（思维导图+知识梳理＋考点精讲）第三单元 长方体和正方体（3）长方体和正方体的体积-五年级下册数学单元讲练测（原卷版＋解析版）人教版(1)

人教版五年级数学下册同步精讲 第三单元 长方体和正方体（3）长方体和正方体的体积 内容导航 · 思维导图 1 · 知识梳理 2 · 考点精讲 6 思维导图 知识梳理 一、体积和体积单位 1.体积的含义 物体所占空间的大小叫做物体的体积。 物体所占的空间越大，体积越大；物体所占的空间越小，体积越小。 提示：体积和面积的意义的区别：体积指的是物体“所占空间”的大小；面积指的是物体表面(或平面图形)的大小。 2.体积单位 （1）.认识体积单位 计量体积要用单位，常用体积单位有立方厘米（）、立方分米（）和立方米（）。 （2）.单位表象： 棱长是的正方体体积是 ，一个骰子体积大约是； 棱长是的正方体体积是 ，一个粉笔盒体积大约是； 棱长是的正方体体积是 ，用3根1m长的木条做成互成直角的架子放在墙角，围成的体积大约是。 （3）.计算方法：一个物体含有多少个体积单位，其体积就是多少。如由体积为的小正方体拼成的几何体，包含几个小正方体，体积就是几 。 （4）.注意 是长度单位，用来计量线段的长短；是面积单位，用来计量平面的大小；是体积单位，用来计量物体所占空间的大小。它们之间不能进行大小比较。 3.长方体的体积计算公式 （1）.切割法 把这个长方体切割成棱长是1cm的小正方体，数一数切割成了多少块，它的体积就是多少立方厘米。 局限：把长方体切割成棱长的小正方体来求体积，不是所有长方体都能切割，且操作烦琐，不能普遍使用。 （2）.实验推导：用体积为的小正方体摆不同长方体，观察发现长方体体积等于长、宽、高的乘积。如用8个体积为的小正方体摆成的长方体， ， ， 。 （3）公式表示： 长方体的体积 = 长×宽×高，用字母表示：。 用字母表示长方体体积，、、分别表示长、宽、高，体积计算公式为。 （4）.拓展：长方体的长、宽、高都扩大到原来的倍，其表面积扩大到原来的倍，体积扩大到原来的倍。 4.正方体的体积计算公式 （1）.关系推导：正方体是特殊的长方体，长方体体积计算公式同样适用于正方体。 （2）.公式表示： 正方体的体积 = 棱长×棱长×棱长，用字母表示：。 用字母表示正方体体积，表示棱长，体积计算公式为（写作，读作“的立方”，表示3个相乘）。 （3）.拓展：正方体的棱长扩大到原来的倍，其表面积扩大到原来的倍，体积扩大到原来的倍。 5.长方体和正方体体积计算公式的应用 已知长方体的长、宽、高或正方体的棱长，可直接代入公式或计算体积。 已知长方体的体积以及长、宽、高中的任意两个数据，求第三个数据，有两种方法 (1)根据长方体的体积计算公式V=abh列算式a=V÷b÷h,b=V÷a÷h或h=V÷a÷b解答； (2)设所求数据为未知数x,根据数量关系V=abh列方程解答。 6.长方体和正方体统一的体积计算公式 （1）.底面积的认识：长方体或正方体底面的面积叫做底面积，长方体底面积 = 长×宽，正方体底面积 = 棱长×棱长。 （2）.公式推导： 长方体体积 = 长×宽×高 =底面积×高， 正方体体积 = 棱长×棱长×棱长 =底面积×高， 所以长方体（或正方体）的体积 = 底面积×高。 （3）.表示： 长方体（或正方体）的体积 = 底面积×高，用字母表示：。 根据公式可推导出，。已知这三个量中的任意两个量，可以求出第三个量。 （4）.注意 对于“底面积×高”的理解不要拘泥于“下底面的面积×高”，用长方体（或正方体）某一个面的面积与和这个面垂直的棱的长度相乘也能求出体积。 二、体积单位间的进率 1.体积单位间的进率 相邻两个常用体积单位间的进率是1000,即1 dm³=1000 cm³,1m³=1000 dm³。 2.体积单位间的换算 体积单位间换算方法是高级单位换算成低级单位乘进率（或小数点向右移动），低级单位换算成高级单位除以进率（或小数点向左移动）。 注意：只有相邻的两个常用体积单位间的进率才是1000。如m³和cm³间的进率是1000×1000=1000000。 3.体积单位间换算的应用： 解决实际问题时：(1)要注意单位的统一，并正确运用体积单位间的进率进行换算；(2)根据具体情况灵活运用不同的计量单位进行计算。 三、溶剂和容积单位 1.容积的含义及容积单位 箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积叫容积。 计量液体体积常用容积单位升（）和毫升（），计量容积一般也用体积单位。如药水瓶容纳药水体积用毫升计量，汽车油箱容积用升计量。 注意计量固体的体积不能用容积单位升和毫升。 2.容积单位间的进率及容积单位与体积单位间的关系 容积单位间的进率：。 容积单位和体积单位间的换算关系：，。 3.容积计算方法 （1）长方体或正方体容器容积计算方法与体积计算方法相同，但要从容器里面测量长、宽、高。如求长方体油箱容积，先根据体积公式计算，再转化单位 。 （2）求不规则容器容积时，不规则的较小容器容积用量杯或量筒测量容器中所容纳的液体的体积；不规则的较大容器容积借助液体把它转化为求规则容器的容积。 4.求不规则物体体积： （1）求不规则物体的体积可以用捏压法和排水法。 捏压法：把不规则物体捏压成规则的长方体或正方体，长方体或正方体的体积就是不规则物体的体积。 排水法：利用量筒或量杯，记录放入不规则物体（物体完全浸入水中）前、后水面对应的刻度，上升的那部分水的体积就是不规则物体的体积。 （2）求浮于水面或易溶于水的不规则物体的体积可以用“排沙法”和“测质量法”。 排沙法： ①在量筒或量杯中倒入适量的沙子并压实，记下体积；②将不规则物体完全埋入沙子中并压实，记下体积；③计算出两次记录的沙子的体积的差，就是不规则物体的体积。乒乓球等易浮于水面的物体可用此方法求体积。 测质量法： ①先测出单位体积的物体的质量（如物体重多少千克）；②再测出要测量的整个物体的质量；③最后根据两次测出的质量的倍比关系求出不规则物体的体积。盐、糖、冰块等易溶于水的不规则物体可用此方法求体积。 考点精讲 考点一：认识体积和容积 解题方法：体积是指物体所占空间的大小，通过计算物体的长、宽、高的乘积来衡量。容积是指容器所能容纳物体的体积，对于规则容器，计算方法与体积类似，但要从容器内部测量长、宽、高。 典例1.比较图中物体的体积，在（    ）中填“＞”或“＜”。 (1)图1中，两杯水的体积比较：甲( )乙。 (2)图2中，两块石头的体积比较：甲( )乙。 (3)图3中，两个立体图形的体积比较：甲( )乙。 【答案】(1)＞ (2)＜ (3)＜ 【分析】（1）体积是指物体所占空间的大小，用目测法，哪杯水多，那杯水的体积大； （2）用目测法，哪个石块大，那个石块的体积就大； （3）都是用一样大小的小正方体拼成，分别数出小正方体的个数，用小正方体多的立体图形体积大。 【解析】（1）图1中，两杯水的体积比较：甲杯水多，甲杯水体积大，甲＞乙。 （2）图2中，两块石头的体积比较：乙石块大，乙石块体积大，甲＜乙。 （3）图3中，两个立体图形的体积比较：甲由7个小正方体组成，乙由9个小正方体组成，7＜9，甲＜乙。 典例2．一盒，求“这盒奶所占空间的大小”，就是求它的( )；求“盒内能装多少牛奶”，就是求它的( )。（括号内填“表面积”“体积”或“容积”） 【答案】 体积 容积 【分析】物体所有面的总面积叫做物体的表面积；物体所占空间的大小叫做物体的体积；容器所能容纳物体的体积叫做它们的容积。 【解析】求“这盒奶所占空间的大小”，就是求它的体积； 求“盒内能装多少牛奶”，就是求它的容积。 【总结】掌握立体图形的表面积、体积、容积的定义是解题的关键。 1．物体都占据一定的空间，物体大的占据的空间( )，物体小的占据的空间( )，物体占据空间的大小叫做物体的( )。 2．计算一个水箱能装多少升水，是求这个水箱的（    ）。 A．体积 B．容积 C．表面积 3．用数量相同的一元硬币垒成下边的形状，比较他们的体积，（    ）。 A．甲比较大 B．乙比较大 C．一样大 D．无法确定大小 考点二：认识体积和容积单位 解题方法：牢记体积单位有立方米（）、立方分米（）、立方厘米（）等，容积单位有升（L）、毫升（mL）。 典例1.体积单位。 (1)棱长是( )cm的正方体，体积是1cm3，一个手指尖的体积大约是( )cm3。 (2)棱长是( )dm的正方体，体积是1dm3，粉笔盒的体积大约是( )dm3。 (3)棱长是( )m的正方体，体积是( )m3。 【答案】(1) 1 1 (2) 1 1 (3) 1 1 【分析】常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米。立方厘米用字母表示是cm3，立方分米用字母表示是dm3，立方米用字母表示是m3。棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米；棱长1分米的正方体，体积是1立方分米；棱长1米的正方体，体积是1立方米。 【解析】（1）棱长是1cm的正方体，体积是1cm3，一个手指尖的体积大约是1cm3。 （2）棱长是1dm的正方体，体积是1dm3，粉笔盒的体积大约是1dm3。 （3）棱长是1m的正方体，体积是1m3。 【总结】本题考查了体积单位，对常见的体积单位有一定认识是解题关键。 典例2．计量容积，一般就用( )。计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位( )和( )，也可以写成( )和( )。 【答案】 体积单位 升 毫升 L mL 【解析】容器所能容纳物体的体积，通常叫作它的容积。计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和mL，1L＝1000mL，容积单位和体积单位的关系：1L＝1dm3，1mL＝1cm3。 1.一瓶饮料的净含量是250mL，这里的“250mL”指的是（    ）。 A．饮料瓶的容积 B．饮料瓶的体积 C．饮料的体积 2．下面的说法中，正确的有( )。（填序号） ①物体的容积就是物体的体积。 ②用8个相同的小正方体能拼成一个稍大的正方体。 ③做一个无盖的鱼缸，大约要用1.2m3的玻璃。 ④一个长方体木箱的体积和容积相等。 ⑤一台冰箱最多能容纳216m3的物体，这台冰箱的容积是216L。 考点三：体积和容积单位的选择 解题方法：根据物体的实际大小和生活经验选择单位。较大物体用立方米，如房间体积；较小物体用立方厘米，如骰子体积。液体容积常用升和毫升，如一瓶饮料通常是几百毫升。 填写适当的单位名称。 一块橡皮的体积约是6( )    货车车厢容积大约120( ) 一个牛奶盒的容积约是250( )    一台冰箱体积约是2( ) 【答案】 立方厘米/cm3 立方米/m3 毫升/mL 立方米/m3 【分析】选择合适的体积或容积单位：2个矿泉水瓶的容积大约是1升，电脑桌的体积大约是1立方米，手指尖的体积大约是1立方厘米，粉笔盒的体积大约是1立方分米，据此结合给出的数据大小解答即可。 【解析】一块橡皮的体积约是6立方厘米；货车车厢容积大约120立方米； 一个牛奶盒的容积约是250毫升；一台冰箱体积约是2立方米。 1．选一选，填一填。 文具盒的体积约是（    ）立方厘米 衣柜的体积约是6（    ） 水壶的容积约是1800（    ） 15  150  500 cm3  dm3  m3 毫升  升 2．在括号里填上合适的单位。 (1)一部手机的体积是50( )。 (2)一瓶墨水的容积约是60( )。 (3)一台冰箱的体积是500( )。 (4)一个油箱能装油120( )。 3．填上合适的单位名称。 (1)一桶纯净饮用水大约18( )。 (2)一袋草莓酸牛奶约220( )。 (3)一个游泳池的容积是1200( )。 (4)一块橡皮的体积大约是8( )。 考点四：体积和容积单位的换算 解题方法：大单位换算成小单位，乘以进率。 如换算成立方分米，。 小单位换算成大单位，除以进率。 如换算成立方分米，。 在括号里填上适当的数。 5.6m2＝( )dm2     4.57m3＝( )dm3 0.5dm3＝( )L        2.09m3＝( )L 2800mL＝( )L        28dm3＝( )m3 【答案】 560 4570 0.5 2090 2.8 0.028 【分析】1m2＝100dm2，1m3＝1000dm3，1L＝1dm3，1m3＝1000L，1L＝1000mL，低级单位换算高级单位除以进率，高级单位换算低级单位乘进率，用题目中的数据乘或除以进率即可，据此解答。 【解析】5.6×100＝560（dm2） 4.57×1000＝4570（dm3） 0.5dm3＝0.5L 2.09×1000＝2090（L） 2800÷1000＝2.8（L） 28÷1000＝0.028（m3） 所以，5.6m2＝560dm2，4.57m3＝4570dm3，0.5dm3＝0.5L，2.09m3＝2090L，2800mL＝2.8L，28dm3＝0.028m3。 1.在括号里填上合适的数。 1m3＝( )dm3    700dm3＝( )m3    81cm3＝( )mL 1L＝( )dm3    2.3dm3＝( )cm3    560mL＝( )L 2．在括号里填上适当的数。 5060毫升＝( )升    4.3立方分米＝( )立方分米( )立方厘米 1.02立方分米＝( )升( )毫升     11.2升＝( )立方分米＝( )立方厘米 3．在括号里填上合适的数。 3.6m2＝( )dm2     800mL＝( )cm3＝( )L 5m3＝( )方        0.65dm3＝( )L＝( )mL 考点五：体积和容积单位的大小比较 解题方法：先将不同单位换算成相同单位，再比较数值大小。 例如比较与，将换算为，则。 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 5m3( )500dm3          8.35dm3( )835cm3        2550cm3( )25.5dm3 400cm3( )0.4dm3        8.1m3( )8000dm3        240dm3( )2m3 【答案】 ＞ ＞ ＜ ＝ ＞ ＜ 【分析】先根据进率统一单位后，再比较大小即可。 注意单位的换算：1m3＝1000dm3，1dm3＝1000cm3；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率。 【解析】（1）5×1000＝5000（dm3） 5000＞500，所以5m3＞500dm3； （2）8.35×1000＝8350（cm3） 8350＞835，所以8.35dm3＞835cm3； （3）2550÷1000＝2.55（dm3） 2.55＜25.5，所以2550cm3＜25.5dm3； （4）400÷1000＝0.4（dm3） 400cm3＝0.4dm3 （5）8.1×1000＝8100（dm3） 8100＞8000，8.1m3＞8000dm3； （6）240÷1000＝0.24（m3） 0.24＜2，所以240dm3＜2m3。 1.在里填上“＞”“＜”或“＝”。 2000毫升( )3升    600毫升( )6升 301毫升( )3001毫升    1000毫升( )10升 2．把下列数量按从小到大的顺序排列。 600mL     5900mL      7L     5970mL     70L ( )＜( )＜( )＜( )＜( ) 3．在___里填上“＞”“＜”或“=”． 5 m3 500 dm3      715 dm3+285 dm3 1 m3          327 cm3 3.27 dm3 8.01 m3 80.1 dm3     207 dm3 0.2 m3+7 dm3          12.5 dm3 0.125 m3 320 cm2—0.2dm2 1 m2     1 m3 998 dm3+0.2 m3 考点六：长方体体积相关计算 解题方法：长方体体积公式为，其中、、分别为长方体的长、宽、高。已知长方体的长、宽、高，直接代入公式计算体积。 计算下面长方体的体积。 【答案】320m3 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，列式计算即可。 【解析】16×4×5＝320（m3） 长方体的体积是320m3 1.一个长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是2厘米，它的体积是( )。 2．一根长方体木料，长4m，横截面的面积是0.03m2。这根木料的体积是( )m3。 3．从长方体的一个顶点引出的三条棱长度分别是8厘米，5厘米和6厘米，这个长方体的体积是( )立方厘米。 4．一个长方体木块，横截面的面积是16平方厘米，长3分米，它的体积是( )。 