（思维导图+知识梳理＋考点精讲）第三单元 长方体和正方体（1）长方体和正方体的认识-五年级下册数学单元讲练测（原卷版＋解析版）人教版(2)

人教版五年级数学下册同步精讲 第三单元 长方体和正方体（1）长方体和正方体的认识 内容导航 · 思维导图 1 · 知识梳理 2 · 考点精讲 4 思维导图 知识梳理 知识点一.长方体的特征 1.长方体各部分的名称。 长方体一般是由6个长方形(特殊情况有两个相对的面是正方形)围成的立体图形。它的三要素是面、棱和顶点：面是围成长方体的各个长方形(或正方形),面面相交即成棱，棱棱相交即成顶点。 2.长方体的面的特征。 （1）长方体有6个面，上面和下面、前面和后面、左面和右面分别是相对的面，如下图： 相对的面的形状、大小完全相同。 （2）长方体每个面的形状都是长方形。 特殊情况下有2个相对的面是正方形。 3.长方体棱的特征。 (1)长方体有12条棱。 (2)一般相对的4条棱的长度相等。特殊的有8条棱的长度相等，另外的4条棱的长度相等。 知识点二.长方体的长、宽、高 1.定义 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 (1)长方体每4条相对的棱相等，所以12条棱可以分三组。 (2)一般地，相交于同一顶点的三条棱的长度不相等。 如果长方体中有2个相对的面是正方形，相交于同一顶点的三条棱中有2条棱的长度是相等的。 2.具体长、宽、高 一般情况，把底面中较长的一条棱的长叫做长，较短的一条棱的长叫做宽，竖着的棱的长叫做高。一个长方体有4条长、4条宽和4条高，所有的长、宽、高分别相等。 长方体的长、宽、高决定了长方体的大小。 3.长方体的棱长总和=4条长+4条宽+4条高=(长+宽+高)×4。 知识点三.正方体的特征 1.由6个完全相同的正方形围成的立体图形就是正方体。 （1）正方体有6个面，每个面都是正方形并且完全相同。 （2）正方体有12条棱，12条棱的长度都相等。 （3）正方体有8个顶点。 2.正方体是特殊的长方体，正方体也叫立方体。 3.正方体的棱长之和=棱长×12。 知识点四.长方体和正方体的关系 相同点 不同点 面的形状 面的大小 棱的长短 长方体 都有6个面、12条棱和8个顶点 一般地，6个面都是长方形，特殊情况下有2个相等相对的面是正方形 相对面面积相等 相对的棱长度相等 正方体 6个面都是正方形 所有的面面积相等 所有的棱长度相等 正方体是长、宽、高都相等的长方体。 考点精讲 考点一. 长方体的特征 面的特征：长方体由6个面组成，一般情况下这些面是长方形，特殊情形下有两个相对的面是正方形。相对的面形状相同、大小相等。 棱的特征：面与面相交形成12条棱，相对的棱长度相等。 顶点的特征：三条棱相交于一点确定1个顶点，长方体共有8个顶点。 长、宽、高的定义：相交于同一个顶点的三条棱，水平方向较长的棱为长方体的长，水平方向较短的棱是宽，竖直方向的棱是高。长、宽、高决定了长方体的形状与大小，也用于后续棱长总和等相关计算。 下图的长方体共有( )个面、( )个顶点、( )条棱；长方体中和b平行的棱有( )条。 【答案】 6 8 12 3 【分析】根据长方体的特征，填空即可。 【解析】长方体共有6个面、8个顶点、12条棱；b是长方体的宽，根据长方形对边平行且相等可知，长方体中4条宽互相平行，则与b平行的棱有3条。 【总结】考查了长方体的特征及平行的特征，基础题。 即时练习1．下面是长方体一个顶点处的3条棱。（单位：cm），要围成这个长方体需要下图中的三种长方形，分别是( )、( )、( )。 【答案】 B C E 【分析】根据题意得：长方体顶点处的三条棱分别为长宽高，即这个长方体的长为9厘米，宽为7厘米，高为4厘米，则围成这个长方体的三种面分别为长和宽，长和高，宽和高组成的长方形。据此可得出答案。 【解析】根据题意得：这个长方体的长、宽、高分别为9厘米、7厘米、4厘米，则围成这个长方体的三种长方形分别为9厘米和7厘米、9厘米4厘米、7厘米和4厘米组成的长方形。题中符合条件的长方形分别为：B、C、E。 即时练习2．观察下图，与c平行且长度相等的棱（包含c）有( )条；与a相交并垂直的棱有( )条；如果左右面是正方形，那么与b长度相等的棱一共（包含b）有( )条。 【答案】 4 4 8 【分析】此题考查长方体的认识：长方体有6个面，每个面一般都是长方形，相对的面完全相同；有12条棱，相对的4条棱长度相等；有8个顶点。长方体相邻的两条棱互相垂直， 相对的两条棱互相平行。据此解答即可。 【解析】根据长方体的特征，与c平行且长度相等的棱（包含c）有4条；与a相交并垂直的棱有4条；如果左右面是正方形，那么与b长度相等的棱一共（包含b）有8条。 考点二. 正方体的特征 面的特征：正方体的6个面均为正方形，且这6个面完全相同。 棱的特征：正方体有12条棱，所有棱的长度都相等。 顶点的特征：正方体同样有8个顶点，即三条棱相交的点。 正方体的特征：正方体也叫 体．   ①正方体有 个面，都是正方形，面积都 ． ②正方体有 条棱，长度都 ． ③正方体有 个顶点． 【答案】 立方体 6 相等 12 相等 8 【解析】解：正方体也叫立方体，  ①正方体有 6个面，都是正方形，面积都 相等． ②正方体有 12条棱，长度都相等． ③正方体有8个顶点． 故答案为立方体，6、相等，12、相等，8． 【分析】根据正方体的特征：正方体有6个面，每个面都是正方形，6个面的面积都相等，12条棱的长度都相等，有8个顶点． 