第四章第02讲 三角形中的高线、中线、角平分线（3个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（北师大版2024）

第02讲 三角形中的高线、中线、角平分线 课程标准 学习目标 ①三角形的概念 ②三角形三边关系 ③三角形的三线 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；毛 2. 理解并会应用三角形三边间的关系； 3. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法. 知识点01 三角形的中线、角平分线、中线 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段； 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直．2．角度相等． 1．线段相等．2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 【即学即练1】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图． (1)在中，，垂足为，则是___________边上的高，______________________； (2)若平分，交于点，则叫___________，_________________________________，叫___________； (3)若，则的中线是___________； (4)若，则是___________的中线，是___________的中线． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高． (2)若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 题型01 画三角形的高 例题：（24-25八年级上·浙江金华·期末）在中，作边上的高，正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式训练】 1．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图中，是哪条边上的高（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）下列四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（    ） A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 题型02 根据三角形的中线求长度 例题：（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）在中，，，是边上的中线，若的周长为41，那么的周长是（    ） A．39 B．41 C．43 D．无法确定 2．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在中，、是的中线，的周长比的周长长2，若，． (1)求，的长； (2)求的长； (3)直接写出的周长． 3．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，，分别是的高和中线． (1)若，，求高的长； (2)若，，求与的周长之差． 题型03 根据三角形的中线求面积 例题：（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，点D，E分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川德阳·期中）设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，是边的中线，是的中点，连接，，若的面积为，则阴影部分的面积为 ． 3．（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）如图所示，，若，则 ． 题型04 重心的概念及有关应用 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知的面积为8，点O为的重心，则四边形的面积为（   ） A． B． C．8 D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（　　） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．无法确定 D．三条中线的交点 2．（23-24八年级上·河北邯郸·期中）已知在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C，均在格点上，则点是的（   ） A．三条角平分线交点 B．三条中线交点 C．三边垂直平分线交点 D．无法确定 3．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； (3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 题型05 三角形角平分线的定义 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，是的角平分线，则平分 ， ，且点在边上． 2．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则 ，若，则 度． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，已知：在四边形中，，点E为线段延长线上一点，连接交于F，． (1)求证：； (2)若是的角平分线，，求的度数． 题型06 网格中作三角形中的高线、中线、角平分线 例题：（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，已知点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题（格线的交点称为格点，保留画图过程的痕迹）． (1)图中的面积为______； (2)在图1中画出的高； (3)在图2中的边上画一点E，使； (4)已知，在图2中画出的角平分线． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)的面积为______． 2．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，在的网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点称作格点，的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，作出的高； (2)在图2中，作出的中线． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形边长都是1，的顶点都在小正方形的顶点上． (1)请在图中画出边上的高； (2)请在边上找点，并连接，使得的面积与的面积相等； (3)直接写出（2）中的面积． 题型07 三角形中高线、中线、角平分线综合求解 例题：（23-24八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）①是的角平分线，则 ②是的中线，则 ③是的高线，则． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，，分别是的高和中线，若，，，． (1)求的长． (2)求与的周长之差． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图所示，分别是的高，已知． (1)请画出的高和； (2)求的面积； (3)若，求的长． 3．（23-24八年级上·湖南湘西·阶段练习）数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题．有三名同学的作品如下： (1)小香：如图1，已知的高，面积为，求的长度． (2)小涵：如图2，已知D是中点，，，求． (3)小宇：如图3，已知平分，，，求． 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）下列四个图形中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 3．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，已知中，分别是三角形的高线，角平分线和中线，下列结论错误的是（　 　）    A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图，的角平分线、中线相交于点O，①是的角平分线；②是的中线；③是的中线；④是的角平分线．