考点七：正方体体积相关计算 解题方法：正方体体积公式为，为正方体的棱长。 一个正方体的棱长6m，它的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 216 216 【分析】根据正方体表面积和体积计算公式：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此解答。 【解析】表面积：6×6×6＝216（cm2）体积：6×6×6＝216（cm3） 1.一个正方体的棱长是5cm，它的体积是( )cm3。 2．用一根长84厘米的铁丝围成一个正方体的框架，这个正方体的体积是( )立方厘米。 3．一个正方体的表面积是24平方厘米，它的体积是( )立方厘米。 4．一个正方体的底面周长是24厘米，这个正方体的体积是( )立方厘米。 考点八：长方体体积和容积的简单应用 解题方法：在实际问题中，确定长方体的长、宽、高或从内部测量的长、宽、高（求容积时），然后运用体积或容积公式进行计算，注意单位的统一。 修建长城所用的某块砖的尺寸如下图所示。这块长城砖体积是多少？ 【答案】8000立方厘米 【分析】图中长方体砖的长是40厘米，宽是10厘米，高是20厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出长方体的体积。 【解析】40×10×20＝8000（立方厘米） 答：这块长城砖体积是8000立方厘米。 1.西安市是我国重要的旅游城市，也是甜瓜重要产地。家住西安的王伯伯把种的甜瓜用长方体的包装盒包装，规格如图。求这个包装盒的体积。 2．施工队要挖一个长80米、宽40米、深1.5米的长方体土坑，一共要挖出多少方的土？ 3．某建筑工地上有一个长方体形状的大坑，长4米，宽2米，深2.3米。需要多少立方米的黄沙才能填满这个大坑？ 考点九：正方体体积和容积的简单应用 解题方法：与长方体类似，找出正方体的棱长，根据实际情况判断是求体积还是容积，再代入相应公式计算，注意单位换算和实际问题中的细节。 用一根长60厘米的铁丝焊接成一个正方体框架（接头处忽略不计）。 （1）在表面糊上红纸，至少需要红纸多少平方厘米？ （2）这个正方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）150平方厘米 （2）125立方厘米 【分析】（1）先利用正方体棱长总和的公式，用60除以12求出正方体的棱长，求需要红纸的面积，实际是求正方体的表面积，根据表面积公式：S＝6a2，代入棱长的数据，即可求出需要的红纸的面积； （2）根据正方体的体积公式：V＝a3，代入棱长的数据，即可得解。 【解析】（1）60÷12＝5（厘米） 6×5×5＝150（平方厘米） 答：至少需要红纸150平方厘米。 （2）5×5×5＝125（立方厘米） 答：这个正方体的体积是125立方厘米。 【总结】此题的解题关键是先利用正方体的棱长总和公式求出正方体的棱长，再通过正方体的表面积和体积公式求解，主要是熟记公式。 1.某纸盒厂生产一种正方体纸板箱，棱长40厘米，它的体积是多少立方分米？ 2．有一个棱长为6分米的正方体铁块，每立方分米铁块的质量为7.5千克，这个铁块重多少千克？ 考点十：棱长扩倍体积相关问题 解题方法：若正方体棱长扩大倍，体积扩大倍；长方体棱长分别扩大、、倍，则体积扩大倍。 一个正方体棱长为4厘米，若棱长扩大到原来的3倍，新正方体体积比原正方体体积多多少立方厘米？ 【答案】1664立方厘米 【分析】 方法一：先根据正方体体积公式求出原正方体体积，再算出棱长扩大后的正方体体积，最后求体积差。 方法二：先求出棱长扩大后体积扩大的倍数，进而得出增加的倍数，再结合原正方体体积求出增加的体积。 【解析】 方法一： 原正方体体积：（立方厘米） 扩大后棱长：（厘米） 扩大后正方体体积：（立方厘米） 体积差：（立方厘米） 方法二： 原正方体体积：（立方厘米） 棱长扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的倍，体积增加了原来的倍 增加的体积：（立方厘米） 答：新正方体体积比原正方体体积多1664立方厘米。 【总结】本题考查正方体棱长变化与体积变化的关系及体积差的计算，关键是掌握正方体体积公式以及棱长与体积变化的倍数关系。 即时练习 1.一个正方体棱长为2厘米，若棱长扩大到原来的4倍，求扩大后正方体的体积是多少立方厘米？ 2.一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、4厘米、5厘米，若长、宽、高分别扩大到原来的3倍、2倍、4倍，那么扩大后的长方体体积是原来长方体体积的多少倍？ 3.有一个棱长为6分米的正方体木块，把它的棱长扩大到原来的3倍后，体积比原来增加了多少立方分米？ 考点十一：展开图求体积相关问题 解题方法：从展开图中分析出长方体或正方体的长、宽、高与展开图各边的关系，确定长、宽、高的数值，再代入体积公式计算。 典例1：下面是一个长方体的展开图，请计算它的表面积和体积。（单位：分米）    【答案】88平方分米；48立方分米 【分析】根据长方体展开图的特征可知，长方体的长为（16－2－2）÷2分米，宽为4分米，高为2分米，把长方体的长、宽、高的数据代入长方体的表面积公式：S＝a×b×2＋a×h×2＋b×h×2，和长方体的体积公式：V＝a×b×h中，计算出长方体的表面积和体积。 【解析】（16－2－2）÷2 ＝12÷2 ＝6（分米） 6×4×2＋6×2×2＋4×2×2 ＝48＋24＋16 ＝88（平方分米） 6×4×2＝48（立方分米） 即长方体的表面积是88平方分米，体积是48立方分米。 典例2：一张长方形铁皮（如图），长是20厘米，宽是( )厘米。用图中的阴影部分向里折成一个正方体盒子，盒子的体积是( )立方厘米。和D面相对的是( )面；如果D面是底面，从前面看是C面，那么右面是( )面。 【答案】 15 125 A F 【分析】根据题意可知，长方形的长和宽分别被正方体的边长平均分成4份和3份，那么长方形的长等于正方体边长的4倍，据此可求出正方体边长是5厘米，宽是边长的3倍，再根据V＝a×a×a计算体积即可。折成正方体后D和A相对，C和E相对，B和F相对。再根据题中的摆放方式，找到右面的面是哪一面，据此解答。 【解析】20÷4×3 ＝5×3 ＝15（厘米） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方厘米） 正方体展开图是2－3－1型，折成正方体后D和A相对，C和E相对，B和F相对。摆放如下图。 故长方形宽是15厘米，盒子体积是125立方厘米，和D面相对的是A面，如果D面是底面，从前面看是C面，那么右面是F面。 1.下图是一个长方体的展开图，求出图的表面积和体积。（单位：厘米） 2．下图是一个长方体的展开图，它的体积是( )cm3。      3．下面是一个正方体纸盒的展开图，它的体积是多少？（单位：厘米） 考点十二：去四角求体积相关问题 解题方法：设原长方体或正方体的长、宽、高为、、，去掉四角的小正方形边长为。则剩余部分体积，根据已知条件代入计算。 典例1.小云有一张边长24厘米的正方形硬纸板。如果在硬纸板的四个角上各剪去一个正方形，做成一个无盖的正方体纸盒，这个纸盒的棱长是( )厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 8 512 【分析】如图，正方形纸板边长÷3＝正方体棱长，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，计算即可。 【解析】24÷3＝8（厘米） 8×8×8＝512（立方厘米） 【总结】关键是熟悉正方体特征，掌握正方体体积公式。 典例2．如图是一个长方形纸板，长30厘米，宽20厘米，从这个长方形纸板的四个角剪去一个边长为5厘米的小正方形，将剩余部分折成一个无盖容器，这个容器的容积是( )升。 【答案】1 【分析】根据题意可知，长方形纸板剪去的四个角的边长＝长方体容器的高，长方体容器的长＝纸板的长2个小正方形的边长，长方体容器的宽＝纸板的宽2个小正方形的边长，本题考查的是长方体的容积，根据公式“长方体容器的容积＝长×宽×高” ，最后注意单位换算，1立方厘米＝1毫升，1升＝1000毫升，即可解答此题。 【解析】30－2×5 ＝30－10 ＝20（厘米） 20－2×5 ＝20－10 ＝10（厘米） 20×10×5 ＝200×5 ＝1000（立方厘米） 1000立方厘米＝1000毫升＝1升 所以，这个容器的容积是1升。 1.明明分别在边长12厘米的正方形卡纸的四个角，各剪去同样大小的一个小正方形，再折成一个无盖的纸盒（如图），这些剪法中，（    ）折成的纸盒容积最大。 A．B．C． D． 2．从一个长方形铁皮的四个角各剪下一个边长是2分米的正方形，按图中的线折起来焊成一个长方体无盖水箱（如图）。这个水箱长( )分米，宽( )分米，最多可盛水( )升。 3．妙想有一张长30厘米，宽16厘米的纸板（如图），做一个高为4厘米的无盖盒子。 （1）在四个角进行裁剪，应该如何裁剪，请在图中画出示意图，并标上数据。 （2）请计算这个盒子的容积是多少？ 4．有一块正方形铁皮，从四个角上各剪去一个边长为4分米的正方形后，所剩的部分正好可以焊接成一个无盖的正方体铁皮盒。这个铁皮盒的体积是( )立方分米；原来正方铁形皮的面积是( )平方米。 5．数学综合实践课上，小娟、小华分别用边长12厘米的正方形纸板剪折成无盖的纸盒。两人都先剪掉四个角上的小正方形，如右图所示，（    ）。 A．容积一样大 B．小娟做的纸盒容积大 C．小华做的纸盒容积大 D．无法确定谁的容积大 考点十三：削成最大正方体问题 解题方法：在长方体中削成最大正方体，以长方体最短的棱为正方体的棱长，然后根据正方体体积公式计算体积。 把一个长8分米，高6分米，宽5分米的长方体木块削出一个最大的正方体，这个正方体的体积是( )立方分米。 【答案】125 【分析】根据题意可知，从这个长方体木块上切下一个最大的正方体，这个最大的正方体的棱长等于长方体的高，正方体的体积公式是V＝a3，直接列式解答。 【解析】5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方分米） 即这个正方体的体积是125立方分米。 【总结】此题主要考查正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 1.在一个长60厘米、宽50厘米、高40厘米的长方体上截取一个最大的正方体，正方体的体积是 立方米。 2．李阿姨在雕刻时先对材料进行了处理。她把一块长7dm、宽6dm、高5dm的长方体木块削成一个最大的正方体，在剩下部分中再削一个正方体，则这个正方体的体积是（    ）。 A．1 B．2 C．4 D．8 考点十四：小正方体补全问题 解题方法：先确定补全后大正方体或长方体的边长，计算出大正方体或长方体的体积，再减去已有小正方体的体积，得到需要补全的小正方体体积。 如图中，一个小正方体的体积是1立方厘米，长宽高不变，要把如图的图形补成一个完整的立方体，补上的那部分的体积是（    ）立方厘米。 A．14 B．34 C．48 【答案】B 【分析】完整的立方体的长和宽均有4个小正方体，高有3个小正方体，可以计算出完整的立方体的体积，再从中减去现有的立方体的体积即可。其中现有的立方体的体积通过数小正方体的个数计算：上层有1个，中间层有3个，下层有10个。 【解析】立方体体积：（立方厘米） 现有图形体积： （立方厘米） 补全需要的体积：（立方厘米） 故答案为：B 1.下面的图形是由棱长1cm的小正方体摆成的，它的体积是( )；如果继续把它补搭成一个大正方体，至少还需要( )个这样的小正方体。    2．下面的几何体是由棱长1cm的小正方体摆成的，如果要把它继续补搭成一个大正方体，至少还需要( )个小正方体。 3．用棱长为1cm的小正方体木块，堆成如图所示的形状，则它的体积为( )cm3。如果将它补搭成一个大正方体，至少需要( )个这样的小正方体。 考点十五：切割表面积变化求体积 解题方法：例如正方体切割成两个长方体，表面积增加的部分是两个切面的面积，设正方体棱长为，若表面积增加，则，可求出，进而求出正方体体积。对于长方体切割问题，根据切割方式和表面积变化情况，找出长、宽、高的关系，再计算体积。 典例1.有一块长方体木料，锯成相等的3段，可以得到3个完全一样的正方体。已知原木料的表面积是350平方厘米，那么原木料的体积是多少立方厘米？ 【答案】375立方厘米 【分析】根据题意，锯成相等的3段，表面积增加了4个小正方形面，现在一共有（6×3）个小正方形面，据此可知原来有几个小正方形面，进而用除法求出小正方体一个面的面积，再推断出小正方体的棱长，然后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出1个小正方体的体积，再求出3个小正方体的体积，也就是原来木料的体积。 【解析】小正方体一个面的面积是： （平方厘米） 小正方体的棱长： 因为，所以小正方体的棱长是5厘米； 长方体体积为： （立方厘米） 答：原木料的体积是375立方厘米。 【总结】此题解答的关键是先求出小正方体一个面的面积，进而求出小正方体的棱长，从而解决问题。 典例2．把1m3的正方体木块切成1dm3的小正方体木块。如果把这些小木块排成一行组成一个长方体，那么这个长方体的长是（    ）。 A．1km B．100m C．1000cm 【答案】B 【分析】1m3＝1000dm3，由此可知，1 m3的正方体木块切成1dm3的小正方体木块，能分成1000个1dm3的小正方体；1dm3的小正方体的棱长是1dm3；把这些小正方体排成一排，总长度是1×1000＝1000dm；再转成单位，即可解答。 【解析】1m3＝1000dm3 所以1000÷1＝1000（个） 1dm3的正方体的棱长是1dm。 总长：1×1000＝1000（dm） 1000dm＝100m＝0.1km＝10000cm 把1m3的正方体木块切成1dm3的小正方体木块。如果把这些小木块排成一行组成一个长方体，那么这个长方体的长是100m（或0.1km，10000cm）。 故答案为：B 典例3．如图，将一个正方体沿虚线切三刀以后，表面积增加150平方厘米，这个正方体的体积是（    ）立方厘米。 A．75 B．125 C．150 D．225 【答案】B 【分析】观察图形可知，每切一刀，就增加2个正方体的面，所以一共增加了6个正方体的面，由此即可求出正方体的一个面的面积是：150÷6＝25平方厘米，因为5×5＝25，所以正方体的棱长是5厘米，再利用正方体的体积公式即可解答。 【解析】150÷6＝25（平方厘米） 因为5×5＝25，所以正方体的棱长是5厘米。 所以正方体的体积是： 5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方厘米） 这个正方体的体积是125立方厘米。 故答案为：B 【总结】根据切割特点先求出正方体的一个面的面积，再进一步解答。 1．把一个棱长是2分米的正方体，切成棱长是2厘米的小正方体，并把它们挨个排起来，可以排( )米长。 2．将长5米的长方体木料，如下图切割分成5段后，表面积增加38.4平方分米。这个长方体木料的一个侧面的面积是多少平方分米？原来这根木料体积是多少立方分米？ 3．一块长方体木料长15米，沿横截面把它截成6段，表面积增加120平方分米，原来这块长方体木料体积是多少立方米？ 4．如图所示，将一个立方体沿虚线切三刀后，表面积增加了150平方厘米，这个立方体原来的体积是　 　立方厘米． 考点十六：拼接表面积变化求体积 解题方法：两个相同的长方体或正方体拼接，表面积会减少。设拼接面的面积为，若两个正方体拼接，减少了，可根据正方体一个面的面积求出棱长，进而求出体积。对于长方体拼接，根据拼接方式和表面积变化求出长、宽、高，再计算体积。 把3个高为5cm的相同的小长方体拼成了1个15cm高的大长方体，表面积减少了，那么原来1个小长方体的体积是（    ）。 A．180 B．120 C．60 【答案】C 【分析】把3个相同的小长方体拼成了1个15cm高的大长方体，表面积减少了 48cm2 ，减少的面积是小长方体的4个底面面积积，求出底面积，再乘高，求出3个长方体的体积之和，再求出一个小长方体体积即可。 【解析】 （立方厘米） 所以原来1个小长方体的体积是60立方厘米。 故答案为：C 【总结】本题考查长方体的表面积和体积，解答本题的关键是掌握长方体的表面积和体积计算公式。 1.一个正方体与一个长方体拼成了一个新的长方体，这个新长方体的表面积比原来长方体表面积增加了64平方厘米，这个正方体的表面积是( )，体积是( )。 2．一个正方体的体积是长方体体积的2倍，如果把它们拼摆在一起，正好能拼成一个新的长方体。