即时练习1．判断正误，在正方体下面画“T”． （1）（2） （3） （4） （　　）　　（    ）　 （　　）　　 （   ） 【答案】（4） T 即时练习2．亮亮用接头和小棒制作一个正方体框架，他已经完成部分(如图)。还需要( )个接头和( )根小棒。 【答案】 4 7 【分析】根据正方体的特征，正方体有8个顶点，12条棱，每条棱长度相等。从题意可知：接头即顶点，小棒即棱，用8－4＝4（个）即还需4个接头；用12－5＝7（根）即还需7根小棒。据此解答。 【解析】根据分析可得： 8－4＝4（个） 12－5＝7（根） 亮亮用接头和小棒制作一个正方体框架，他已经完成部分有4个接头和5根小棒，还需要4个接头和7根小棒。 考点三. 长方体和正方体的相同点与不同点 相同点：长方体和正方体都有6个面、12条棱、8个顶点。 不同点：长方体的面多数是长方形，特殊情况有两个相对面是正方形；正方体的面始终是正方形。长方体相对的棱长度相等，正方体所有棱长度都相等。 我们探究下面的表格是长方体和正方体的联系和区别： 名称 图形 相同点 不同点 面 棱 顶点 面的特点 面的大小 棱长 长方体 正方体 【答案】 都有6个面 都有12条棱 都有8个顶点 一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形 相对的面完全一样 12条棱，相对的棱长度相等 6个面都是正方形 6个面大小一样 12条棱，长度都一样 【解析】如图是长方体、是正方体。 根据长方体和正方体的特征，填表如下： 名称 图形 相同点 不同点 面 棱 顶点 面的特点 面的大小 棱长 长方体 都有6个面 都有12条棱 都有8个顶点 一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形 相对的面完全一样 12条棱，相对的棱长度相等 正方体 6个面都是正方形 6个面大小一样 12条棱，长度都一样 即时练习1．长方体和正方体的认识     （1）长方体和正方体的特点： ①长方体和正方体都有( )个顶点、( )个面、( )条棱 ②长方体相对面的大小、形状都( )，正方体每个面都是( )，并且每个面的面积都( ) ③长方体的棱长分( )组，每组中4条棱的长度( )；正方体12条棱的长度都( ) （2）长方体的棱长总和=（长+宽+高）×( ) 正方体的棱长总和=( )×12 注意：正方体是特殊的长方体．特殊情况下，长方体有2个相对的面是正方形，其余四个面是长方形，这4个面的面积相等 【答案】 8 6 12 相同 正方形 相等 3 相等 相等 4 棱长 即时练习2．下列图形中，哪些是长方体，哪些是正方体？请把图形序号填在下面的括号中．   长方体有 ，正方体有 ． 【答案】 1,4 3,6 【解析】长方体和正方体都是立体图形，正方体的长宽高都相等，长方体的长、宽、高三个量不能完全相等，最多只能有两个量相等． 即时练习3．正方体是特殊的（  ），是（  ）、（  ）、（  ）都（  ）的长方体，用图来表示是： 【答案】长方体；长；宽；高；相等；图见解析 【分析】正方体是特殊的长方体，是长、宽、高都相等的长方体，正方体包含在长方体内，以此解答。 【解析】根据分析可知，正方体是特殊的长方体，是长、宽、高都相等的长方体； 用图来表示是： 【总结】此题主要考查学生对正方体与长方体关系的理解与认识。 考点四. 长方体棱长总和相关计算 已知长、宽、高求棱长总和： 若长方体的长、宽、高分别为、、，其棱长总和计算公式为 。计算时，先算出长、宽、高的和，再将所得和乘以，得到的结果就是长方体的棱长总和。 已知棱长总和及长、宽求高： 若已知长方体棱长总和为，长为，宽为，根据棱长总和公式变形可求高 。先将棱长总和除以，得到长、宽、高的和，即，再减去已知的长与宽，即，从而得出高的值，该值可用于后续相关量的计算。 已知棱长总和、宽和高求长： 由长方体棱长总和公式，变形可得。当已知长方体棱长总和、宽和高时，先计算得到长、宽、高的和，再依次减去宽与高，即可求出长的值。 已知棱长总和、长和高求宽： 根据公式，还可变形为。若已知长方体棱长总和、长和高，先通过得出长、宽、高的和，然后分别减去长与高，就能得到宽的数值。 如图，长方体一共有( )条棱，棱长是5cm的棱有( )条，棱长是4cm的棱有( )条，棱长是3cm的棱有( )条，所有棱长的和是( )cm。 【答案】 12 4 4 4 48 【分析】 长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等；按长度可分为三组，每一组有4条棱；根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，列式计算即可求出棱长总和。 【解析】3×4＋4×4＋5×4 ＝12＋16＋20 ＝28＋20 ＝48（cm） 长方体一共有12条棱，棱长是5cm的棱有4条，棱长是4cm的棱有4条，棱长是3cm的棱有4条，所有棱长的和是48cm。 即时练习1.一个长方体的长是10厘米，宽是8厘米，高是5厘米，这个长方体的棱长总和是( )厘米。 【答案】92 【分析】根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，列式计算即可。 【解析】（10＋8＋5）×4 ＝23×4 ＝92（厘米） 这个长方体的棱长总和是92厘米。 