以上结论正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 5．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）大约在公元年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2，为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为，则的面积是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（22-23八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为 ． 7．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）在直角中，已知，，，，在的内部找一点P，使得P到的三边距离相等，则这个距离是 ． 8．（24-25八年级上·广西玉林·期末）如图，都是的中线，连接的面积是，则的面积是 ． 9．（23-24八年级下·全国·单元测试）（1）在中，是的平分线，是边上的中线．若，则 ；若，则 ． （2）在中，，是边上的中线，的周长为，的周长为，则 ． 10．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，对逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…；按此规律继续下去，可得到，若，则 ．（结果用含a的代数式表示） 三、解答题 11．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，是的中线，，的周长是18，求的长． 12．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，． (1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为13，求的周长． 13．（24-25八年级上·云南普洱·期末）如图，在中，是边上的中线，交于点，为的中点，连接．已知，的面积为24． (1)求的长． (2)若，求与的周长差． 14．（24-25八年级上·江西上饶·期末）请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，在中，D，E分别为边的中点，请作出边的中点； (2)如图2，在中，，是边的中点，于点，请过点作边的垂线． 15．（24-25八年级上·山东临沂·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是____________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 16．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 三角形中的高线、中线、角平分线 课程标准 学习目标 ①三角形的概念 ②三角形三边关系 ③三角形的三线 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；毛 2. 理解并会应用三角形三边间的关系； 3. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法. 知识点01 三角形的中线、角平分线、中线 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段； 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直．2．角度相等． 1．线段相等．2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 【即学即练1】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图． (1)在中，，垂足为，则是___________边上的高，______________________； (2)若平分，交于点，则叫___________，_________________________________，叫___________； (3)若，则的中线是___________； (4)若，则是___________的中线，是___________的中线． 【答案】(1)，， (2)的角平分线，，，，的角平分线 (3) (4)， 【知识点】画三角形的高、三角形角平分线的定义、垂线的定义理解、根据三角形中线求长度 【分析】（1）由三角形的高的定义及垂线的定义即可直接得出答案； （2）由三角形角平分线的定义即可直接得出答案； （3）由三角形的中线的定义即可直接得出答案； （4）由三角形的中线的定义即可直接得出答案． 【详解】（1）解：在中，，垂足为，则是边上的高，， 故答案为：，，； （2）解：若平分，交于点，则叫的角平分线，，叫的角平分线， 故答案为：的角平分线，，，，的角平分线； （3）解：若，则的中线是， 故答案为：； （4）解：若，则是的中线，是的中线， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了三角形的高的定义，垂线的定义，三角形角平分线的定义，三角形的中线的定义等知识点，熟练掌握与三角形有关的线段的定义是解题的关键． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高． (2)若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1)见解析 (2)点到边的距离为 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了复杂作图，以及三角形中线的性质： （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）首先根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得的面积是5，再利用三角形的面积公式进而得到的长． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：是的中线， ， 是的中线， ， 的面积为， 的面积是， ， ， ∴． 即点到边的距离为． 题型01 画三角形的高 例题：（24-25八年级上·浙江金华·期末）在中，作边上的高，正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可． 【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点B向作垂线垂足为E， 纵观各图形，D选项符合高线的定义， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图中，是哪条边上的高（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形的高，根据三角形高的定义即可得出答案． 【详解】解：过A点作交的延长线与点D， 故是边上的高， 故选：C． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）下列四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形高的定义，根据三角形的高是从三角形的一个顶点向对边作垂线，一一判断即可； 【详解】解：A，B，C都不是作对边的垂线，故只有D符合题意； 故选：D 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（    ） A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查三角线的高，根据三角形的高线的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，是的高，正确，不符合题意； B、，是的高，正确，不符合题意； C、，不是的高，原说法错误，符合题意； D、，则：，故是的高，正确，不符合题意； 故选C． 题型02 根据三角形的中线求长度 例题：（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义．根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是中线， ∴， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）在中，，，是边上的中线，若的周长为41，那么的周长是（    ） A．39 B．41 C．43 D．无法确定 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查三角形的中线以及三角形的周长，掌握三角形的中线的定义是解题的关键．