新长方体的表面积比原来长方体的表面积增加了64平方厘米。新长方体的体积是( )立方厘米。 3．把两个棱长2分米的正方体拼成一个大长方体，这个长方体的棱长和是( )分米，表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 4．用3个棱长为2cm的小正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 考点十七：高变化表面积变化求体积 解题方法：设长方体原来的长、宽、高为、、，高变化后表面积变化。根据表面积变化公式，可求出的值，再结合其他已知条件求出、、，进而计算体积。 典例1.一个正方体，如果高增加2厘米，就变成一个长方体。这时表面积比原来增加56平方厘米。原来正方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】343立方厘米 【分析】根据题意，正方体的高增加2厘米，就变成一个长方体，增加的表面积是4个侧面的面积之和，每个面都是长方形，长等于正方体的棱长，宽是2厘米；先用增加的表面积除以4，求出一个侧面的面积，再除以2，即可求出正方体的棱长；最后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求出原来正方体的体积。 【解析】56÷4÷2 ＝14÷2 ＝7（厘米） 7×7×7 ＝49×7 ＝343（立方厘米） 答：原来正方体的体积是343立方厘米。 【总结】明确高增加2厘米后，增加的表面积是4个侧面的面积，以此为突破口，求出正方体的棱长是解题的关键。 典例2．（如下图）一块长方体木块，从上部和下部分别截去高3厘米和2厘米的小长方体后，成为一个正方体。表面积减少120平方厘米，原来长方体体积是多少立方厘米？ 【答案】396立方厘米 【分析】根据题意，把从长方体木块的上部和下部分别截去高3厘米和2厘米的小长方体，看作把长方体的高截去（3＋2）厘米，表面积减少120平方厘米，变成一个正方体，说明原来长方体的长、宽相等； 减少的表面积是4个完全一样的长方形的面积，长方形的宽是（3＋2）厘米，长是原来长方体的长或宽；用减少的表面积除以4，求出一个长方形的面积，然后除以（3＋2），即可求出原来长方体的长、宽；再用长方体的长或宽加上（3＋2）厘米，得到原来长方体的高； 最后根据长方体的体积＝长×宽×高，求出原来长方体的体积。 【解析】原来长方体的长、宽： 120÷4÷（3＋2） ＝120÷4÷5 ＝6（厘米） 原来长方体的高： 3＋2＋6＝11（厘米） 原来长方体的体积： 6×6×11 ＝36×11 ＝396（立方厘米） 答：原来长方体体积是396立方厘米。 1.一个正方体，如果高减少3cm，就变成了一个长方体。这时表面积比原来减少60cm2。原来正方体的体积是( )cm3。 2．将一个长方体的高减少5厘米，就变成了正方体，正方体的表面积比原长方体的表面积减少了60平方厘米。原长方体的体积是多少立方厘米？ 3．一个长方体，如果高增加3厘米，那么就变成一个正方体。这时表面积比原来增加84平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 考点十八：等积变形熔铸或锻造问题 解题方法：利用物体在熔铸或锻造前后体积不变的原理，设原物体体积为，变化后物体的长、宽、高为、、，则。已知原物体的相关尺寸求出，再根据变化后物体的部分尺寸，求出其他未知尺寸。 某车间工人王叔叔为了打造一种零件，把一个棱长为10厘米的正方体铁块锻造成了一个长方体铁块，这个长方体的长是8厘米，宽是5厘米，请问它的高是多少厘米？ 【答案】25厘米 【分析】把一个棱长为10厘米的正方体铁块锻造成一个长为8厘米，宽为5厘米的长方体零件，体积不变，首先根据求出正方体铁块的体积，然后用正方体铁块的体积除以长方体的底面积即可求出长方体的高，据此解答。 【解析】10×10×10÷（8×5） ＝1000÷40 ＝25（厘米） 答：这个零件的高是25厘米． 1.美术课上王老师准备教同学们捏橡皮泥。他们把一个棱长是8厘米的正方体橡皮泥捏成了一个底面积是32平方厘米的长方体。这个长方体的高是多少？ 考点十九：等积变形铺路问题 解题方法：设铺路材料的体积为，路的长、宽、厚分别为、、，根据体积不变，。已知和路的长、宽、厚中的两个量，可求出第三个量。 一个长10米，宽2.5米，高4米的货车车厢装满了沙子，现在准备均匀地铺在宽4米的路上，如果铺成8厘米厚，能铺多长的路？ 【答案】312.5米 【分析】货车车厢长10米，宽2.5米，高4米，里面装满了沙子，先利用长方体体积＝长×宽×高求出这个车厢的体积也，就是沙子的体积。再用体积除以长方体的宽、高，得到的就是长方体的长（即能铺多长的路）。注意单位的统一。 【解析】8厘米＝0.08米 10×2.5×4÷4÷0.08 ＝100÷4÷0.08 ＝312.5（米） 答：能铺312.5米长的路。 1．一个底面积是5.4平方米的沙坑里有1.2米厚的沙子，现在要把这些沙子铺在宽1.8米的路上，铺5厘米厚，可以铺多少米长？ 2．玉华镇挖了一个长60m，宽40m，深2m的鱼池，如果将挖出的土在一条宽5m的路上铺2dm厚，最多可以铺路( )m。 考点二十：等积变形液体问题（颠倒水箱、液体转移水箱） 解题方法：设水箱的长、宽、高为、、，液体体积为。在不同状态下，根据液体体积不变列方程。如颠倒水箱，设原来液体高度为，颠倒后液体高度为，则，结合其他已知条件求解未知量。 典例1.一个封闭的长方体玻璃容器（玻璃厚度不计）长4分米、宽3分米、高8分米，里面水深5分米（如图①）。现在以这个容器的右侧为底，侧放在桌面上（如图②），这时水深多少分米？ 【答案】2.5分米 【分析】根据题意可知，无论怎样放置，长方体玻璃容器内水的体积不变，水在图①中的形状是一个长4分米、宽3分米、高5分米的长方体，根据长方体的体积公式V＝abh，即可求出水的体积。 现在以这个容器的右侧为底，侧放在桌面上，则长方体的底面变成以8分米为长、3分米为宽的长方形，根据长方形的面积公式S＝ab，求出此时长方体的底面积；再根据长方体的高h＝V÷S，求出图②中的水深。 【解析】水的体积： 4×3×5＝60（立方分米） 图②中的水深： 60÷（8×3） ＝60÷24 ＝2.5（分米） 答：这时水深2.5分米。 典例2．有一个棱长是20厘米的正方体容器里装满水，现在要把这些水倒入长25厘米，宽10厘米，高40厘米的长方体玻璃缸里，水面有多高？ 【答案】32厘米 【分析】根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”求出正方体容器内水的体积。将水倒入长方体玻璃缸后，水的体积不变，并且水形成了一个长方体。根据“长方体高＝体积÷底面积”求出水面的高度即可。 【解析】20×20×20÷（25×10） ＝8000÷250 ＝32（厘米） 答：水面有32厘米高。 1.一个装满水的正方体水箱，从里面量棱长是6分米，装满水之后，把里面的水全部倒入一个从里面量长是20分米，宽和高都是4分米的长方体水箱，这时水面高多少分米？ 2．一个长2米、宽1.8米、高0.5米的长方体水箱装满了水。如果把这些水倒入棱长为1.5米的正方体水箱中，那么水深多少米？ 3．一个密封的长方体容器（如下图），长30厘米，宽10厘米，高15厘米，水深8厘米。如果把这个容器的右侧朝下放在桌面上，这时水深应该是多少厘米？（容器的厚度忽略不计） 4．下面是两个玻璃容器。（玻璃的厚度忽略不计）    （1）正方体容器中能装水多少升？ （2）将盛满水的正方体容器中的水倒入长方体容器中，长方体容器中的水面高度是多少分米？ 考点二十一：组合图形的体积 求下列组合图形的体积。（单位：cm） 【答案】27cm3；232cm3 【分析】左边：组合图形的体积＝两个长方体体积之和，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答即可； 右边：组合图形的体积＝长方体的体积－正方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据解答即可。 【解析】5×3×1＋2×2×3 ＝15＋4×3 ＝15＋12 ＝27（cm3） 8×6×5－2×2×2 ＝48×5－4×2 ＝240－8 ＝232（cm3） 左边组合图形的体积为27cm3，右边组合图形的体积为232cm3。 1.求下面图形的表面积和体积。单位：（dm） 2．计算下列图形的表面积和体积。（单位：dm） 考点二十二：装箱问题 解题方法：先计算箱子的容积和要装物体的体积。然后分别用箱子的长、宽、高除以物体的长、宽、高，得到，，。能装物体的数量。 工人要将长15厘米，宽和高都是3厘米的长方体牙膏盒装入纸箱中。纸箱里面的尺寸如图，（单位：厘米）。这个纸箱最多能装多少个这种牙膏盒？ 【答案】400个 【分析】根据以长为边可以放60÷15＝4个， 32÷3＝10……2可以放10层， 32÷3＝10……2可以放10排；以高为边32÷15＝2……2可以放2个，60÷3＝20可以放20层，30÷3＝10可以放10排；以宽为边可以放30÷15＝2个，60÷3＝20可以放20层，32÷3＝10……2可以放10排；根据乘法的意义用长宽高上的数量相乘可解。 【解析】装法一：32÷3＝10……2，30÷3＝10，60÷15＝4；10×10×4＝400（个）， 装法二：60÷3＝20，30÷3＝10，32÷15＝2……2；20×10×2＝400（个）， 装法三：60÷3＝20，32÷3＝10……2，30÷15＝2；20×10×2＝400（个）， 答：这个纸箱最多能装400个这种牙膏盒。 1.一种集装箱，长40米，宽15米，高5米，如果往集装箱里装棱长为2米的正方体木箱，最多可以装多少个？ 2．有一个长8米，宽7米，高5米的长方体纸箱，在纸箱中装入棱长为2分米的正方体礼品盒，最多能装这样的礼品盒多少个？ 考点二十三：水位变化问题 解题方法：当物体放入水箱中，水位上升高度，其中是物体体积，是水箱底面积。当物体从水箱中取出，水位下降高度同样根据此公式计算，只是此时是取出物体的体积。 乌鸦到处找水喝，它看到一个长方体容器，但水位较低，乌鸦喝不着水，深思了一会儿，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入容器中。水位上升后，乌鸦喝到了水。乌鸦放入容器的小石子体积共( )dm3，它共喝了( )L水。 【答案】 1.2 0.4 【分析】水面上升的体积就是小石子的总体积，根据长方体体积公式，长方体容器底面积×（图2水的高度－图1水的高度）＝小石子的总体积；水面又下降的体积是乌鸦喝的水的体积，长方体容器底面积×（图2水的高度－图3水的高度）＝喝的水的体积，据此列式计算。 【解析】1×1×（2－0.8） ＝1×1.2 ＝1.2（dm3） 1×1×（2－1.6） ＝1×0.4 ＝0.4（dm3） ＝0.4（L） 乌鸦放入容器的小石子体积共1.2dm3，它共喝了0.4L水。 1.用一个长12分米、宽10分米、高5分米的长方体纸箱，装棱长2分米的正方体饼干盒，最多能装( )个饼干盒。 2．一个长方体水箱，长10分米，宽9分米，水深4.5分米，当把一块石块放入水箱后，水位上升到60厘米。这块石块的体积是多少？ 3．一个注满水的长方体鱼缸，里面有一块体积为27立方分米的假山石。已知这个鱼缸的长为4.5分米，宽为2.5分米，高为8分米。若将鱼缸中的假山石取出，水位下降多少分米？ 考点二十四：水溢出问题 解题方法：先计算容器的容积和原有水的体积，再加上放入物体的体积。若，则水会溢出，溢出的水的体积。 一个长方体玻璃鱼缸（无盖），量得它的长是8分米，宽是5分米，高是6分米，水深5.4分米。（玻璃厚度忽略不计） （1）做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）如果在这个鱼缸里投入一个棱长是3分米的正方体铁块，鱼缸里的水会不会溢出？请你通过计算说明。 （3）如果会溢出，鱼缸里会溢出多少升水？如果不会溢出，现在水深是多少分米？ 【答案】（1）196平方分米 （2）会溢出；见解析 （3）3升 【分析】（1）从图中可知：这个长方体的长是8分米，宽是5分米，高是6分米。这个无盖的长方体有下面和前后左右面共5个面，因此需要玻璃的面积＝ 长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算即可。 （2）此时水深5.4分米，还剩下空间的高度6－5.4＝0.6分米，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算，分别求出剩下空间的容积、正方体的体积，再比较即可。 （3）若溢出，用正方体的体积减去剩下空间的容积，即可求出溢出的水量（换算成以升为单位）；若不会溢出，用正方体的体积÷长方体的底面积，求出正方体放入水中后，水面升高的高度，再加上原来的水面高度，即可求出现在的水面高度。 【解析】（1）8×5＋8×6×2＋5×6×2 ＝40＋96＋60 ＝196（平方分米） 答：做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃196平方分米。 （2）3×3×3＝27（立方分米）   8×5×（6－5.4） ＝8×5×0.6 ＝24（立方分米）   27＞24 答：鱼缸里的水会溢出。 （3）27－24＝3（立方分米） 3立方分米＝3升 答：鱼缸里会溢出3升水。 1.兰兰做了一个测量铁球体积的实验： 第一步，将800毫升的水倒入一个容积1升的杯子中； 第二步，将5个相同的铁球放入水中，杯中的水没有满； 第三步，再将1个同样的铁球放入水中，这时杯中的水溢出10毫升。 根据这个实验，可以知道一个铁球的体积是( )立方厘米。 2．一个长方体水缸，它的长和宽都是6dm，高是5dm，水深3.5dm。把一块棱长4dm的正方体铁块竖直放入水缸内，水缸里的水会溢出( )L。 3．用一个长8分米、宽6分米、高6分米的长方体玻璃容器做实验。先往容器中倒入4.8分米深的水，再把一块棱长是4分米的正方体铁块放入水中，水会不会溢出？如果溢出，溢出多少升水？ 4．一个长方体玻璃缸，长12分米，宽10分米，高8分米，水深6.5分米。如果投入一块棱长6分米的正方体实心铁块，缸里的水溢出多少升？ 考点二十五：两容器倒水高度相同（连通器） 解题方法：先分别计算出两个容器的底面积，由于水的总体积始终保持不变，设倒水后两容器水的高度为，根据容器的底面积容器的底面积水的总体积这一关系来建立方程求解。 当连通器内装入同种液体且液体静止时，各容器中的液面总是保持相平。可根据这一特性，结合液体的体积公式（为容器总的底面积，为液体高度）以及容器的形状、液体体积等因素，分析和解决诸如求液体深度、不同容器中液体体积关系等问题。 典例1.两个长方体容器A、B，其长、宽、高如图所示（单位：厘米）。容器A中没有水，容器B中水深30厘米。要将容器B中的水倒一部分给容器A，使两个容器中水的高度相同，这时水深多少厘米？ 【答案】10厘米 【分析】因为水的总体积＝A容器水的体积＋B容器水的体积＝A容器的底面积×A容器水的高度＋B容器的底面积×B容器水的高度，因为两个容器中水的高度相同，所以水的总体积＝（A容器的底面积＋ B容器的底面积）×水的高度。先求出 A、B 两个容器的底面积之和，再算出水的总体积，最后用水的总量除以底面积之和，即可得到相同高度的水深是多少，据此解答。 【解析】 （平方厘米） （立方厘米） 18000÷1800＝10（厘米） 答：这时水深10厘米。 典例2．如图，两个长方体容器用一根极细的管道相连接，管道关闭时，两个容器中水的深度分别是8dm和6dm，打开管道让水自由流动，等水静止后，两个容器中水的深度是相同的，这时水深是多少？（容器壁厚度不计，不考虑管道内的空间） 【答案】6.8 【分析】两个容器中水的总体积一直不变。设这时水深是xdm，则左边容器中有（2×5×x）的水，右边容器中有（3×5×x）的水，这些水加起来应等于水的体积，据此列出方程并求解。 【解析】2×5×8＋3×5×6 ＝80＋90 ＝170（dm3） 解：设这时水深是xdm。 2×5×x＋3×5×x＝170 10x＋15x＝170 25x＝170 x＝170÷25 x＝6.8 答：这时水深6.8。 【总结】此题的关键是打开管道后，两个容器里水的总体积不变。 1.有一个装水的长方体容器A和一个空的长方体容器B（如图）。 （1）若容器A中的水全部倒入容器B中，容器B中水深多少厘米？   （2）现将容器A中的一部分水倒入容器B，使得此时两个容器内的水面高度相同。你知道这时容器A中水深多少厘米吗？ 2．明明通过课外阅读认识了连通器。上端开口。下端连通的容器叫连通器，它的特点是当连通器中只有一种液体，在液体不流动的情况下，连通器各容器中液面的高度总是同样高的。