即时练习2．一个长方体的棱长之和是48cm，它的长和宽是7cm和3cm，高是( )cm。 【答案】2 【分析】根据正方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用棱长总和÷4即可得长、宽、高之和，再减去长、宽之和，即可得高。 【解析】48÷4－（7＋3） ＝48÷4－10 ＝12－10 ＝2（cm） 高是2cm。 即时练习3．一个长方体的棱长和为72厘米，相交于一个顶点的三条棱的长度和是( )厘米。 【答案】18 【分析】相交于一个顶点的三条棱就是长方体的长、宽、高，然后根据长方体的总棱长公式：L＝（a＋b＋h）×4，用72除以4即可求出相交于一个顶点的三条棱的长度和。 【解析】72÷4＝18（厘米） 则相交于一个顶点的三条棱的长度和是18厘米。 【总结】本题考查长方体的总棱长，明确相交于一个顶点的三条棱就是长方体的长、宽、高是解题的关键。 即时练习4．用64cm长的铁丝焊接一个长方体框架，这个长方体框架的宽为4cm，高为3cm，长为( )cm。 【答案】9 【分析】根据题意，用一根铁丝焊接一个长方体框架，那么这根铁丝的长度等于长方体的棱长总和； 根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的长、宽、高之和＝棱长总和÷4，再分别减去已知的宽、高，即可求出长方体框架的长。 【解析】64÷4＝16（cm） 16－4－3＝9（cm） 长为9cm。 即时练习5．下图是长方体一个顶点处的3条棱。（单位：厘米）从以下图形中选择6个面（可重复选择），围出这个长方体。 （1）你选择的6个面是哪几个？（请写出序号，并注明有几个这样的面。） （2）请你计算一下围出的这个长方体的棱长总和是多少厘米？ 【答案】（1）4个⑤、2个⑥ （2）72厘米 【分析】（1）由题可知，长方体的长是7厘米，宽是7厘米，高是4厘米，由此可知长方体的上下底面是一个边长是7厘米的正方形，四个侧面都是长为7厘米，宽为4厘米的长方形，据此解答。 （2）根据棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可求出这个长方体的棱长总和。 【解析】（1）我选择的6个面分别是： 4个⑤、2个⑥。 （2）（7＋7＋4）×4 ＝18×4 ＝72（厘米） 答：这个长方体的棱长总和是72厘米。 考点五. 正方体棱长总和相关计算 当正方体棱长为时，根据公式“棱长总和 = 棱长×12”，直接用棱长乘以12，即，所得数值就是正方体棱长总和。 若已知正方体棱长总和为，可由公式变形求棱长，即棱长。用棱长总和除以12，得到正方体棱长，进而可用于计算其他与正方体相关的量。 下图是一个( )，它的棱长是( )厘米，它的棱长之和是( )厘米。 【答案】 正方体 6 72 【分析】由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体；正方体棱长总和＝棱长×12，据此分析。 【解析】6×12＝72（厘米） 如图是一个正方体，它的棱长是6厘米，它的棱长之和是72厘米。 【总结】关键是熟悉正方体特征，掌握正方体棱长总和公式。 即时练习1．把一根长48厘米的铁丝折成一个最大的正方体，这个正方体的棱长是( )。 【答案】4厘米/4cm 【分析】根据正方体的棱长和＝棱长×12，用48÷12即可求出这个正方体的棱长。 【解析】48÷12＝4（厘米） 这个正方体的棱长是4厘米。 【总结】本题考查了正方体的棱长和公式的灵活应用。 即时练习2．一个正方体棱长之和是72厘米，它的棱长是( )厘米。 【答案】6 【分析】根据正方体棱长＝棱长总和÷12，列式计算即可。 【解析】72÷12＝6（厘米） 【总结】正方体有12条棱，每条棱的长度相等，正方体棱长总和＝棱长×12。 即时练习3．一根铁条，刚好可以焊接成一个棱长为6分米的正方体框架，这根铁条长( )米。 【答案】7.2 【分析】根据正方体的特征：12条棱的长度都相等，正方体的棱长总和＝棱长×12，求做这个正方体框架需要铁丝多少分米，也就是求它的棱长总和，把数据代入公式计算。 【解析】6×12＝72（分米） 72分米＝7.2米 【总结】此题主要考查正方体的特征和棱长总和的计算方法。 考点六.长方体的展开图 长方体展开图：判断长方体展开图能否折叠成长方体，要保证相对的面不相邻，并且展开图还原成长方体后，长、宽、高对应准确。展开图中较长的边一般对应长方体的长或高，较短的边对应宽。 下面哪些图形沿虚线折叠后能围成长方体？先想一想，再利用附页2中的图1试一试。 【答案】③ 【分析】首先观察图片1中的图形，看看它们是否由六个长方形组成，并且这些长方形是否按照上述展开图的某种形式排列。 利用附页2中的图1，尝试将图形沿虚线折叠，看看是否能围成一个长方体。长方体的每个面都应该对应图形中的一个长方形，且折叠后相邻的面应该能够正确拼接。 根据折叠后的结果，判断哪些图形能够围成长方体。如果图形折叠后能够形成一个完整的长方体，且没有重叠或缺失的部分，那么这个图形就是符合要求的。 【解析】长方体的上下两个底面应该是完全一样的。对于①，当沿着虚线进行折叠时，我们可以看到它的上下两个大底面明显不一样大。因为长方体要求相对的面大小相等，所以①不符合长方体面的特征，不能围成长方体。 同样依据长方体相对的面大小相等这一特点。观察②，当沿虚线折叠后，很明显可以看出它的上下面大小不相等。