根据的周长为41，可得，再结合三角形中线的定义，即可求解． 【详解】解：的周长为41， ， 是边上的中线， ， ， ， ， 的周长是． 故选：A． 2．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在中，、是的中线，的周长比的周长长2，若，． (1)求，的长； (2)求的长； (3)直接写出的周长． 【答案】(1)， (2) (3)的周长为30 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线及周长计算，理解三角形中线的定义是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义求出的长度即可； （2）根据题意得出，确定， （3）利用三角形的周长公式计算周长即可． 【详解】（1）解：∵分别是边上的中线， ∴点分别为的中点． ∵，， ∴，． （2）解：∵的周长比的周长长2， ∴， 由（1）得， ∴， （3）解： 由（1）（2）得，，， ∴的周长为：． 3．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，，分别是的高和中线． (1)若，，求高的长； (2)若，，求与的周长之差． 【答案】(1)4 (2)1 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线和高线的定义，比较简单． （1）根据三角形面积公式求解即可； （2）分别表示出与的周长，再相减即可． 【详解】（1），， ， 解得， 高的长为4． （2）的中线是， ， 与的周长之差为： ． 题型03 根据三角形的中线求面积 例题：（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，点D，E分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两份成为解题的关键． 根据点E分别是的中点可得，同理可得即可解答． 【详解】解：∵点E分别是的中点， ∴， ∵点D分别是的中点， ∴． 故选C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川德阳·期中）设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律、三角形的面积，解题的关键是得出． 由题意求得，根据点分别是的中点，得，，从而得出，同理可得：，，，…， 归纳出，代入n值即可得到答案． 【详解】解：由题意得： ， ∵点分别是的中点， ，， ， 同理可得：， ， ， …， ． ． 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，是边的中线，是的中点，连接，，若的面积为，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形的面积及三角形的角中线的性质，根据三角形中线的性质及三角形的面积与底和高之间的关系即可解决问题，熟知三角形中线的性质及三角形的面积与底和高之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题知， ∵是边的中线， ， ， 又∵， ， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）如图所示，，若，则 ． 【答案】1 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查利用中线求三角形的面积．根据，得点D是的中点，，故． 【详解】解：， ，， ， ， 故答案为：1． 题型04 重心的概念及有关应用 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知的面积为8，点O为的重心，则四边形的面积为（   ） A． B． C．8 D． 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积、重心的概念 【分析】本题考查三角形的重心的定义，三角形的中线，三角形的面积；根据题意可得，进而根据三角形中线的性质，即可求解． 【详解】解：因为点O是的重心， 所以点、分别是的中点， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（　　） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．无法确定 D．三条中线的交点 【答案】D 【知识点】重心的概念 【分析】本题考查了三角形的重心的概念和性质．注意数学知识在实际生活中的运用．根据题意得：支撑点应是三角形的重心．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点． 【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心， ∴三角形的重心是三角形三边中线的交点， 故选：D． 2．（23-24八年级上·河北邯郸·期中）已知在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C，均在格点上，则点是的（   ） A．三条角平分线交点 B．三条中线交点 C．三边垂直平分线交点 D．无法确定 【答案】B 【知识点】重心的概念 【分析】本题考查了三角形的中线的交点的概念．根据三角形的中线交点的含义进行判断即可． 【详解】解：如图，点、分别是、的中点， 、是的中线， 点是三条中线的交点． 故选：B． 3．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； (3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)，见解析 (2)相等，； (3) 【知识点】根据三角形中线求面积、重心的概念 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能正确运用即可． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）中的结论即可得出； （3）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：                由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，所以的面积为． ∵ ∴，即 故答案为；相等，；  ． （3）解：是的重心， ， ， ， ． 题型05 三角形角平分线的定义 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是的角平分线， ． 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，是的角平分线，则平分 ， ，且点在边上． 【答案】 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，熟练掌握三角形角平分线的定义是解题的关键． 根据三角形角平分线的定义即可直接得出答案． 【详解】解：是的角平分线，则平分，，且点在边上， 故答案为：，，． 2．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则 ，若，则 度． 【答案】 12 36 【知识点】根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键．根据三角形中线将线段分成相等的两部分，可求出的长，根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是中线，， ∴， ∴， ∵是角平分线，， ∴， ∴， 答案：12，36． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，已知：在四边形中，，点E为线段延长线上一点，连接交于F，． (1)求证：； (2)若是的角平分线，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的性质，角平分线是解题的关键． （1）由，可得，由，可得，由，可得； （2）由，可得，由是的角平分线，可得，由，可得，由，可得，即，求解作答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴的度数为． 题型06 网格中作三角形中的高线、中线、角平分线 例题：（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，已知点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题（格线的交点称为格点，保留画图过程的痕迹）． (1)图中的面积为______； (2)在图1中画出的高； (3)在图2中的边上画一点E，使； (4)已知，在图2中画出的角平分线． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【知识点】利用网格求三角形面积、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、画三角形的高 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质， （1）由三角形面积公式可得答案； （2）取格点G，连接并延长交于D，线段即为所求； （3）取格点G，连接交于E，点E即为所求； （4）取格点M、N，连接、、，与交于点F，则即为所求． 解题的关键是掌握全等三角形判定与性质定理和网格的特征． 【详解】（1）解：由图可知，； （2）解：取格点G，连接并延长交于D，线段即为所求，如图： ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：取格点G，连接交于E，点E即为所求，如图所示： ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （4）解：取格点M、N，连接、、，与交于点F，则即为所求，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)的面积为______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)6 【知识点】格点作图题、利用网格求三角形面积、根据三角形中线求面积、画三角形的高 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的角平分线、中线和高、三角形的面积． （1）根据三角形的高的定义画图即可． （2）根据三角形的中线的定义画图即可． （3）由题意可得，的面积为，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由题意得，的面积为． 故答案为：6． 2．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，在的网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点称作格点，的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，作出的高； (2)在图2中，作出的中线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据三角形中线求长度、画三角形的高 【分析】本题主要考查了画三角形的高和中线： （1）如图所示，取格点D，连接，线段即为所求； （2）如图所示，取格点E，连接，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形边长都是1，的顶点都在小正方形的顶点上． (1)请在图中画出边上的高； (2)请在边上找点，并连接，使得的面积与的面积相等； (3)直接写出（2）中的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】画三角形的高、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了作图的应用和设计，三角形的中线和高以及三角形的面积，掌握网格线的特点，三角形的中线是解答本题的关键． （1）根据三角形的高线的定义作图即可； （2）确定边的中点E，连接即可； （3）根据三角形的面积公式求解即可 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，即为所作； （3）解：的面积． 题型07 三角形中高线、中线、角平分线综合求解 例题：（23-24八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）①是的角平分线，则 ②是的中线，则 ③是的高线，则． 【答案】①；；；②；；；③； 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】此题考查三角形的角平分线、中线、高问题，能够根据三角形的中线、角平分线和高的概念得到线段、角之间的关系．根据三角形的中线的概念即可完成填空；根据三角形的角平分线的概念即可完成填空；根据三角形的高的概念即可完成填空． 【详解】解：①是的角平分线，则， ②是的中线，则， ③是的高线，则， 故答案为：①；；；②；；；③； 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，，分别是的高和中线，若，，，． (1)求的长． (2)求与的周长之差． 【答案】(1) (2)2 【知识点】根据三角形中线求长度、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形高、中线的概念，利用面积法求三角形的高； （1）利用面积法即可求得高的长； （2）由中线的意义得，则与的周长之差为，从而可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴； ∴与的周长之差为： ． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图所示，分别是的高，已知． (1)请画出的高和； (2)求的面积； (3)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)30 (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、画三角形的高 【分析】（1）根据三角形的高的定义，分别画出和即可； （2）利用三角形面积公式列式计算，即可求得； （3）根据三角形面积公式得到，即可得到，从而求得． 本题主要考查了三角形的高、三角形的面积，熟知三角形的面积公式是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，即为所求作的高，如图所示： ； （2）解：∵，是的高， ∴． （3）解：∵是的高，且 ∴， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·湖南湘西·阶段练习）数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题．有三名同学的作品如下： (1)小香：如图1，已知的高，面积为，求的长度． (2)小涵：如图2，已知D是中点，，，求． (3)小宇：如图3，已知平分，，，求． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，掌握与三角形“三线”相关的结论是解题关键． （1）根据即可求解； （2）根据、、、即可求解； （3）根据三角形的内角和定理求出即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：∵D是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）下列四个图形中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查三角形高线的定义，熟记三角形高线的概念并灵活判断是解题的关键； 首先熟悉高线的概念：过三角形的顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段就是三角形的高线，根据高线的概念，判断选项中线段是否为的高，即可得到答案. 【详解】解：根据三角形高的定义可知，选项D中是的高， 故选：D 2．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 【答案】B 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查与三角形有关的线段，解题的关键是理解三角形的高、中线、角平分线的定义，据此分析即可． 【详解】解：A．三角形的高、中线、角平分线都是线段，故此选项不符合题意； B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，故引选项符合题意； C．钝角三角形的三条角平分线都在三角形的内部，故此选项不符合题意； D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，故此选项不符合题意． 故选：B． 3．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，已知中，分别是三角形的高线，角平分线和中线，下列结论错误的是（　 　）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形角平分线的定义、根据三角形中线求面积、画三角形的高 【分析】本题考查了三角形的高线，角平分线及中线的定义，熟练掌握三角形的高线，角平分线及中线的定义所隐含的数量关系式解答本题的关键． 根据三角形的高线，角平分线及中线的定义解答即可． 