连通器在生活中的应用很广泛，如茶壶、洗手间下水管、锅炉水位计等都属于连通器。 明明用甲、乙两个长方体容器和一个粗吸管自制了一个连通器。甲容器是一个底面为正方形的长方体容器。如果给甲容器倒入45升水，给乙容器倒入135升水，那么此时甲容器内水的高度是多少分米？（吸管的容积忽略不计） — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版五年级数学下册同步精讲 第三单元 长方体和正方体（3）长方体和正方体的体积 内容导航 · 思维导图 1 · 知识梳理 2 · 考点精讲 6 思维导图 知识梳理 一、体积和体积单位 1.体积的含义 物体所占空间的大小叫做物体的体积。 物体所占的空间越大，体积越大；物体所占的空间越小，体积越小。 提示：体积和面积的意义的区别：体积指的是物体“所占空间”的大小；面积指的是物体表面(或平面图形)的大小。 2.体积单位 （1）.认识体积单位 计量体积要用单位，常用体积单位有立方厘米（）、立方分米（）和立方米（）。 （2）.单位表象： 棱长是的正方体体积是 ，一个骰子体积大约是； 棱长是的正方体体积是 ，一个粉笔盒体积大约是； 棱长是的正方体体积是 ，用3根1m长的木条做成互成直角的架子放在墙角，围成的体积大约是。 （3）.计算方法：一个物体含有多少个体积单位，其体积就是多少。如由体积为的小正方体拼成的几何体，包含几个小正方体，体积就是几 。 （4）.注意 是长度单位，用来计量线段的长短；是面积单位，用来计量平面的大小；是体积单位，用来计量物体所占空间的大小。它们之间不能进行大小比较。 3.长方体的体积计算公式 （1）.切割法 把这个长方体切割成棱长是1cm的小正方体，数一数切割成了多少块，它的体积就是多少立方厘米。 局限：把长方体切割成棱长的小正方体来求体积，不是所有长方体都能切割，且操作烦琐，不能普遍使用。 （2）.实验推导：用体积为的小正方体摆不同长方体，观察发现长方体体积等于长、宽、高的乘积。如用8个体积为的小正方体摆成的长方体， ， ， 。 （3）公式表示： 长方体的体积 = 长×宽×高，用字母表示：。 用字母表示长方体体积，、、分别表示长、宽、高，体积计算公式为。 （4）.拓展：长方体的长、宽、高都扩大到原来的倍，其表面积扩大到原来的倍，体积扩大到原来的倍。 4.正方体的体积计算公式 （1）.关系推导：正方体是特殊的长方体，长方体体积计算公式同样适用于正方体。 （2）.公式表示： 正方体的体积 = 棱长×棱长×棱长，用字母表示：。 用字母表示正方体体积，表示棱长，体积计算公式为（写作，读作“的立方”，表示3个相乘）。 （3）.拓展：正方体的棱长扩大到原来的倍，其表面积扩大到原来的倍，体积扩大到原来的倍。 5.长方体和正方体体积计算公式的应用 已知长方体的长、宽、高或正方体的棱长，可直接代入公式或计算体积。 已知长方体的体积以及长、宽、高中的任意两个数据，求第三个数据，有两种方法 (1)根据长方体的体积计算公式V=abh列算式a=V÷b÷h,b=V÷a÷h或h=V÷a÷b解答； (2)设所求数据为未知数x,根据数量关系V=abh列方程解答。 6.长方体和正方体统一的体积计算公式 （1）.底面积的认识：长方体或正方体底面的面积叫做底面积，长方体底面积 = 长×宽，正方体底面积 = 棱长×棱长。 （2）.公式推导： 长方体体积 = 长×宽×高 =底面积×高， 正方体体积 = 棱长×棱长×棱长 =底面积×高， 所以长方体（或正方体）的体积 = 底面积×高。 （3）.表示： 长方体（或正方体）的体积 = 底面积×高，用字母表示：。 根据公式可推导出，。已知这三个量中的任意两个量，可以求出第三个量。 （4）.注意 对于“底面积×高”的理解不要拘泥于“下底面的面积×高”，用长方体（或正方体）某一个面的面积与和这个面垂直的棱的长度相乘也能求出体积。 二、体积单位间的进率 1.体积单位间的进率 相邻两个常用体积单位间的进率是1000,即1 dm³=1000 cm³,1m³=1000 dm³。 2.体积单位间的换算 体积单位间换算方法是高级单位换算成低级单位乘进率（或小数点向右移动），低级单位换算成高级单位除以进率（或小数点向左移动）。 注意：只有相邻的两个常用体积单位间的进率才是1000。如m³和cm³间的进率是1000×1000=1000000。 3.体积单位间换算的应用： 解决实际问题时：(1)要注意单位的统一，并正确运用体积单位间的进率进行换算；(2)根据具体情况灵活运用不同的计量单位进行计算。 三、溶剂和容积单位 1.容积的含义及容积单位 箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积叫容积。 计量液体体积常用容积单位升（）和毫升（），计量容积一般也用体积单位。如药水瓶容纳药水体积用毫升计量，汽车油箱容积用升计量。 注意计量固体的体积不能用容积单位升和毫升。 2.容积单位间的进率及容积单位与体积单位间的关系 容积单位间的进率：。 容积单位和体积单位间的换算关系：，。 3.容积计算方法 （1）长方体或正方体容器容积计算方法与体积计算方法相同，但要从容器里面测量长、宽、高。如求长方体油箱容积，先根据体积公式计算，再转化单位 。 （2）求不规则容器容积时，不规则的较小容器容积用量杯或量筒测量容器中所容纳的液体的体积；不规则的较大容器容积借助液体把它转化为求规则容器的容积。 4.求不规则物体体积： （1）求不规则物体的体积可以用捏压法和排水法。 捏压法：把不规则物体捏压成规则的长方体或正方体，长方体或正方体的体积就是不规则物体的体积。 排水法：利用量筒或量杯，记录放入不规则物体（物体完全浸入水中）前、后水面对应的刻度，上升的那部分水的体积就是不规则物体的体积。 （2）求浮于水面或易溶于水的不规则物体的体积可以用“排沙法”和“测质量法”。 排沙法： ①在量筒或量杯中倒入适量的沙子并压实，记下体积；②将不规则物体完全埋入沙子中并压实，记下体积；③计算出两次记录的沙子的体积的差，就是不规则物体的体积。乒乓球等易浮于水面的物体可用此方法求体积。 测质量法： ①先测出单位体积的物体的质量（如物体重多少千克）；②再测出要测量的整个物体的质量；③最后根据两次测出的质量的倍比关系求出不规则物体的体积。盐、糖、冰块等易溶于水的不规则物体可用此方法求体积。 考点精讲 考点一：认识体积和容积 解题方法：体积是指物体所占空间的大小，通过计算物体的长、宽、高的乘积来衡量。容积是指容器所能容纳物体的体积，对于规则容器，计算方法与体积类似，但要从容器内部测量长、宽、高。 典例1.比较图中物体的体积，在（    ）中填“＞”或“＜”。 (1)图1中，两杯水的体积比较：甲( )乙。 (2)图2中，两块石头的体积比较：甲( )乙。 (3)图3中，两个立体图形的体积比较：甲( )乙。 【答案】(1)＞ (2)＜ (3)＜ 【分析】（1）体积是指物体所占空间的大小，用目测法，哪杯水多，那杯水的体积大； （2）用目测法，哪个石块大，那个石块的体积就大； （3）都是用一样大小的小正方体拼成，分别数出小正方体的个数，用小正方体多的立体图形体积大。 【解析】（1）图1中，两杯水的体积比较：甲杯水多，甲杯水体积大，甲＞乙。 （2）图2中，两块石头的体积比较：乙石块大，乙石块体积大，甲＜乙。 （3）图3中，两个立体图形的体积比较：甲由7个小正方体组成，乙由9个小正方体组成，7＜9，甲＜乙。 典例2．一盒，求“这盒奶所占空间的大小”，就是求它的( )；求“盒内能装多少牛奶”，就是求它的( )。（括号内填“表面积”“体积”或“容积”） 【答案】 体积 容积 【分析】物体所有面的总面积叫做物体的表面积；物体所占空间的大小叫做物体的体积；容器所能容纳物体的体积叫做它们的容积。 【解析】求“这盒奶所占空间的大小”，就是求它的体积； 求“盒内能装多少牛奶”，就是求它的容积。 【总结】掌握立体图形的表面积、体积、容积的定义是解题的关键。 1．物体都占据一定的空间，物体大的占据的空间( )，物体小的占据的空间( )，物体占据空间的大小叫做物体的( )。 【答案】 大 小 体积 【分析】物体所占空间的大小叫做物体的体积。如：一台冰箱比一个电饭煲大，所以冰箱占据的空间大，电饭煲占据的空间小。 【解析】物体都占据一定的空间，物体大的占据的空间大，物体小的占据的空间小，物体占据空间的大小叫做物体的体积。 2．计算一个水箱能装多少升水，是求这个水箱的（    ）。 A．体积 B．容积 C．表面积 【答案】B 【分析】物体所占空间的大小叫作物体的体积，容器所能容纳物体的体积叫作它们的容积，水箱表面的面积之和就是水箱的表面积，据此解答。 【解析】分析可知，计算水箱能装多少升水，需要知道水箱内部可以容纳水的体积的大小，是求这个水箱的容积，与水箱的体积和表面积无关。 故答案为：B 3．用数量相同的一元硬币垒成下边的形状，比较他们的体积，（    ）。 A．甲比较大 B．乙比较大 C．一样大 D．无法确定大小 【答案】C 【分析】根据体积的意义，物体所占空间的大小叫做物体的体积；根据生活实际，每枚一元硬币的体积是一定的，甲乙两个形状的体积都是硬币数量×每个硬币体积，据此分析。 【解析】由分析可知： 用数量相同的一元硬币垒成下边的形状，甲乙两个形状的体积是一样大的。 故答案为：C 【总结】此题考查的目的是理解掌握体积的意义及应用。 考点二：认识体积和容积单位 解题方法：牢记体积单位有立方米（）、立方分米（）、立方厘米（）等，容积单位有升（L）、毫升（mL）。 典例1.体积单位。 (1)棱长是( )cm的正方体，体积是1cm3，一个手指尖的体积大约是( )cm3。 (2)棱长是( )dm的正方体，体积是1dm3，粉笔盒的体积大约是( )dm3。 (3)棱长是( )m的正方体，体积是( )m3。 【答案】(1) 1 1 (2) 1 1 (3) 1 1 【分析】常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米。立方厘米用字母表示是cm3，立方分米用字母表示是dm3，立方米用字母表示是m3。棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米；棱长1分米的正方体，体积是1立方分米；棱长1米的正方体，体积是1立方米。 【解析】（1）棱长是1cm的正方体，体积是1cm3，一个手指尖的体积大约是1cm3。 （2）棱长是1dm的正方体，体积是1dm3，粉笔盒的体积大约是1dm3。 （3）棱长是1m的正方体，体积是1m3。 【总结】本题考查了体积单位，对常见的体积单位有一定认识是解题关键。 典例2．计量容积，一般就用( )。计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位( )和( )，也可以写成( )和( )。 【答案】 体积单位 升 毫升 L mL 【解析】容器所能容纳物体的体积，通常叫作它的容积。计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和mL，1L＝1000mL，容积单位和体积单位的关系：1L＝1dm3，1mL＝1cm3。 1.一瓶饮料的净含量是250mL，这里的“250mL”指的是（    ）。 A．饮料瓶的容积 B．饮料瓶的体积 C．饮料的体积 【答案】C 【分析】这里的“净含量”指的是饮料本身的实际量，而不是饮料瓶的体积和容积。据此解答 【解析】根据分析可得：一瓶饮料的净含量是250mL，这里的“250mL”指的是饮料的体积。 故答案为：C 2．下面的说法中，正确的有( )。（填序号） ①物体的容积就是物体的体积。 ②用8个相同的小正方体能拼成一个稍大的正方体。 ③做一个无盖的鱼缸，大约要用1.2m3的玻璃。 ④一个长方体木箱的体积和容积相等。 ⑤一台冰箱最多能容纳216m3的物体，这台冰箱的容积是216L。 【答案】② 【分析】①体积是指物体所占空间的大小，而容积是指木箱、油桶等所能容纳物体的体积，对于同一个物体来说，它的容积要比体积小。 ②正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，当正方体的每条棱上都有2个正方体时，2×2×2＝8，则用8个相同的小正方体能拼成一个稍大的正方体。 ③求做一个无盖的鱼缸，大约要用多少玻璃，就是求所用玻璃的面积，结果要用面积单位。 ④求物体的体积是从物体的外面测量它的长、宽、高进行计算，而求物体的容积则必须从里面来测量它的长、宽、高，然后计算。因此，对于同一个物体，一般地说，它的容积要比体积小。 ⑤箱子、油桶等能容纳物体的体积叫做它们的容积，216m3＝216000L，据此解答。 【解析】通过分析可得： ①物体的容积和体积意义不同，原题说法错误； ②2×2×2＝8，用8个相同的小正方体能拼成一个稍大的正方体，原题说法正确； ③做一个无盖的鱼缸，可以说大约要用1.2m2的玻璃，原题说法错误； ④一个长方体木箱的体积和容积不相等，原题说法错误； ⑤216m3＝216000L，则一台冰箱最多能容纳216m3的物体，这台冰箱的容积是216000L，原题说法错误。 则正确的说法有②。 考点三：体积和容积单位的选择 解题方法：根据物体的实际大小和生活经验选择单位。较大物体用立方米，如房间体积；较小物体用立方厘米，如骰子体积。液体容积常用升和毫升，如一瓶饮料通常是几百毫升。 填写适当的单位名称。 一块橡皮的体积约是6( )    货车车厢容积大约120( ) 一个牛奶盒的容积约是250( )    一台冰箱体积约是2( ) 【答案】 立方厘米/cm3 立方米/m3 毫升/mL 立方米/m3 【分析】选择合适的体积或容积单位：2个矿泉水瓶的容积大约是1升，电脑桌的体积大约是1立方米，手指尖的体积大约是1立方厘米，粉笔盒的体积大约是1立方分米，据此结合给出的数据大小解答即可。 【解析】一块橡皮的体积约是6立方厘米；货车车厢容积大约120立方米； 一个牛奶盒的容积约是250毫升；一台冰箱体积约是2立方米。 1．选一选，填一填。 文具盒的体积约是（    ）立方厘米 衣柜的体积约是6（    ） 水壶的容积约是1800（    ） 15  150  500 cm3  dm3  m3 毫升  升 【答案】150；m3；毫升 【分析】根据体积（容积）单位和数据大小的认识，结合生活实际可知，1瓶墨水大约是50立方厘米，1个文具盒相当于3瓶墨水的体积，所以文具盒选用150立方厘米比较合适；1个书桌的体积大约是1立方米，所以衣柜的体积用立方米比较合适；1瓶矿泉水大约500毫升，水壶比矿泉水瓶大得多，再结合前面数字，所以用毫升比较合适。 【解析】 文具盒的体积约是150立方厘米 衣柜的体积约是6m3 水壶的容积约是1800毫升 15  150  500 cm3  dm3  m3 毫升  升 2．在括号里填上合适的单位。 (1)一部手机的体积是50( )。 (2)一瓶墨水的容积约是60( )。 (3)一台冰箱的体积是500( )。 (4)一个油箱能装油120( )。 【答案】(1)立方厘米/cm3 (2)毫升/mL (3)立方分米/dm3 (4)升/L 【分析】（1）棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米，手指尖的体积大约是1立方厘米，所以计量一部手机的体积用“立方厘米”作单位比较合适； （2）1毫升液体的体积就是1立方厘米，计量比较少的液体，通常用“毫升”作单位，所以计量一瓶墨水的容积用“毫升”作单位比较合适； （3）棱长1分米的正方体，体积是1立方分米，一个粉笔盒的体积约为1立方分米，所以计量一台冰箱的体积用“立方分米”作单位比较合适； （4）1升液体的体积就是1立方分米，结合单位前的数据，所以计量一个油箱能装油的量用“升”作单位比较合适。 【解析】（1）一部手机的体积是50立方厘米。 （2）一瓶墨水的容积约是60毫升。 （3）一台冰箱的体积是500立方分米。 （4）一个油箱能装油120升。 3．填上合适的单位名称。 (1)一桶纯净饮用水大约18( )。 (2)一袋草莓酸牛奶约220( )。 (3)一个游泳池的容积是1200( )。 (4)一块橡皮的体积大约是8( )。 【答案】(1)升/L (2)毫升/mL (3)升/L (4)立方厘米/cm3 【分析】常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，手指一节的体积大约是1立方厘米，一个粉笔盒的体积大约是1立方分米，棱长是1米的正方体的体积是1立方米。常用的容积单位有升和毫升，容积是1立方分米的容器正好盛水1升，容积是1立方厘米的容器正好盛水1毫升。根据一个单位的大小和单位前面的数字选择合适的单位。 【解析】（1）一桶纯净饮用水大约18升。 （2）一袋草莓酸牛奶约220毫升。 （3）一个游泳池的容积是1200升。 （4）一块橡皮的体积大约是8立方厘米。 考点四：体积和容积单位的换算 解题方法：大单位换算成小单位，乘以进率。 