由于不满足长方体面的这一关键特征，所以②也围不成长方体。 ③沿虚线折叠后，它的各个面能够两两相对，并且相对的面大小是相等的，完全符合长方体六个面的特征，所以③可以围成长方体。 对于④，当沿虚线折叠后，会发现它的上下面太小了。在围成长方体时，上下面需要和其他面能够合理拼接且符合相对面大小相等的条件，而这里上下面的大小情况无法满足围成长方体的要求，所以选项④不能围成长方体。 综上可知：图③沿虚线折叠后能围成长方体。 即时练习1．一个长方体纸箱的展开图如图所示，围成长方体后，和③号面相对的面是（    ）。 A．①号面 B．④号面 C．⑤号面 【答案】C 【分析】长方体的特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，且相对的面不相邻。据此可知长方体纸箱展开图围成长方体后，①号面和④号面相对，②号面和⑥号面相对，③号面和⑤号面相对。 【解析】一个长方体纸箱的展开图如图所示，围成长方体后，和③号面相对的面是⑤号面。 故答案为：C 即时练习2．把下面的长方体、正方体与对应的展开图连起来。 【答案】见解析 【分析】第一行的第一个图是长方体，且有2个面是正方形，另外4个面都是完全一样的长方形，所以对应的展开图是第二行的第二个图； 第一行的第二个图是长方体，且6个面都是长方形，有三组相对的面完全相同，所以对应的展开图是第二行的第三个图； 第一行的第三个图是正方体，正方体的6个面都是相同的正方形，所以对应的展开图是第二行的第一个图。 【解析】连线如下图： 即时练习3．下图是一个长方体展开图的四个面，请画出其余的两个面，使它成为完整的长方体展开图。 【答案】见解析 【分析】 根据长方体的特征，相对的面完全一样，给出的四个面可以看作如图，还缺前面和上面，前面和后面相对，上面和下面相对，据此作图。 【解析】 （画法不唯一） 考点七. 正方体的展开图 正方体展开图：正方体展开图符合11种特定类型，如“1 - 4 - 1”型（中间4个正方形排成一排，上下各1个正方形）、“2 - 3 - 1”型（上面2个正方形，中间3个正方形，下面1个正方形依次排列）、“2 - 2 - 2”型（3组2个正方形上下依次排列）等。通过观察展开图中正方形的排列方式来判断是否符合这些类型。 下面展开图中，（    ）沿虚线折叠后不能围成正方体。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析题目，正方体的展开图有11种，分为四种类型：“1－4－1”型，即第一行有1个，第二行有4个，第三行有1个；“2－2－2”型，即第一行有2个，第二行有2个，第三行有2个；“3－3”型，即第一行有3个，第二行有3个；“1－3－2”型，即第一行有1个，第二行有3个，第三行有2个；据此结合选项给出的展开图判断即可。 【解析】 A．属于正方体展开图中的：“1－4－1”型，沿虚线折叠后能围成正方体； B．不属于正方体展开图，沿虚线折叠后不能围成正方体； C．属于正方体展开图中的：“2－2－2”型，沿虚线折叠后能围成正方体；     D．属于正方体展开图中的：“1－3－2”型，沿虚线折叠后能围成正方体。 故答案为：B 即时练习1．一个正方体玩具，它的平面展开图如图所示，原正方体中与全字所在的面相对的面上的字是( )。 【答案】明 【分析】正方体展开图中，同行或同列隔一个的是相对面，有公共边的面是相邻的面，据此解答。 【解析】“全”与“国”是相邻的面，可以排除“国”。第二行“文”与“城”是相对的面，就都不与“全”相对，可以排除。第二列“国”与“市”是相对的面，就都不与“全”相对，可以排除。那么剩下的“明”就是与“全”相对的面。 故原正方体中与全字所在的面相对的面上的字是明。 即时练习2．下图实线部分都是在白纸上面的无盖正方体的表面展开图，请你设计三种不同的方法，在图中添加一个正方形（涂色表示），使新图形剪下折叠后能够围成一个封闭的正方体。 【答案】见解析 【分析】正方体的展开图有11种特征，分四种类型。从题意可知：无盖正方体的表面展开图最接近正方体的展开图中的“231”型和“33” 型（如下图） ： 据此添加一个正方形即可折叠后能够围成一个封闭的正方体。 【解析】根据分析可得： 即时练习3．下列图形中哪些是正方体的展开图？是的画“√”，不是的画“×”。可以做一做。    【答案】①√；②√；③√；④× 【分析】正方体展开图如下： （1）“141”型： （2）“231”型： （3）“222”型： （4）“33”型： 据此判断即可。 【解析】 根据分析可得：图形①、图形②、图形③都是“141”型，是正方体的展开图，图形④不是正方体的展开图。 考点八.长方体有关棱长的应用 首先确定题目所求的是长方体的部分棱长还是棱长总和。若求部分棱长，需根据实际场景明确具体是哪些棱的长度和。 当计算类似在长方体建筑物或物体四周装彩灯（地面四边不装）这类部分棱长问题时，具体所需长度为几条长、几条宽与几条高根据实际情况认真判断。 若是求长方体框架等的棱长总和，依据长方体棱长总和公式“棱长总和 =（长 + 宽 + 高）×4”，准确获取长、宽、高的数据，代入公式求解。在求解过程中，要注意单位的统一。 快到六一儿童节了，张阿姨准备在儿童乐园房子的四周挂上一圈彩灯（如图，地面的四周不装）。已知此房子的长是60米，宽是50米，高18米，这样至少需要准备多长的彩灯（不计损耗和接头处）？ 