴ ∴， 在中 由探究结论可得， ∴， ∴． 所以，或． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等知识，运用（1）中的结论是解决第（2）、（3）小题的关键． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$