如换算成立方分米，。 小单位换算成大单位，除以进率。 如换算成立方分米，。 在括号里填上适当的数。 5.6m2＝( )dm2     4.57m3＝( )dm3 0.5dm3＝( )L        2.09m3＝( )L 2800mL＝( )L        28dm3＝( )m3 【答案】 560 4570 0.5 2090 2.8 0.028 【分析】1m2＝100dm2，1m3＝1000dm3，1L＝1dm3，1m3＝1000L，1L＝1000mL，低级单位换算高级单位除以进率，高级单位换算低级单位乘进率，用题目中的数据乘或除以进率即可，据此解答。 【解析】5.6×100＝560（dm2） 4.57×1000＝4570（dm3） 0.5dm3＝0.5L 2.09×1000＝2090（L） 2800÷1000＝2.8（L） 28÷1000＝0.028（m3） 所以，5.6m2＝560dm2，4.57m3＝4570dm3，0.5dm3＝0.5L，2.09m3＝2090L，2800mL＝2.8L，28dm3＝0.028m3。 1.在括号里填上合适的数。 1m3＝( )dm3    700dm3＝( )m3    81cm3＝( )mL 1L＝( )dm3    2.3dm3＝( )cm3    560mL＝( )L 【答案】 1000 0.7 81 1 2300 0.56 【分析】1m3＝1000dm3，1cm3＝1mL，1L＝1dm3，1dm3＝1000cm3，1L＝1000mL，高级单位化低级单位乘进率，低级单位化高级单位除以进率，据此解答。 【解析】1m3＝1000dm3 700dm3＝0.7m3 81cm3＝81mL 1L＝1dm3 2.3dm3＝2300cm3 560mL＝0.56L 2．在括号里填上适当的数。 5060毫升＝( )升    4.3立方分米＝( )立方分米( )立方厘米 1.02立方分米＝( )升( )毫升     11.2升＝( )立方分米＝( )立方厘米 【答案】 5.06 4 300 1 20 11.2 11200 【分析】低级单位换高级单位除以进率，根据1升＝1000毫升，用5060÷1000即可；高级单位换低级单位乘进率，把4.3拆成4＋0.3，再根据1立方分米＝1000立方厘米，用0.3×1000即可；把1.02拆成1＋0.02，根据1立方分米＝1升，1升＝1000毫升，用0.02×1000即可；根据1升＝1立方分米，则11.2升＝11.2立方分米，根据1立方分米＝1000立方厘米，用11.2×1000即可。 【解析】5060毫升＝5060÷1000升＝5.06升 4.3立方分米＝4立方分米＋0.3立方分米＝4立方分米＋0.3×1000立方厘米＝4立方分米300立方厘米 1.02立方分米＝1立方分米＋0.02立方分米＝1升0.02×1000毫升＝1升20毫升 11.2升＝11.2立方分米＝11.2×1000立方厘米＝11200立方厘米 3．在括号里填上合适的数。 3.6m2＝( )dm2     800mL＝( )cm3＝( )L 5m3＝( )方        0.65dm3＝( )L＝( )mL 【答案】 360 800 0.8/ 5 0.65/ 650 【分析】根据进率：1m2＝100dm2，1mL＝1cm3，1L＝1000mL，1m3＝1方，1dm3＝1L，1L＝1000mL；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【解析】（1）3.6×100＝360（dm2） 3.6m2＝360dm2 （2）800÷1000＝0.8（L） 800mL＝800cm3＝0.8L （3）5m3＝5方 （4）0.65×1000＝650（mL） 0.65dm3＝0.65L＝650mL 考点五：体积和容积单位的大小比较 解题方法：先将不同单位换算成相同单位，再比较数值大小。 例如比较与，将换算为，则。 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 5m3( )500dm3          8.35dm3( )835cm3        2550cm3( )25.5dm3 400cm3( )0.4dm3        8.1m3( )8000dm3        240dm3( )2m3 【答案】 ＞ ＞ ＜ ＝ ＞ ＜ 【分析】先根据进率统一单位后，再比较大小即可。 注意单位的换算：1m3＝1000dm3，1dm3＝1000cm3；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率。 【解析】（1）5×1000＝5000（dm3） 5000＞500，所以5m3＞500dm3； （2）8.35×1000＝8350（cm3） 8350＞835，所以8.35dm3＞835cm3； （3）2550÷1000＝2.55（dm3） 2.55＜25.5，所以2550cm3＜25.5dm3； （4）400÷1000＝0.4（dm3） 400cm3＝0.4dm3 （5）8.1×1000＝8100（dm3） 8100＞8000，8.1m3＞8000dm3； （6）240÷1000＝0.24（m3） 0.24＜2，所以240dm3＜2m3。 1.在里填上“＞”“＜”或“＝”。 2000毫升( )3升    600毫升( )6升 301毫升( )3001毫升    1000毫升( )10升 【答案】 ＜ ＜ ＜ ＜ 【分析】高级单位转换成低级单位乘进率，低级单位转换成高级单位除以进率，根据1升＝1000毫升，把升转换成毫升，再逐项进行比较；整数的大小比较：位数不相同时，位数多的数大；位数相同时，从最高位看起，相同数位上的数大的数大；即可解答。 【解析】根据分析： ①3×1000＝3000（毫升），那么3升＝3000毫升，2000＜3000，所以2000毫升＜3升； ②6×1000＝6000（毫升），那么6升＝6000毫升，600＜6000，所以600毫升＜6升； ③301＜3001，所以301毫升＜3001毫升； ④10×1000＝10000（毫升），那么10升＝10000毫升，1000＜10000，所以1000毫升＜10升。 2．把下列数量按从小到大的顺序排列。 600mL     5900mL      7L     5970mL     70L ( )＜( )＜( )＜( )＜( ) 【答案】 600mL 5900mL 5970mL 7L 70L 【分析】根据1L＝1000mL，高级单位化成低级单位，乘进率，都统一化成mL这个单位再比较大小即可。 【解析】7L＝7000mL，70L＝70000mL 600mL＜5900mL＜5970mL＜7000mL＜70000mL 所以600mL＜5900mL＜5970mL＜7L＜70L。 【总结】此题的解题关键是掌握容积单位之间的换算，注意单位之间的进率。 3．在___里填上“＞”“＜”或“=”． 5 m3 500 dm3      715 dm3+285 dm3 1 m3          327 cm3 3.27 dm3 8.01 m3 80.1 dm3     207 dm3 0.2 m3+7 dm3          12.5 dm3 0.125 m3 320 cm2—0.2dm2 1 m2     1 m3 998 dm3+0.2 m3 【答案】 > = < > = < < < 考点六：长方体体积相关计算 解题方法：长方体体积公式为，其中、、分别为长方体的长、宽、高。已知长方体的长、宽、高，直接代入公式计算体积。 计算下面长方体的体积。 【答案】320m3 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，列式计算即可。 【解析】16×4×5＝320（m3） 长方体的体积是320m3 1.一个长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是2厘米，它的体积是( )。 【答案】48立方厘米/48cm3 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，把题目中的数据代入公式计算即可求得这个长方体的体积，据此解答。 【解析】6×4×2 ＝24×2 ＝48（立方厘米） 所以，这个长方体的体积是48立方厘米。 2．一根长方体木料，长4m，横截面的面积是0.03m2。这根木料的体积是( )m3。 【答案】0.12 【分析】根据长方体的体积＝底面积×高，在此题中，这个横截面积就是长方体的底面积，这个长方体木料的长度就是长方体的高，把数据代入公式计算即可解答。 【解析】0.03×4＝0.12（m3） 所以，这根木料的体积是0.12m3。 3．从长方体的一个顶点引出的三条棱长度分别是8厘米，5厘米和6厘米，这个长方体的体积是( )立方厘米。 【答案】240 【分析】根据长方体的特征：12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，相交于一个顶点的3条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高，长方体的体积＝长×宽×高，据此列式解答。 【解析】8×5×6＝240（立方厘米） 即这个长方体的体积是240立方厘米。 【总结】此题考查的目的是掌握长方体的特征以及体积公式。 4．一个长方体木块，横截面的面积是16平方厘米，长3分米，它的体积是( )。 【答案】480立方厘米 【分析】根据1分米＝10厘米，把3分米转化为30厘米，再根据长方体的体积＝长×宽×高，已知横截面面积＝宽×高，则长方体的体积等于30乘16即可得解。或者也可根据1平方分米＝100平方厘米，把16平方厘米转化为0.16平方分米，再用3乘0.16也可得解。 【解析】3分米＝30厘米 （立方厘米） 或16平方厘米＝0.16平方分米 （立方分米） 一个长方体木块，横截面的面积是16平方厘米，长3分米，它的体积是480平方厘米（或0.48立方分米）。 考点七：正方体体积相关计算 解题方法：正方体体积公式为，为正方体的棱长。 一个正方体的棱长6m，它的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 216 216 【分析】根据正方体表面积和体积计算公式：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此解答。 【解析】表面积：6×6×6＝216（cm2）体积：6×6×6＝216（cm3） 1.一个正方体的棱长是5cm，它的体积是( )cm3。 【答案】125 【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。把棱长5cm代入正方体体积公式计算即可。 【解析】5×5×5＝125（cm3） 所以它的体积是125cm3。 【总结】此题考查了正方体体积计算公式。 2．用一根长84厘米的铁丝围成一个正方体的框架，这个正方体的体积是( )立方厘米。 【答案】343 【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，用铁丝的长度除以12，即可求出正方体框架的棱长，再根据正方体的体积公式：V＝a3，代入数据即可求出这个正方体的体积。 【解析】84÷12＝7（厘米） 7×7×7＝343（立方厘米） 即这个正方体的体积是343立方厘米。 【总结】此题的解题关键是灵活运用正方体的棱长总和、正方体的体积的计算方法，从而解决问题。 3．一个正方体的表面积是24平方厘米，它的体积是( )立方厘米。 【答案】8 【分析】根据正方体的特征可知，12条棱的长度都相等，6个面的面积都相等，正方体的表面积公式是S＝6，体积公式是V＝，已知表面积是24平方厘米，先求出一个面的面积，再求出棱长，然后根据体积公式解答即可。 【解析】24÷6＝4（平方厘米） 4＝2×2，所以正方体的棱长是2厘米； 2×2×2 ＝4×2 ＝8（立方厘米） 所以它的体积是8立方厘米。 4．一个正方体的底面周长是24厘米，这个正方体的体积是( )立方厘米。 【答案】216 【分析】根据正方形的周长公式：C＝4a，用24除以4求出正方体的棱长，再根据正方体的体积公式：V＝a3，代入棱长的数据，求出这个正方体的体积。 【解析】24÷4＝6（厘米） 6×6×6＝216（立方厘米） 即这个正方体的体积是216立方厘米。 【总结】此题的解题关键是灵活运用正方形的周长和正方体的体积公式求解。 考点八：长方体体积和容积的简单应用 解题方法：在实际问题中，确定长方体的长、宽、高或从内部测量的长、宽、高（求容积时），然后运用体积或容积公式进行计算，注意单位的统一。 修建长城所用的某块砖的尺寸如下图所示。这块长城砖体积是多少？ 【答案】8000立方厘米 【分析】图中长方体砖的长是40厘米，宽是10厘米，高是20厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出长方体的体积。 【解析】40×10×20＝8000（立方厘米） 答：这块长城砖体积是8000立方厘米。 1.西安市是我国重要的旅游城市，也是甜瓜重要产地。家住西安的王伯伯把种的甜瓜用长方体的包装盒包装，规格如图。求这个包装盒的体积。 【答案】14112立方厘米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据求出包装盒的体积即可。 【解析】36×14×28 ＝504×28 ＝14112（立方厘米） 答：这个包装盒的体积是14112立方厘米。 2．施工队要挖一个长80米、宽40米、深1.5米的长方体土坑，一共要挖出多少方的土？ 【答案】4800方 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可，1方＝1立方米。 【解析】80×40×1.5＝4800（立方米）＝4800（方） 答：一共要挖出4800方的土。 3．某建筑工地上有一个长方体形状的大坑，长4米，宽2米，深2.3米。需要多少立方米的黄沙才能填满这个大坑？ 【答案】18.4立方米 【分析】求需要多少立方米的黄沙才能填满这个大坑，就是求这个长方体形状的大坑的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【解析】4×2×2.3 ＝8×2.3 ＝18.4（立方米） 答：需要18.4立方米的黄沙才能填满这个大坑。 【总结】本题考查长方体体积计算公式的运用。 考点九：正方体体积和容积的简单应用 解题方法：与长方体类似，找出正方体的棱长，根据实际情况判断是求体积还是容积，再代入相应公式计算，注意单位换算和实际问题中的细节。 用一根长60厘米的铁丝焊接成一个正方体框架（接头处忽略不计）。 （1）在表面糊上红纸，至少需要红纸多少平方厘米？ （2）这个正方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）150平方厘米 （2）125立方厘米 【分析】（1）先利用正方体棱长总和的公式，用60除以12求出正方体的棱长，求需要红纸的面积，实际是求正方体的表面积，根据表面积公式：S＝6a2，代入棱长的数据，即可求出需要的红纸的面积； （2）根据正方体的体积公式：V＝a3，代入棱长的数据，即可得解。 【解析】（1）60÷12＝5（厘米） 6×5×5＝150（平方厘米） 答：至少需要红纸150平方厘米。 （2）5×5×5＝125（立方厘米） 答：这个正方体的体积是125立方厘米。 【总结】此题的解题关键是先利用正方体的棱长总和公式求出正方体的棱长，再通过正方体的表面积和体积公式求解，主要是熟记公式。 1.某纸盒厂生产一种正方体纸板箱，棱长40厘米，它的体积是多少立方分米？ 【答案】64立方分米 【分析】先根据进率：1分米＝10厘米，将棱长40厘米换算成4分米；再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可。 【解析】40厘米＝4分米 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米） 答：它的体积是64立方分米。 【总结】掌握正方体的体积计算公式是解题的关键。 2．有一个棱长为6分米的正方体铁块，每立方分米铁块的质量为7.5千克，这个铁块重多少千克？ 【答案】1620千克 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用6×6×6即可求出正方体铁块的体积，然后乘7.5即可求出这个铁块的重量。据此解答。 【解析】6×6×6×7.5 ＝216×7.5 ＝1620（千克） 答：这个铁块重1620千克。 【总结】本题考查了正方体体积公式的灵活应用，关键是熟记公式。 