【答案】292米 【分析】根据长方体的特征可知，长方体有12条棱，长、宽、高各有4条。 根据题意，在儿童乐园房子的四周挂上一圈彩灯（地面的四周不装），那么长、宽要各减少2条，这样彩灯的长度＝2条长＋2条宽＋4条高，代入数据计算即可。 【解析】60×2＋50×2＋18×4 ＝120＋100＋72 ＝292（米） 答：这样至少需要准备292米长的彩灯。 即时练习1．为迎接“五一”国际劳动节，工人叔叔要在礼堂的四周装上彩灯（地面的四边不装）。已知礼堂长90米，宽55米，高22米，工人叔叔至少需要多长的彩灯线？ 【答案】378米 【分析】求工人叔叔至少需要彩灯线的长度，就在求这个长方体2条长、2条宽和4条高的长度和，据此求出需要彩灯线的长度。 【解析】90×2＋55×2＋22×4 ＝180＋110＋88 ＝290＋88 ＝378（米） 答：工人叔叔至少需要378米长的彩灯线。 即时练习2．木工师傅制作一种方凳，方法是先制作一个木框架（如图），然后在上面固定一块木板。制作一个木框架共需要用多少厘米的木条？（拼接处忽略不计） 【答案】418厘米 【分析】根据题意可知，求制作一个木框架需要木条的长度，通过平移，可将这个木框架看作一个长方体，也就是求长方体的棱长总和；根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可解答。 【解析】（34.5＋22.5＋47.5）×4 ＝（57＋47.5）×4 ＝104.5×4 ＝418（厘米） 答：制作一个木框架共需要用418厘米的木条。 即时练习3．儿童节快到了，为了增添节日气氛，工作人员准备在外形是长方体的少年宫科技楼的四周装上彩灯线。大楼长48米，宽30米，高45米，至少要用多少米彩灯线？（底边不装） 【答案】 336米 【分析】根据题意得：在长方体少年宫科技楼的4条高、2条长、2条宽上装上彩灯线，则需要的长度＝（长＋宽）×2＋高×4，据此可得出答案。 【解析】（30＋48）×2＋45×4 ＝78×2＋180 ＝156＋180 ＝336（米） 答：至少要用336米的彩灯线。 考点九.正方体有关棱长的应用 明确题目要求，判断是求正方体的棱长总和、已知棱长和求棱长，还是判断材料是否足够搭建正方体框架等问题。求正方体棱长总和时，利用正方体12条棱长度都相等的特性，使用公式“棱长总和 = 棱长×12”计算。 已知正方体棱长和（如用一定长度铁丝制作框架后剩余部分已知，可算出实际使用的棱长和），求棱长时，根据公式变形“棱长 = 棱长和÷12”进行计算。 当计算类似在正方体建筑物或物体四周装彩灯（地面四边不装）这类部分棱长问题时，具体所需棱长根据实际情况认真判断。 小红买了一个棱长6分米的储物箱，她要在每条棱上粘胶带，若每米胶带2.5元，至少需要买多少元的胶带？ 【答案】18元 【分析】根据正方体的特征可知，正方体有12条棱长，用棱长×12求出所有棱长的总和，把棱长总和的长度换算单位后，再乘每米胶带的价钱2.5元，即可求出需要买多少元的胶带。 【解析】12×6＝72（分米） 72分米＝7.2米 7.2×2.5＝18（元） 答：至少需要买18元的胶带。 【总结】此题的解题关键是理解掌握正方体的特征以及棱长的应用。 即时练习1．在地面上搭建一个长、宽、高都是的玻璃房，用钢材搭建的框架如下图。共需要多少米钢材？ 【答案】 【分析】根据题图可知，正方体框架其中的8条棱需要使用钢材搭建。 【解析】   答：共需要钢材。 【总结】本题考查正方体的特征，解答本题的关键是找出钢材需要几条正方体的棱长。 即时练习2．有一根160厘米的铁丝，用这根铁丝焊接成一个正方体框架，还剩4厘米，这个正方体框架的棱长是多少厘米？ 【答案】13厘米 【分析】用160厘米减去4厘米，先求出这个正方体的棱长和，再将棱长和除以12，求出这个正方体框架的棱长是多少厘米。 【解析】（160－4）÷12 ＝156÷12 ＝13（厘米） 答：这个正方体框架的棱长是13厘米。 【总结】本题考查了正方体的棱长和，正方体棱长和＝棱长×12，那么棱长＝棱长和÷12。 即时练习3．用一根长1米的铁丝，围成一个棱长10厘米的正方体框架，这根铁丝够吗？ 【答案】不够 【分析】正方体有12条棱，且长度都相等，则用正方体的棱长10厘米乘12，即可求出正方体的棱长之和。把1米换算成100厘米，再和正方体的棱长之和进行比较即可解答。 【解析】1米＝100厘米 10×12＝120（厘米） 100＜120 答：这根铁丝不够。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版五年级数学下册同步精讲 第三单元 长方体和正方体（1）长方体和正方体的认识 内容导航 · 思维导图 1 · 知识梳理 2 · 考点精讲 4 思维导图 知识梳理 知识点一.长方体的特征 1.长方体各部分的名称。 长方体一般是由6个长方形(特殊情况有两个相对的面是正方形)围成的立体图形。它的三要素是面、棱和顶点：面是围成长方体的各个长方形(或正方形),面面相交即成棱，棱棱相交即成顶点。 2.长方体的面的特征。 （1）长方体有6个面，上面和下面、前面和后面、左面和右面分别是相对的面，如下图： 相对的面的形状、大小完全相同。 （2）长方体每个面的形状都是长方形。 特殊情况下有2个相对的面是正方形。 3.长方体棱的特征。 (1)长方体有12条棱。 (2)一般相对的4条棱的长度相等。特殊的有8条棱的长度相等，另外的4条棱的长度相等。 