【详解】解：∵分别是三角形的高线，角平分线及中线， ∴，， ∴正确，C错误． 故选：C． 4．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图，的角平分线、中线相交于点O，①是的角平分线；②是的中线；③是的中线；④是的角平分线．以上结论正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形中线的定义，根据题意得，根据这两个条件判断所给选项是否正确即可． 【详解】解：∵的角平分线、中线相交于点O， ， ①在中，，∴是的角平分线，故①正确； ②，所以不是的中线，故②错误； ③在中，是的中线，故③正确； ④不一定等于，那么不一定是的角平分线，故④错误； 正确的有2个选项①③． 故选：B． 5．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）大约在公元年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2，为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线的性质，正确作出辅助线，并熟练掌握中线分三角形面积相同是解题的关键．连接，由点、、分别是、、的中点，可得，，得出，同理得，，即可得出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点、、分别是、、的中点， ∴，， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．（22-23八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为 ． 【答案】/13厘米 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的中线， ， 的周长为， ， ， 比长， ， ， ， 的周长， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）在直角中，已知，，，，在的内部找一点P，使得P到的三边距离相等，则这个距离是 ． 【答案】2 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式是解题的关键．连接，作于D，于E，于F，根据三角形的面积公式得到，然后代数计算即可． 【详解】如图所示，连接，作于D，于E，于F， 由题意得，， ∵， ∴， 即， 解得，， ∴这个距离是2． 故答案为：2． 8．（24-25八年级上·广西玉林·期末）如图，都是的中线，连接的面积是，则的面积是 ． 【答案】4 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了利用三角形的中线求三角形的面积．根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得，． 【详解】解：∵是的中线，的面积是， ∴， ∵是的中线， ∴为的中线， 即， 故答案为：4． 9．（23-24八年级下·全国·单元测试）（1）在中，是的平分线，是边上的中线．若，则 ；若，则 ． （2）在中，，是边上的中线，的周长为，的周长为，则 ． 【答案】 /80度 3 【知识点】三角形角平分线的定义、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了角平分线，中线等知识．熟练掌握角平分线，中线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线，中线的定义求解作答即可； （2）由是边上的中线，可得，由题意知，的周长为，的周长为，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， 故答案为：，3； （2）解：∵是边上的中线， ∴， 由题意知，的周长为，的周长为， ∴，， 故答案为： ． 10．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，对逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…；按此规律继续下去，可得到，若，则 ．（结果用含a的代数式表示） 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是理解同高的两个三角形的面积之比等于底边之比．连接，，，找出延长各边后得到的三角形与原三角形面积的倍数规律，然后利用规律求延长第次后的面积． 【详解】解：连接，， 设， ， 中边上的高，与中边上的高相同 ， ，中边上的高，与中边上的高相同 ， 同理可得，， 所以； 同理得； ， ， ， ， ∵， ∴，解得． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，是的中线，，的周长是18，求的长． 【答案】． 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，． (1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为13，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为21 【知识点】三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得，根据是偶数得； （2）根据是的中线得，根据的周长为13和即可求解． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知：， 即， 是偶数， ； （2）解：的周长为13， ， ， ， 是的中线， ， ， ， 的周长． 13．（24-25八年级上·云南普洱·期末）如图，在中，是边上的中线，交于点，为的中点，连接．已知，的面积为24． (1)求的长． (2)若，求与的周长差． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据三角形中线求长度、与三角形的高有关的计算问题 【分析】此题考查了三角形的高和中线等知识． （1）根据三角形的面积求出，根据三角形中线即可求出的长； （2）根据三角形中线得到，的周长，的周长，作差即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，的面积为24．交于点， ∴， 解得， ∵是边上的中线， ∴ （2）∵为的中点， ∴ ∵的周长，的周长， ∴与的周长差． 14．（24-25八年级上·江西上饶·期末）请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，在中，D，E分别为边的中点，请作出边的中点； (2)如图2，在中，，是边的中点，于点，请过点作边的垂线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】垂心、重心的概念 【分析】本题考查了重心和垂心的性质． （1）连接，，两线相交于点，作射线并延长交点，根据三角形三条中线相交于一点，即可判断点是的中点，点即为所作； （2）连接并延长交的延长线于点，连接交的延长线于点，根据三角形三条垂线相交于一点，即可得到，线段． 【详解】（1）解：点即为所作； ； （2）解：线段即为所作； ． 15．（24-25八年级上·山东临沂·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是____________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， 且， ∴， 又∵， ∴， ∵ ，， ∴． 16．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【答案】（1）作图见解析；，证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【知识点】画三角形的高、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积， （1）过点作交于一点，再根据列式化简，即可得证； （2）同理得，根据点为中点时得，继而推出，可得结论； （3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论． 解题的关键是熟练运用数形结合思想． 【详解】解：（1）依题意，边上的高如下图所示： ，，之间的数量关系：． 证明：∵，，，， ∴， ∴， ∴； （2）与的数量关系为：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点时， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3），，之间的数量关系：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$