考点十：棱长扩倍体积相关问题 解题方法：若正方体棱长扩大倍，体积扩大倍；长方体棱长分别扩大、、倍，则体积扩大倍。 一个正方体棱长为4厘米，若棱长扩大到原来的3倍，新正方体体积比原正方体体积多多少立方厘米？ 【答案】1664立方厘米 【分析】 方法一：先根据正方体体积公式求出原正方体体积，再算出棱长扩大后的正方体体积，最后求体积差。 方法二：先求出棱长扩大后体积扩大的倍数，进而得出增加的倍数，再结合原正方体体积求出增加的体积。 【解析】 方法一： 原正方体体积：（立方厘米） 扩大后棱长：（厘米） 扩大后正方体体积：（立方厘米） 体积差：（立方厘米） 方法二： 原正方体体积：（立方厘米） 棱长扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的倍，体积增加了原来的倍 增加的体积：（立方厘米） 答：新正方体体积比原正方体体积多1664立方厘米。 【总结】本题考查正方体棱长变化与体积变化的关系及体积差的计算，关键是掌握正方体体积公式以及棱长与体积变化的倍数关系。 即时练习 1.一个正方体棱长为2厘米，若棱长扩大到原来的4倍，求扩大后正方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】512立方厘米 【分析】 方法一：先求扩大后的棱长，再利用体积公式计算。 方法二：先求原正方体体积，再依据棱长与体积变化倍数关系计算。 【解析】 方法一： 扩大后棱长：（厘米） 扩大后正方体体积：（立方厘米） 方法二： 原正方体体积：（立方厘米） 棱长扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的倍 扩大后体积：（立方厘米） 答：扩大后正方体的体积是512立方厘米。 2.一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、4厘米、5厘米，若长、宽、高分别扩大到原来的3倍、2倍、4倍，那么扩大后的长方体体积是原来长方体体积的多少倍？ 【答案】72倍 【分析】 方法一：先分别算出原长方体和扩大后长方体的体积，再求倍数。 方法二：直接将长、宽、高扩大的倍数相乘得到体积扩大倍数与原长方体长、宽、高乘积的倍数关系。 【解析】 方法一： 原长方体体积：（立方厘米） 扩大后长：（厘米），宽：（厘米），高：（厘米） 扩大后长方体体积：（立方厘米） 倍数： 方法二： 长、宽、高扩大倍数相乘为 原长方体长、宽、高乘积为 扩大后的体积是原来体积的倍 答：扩大后的长方体体积是原来长方体体积的72倍。 3.有一个棱长为6分米的正方体木块，把它的棱长扩大到原来的3倍后，体积比原来增加了多少立方分米？ 【答案】5616立方分米 【分析】 方法一：先求原正方体体积和扩大后正方体体积，再算体积差。 方法二：先求体积扩大倍数与增加倍数，结合原正方体体积求增加体积。 【解析】 方法一： 原正方体体积：（立方分米） 扩大后棱长：（分米） 扩大后正方体体积：（立方分米） 体积增加：（立方分米） 方法二： 原正方体体积：（立方分米） 棱长扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的倍，增加了倍 增加的体积：（立方分米） 答：体积比原来增加了5616立方分米。 考点十一：展开图求体积相关问题 解题方法：从展开图中分析出长方体或正方体的长、宽、高与展开图各边的关系，确定长、宽、高的数值，再代入体积公式计算。 典例1：下面是一个长方体的展开图，请计算它的表面积和体积。（单位：分米）    【答案】88平方分米；48立方分米 【分析】根据长方体展开图的特征可知，长方体的长为（16－2－2）÷2分米，宽为4分米，高为2分米，把长方体的长、宽、高的数据代入长方体的表面积公式：S＝a×b×2＋a×h×2＋b×h×2，和长方体的体积公式：V＝a×b×h中，计算出长方体的表面积和体积。 【解析】（16－2－2）÷2 ＝12÷2 ＝6（分米） 6×4×2＋6×2×2＋4×2×2 ＝48＋24＋16 ＝88（平方分米） 6×4×2＝48（立方分米） 即长方体的表面积是88平方分米，体积是48立方分米。 典例2：一张长方形铁皮（如图），长是20厘米，宽是( )厘米。用图中的阴影部分向里折成一个正方体盒子，盒子的体积是( )立方厘米。和D面相对的是( )面；如果D面是底面，从前面看是C面，那么右面是( )面。 【答案】 15 125 A F 【分析】根据题意可知，长方形的长和宽分别被正方体的边长平均分成4份和3份，那么长方形的长等于正方体边长的4倍，据此可求出正方体边长是5厘米，宽是边长的3倍，再根据V＝a×a×a计算体积即可。折成正方体后D和A相对，C和E相对，B和F相对。再根据题中的摆放方式，找到右面的面是哪一面，据此解答。 【解析】20÷4×3 ＝5×3 ＝15（厘米） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方厘米） 正方体展开图是2－3－1型，折成正方体后D和A相对，C和E相对，B和F相对。摆放如下图。 故长方形宽是15厘米，盒子体积是125立方厘米，和D面相对的是A面，如果D面是底面，从前面看是C面，那么右面是F面。 1.下图是一个长方体的展开图，求出图的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】290平方厘米；300立方厘米 【分析】从图中可知，这个长方体的长是12厘米，宽和高相等，都是5厘米。即这个长方体的六个面中，有4个面是相同的长方形，有两个面是正方形，长方体的表面积＝长方形的面积×4＋正方形的面积×2；长方体的体积＝长×宽×高，代入数据分别求出表面积和体积即可。 【解析】表面积： 12×5×4＋5×5×2 ＝240＋50 ＝290（平方厘米） 体积： 12×5×5 ＝60×5 ＝300（立方厘米） 长方体的表面积是290平方厘米，体积是300立方厘米。 2．下图是一个长方体的展开图，它的体积是( )cm3。      【答案】105 【分析】由图可知，长方体的高是3厘米，长是7厘米，宽加两个高是11厘米，则长方体的宽是11－3×2＝5厘米，代入长方体的体积公式计算即可，长方体的体积＝长×宽×高。 【解析】11－3×2 ＝11－6 ＝5（厘米） 7×5×3 ＝35×3 ＝105（平方厘米） 长方体的体积是105平方厘米。 【总结】此题考查长方体的展开图，明确长宽高展开的具体位置以及长度是解题的关键，考查学生的空间想象能力。 3．下面是一个正方体纸盒的展开图，它的体积是多少？（单位：厘米） 【答案】512立方厘米 【分析】此图属于正方体展开图的“3－3”型，由图可以看出，这个正方体纸盒的棱长的5倍是40厘米，用除法即可求出这个正方体纸盒的棱长，根据正方体的体积计算公式“V＝a3”即可求出这个正方体纸盒的体积。 【解析】40÷5＝8（厘米） 8×8×8＝512（立方厘米） 答：这个纸盒的体积是512立方厘米。 【总结】关键是根据图弄清这个正方体纸盒的棱长，再利用正方体的体积计算公式得解。 考点十二：去四角求体积相关问题 解题方法：设原长方体或正方体的长、宽、高为、、，去掉四角的小正方形边长为。则剩余部分体积，根据已知条件代入计算。 典例1.小云有一张边长24厘米的正方形硬纸板。如果在硬纸板的四个角上各剪去一个正方形，做成一个无盖的正方体纸盒，这个纸盒的棱长是( )厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 8 512 【分析】如图，正方形纸板边长÷3＝正方体棱长，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，计算即可。 【解析】24÷3＝8（厘米） 8×8×8＝512（立方厘米） 【总结】关键是熟悉正方体特征，掌握正方体体积公式。 典例2．如图是一个长方形纸板，长30厘米，宽20厘米，从这个长方形纸板的四个角剪去一个边长为5厘米的小正方形，将剩余部分折成一个无盖容器，这个容器的容积是( )升。 【答案】1 【分析】根据题意可知，长方形纸板剪去的四个角的边长＝长方体容器的高，长方体容器的长＝纸板的长2个小正方形的边长，长方体容器的宽＝纸板的宽2个小正方形的边长，本题考查的是长方体的容积，根据公式“长方体容器的容积＝长×宽×高” ，最后注意单位换算，1立方厘米＝1毫升，1升＝1000毫升，即可解答此题。 【解析】30－2×5 ＝30－10 ＝20（厘米） 20－2×5 ＝20－10 ＝10（厘米） 20×10×5 ＝200×5 ＝1000（立方厘米） 1000立方厘米＝1000毫升＝1升 所以，这个容器的容积是1升。 1.明明分别在边长12厘米的正方形卡纸的四个角，各剪去同样大小的一个小正方形，再折成一个无盖的纸盒（如图），这些剪法中，（    ）折成的纸盒容积最大。 A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据折法，找到这些长方体的长宽高，然后分别求出各自的体积，最后比较大小选出体积最大的图形，即容积最大。 【解析】A． （cm） （） B． （cm） （） C． （cm） （） D． （cm） （） 128＞108＞100＞64 故答案为：B 2．从一个长方形铁皮的四个角各剪下一个边长是2分米的正方形，按图中的线折起来焊成一个长方体无盖水箱（如图）。这个水箱长( )分米，宽( )分米，最多可盛水( )升。 【答案】 8 5 80 【分析】这道题首先要明确长方形铁皮的原始长是1.2米即12分米，宽是0.9米即9分米。因为从四个角各剪下边长2分米的正方形，所以水箱的长就等于长方形铁皮的长减去两个正方形的边长，即12－2×2＝8（分米）。水箱的宽同理，用长方形铁皮的宽9分米减去两个正方形的边长，即9－2×2＝5（分米）。水箱的高就是剪下的正方形的边长2分米。然后根据长方体体积公式，体积＝长×宽×高，算出水箱体积为8×5×2＝80（立方分米），又因为1立方分米＝1升，所以能盛80升水。 【解析】（1）单位换算。 因为1米＝10分米，所以1.2米＝1.2×10＝12分米，0.9米＝0.9×10＝9分米 （2）求水箱的长。 长方形铁皮长为12分米，从四个角各剪下一个边长是2分米的正方形，那么水箱的长为12－2×2 ＝12－4 ＝8（分米） （3）求水箱的宽。 长方形铁皮的宽为9分米，从四个角各剪下一个边长是2分米的正方形，那么水箱的宽为9－2×2 ＝9－4 ＝5（分米） （4）求水箱的体积。 水箱的高为剪下的正方形的边长，即2分米，水箱的体积为长×宽×高，即 8×5×2 ＝40×2 ＝80（立方分米） 因为1立方分米＝1升，所以80立方分米＝80升 这个水箱长8分米，宽5分米，最多可盛水80升。 3．妙想有一张长30厘米，宽16厘米的纸板（如图），做一个高为4厘米的无盖盒子。 （1）在四个角进行裁剪，应该如何裁剪，请在图中画出示意图，并标上数据。 （2）请计算这个盒子的容积是多少？ 【答案】（1）作图见解析 （2）704立方厘米 【分析】（1）可在长方形的四角分别剪下一个边长为4厘米的正方形。据此作图。 （2）从图中可知，长方体的长是厘米，宽是厘米，高是4厘米，根据，代入数据计算即可得解。 【解析】（1）可在长方形的四角分别剪下一个边长为4厘米的正方形。 据分析作图如下： （2） （立方厘米） 答：这个盒子的容积是704立方厘米。 4．有一块正方形铁皮，从四个角上各剪去一个边长为4分米的正方形后，所剩的部分正好可以焊接成一个无盖的正方体铁皮盒。这个铁皮盒的体积是( )立方分米；原来正方铁形皮的面积是( )平方米。 【答案】 64 1.44 【分析】根据题意可知，盒子的棱长是4分米，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长代入计算即可；原来正方形铁皮的边长为4×3＝12（分米），根据正方形的面积＝边长×边长，代入计算即可。 【解析】4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米）； 4×3＝12（分米） 12×12＝144（平方分米） 144平方分米＝1.44平方米 这个铁皮盒的体积是64立方分米；原来正方铁形皮的面积是1.44平方米。 【总结】此题考查了正方体体积的计算，找出正方体的棱长以及正方形的边长是解题关键。通过画图可以帮助理解。 5．数学综合实践课上，小娟、小华分别用边长12厘米的正方形纸板剪折成无盖的纸盒。两人都先剪掉四个角上的小正方形，如右图所示，（    ）。 A．容积一样大 B．小娟做的纸盒容积大 C．小华做的纸盒容积大 D．无法确定谁的容积大 【答案】C 【分析】小娟折的纸盒，长宽高都是4厘米，利用体积公式计算出小娟做的纸盒的体积；小华折的纸盒，高是3厘米，长和宽都是12－3×2＝6（厘米），利用体积公式计算出小华做的纸盒的体积；比较两者的体积即可。 【解析】4×4×4＝64（立方厘米） 64立方厘米＝64毫升 12－3×2 ＝12－6 ＝6（厘米） 6×6×3＝108（立方厘米） 108立方厘米＝108毫升 64毫升＜108毫升，即小华做的纸盒容积大。 故答案为：C 【总结】此题主要是灵活运用长方体的体积公式，先根据长方体的特征求出长宽高的数据是解题的关键。 考点十三：削成最大正方体问题 解题方法：在长方体中削成最大正方体，以长方体最短的棱为正方体的棱长，然后根据正方体体积公式计算体积。 把一个长8分米，高6分米，宽5分米的长方体木块削出一个最大的正方体，这个正方体的体积是( )立方分米。 【答案】125 【分析】根据题意可知，从这个长方体木块上切下一个最大的正方体，这个最大的正方体的棱长等于长方体的高，正方体的体积公式是V＝a3，直接列式解答。 【解析】5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方分米） 即这个正方体的体积是125立方分米。 【总结】此题主要考查正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 1.在一个长60厘米、宽50厘米、高40厘米的长方体上截取一个最大的正方体，正方体的体积是 立方米。 【答案】0.064 【分析】根据题意，在一个长方体上截取一个最大的正方体，那么这个正方体的棱长等于长方体最短的棱； 再根据正方体的体积公式V＝a3，求出这个正方体的体积，并根据进率“1立方米＝1000000立方厘米”换算单位。 【解析】40＜50＜60 则这个正方体的棱长是40厘米； 40×40×40 ＝1600×40 ＝64000（立方厘米） 64000立方厘米＝0.064立方米 正方体的体积是0.064立方米。 2．李阿姨在雕刻时先对材料进行了处理。她把一块长7dm、宽6dm、高5dm的长方体木块削成一个最大的正方体，在剩下部分中再削一个正方体，则这个正方体的体积是（    ）。 A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】根据题意可知，因为长方体最短的边长是5dm，所以第一次削成正方体的棱长是5dm，剩下部分，最短的边长是2dm，所以第二次削成正方体的棱长是2dm，这个正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。 【解析】7－5＝2（dm） 2×2×2 ＝4×2 ＝8（） 这个正方体的体积是8。 故答案为：D 考点十四：小正方体补全问题 解题方法：先确定补全后大正方体或长方体的边长，计算出大正方体或长方体的体积，再减去已有小正方体的体积，得到需要补全的小正方体体积。 如图中，一个小正方体的体积是1立方厘米，长宽高不变，要把如图的图形补成一个完整的立方体，补上的那部分的体积是（    ）立方厘米。 A．14 B．34 C．48 【答案】B 【分析】完整的立方体的长和宽均有4个小正方体，高有3个小正方体，可以计算出完整的立方体的体积，再从中减去现有的立方体的体积即可。其中现有的立方体的体积通过数小正方体的个数计算：上层有1个，中间层有3个，下层有10个。 【解析】立方体体积：（立方厘米） 现有图形体积： （立方厘米） 补全需要的体积：（立方厘米） 故答案为：B 1.下面的图形是由棱长1cm的小正方体摆成的，它的体积是( )；如果继续把它补搭成一个大正方体，至少还需要( )个这样的小正方体。    【答案】 10 17 【分析】棱长1cm的正方体，体积是1cm3，数出小正方体的个数就是它的体积；继续补搭成一个最小的大正方体，棱长至少是3cm，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，用最小的大正方体体积－现在体积＝至少还需要的小正方体个数。 