知识点二.长方体的长、宽、高 1.定义 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 (1)长方体每4条相对的棱相等，所以12条棱可以分三组。 (2)一般地，相交于同一顶点的三条棱的长度不相等。 如果长方体中有2个相对的面是正方形，相交于同一顶点的三条棱中有2条棱的长度是相等的。 2.具体长、宽、高 一般情况，把底面中较长的一条棱的长叫做长，较短的一条棱的长叫做宽，竖着的棱的长叫做高。一个长方体有4条长、4条宽和4条高，所有的长、宽、高分别相等。 长方体的长、宽、高决定了长方体的大小。 3.长方体的棱长总和=4条长+4条宽+4条高=(长+宽+高)×4。 知识点三.正方体的特征 1.由6个完全相同的正方形围成的立体图形就是正方体。 （1）正方体有6个面，每个面都是正方形并且完全相同。 （2）正方体有12条棱，12条棱的长度都相等。 （3）正方体有8个顶点。 2.正方体是特殊的长方体，正方体也叫立方体。 3.正方体的棱长之和=棱长×12。 知识点四.长方体和正方体的关系 相同点 不同点 面的形状 面的大小 棱的长短 长方体 都有6个面、12条棱和8个顶点 一般地，6个面都是长方形，特殊情况下有2个相等相对的面是正方形 相对面面积相等 相对的棱长度相等 正方体 6个面都是正方形 所有的面面积相等 所有的棱长度相等 正方体是长、宽、高都相等的长方体。 考点精讲 考点一. 长方体的特征 面的特征：长方体由6个面组成，一般情况下这些面是长方形，特殊情形下有两个相对的面是正方形。相对的面形状相同、大小相等。 棱的特征：面与面相交形成12条棱，相对的棱长度相等。 顶点的特征：三条棱相交于一点确定1个顶点，长方体共有8个顶点。 长、宽、高的定义：相交于同一个顶点的三条棱，水平方向较长的棱为长方体的长，水平方向较短的棱是宽，竖直方向的棱是高。长、宽、高决定了长方体的形状与大小，也用于后续棱长总和等相关计算。 下图的长方体共有( )个面、( )个顶点、( )条棱；长方体中和b平行的棱有( )条。 【答案】 6 8 12 3 【分析】根据长方体的特征，填空即可。 【解析】长方体共有6个面、8个顶点、12条棱；b是长方体的宽，根据长方形对边平行且相等可知，长方体中4条宽互相平行，则与b平行的棱有3条。 【总结】考查了长方体的特征及平行的特征，基础题。 即时练习1．下面是长方体一个顶点处的3条棱。（单位：cm），要围成这个长方体需要下图中的三种长方形，分别是( )、( )、( )。 即时练习2．观察下图，与c平行且长度相等的棱（包含c）有( )条；与a相交并垂直的棱有( )条；如果左右面是正方形，那么与b长度相等的棱一共（包含b）有( )条。 考点二. 正方体的特征 面的特征：正方体的6个面均为正方形，且这6个面完全相同。 棱的特征：正方体有12条棱，所有棱的长度都相等。 顶点的特征：正方体同样有8个顶点，即三条棱相交的点。 正方体的特征：正方体也叫 体．   ①正方体有 个面，都是正方形，面积都 ． ②正方体有 条棱，长度都 ． ③正方体有 个顶点． 【答案】 立方体 6 相等 12 相等 8 【解析】解：正方体也叫立方体，  ①正方体有 6个面，都是正方形，面积都 相等． ②正方体有 12条棱，长度都相等． ③正方体有8个顶点． 故答案为立方体，6、相等，12、相等，8． 【分析】根据正方体的特征：正方体有6个面，每个面都是正方形，6个面的面积都相等，12条棱的长度都相等，有8个顶点． 即时练习1．判断正误，在正方体下面画“T”． （1）（2） （3） （4） （　　）　　（    ）　 （　　）　　 （   ） 即时练习2．亮亮用接头和小棒制作一个正方体框架，他已经完成部分(如图)。还需要( )个接头和( )根小棒。 考点三. 长方体和正方体的相同点与不同点 相同点：长方体和正方体都有6个面、12条棱、8个顶点。 不同点：长方体的面多数是长方形，特殊情况有两个相对面是正方形；正方体的面始终是正方形。长方体相对的棱长度相等，正方体所有棱长度都相等。 我们探究下面的表格是长方体和正方体的联系和区别： 名称 图形 相同点 不同点 面 棱 顶点 面的特点 面的大小 棱长 长方体 正方体 【答案】 都有6个面 都有12条棱 都有8个顶点 一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形 相对的面完全一样 12条棱，相对的棱长度相等 6个面都是正方形 6个面大小一样 12条棱，长度都一样 【解析】如图是长方体、是正方体。 根据长方体和正方体的特征，填表如下： 名称 图形 相同点 不同点 面 棱 顶点 面的特点 面的大小 棱长 长方体 都有6个面 都有12条棱 都有8个顶点 一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形 相对的面完全一样 12条棱，相对的棱长度相等 正方体 6个面都是正方形 6个面大小一样 12条棱，长度都一样 即时练习1．长方体和正方体的认识     （1）长方体和正方体的特点： ①长方体和正方体都有( )个顶点、( )个面、( )条棱 ②长方体相对面的大小、形状都( )，正方体每个面都是( )，并且每个面的面积都( ) ③长方体的棱长分( )组，每组中4条棱的长度( )；正方体12条棱的长度都( ) （2）长方体的棱长总和=（长+宽+高）×( ) 正方体的棱长总和=( )×12 注意：正方体是特殊的长方体．