【解析】图中的下层有7个小正方体，上层有3个小正方体 7＋3＝10（cm3） 3×3×3－10 ＝27－10 ＝17（个） 则它的体积是10；如果继续把它补搭成一个大正方体，至少还需要17个这样的小正方体。 【总结】关键是具有一定的空间想象能力，掌握并灵活运用正方体体积公式。 2．下面的几何体是由棱长1cm的小正方体摆成的，如果要把它继续补搭成一个大正方体，至少还需要( )个小正方体。 【答案】54 【分析】观察可知，要搭成一个大正方体，大正方体的棱长至少要有4个小正方体，根据，代入数据计算搭成大正方体所需的小正方体个数，再减去已有的个数。即可得解。 【解析】 （个） 至少还需要54个小正方体。 3．用棱长为1cm的小正方体木块，堆成如图所示的形状，则它的体积为( )cm3。如果将它补搭成一个大正方体，至少需要( )个这样的小正方体。 【答案】 9 18 【分析】观察该图形可知，这个图形的第一层有5个小正方体，第二层有3个小正方体，第三层有1个小正方体，则共有5＋3＋1＝9个小正方体，用1个小正方体的体积乘小正方体的个数即可求出它的体积是多少；如果将它补搭成一个大正方体，则这个大正方体的棱长为3cm，根据正方体的体积公式：V＝a3，据此求出搭成一个大正方体共需要多少个小正方体，再减去已有的小正方体的个数即可求解。 【解析】5＋3＋1＝9（个） 1×1×1×9 ＝1×9 ＝9（cm3） 3×3×3－9 ＝9×3－9 ＝27－9 ＝18（个） 则它的体积为9cm3。如果将它补搭成一个大正方体，至少需要18个这样的小正方体。 【总结】本题考查正方体的体积，熟记公式是解题的关键。 考点十五：切割表面积变化求体积 解题方法：例如正方体切割成两个长方体，表面积增加的部分是两个切面的面积，设正方体棱长为，若表面积增加，则，可求出，进而求出正方体体积。对于长方体切割问题，根据切割方式和表面积变化情况，找出长、宽、高的关系，再计算体积。 典例1.有一块长方体木料，锯成相等的3段，可以得到3个完全一样的正方体。已知原木料的表面积是350平方厘米，那么原木料的体积是多少立方厘米？ 【答案】375立方厘米 【分析】根据题意，锯成相等的3段，表面积增加了4个小正方形面，现在一共有（6×3）个小正方形面，据此可知原来有几个小正方形面，进而用除法求出小正方体一个面的面积，再推断出小正方体的棱长，然后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出1个小正方体的体积，再求出3个小正方体的体积，也就是原来木料的体积。 【解析】小正方体一个面的面积是： （平方厘米） 小正方体的棱长： 因为，所以小正方体的棱长是5厘米； 长方体体积为： （立方厘米） 答：原木料的体积是375立方厘米。 【总结】此题解答的关键是先求出小正方体一个面的面积，进而求出小正方体的棱长，从而解决问题。 典例2．把1m3的正方体木块切成1dm3的小正方体木块。如果把这些小木块排成一行组成一个长方体，那么这个长方体的长是（    ）。 A．1km B．100m C．1000cm 【答案】B 【分析】1m3＝1000dm3，由此可知，1 m3的正方体木块切成1dm3的小正方体木块，能分成1000个1dm3的小正方体；1dm3的小正方体的棱长是1dm3；把这些小正方体排成一排，总长度是1×1000＝1000dm；再转成单位，即可解答。 【解析】1m3＝1000dm3 所以1000÷1＝1000（个） 1dm3的正方体的棱长是1dm。 总长：1×1000＝1000（dm） 1000dm＝100m＝0.1km＝10000cm 把1m3的正方体木块切成1dm3的小正方体木块。如果把这些小木块排成一行组成一个长方体，那么这个长方体的长是100m（或0.1km，10000cm）。 故答案为：B 典例3．如图，将一个正方体沿虚线切三刀以后，表面积增加150平方厘米，这个正方体的体积是（    ）立方厘米。 A．75 B．125 C．150 D．225 【答案】B 【分析】观察图形可知，每切一刀，就增加2个正方体的面，所以一共增加了6个正方体的面，由此即可求出正方体的一个面的面积是：150÷6＝25平方厘米，因为5×5＝25，所以正方体的棱长是5厘米，再利用正方体的体积公式即可解答。 【解析】150÷6＝25（平方厘米） 因为5×5＝25，所以正方体的棱长是5厘米。 所以正方体的体积是： 5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方厘米） 这个正方体的体积是125立方厘米。 故答案为：B 【总结】根据切割特点先求出正方体的一个面的面积，再进一步解答。 1．把一个棱长是2分米的正方体，切成棱长是2厘米的小正方体，并把它们挨个排起来，可以排( )米长。 【答案】20 【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，据此求出大正方体的体积和小正方体的体积，然后用大正方体的体积除以小正方体的体积，即可求出可以切成多少个小正方体；然后用小正方体的棱长乘小正方体的个数即可求解。 【解析】2分米＝20厘米 20×20×20÷（2×2×2） ＝8000÷8 ＝1000（个） 2×1000＝2000（厘米）＝20（米） 则可以排20米长。 【总结】本题考查正方体的体积，熟记公式是解题的关键。 2．将长5米的长方体木料，如下图切割分成5段后，表面积增加38.4平方分米。这个长方体木料的一个侧面的面积是多少平方分米？原来这根木料体积是多少立方分米？ 【答案】4.8平方分米；240立方分米 【分析】把长方体截成5段后，表面积比原来增加了8个横截面的面积，即38.4平方分米，用增加的面积除以增加的面数，据此求出木料一个侧面的面积，再根据长方体的体积公式：V＝Sh，代入数据求出木料原来的体积。 【解析】5米＝50分米 （5－1）×2 ＝4×2 ＝8（面） 38.4÷8＝4.8（平方分米） 4.8×50＝240（立方分米） 答：这个长方体木料的一个侧面的面积是4.8平方分米，原来这根木料体积是240立方分米。 3．一块长方体木料长15米，沿横截面把它截成6段，表面积增加120平方分米，原来这块长方体木料体积是多少立方米？ 【答案】1.8立方米 【分析】沿横截面平均截成6段，表面积比原来增加120平方分米，锯了5次，增加了（5×2）个截面的面积，由此可以求出它的一个截面的面积，然后利用长方体的体积公式：V＝Sh，列式解答。 【解析】（6－1）×2 ＝5×2 ＝10（面） 120÷10＝12（平方分米） 12平方分米＝0.12平方米 0.12×15＝1.8（立方米） 答：原来这块长方体木料体积是1.8立方米。 4．如图所示，将一个立方体沿虚线切三刀后，表面积增加了150平方厘米，这个立方体原来的体积是　 　立方厘米． 【答案】125 【解析】试题分析：根据正方体的特征，6个面是完全相同的正方形，如图将一个立方体沿虚线切三刀后，表面积增加了150平方厘米，每切一刀就增加两个切面的面积，切三刀就增加了6个切面的面积，也就是这个正方体的表面积是150平方厘米，根据正方体的表面积公式：s=6a2，首先求出棱长，再根据正方体的体积公式：v=a3，把数据代入公式解答． 解：150÷6=25（平方厘米），因为5的平方是25，所以正方体的棱长是3厘米． 5×5×5=125（立方厘米）， 答：这个正方体的体积是125立方厘米． 故答案为125． 点评：此题解答关键是求出正方体的棱长，再利用正方体的体积公式解答． 考点十六：拼接表面积变化求体积 解题方法：两个相同的长方体或正方体拼接，表面积会减少。设拼接面的面积为，若两个正方体拼接，减少了，可根据正方体一个面的面积求出棱长，进而求出体积。对于长方体拼接，根据拼接方式和表面积变化求出长、宽、高，再计算体积。 把3个高为5cm的相同的小长方体拼成了1个15cm高的大长方体，表面积减少了，那么原来1个小长方体的体积是（    ）。 A．180 B．120 C．60 【答案】C 【分析】把3个相同的小长方体拼成了1个15cm高的大长方体，表面积减少了 48cm2 ，减少的面积是小长方体的4个底面面积积，求出底面积，再乘高，求出3个长方体的体积之和，再求出一个小长方体体积即可。 【解析】 （立方厘米） 所以原来1个小长方体的体积是60立方厘米。 故答案为：C 【总结】本题考查长方体的表面积和体积，解答本题的关键是掌握长方体的表面积和体积计算公式。 1.一个正方体与一个长方体拼成了一个新的长方体，这个新长方体的表面积比原来长方体表面积增加了64平方厘米，这个正方体的表面积是( )，体积是( )。 【答案】 96平方厘米/96cm2 64立方厘米/64cm3 【分析】拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了64平方厘米，是指增加了正方体的4个面的面积；由此即可求出正方体的一个面的面积是64÷4＝16平方厘米，由此可得小正方体的棱长是4厘米，再利用正方体的表面积、体积公式解答即可。 【解析】64÷4＝16（平方厘米） 16＝4×4 16×6＝96（平方厘米） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 【总结】解答此题要注意结合图形特点，得出增加的64平方厘米是正方体4个面的面积之和是解答此题的关键。 2．一个正方体的体积是长方体体积的2倍，如果把它们拼摆在一起，正好能拼成一个新的长方体。新长方体的表面积比原来长方体的表面积增加了64平方厘米。新长方体的体积是( )立方厘米。 【答案】96 【分析】一个正方体的体积是长方体体积的2倍，如果把它们拼摆在一起，正好能拼成一个新的长方体，说明长方体有两个面是正方形，新长方体的表面积比原来长方体的表面积增加的部分就是正方体4个面的面积，据此求出正方体一个面的面积，再求出正方体棱长，再求出正方体体积，用正方体的体积除以2，求出原来长方体的体积，再把正方体和长方体的体积相加，求出新长方体体积即可。 【解析】64÷4＝16（平方厘米） 16＝4×4 所以正方体棱长是4厘米。 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 64＋64÷2 ＝64＋32 ＝96（立方厘米） 所以新长方体的体积是96立方厘米。 【总结】解答此题要注意结合图形特点，得出增加的64平方厘米是正方体4个面的面积之和是解答此题的关键。 3．把两个棱长2分米的正方体拼成一个大长方体，这个长方体的棱长和是( )分米，表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】 32 40 16 【分析】观察题意可知，拼成的长方体长是（2×2）分米，宽和高都是2分米，根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，、长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2和长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解笞即可。 【解析】2×2＝4（分米） （4＋2＋2）×4 ＝（6＋2）×4 ＝8×4 ＝32（分米） （4×2＋4×2＋2×2）×2 ＝（8＋8＋4）×2 ＝20×2 ＝40（平方分米） 4×2×2 ＝8×2 ＝16（立方分米） 这个长方体的棱长是32分米，长方体的表面积是40平方分米，体积是16立方分米。 4．用3个棱长为2cm的小正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 56 24 【分析】将3个棱长为2cm的小正方体拼成一个长方体，则该长方体的长为2×3＝6cm，宽和高都是2cm，再根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，长方体的体积公式：V＝abh，据此代入数值进行计算即可。 【解析】2×3＝6（cm） （6×2＋6×2＋2×2）×2 ＝（12＋12＋4）×2 ＝28×2 ＝56（cm2） 6×2×2 ＝12×2 ＝24（cm3） 则拼成的长方体的表面积是56cm2，体积是24cm3。 考点十七：高变化表面积变化求体积 解题方法：设长方体原来的长、宽、高为、、，高变化后表面积变化。根据表面积变化公式，可求出的值，再结合其他已知条件求出、、，进而计算体积。 典例1.一个正方体，如果高增加2厘米，就变成一个长方体。这时表面积比原来增加56平方厘米。原来正方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】343立方厘米 【分析】根据题意，正方体的高增加2厘米，就变成一个长方体，增加的表面积是4个侧面的面积之和，每个面都是长方形，长等于正方体的棱长，宽是2厘米；先用增加的表面积除以4，求出一个侧面的面积，再除以2，即可求出正方体的棱长；最后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求出原来正方体的体积。 【解析】56÷4÷2 ＝14÷2 ＝7（厘米） 7×7×7 ＝49×7 ＝343（立方厘米） 答：原来正方体的体积是343立方厘米。 【总结】明确高增加2厘米后，增加的表面积是4个侧面的面积，以此为突破口，求出正方体的棱长是解题的关键。 典例2．（如下图）一块长方体木块，从上部和下部分别截去高3厘米和2厘米的小长方体后，成为一个正方体。表面积减少120平方厘米，原来长方体体积是多少立方厘米？ 【答案】396立方厘米 【分析】根据题意，把从长方体木块的上部和下部分别截去高3厘米和2厘米的小长方体，看作把长方体的高截去（3＋2）厘米，表面积减少120平方厘米，变成一个正方体，说明原来长方体的长、宽相等； 减少的表面积是4个完全一样的长方形的面积，长方形的宽是（3＋2）厘米，长是原来长方体的长或宽；用减少的表面积除以4，求出一个长方形的面积，然后除以（3＋2），即可求出原来长方体的长、宽；再用长方体的长或宽加上（3＋2）厘米，得到原来长方体的高； 最后根据长方体的体积＝长×宽×高，求出原来长方体的体积。 【解析】原来长方体的长、宽： 120÷4÷（3＋2） ＝120÷4÷5 ＝6（厘米） 原来长方体的高： 3＋2＋6＝11（厘米） 原来长方体的体积： 6×6×11 ＝36×11 ＝396（立方厘米） 答：原来长方体体积是396立方厘米。 1.一个正方体，如果高减少3cm，就变成了一个长方体。这时表面积比原来减少60cm2。原来正方体的体积是( )cm3。 【答案】125 【分析】分析题目，如果正方体的高减少3cm，则表面积就减少了4个相同的长方形的面，这个长方形的长是正方体的棱长、宽是3cm，据此先用60除以4求出一个面的面积，再除以3即可求出正方体的棱长，最后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可。 【解析】60÷4＝15（cm2） 15÷3＝5（cm） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（cm3） 因此，这个正方体的体积是125cm3。 2．将一个长方体的高减少5厘米，就变成了正方体，正方体的表面积比原长方体的表面积减少了60平方厘米。原长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】72立方厘米 【分析】根据题意，长方体的高减少5厘米，就变成了正方体，那么原来长方体的长、宽相等； 正方体的表面积比原长方体的表面积减少了60平方厘米，减少的表面积是高为5厘米的小长方体的4个侧面积之和，用减少的表面积除以4，求出一个面的面积，再除以5，求出原来长方体的长、宽；再用原来的长或宽加上5厘米，即是原来长方体的高； 根据长方体的体积＝长×宽×高，求出原来长方体的体积。 【解析】原来长方体的长、宽： 60÷4÷5 ＝15÷5 ＝3（厘米） 原来长方体的高： 3＋5＝8（厘米） 原来长方体的体积： 3×3×8＝72（立方厘米） 答：原长方体的体积是72立方厘米。 3．一个长方体，如果高增加3厘米，那么就变成一个正方体。这时表面积比原来增加84平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】196立方厘米 【分析】根据题意可知，一个长方体如果高增加3厘米，就变成了一个正方体；说明长和宽相等且比高多3厘米，因此增加的84平方厘米是4个同样的长方形的面积和；先求出一个面的面积，再用面积除以3，由此可以求出长方体的长为7厘米，由于长比高多3厘米，那么原长方体的高＝7－3＝4厘米，再利用长方体的体积公式，即可得解。 【解析】根据分析得，84÷4＝21（平方厘米） 21÷3＝7（厘米） 7－3＝4（厘米） 7×7×4＝196（立方厘米） 答：原来长方体的体积是196立方厘米。 