特殊情况下，长方体有2个相对的面是正方形，其余四个面是长方形，这4个面的面积相等 即时练习2．下列图形中，哪些是长方体，哪些是正方体？请把图形序号填在下面的括号中．   长方体有 ，正方体有 ． 即时练习3．正方体是特殊的（  ），是（  ）、（  ）、（  ）都（  ）的长方体，用图来表示是： 考点四. 长方体棱长总和相关计算 已知长、宽、高求棱长总和： 若长方体的长、宽、高分别为、、，其棱长总和计算公式为 。计算时，先算出长、宽、高的和，再将所得和乘以，得到的结果就是长方体的棱长总和。 已知棱长总和及长、宽求高： 若已知长方体棱长总和为，长为，宽为，根据棱长总和公式变形可求高 。先将棱长总和除以，得到长、宽、高的和，即，再减去已知的长与宽，即，从而得出高的值，该值可用于后续相关量的计算。 已知棱长总和、宽和高求长： 由长方体棱长总和公式，变形可得。当已知长方体棱长总和、宽和高时，先计算得到长、宽、高的和，再依次减去宽与高，即可求出长的值。 已知棱长总和、长和高求宽： 根据公式，还可变形为。若已知长方体棱长总和、长和高，先通过得出长、宽、高的和，然后分别减去长与高，就能得到宽的数值。 如图，长方体一共有( )条棱，棱长是5cm的棱有( )条，棱长是4cm的棱有( )条，棱长是3cm的棱有( )条，所有棱长的和是( )cm。 【答案】 12 4 4 4 48 【分析】 长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等；按长度可分为三组，每一组有4条棱；根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，列式计算即可求出棱长总和。 【解析】3×4＋4×4＋5×4 ＝12＋16＋20 ＝28＋20 ＝48（cm） 长方体一共有12条棱，棱长是5cm的棱有4条，棱长是4cm的棱有4条，棱长是3cm的棱有4条，所有棱长的和是48cm。 即时练习1.一个长方体的长是10厘米，宽是8厘米，高是5厘米，这个长方体的棱长总和是( )厘米。 即时练习2．一个长方体的棱长之和是48cm，它的长和宽是7cm和3cm，高是( )cm。 即时练习3．一个长方体的棱长和为72厘米，相交于一个顶点的三条棱的长度和是( )厘米。 即时练习4．用64cm长的铁丝焊接一个长方体框架，这个长方体框架的宽为4cm，高为3cm，长为( )cm。 即时练习5．下图是长方体一个顶点处的3条棱。（单位：厘米）从以下图形中选择6个面（可重复选择），围出这个长方体。 （1）你选择的6个面是哪几个？（请写出序号，并注明有几个这样的面。） （2）请你计算一下围出的这个长方体的棱长总和是多少厘米？ 考点五. 正方体棱长总和相关计算 当正方体棱长为时，根据公式“棱长总和 = 棱长×12”，直接用棱长乘以12，即，所得数值就是正方体棱长总和。 若已知正方体棱长总和为，可由公式变形求棱长，即棱长。用棱长总和除以12，得到正方体棱长，进而可用于计算其他与正方体相关的量。 下图是一个( )，它的棱长是( )厘米，它的棱长之和是( )厘米。 【答案】 正方体 6 72 【分析】由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体；正方体棱长总和＝棱长×12，据此分析。 【解析】6×12＝72（厘米） 如图是一个正方体，它的棱长是6厘米，它的棱长之和是72厘米。 【总结】关键是熟悉正方体特征，掌握正方体棱长总和公式。 即时练习1．把一根长48厘米的铁丝折成一个最大的正方体，这个正方体的棱长是( )。 即时练习2．一个正方体棱长之和是72厘米，它的棱长是( )厘米。 即时练习3．一根铁条，刚好可以焊接成一个棱长为6分米的正方体框架，这根铁条长( )米。 考点六.长方体的展开图 长方体展开图：判断长方体展开图能否折叠成长方体，要保证相对的面不相邻，并且展开图还原成长方体后，长、宽、高对应准确。展开图中较长的边一般对应长方体的长或高，较短的边对应宽。 下面哪些图形沿虚线折叠后能围成长方体？先想一想，再利用附页2中的图1试一试。 【答案】③ 【分析】首先观察图片1中的图形，看看它们是否由六个长方形组成，并且这些长方形是否按照上述展开图的某种形式排列。 利用附页2中的图1，尝试将图形沿虚线折叠，看看是否能围成一个长方体。长方体的每个面都应该对应图形中的一个长方形，且折叠后相邻的面应该能够正确拼接。 根据折叠后的结果，判断哪些图形能够围成长方体。如果图形折叠后能够形成一个完整的长方体，且没有重叠或缺失的部分，那么这个图形就是符合要求的。 【解析】长方体的上下两个底面应该是完全一样的。对于①，当沿着虚线进行折叠时，我们可以看到它的上下两个大底面明显不一样大。因为长方体要求相对的面大小相等，所以①不符合长方体面的特征，不能围成长方体。 同样依据长方体相对的面大小相等这一特点。观察②，当沿虚线折叠后，很明显可以看出它的上下面大小不相等。由于不满足长方体面的这一关键特征，所以②也围不成长方体。 ③沿虚线折叠后，它的各个面能够两两相对，并且相对的面大小是相等的，完全符合长方体六个面的特征，所以③可以围成长方体。 对于④，当沿虚线折叠后，会发现它的上下面太小了。在围成长方体时，上下面需要和其他面能够合理拼接且符合相对面大小相等的条件，而这里上下面的大小情况无法满足围成长方体的要求，所以选项④不能围成长方体。 综上可知：图③沿虚线折叠后能围成长方体。 即时练习1．一个长方体纸箱的展开图如图所示，围成长方体后，和③号面相对的面是（    ）。 A．①号面 B．④号面 C．⑤号面 即时练习2．把下面的长方体、正方体与对应的展开图连起来。 即时练习3．下图是一个长方体展开图的四个面，请画出其余的两个面，使它成为完整的长方体展开图。 考点七. 正方体的展开图 正方体展开图：正方体展开图符合11种特定类型，如“1 - 4 - 1”型（中间4个正方形排成一排，上下各1个正方形）、“2 - 3 - 1”型（上面2个正方形，中间3个正方形，下面1个正方形依次排列）、“2 - 2 - 2”型（3组2个正方形上下依次排列）等。通过观察展开图中正方形的排列方式来判断是否符合这些类型。 下面展开图中，（    ）沿虚线折叠后不能围成正方体。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析题目，正方体的展开图有11种，分为四种类型：“1－4－1”型，即第一行有1个，第二行有4个，第三行有1个；“2－2－2”型，即第一行有2个，第二行有2个，第三行有2个；“3－3”型，即第一行有3个，第二行有3个；“1－3－2”型，即第一行有1个，第二行有3个，第三行有2个；据此结合选项给出的展开图判断即可。 【解析】 A．属于正方体展开图中的：“1－4－1”型，沿虚线折叠后能围成正方体； B．不属于正方体展开图，沿虚线折叠后不能围成正方体； C．属于正方体展开图中的：“2－2－2”型，沿虚线折叠后能围成正方体；     D．属于正方体展开图中的：“1－3－2”型，沿虚线折叠后能围成正方体。 故答案为：B 即时练习1．一个正方体玩具，它的平面展开图如图所示，原正方体中与全字所在的面相对的面上的字是( )。 即时练习2．下图实线部分都是在白纸上面的无盖正方体的表面展开图，请你设计三种不同的方法，在图中添加一个正方形（涂色表示），使新图形剪下折叠后能够围成一个封闭的正方体。 即时练习3．下列图形中哪些是正方体的展开图？是的画“√”，不是的画“×”。可以做一做。    考点八.长方体有关棱长的应用 首先确定题目所求的是长方体的部分棱长还是棱长总和。若求部分棱长，需根据实际场景明确具体是哪些棱的长度和。 当计算类似在长方体建筑物或物体四周装彩灯（地面四边不装）这类部分棱长问题时，具体所需长度为几条长、几条宽与几条高根据实际情况认真判断。 若是求长方体框架等的棱长总和，依据长方体棱长总和公式“棱长总和 =（长 + 宽 + 高）×4”，准确获取长、宽、高的数据，代入公式求解。在求解过程中，要注意单位的统一。 快到六一儿童节了，张阿姨准备在儿童乐园房子的四周挂上一圈彩灯（如图，地面的四周不装）。已知此房子的长是60米，宽是50米，高18米，这样至少需要准备多长的彩灯（不计损耗和接头处）？ 【答案】292米 【分析】根据长方体的特征可知，长方体有12条棱，长、宽、高各有4条。 根据题意，在儿童乐园房子的四周挂上一圈彩灯（地面的四周不装），那么长、宽要各减少2条，这样彩灯的长度＝2条长＋2条宽＋4条高，代入数据计算即可。 【解析】60×2＋50×2＋18×4 ＝120＋100＋72 ＝292（米） 答：这样至少需要准备292米长的彩灯。 即时练习1．为迎接“五一”国际劳动节，工人叔叔要在礼堂的四周装上彩灯（地面的四边不装）。已知礼堂长90米，宽55米，高22米，工人叔叔至少需要多长的彩灯线？ 即时练习2．木工师傅制作一种方凳，方法是先制作一个木框架（如图），然后在上面固定一块木板。制作一个木框架共需要用多少厘米的木条？（拼接处忽略不计） 即时练习3．儿童节快到了，为了增添节日气氛，工作人员准备在外形是长方体的少年宫科技楼的四周装上彩灯线。大楼长48米，宽30米，高45米，至少要用多少米彩灯线？（底边不装） 考点九.正方体有关棱长的应用 明确题目要求，判断是求正方体的棱长总和、已知棱长和求棱长，还是判断材料是否足够搭建正方体框架等问题。求正方体棱长总和时，利用正方体12条棱长度都相等的特性，使用公式“棱长总和 = 棱长×12”计算。 已知正方体棱长和（如用一定长度铁丝制作框架后剩余部分已知，可算出实际使用的棱长和），求棱长时，根据公式变形“棱长 = 棱长和÷12”进行计算。 当计算类似在正方体建筑物或物体四周装彩灯（地面四边不装）这类部分棱长问题时，具体所需棱长根据实际情况认真判断。 小红买了一个棱长6分米的储物箱，她要在每条棱上粘胶带，若每米胶带2.5元，至少需要买多少元的胶带？ 【答案】18元 【分析】根据正方体的特征可知，正方体有12条棱长，用棱长×12求出所有棱长的总和，把棱长总和的长度换算单位后，再乘每米胶带的价钱2.5元，即可求出需要买多少元的胶带。 【解析】12×6＝72（分米） 72分米＝7.2米 7.2×2.5＝18（元） 答：至少需要买18元的胶带。 【总结】此题的解题关键是理解掌握正方体的特征以及棱长的应用。 即时练习1．在地面上搭建一个长、宽、高都是的玻璃房，用钢材搭建的框架如下图。共需要多少米钢材？ 即时练习2．有一根160厘米的铁丝，用这根铁丝焊接成一个正方体框架，还剩4厘米，这个正方体框架的棱长是多少厘米？ 即时练习3．用一根长1米的铁丝，围成一个棱长10厘米的正方体框架，这根铁丝够吗？ — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$