【总结】此题解答关键是求出长方体的长、宽，进而求出高；然后利用长方体的体积计算公式解答即可。 考点十八：等积变形熔铸或锻造问题 解题方法：利用物体在熔铸或锻造前后体积不变的原理，设原物体体积为，变化后物体的长、宽、高为、、，则。已知原物体的相关尺寸求出，再根据变化后物体的部分尺寸，求出其他未知尺寸。 某车间工人王叔叔为了打造一种零件，把一个棱长为10厘米的正方体铁块锻造成了一个长方体铁块，这个长方体的长是8厘米，宽是5厘米，请问它的高是多少厘米？ 【答案】25厘米 【分析】把一个棱长为10厘米的正方体铁块锻造成一个长为8厘米，宽为5厘米的长方体零件，体积不变，首先根据求出正方体铁块的体积，然后用正方体铁块的体积除以长方体的底面积即可求出长方体的高，据此解答。 【解析】10×10×10÷（8×5） ＝1000÷40 ＝25（厘米） 答：这个零件的高是25厘米． 1.美术课上王老师准备教同学们捏橡皮泥。他们把一个棱长是8厘米的正方体橡皮泥捏成了一个底面积是32平方厘米的长方体。这个长方体的高是多少？ 【答案】16厘米 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据求出正方体的体积；再根据长方体的体积＝底面积×高，用橡皮泥的体积除以底面积，即可求出长方体的高。 【解析】8×8×8÷32 ＝512÷32 ＝16（厘米） 答：这个长方体的高是16厘米。 2．把一个底面积是64平方厘米，高是4厘米的长方体铁块，锻造成一个截面是正方形的长方体，截面的边长是5厘米，锻造后的长方体的长是多少厘米？（耗损忽略不计） 【答案】10.24厘米 【解析】64×4÷(5×5) ＝64×4÷25 ＝256÷25 ＝10.24(厘米) 答：锻造后的长方体的长是10.24厘米。 考点十九：等积变形铺路问题 解题方法：设铺路材料的体积为，路的长、宽、厚分别为、、，根据体积不变，。已知和路的长、宽、厚中的两个量，可求出第三个量。 一个长10米，宽2.5米，高4米的货车车厢装满了沙子，现在准备均匀地铺在宽4米的路上，如果铺成8厘米厚，能铺多长的路？ 【答案】312.5米 【分析】货车车厢长10米，宽2.5米，高4米，里面装满了沙子，先利用长方体体积＝长×宽×高求出这个车厢的体积也，就是沙子的体积。再用体积除以长方体的宽、高，得到的就是长方体的长（即能铺多长的路）。注意单位的统一。 【解析】8厘米＝0.08米 10×2.5×4÷4÷0.08 ＝100÷4÷0.08 ＝312.5（米） 答：能铺312.5米长的路。 1．一个底面积是5.4平方米的沙坑里有1.2米厚的沙子，现在要把这些沙子铺在宽1.8米的路上，铺5厘米厚，可以铺多少米长？ 【答案】72米 【分析】根据长方体的体积公式：V＝Sh，据此求出沙坑中沙子的体积；然后用沙子的体积除以路的宽，再除以路的高（厚度），即可求出路的长度。 【解析】5厘米＝0.05米 5.4×1.2÷1.8÷0.05 ＝6.48÷1.8÷0.05 ＝3.6÷0.05 ＝72（米） 答：可以铺72米长。 【总结】本题考查长方体的体积，熟记公式是解题的关键。 2．玉华镇挖了一个长60m，宽40m，深2m的鱼池，如果将挖出的土在一条宽5m的路上铺2dm厚，最多可以铺路( )m。 【答案】4800 【分析】挖出的土实际上就是鱼池的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，铺在路上，体积并没有改变，用体积连续除以路面的宽和路面的高，即可得到需要铺的路面的长度。 【解析】60×40×2＝4800（m3） 2dm＝0.2m 4800÷5÷0.2 ＝960÷0.2 ＝4800（m） 【总结】解决此题的关键是抓住体积不变的原则，灵活运用长方体的体积公式求解。 考点二十：等积变形液体问题（颠倒水箱、液体转移水箱） 解题方法：设水箱的长、宽、高为、、，液体体积为。在不同状态下，根据液体体积不变列方程。如颠倒水箱，设原来液体高度为，颠倒后液体高度为，则，结合其他已知条件求解未知量。 典例1.一个封闭的长方体玻璃容器（玻璃厚度不计）长4分米、宽3分米、高8分米，里面水深5分米（如图①）。现在以这个容器的右侧为底，侧放在桌面上（如图②），这时水深多少分米？ 【答案】2.5分米 【分析】根据题意可知，无论怎样放置，长方体玻璃容器内水的体积不变，水在图①中的形状是一个长4分米、宽3分米、高5分米的长方体，根据长方体的体积公式V＝abh，即可求出水的体积。 现在以这个容器的右侧为底，侧放在桌面上，则长方体的底面变成以8分米为长、3分米为宽的长方形，根据长方形的面积公式S＝ab，求出此时长方体的底面积；再根据长方体的高h＝V÷S，求出图②中的水深。 【解析】水的体积： 4×3×5＝60（立方分米） 图②中的水深： 60÷（8×3） ＝60÷24 ＝2.5（分米） 答：这时水深2.5分米。 典例2．有一个棱长是20厘米的正方体容器里装满水，现在要把这些水倒入长25厘米，宽10厘米，高40厘米的长方体玻璃缸里，水面有多高？ 【答案】32厘米 【分析】根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”求出正方体容器内水的体积。将水倒入长方体玻璃缸后，水的体积不变，并且水形成了一个长方体。根据“长方体高＝体积÷底面积”求出水面的高度即可。 【解析】20×20×20÷（25×10） ＝8000÷250 ＝32（厘米） 答：水面有32厘米高。 1.一个装满水的正方体水箱，从里面量棱长是6分米，装满水之后，把里面的水全部倒入一个从里面量长是20分米，宽和高都是4分米的长方体水箱，这时水面高多少分米？ 【答案】2.7分米 【分析】在倒水的过程中，水的体积不变，根据正方体的体积V＝a3，长方体的底面积＝ab，代入数据，先算出水的体积和长方体水箱的底面积，再用体积除以底面积就能算出水的高度。 【解析】体积：6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方分米） 底面积：20×4＝80（立方分米） 高：216÷80＝2.7（分米） 答：水面高2.7分米。 2．一个长2米、宽1.8米、高0.5米的长方体水箱装满了水。如果把这些水倒入棱长为1.5米的正方体水箱中，那么水深多少米？ 【答案】0.8米 【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出长方体水箱中水的体积；由于体积不变；根据正方体体积公式：体积＝底面积×高，高＝体积÷底面积，代入数据，即可解答。 【解析】2×1.8×0.5÷（1.5×1.5） ＝3.6×0.5÷2.25 ＝1.8÷2.25 ＝0.8（米） 答：水深0.8米。 3．一个密封的长方体容器（如下图），长30厘米，宽10厘米，高15厘米，水深8厘米。如果把这个容器的右侧朝下放在桌面上，这时水深应该是多少厘米？（容器的厚度忽略不计） 【答案】16厘米 【分析】根据题意，一个长方体容器长30厘米，宽10厘米，水深8厘米，根据长方体的体积公式V＝abh，求出水的体积； 水的体积不变，如果把这个容器的右侧朝下放在桌面上，则容器的底面积变成（15×10）平方厘米，根据长方体的高h＝V÷S，求出这时水的深度。 【解析】水的体积： 30×10×8 ＝30×8 ＝2400（立方厘米） 水的深度： 2400÷（15×10） ＝2400÷150 ＝16（厘米） 答：这时水深应该是16厘米。 4．下面是两个玻璃容器。（玻璃的厚度忽略不计）    （1）正方体容器中能装水多少升？ （2）将盛满水的正方体容器中的水倒入长方体容器中，长方体容器中的水面高度是多少分米？ 【答案】（1）125升； （2）2.5分米 【分析】（1）正方体的棱长为5分米，利用“正方体的容积＝棱长×棱长×棱长”求出正方体容器的容积； （2）由“长方体的体积＝长×宽×高”可知，长方体容器中的水面高度＝正方体容器中水的体积÷长÷宽，据此解答。 【解析】（1）5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方分米） 125立方分米＝125升 答：正方体容器中能装水125升。 （2）125÷10÷5 ＝12.5÷5 ＝2.5（分米） 答：长方体容器中的水面高度是2.5分米。 【总结】熟练掌握正方体和长方体的体积计算公式是解答题目的关键。 考点二十一：组合图形的体积 求下列组合图形的体积。（单位：cm） 【答案】27cm3；232cm3 【分析】左边：组合图形的体积＝两个长方体体积之和，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答即可； 右边：组合图形的体积＝长方体的体积－正方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据解答即可。 【解析】5×3×1＋2×2×3 ＝15＋4×3 ＝15＋12 ＝27（cm3） 8×6×5－2×2×2 ＝48×5－4×2 ＝240－8 ＝232（cm3） 左边组合图形的体积为27cm3，右边组合图形的体积为232cm3。 1.求下面图形的表面积和体积。单位：（dm） 【答案】264dm2；248dm3 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6；该组合体的表面积＝长方体的表面积＋正方体4个侧面的面积； 长方体的体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，该组合体的体积＝长方体的体积＋正方体体积，将数据代入求值即可。 【解析】由分析可得： （10×6＋6×4＋10×4）×2＋2×2×4 ＝（60＋24＋40）×2＋4×4 ＝124×2＋16 ＝248＋16 ＝264（dm2） 10×6×4＋2×2×2 ＝60×4＋4×2 ＝240＋8 ＝248（dm3） 所以该组合图形表面积是264dm2，体积是248dm3。 2．计算下列图形的表面积和体积。（单位：dm） 【答案】2532dm2，6688dm3；150dm2，113dm3 【分析】第一个组合体，通过平移，表面积＝完整的大长方体表面积＋小长方体前后左右4个面的面积和，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，小长方体4个面的面积和＝（长×高＋宽×高）×2；体积＝大长方体体积＋小长方体体积，长方体体积＝长×宽×高； 第二个组合体，挖去一个长方体，减少了3个面，又出现了同样的3个面，因此表面积＝完整的正方体表面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6；体积＝正方体体积－长方体体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【解析】第一个组合体： 表面积：（37×16＋37×10＋16×10）×2＋（16×6＋8×6）×2 ＝（592＋370＋160）×2＋（96＋48）×2 ＝1122×2＋144×2 ＝2244＋288 ＝2532（dm2） 体积：37×16×10＝5920（dm3） 16×8×6＝768（dm3） 5920＋768＝6688（dm3） 第二个组合体： 表面积：5×5×6＝150（dm2） 体积：5×5×5－2×2×3 ＝125－12 ＝113（dm3） 第一个组合体的表面积是2532dm2，体积是5920dm3；第二个组合体的表面积是150dm2，体积是113dm3。 考点二十二：装箱问题 解题方法：先计算箱子的容积和要装物体的体积。然后分别用箱子的长、宽、高除以物体的长、宽、高，得到，，。能装物体的数量。 工人要将长15厘米，宽和高都是3厘米的长方体牙膏盒装入纸箱中。纸箱里面的尺寸如图，（单位：厘米）。这个纸箱最多能装多少个这种牙膏盒？ 【答案】400个 【分析】根据以长为边可以放60÷15＝4个， 32÷3＝10……2可以放10层， 32÷3＝10……2可以放10排；以高为边32÷15＝2……2可以放2个，60÷3＝20可以放20层，30÷3＝10可以放10排；以宽为边可以放30÷15＝2个，60÷3＝20可以放20层，32÷3＝10……2可以放10排；根据乘法的意义用长宽高上的数量相乘可解。 【解析】装法一：32÷3＝10……2，30÷3＝10，60÷15＝4；10×10×4＝400（个）， 装法二：60÷3＝20，30÷3＝10，32÷15＝2……2；20×10×2＝400（个）， 装法三：60÷3＝20，32÷3＝10……2，30÷15＝2；20×10×2＝400（个）， 答：这个纸箱最多能装400个这种牙膏盒。 1.一种集装箱，长40米，宽15米，高5米，如果往集装箱里装棱长为2米的正方体木箱，最多可以装多少个？ 【答案】280个 【解析】试题分析：先分别求出长方体仓库的长、宽、高各包含正方体木箱棱长的个数，也就是说看长、宽、高中最多有多少个正方体棱长，再将长、宽、高中包含的正方体的棱长的个数相乘即可． 解：40÷2=20（个）， 15÷2=7（个）…1（米）， 5÷2=2（个）…1（米）， 则正方体的个数：20×7×2=280（个）； 答：至多可以放进280个木箱． 点评：解答此题的关键是先分别求出长方体仓库的长、宽、高各包含正方体木箱棱长的个数，从而求得木箱的个数． 2．有一个长8米，宽7米，高5米的长方体纸箱，在纸箱中装入棱长为2分米的正方体礼品盒，最多能装这样的礼品盒多少个？ 【答案】35000个 【解析】试题分析：以长80分米为边，最多可以放：80÷2=40个；以宽70分米为边，最多可以放70÷2=35个；以高50分米为边最多可以放50÷2=25个，由此再利用长方体的体积公式即可计算最多可以放的总个数． 解：8米=80分米，7米=70分米，5米=50分米， 80÷2=40（个）， 70÷2=35（个）， 50÷2=25（个）， 40×35×25=35000（个）， 答：最多可以放35000个． 故答案为35000． 点评：解答此题关键是先分别求出长方体箱子的长宽高处最多能放几个小正方体，再利用长方体的体积公式求出小正方体的总个数． 考点二十三：水位变化问题 解题方法：当物体放入水箱中，水位上升高度，其中是物体体积，是水箱底面积。当物体从水箱中取出，水位下降高度同样根据此公式计算，只是此时是取出物体的体积。 乌鸦到处找水喝，它看到一个长方体容器，但水位较低，乌鸦喝不着水，深思了一会儿，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入容器中。水位上升后，乌鸦喝到了水。乌鸦放入容器的小石子体积共( )dm3，它共喝了( )L水。 【答案】 1.2 0.4 【分析】水面上升的体积就是小石子的总体积，根据长方体体积公式，长方体容器底面积×（图2水的高度－图1水的高度）＝小石子的总体积；水面又下降的体积是乌鸦喝的水的体积，长方体容器底面积×（图2水的高度－图3水的高度）＝喝的水的体积，据此列式计算。 【解析】1×1×（2－0.8） ＝1×1.2 ＝1.2（dm3） 1×1×（2－1.6） ＝1×0.4 ＝0.4（dm3） ＝0.4（L） 乌鸦放入容器的小石子体积共1.2dm3，它共喝了0.4L水。 1.用一个长12分米、宽10分米、高5分米的长方体纸箱，装棱长2分米的正方体饼干盒，最多能装( )个饼干盒。 【答案】60 【分析】根据长方体中长、宽、高分别可以放棱长为2分米的正方体个数，将长、宽、高分别除以2得出有余数的答案，则得到的商相乘得到最多可以装饼干盒的数量。 【解析】长：12÷2＝6（个） 宽：10÷2＝5（个） 高：5÷2＝2（个）⋯⋯1（分米） 则最多可以装饼干盒的数量为：6×5×2＝60（个） 用一个长12分米、宽10分米、高5分米的长方体纸箱，装棱长2分米的正方体饼干盒，最多能装60个饼干盒。 2．一个长方体水箱，长10分米，宽9分米，水深4.5分米，当把一块石块放入水箱后，水位上升到60厘米。这块石块的体积是多少？ 【答案】135立方分米 【分析】水面上升的体积就是石块的体积，根据长方体体积公式，长方体水箱的长×宽×水面上升的高度＝石块的体积，据此列式解答。 【解析】60厘米＝6分米 （立方分米） 答：这块石块的体积是135立方分米。 3．一个注满水的长方体鱼缸，里面有一块体积为27立方分米的假山石。已知这个鱼缸的长为4.5分米，宽为2.5分米，高为8分米。若将鱼缸中的假山石取出，水位下降多少分米？ 【答案】2.4分米 【分析】水位下降的体积就是假山石的体积，假山石的体积÷底面积＝水位下降的高度，据此列式解答。 【解析】27÷（4.5×2.5） ＝27÷11.25 ＝2.4（分米） 答：水位下降2.4分米。 考点二十四：水溢出问题 解题方法：先计算容器的容积和原有水的体积，再加上放入物体的体积。若，则水会溢出，溢出的水的体积。 一个长方体玻璃鱼缸（无盖），量得它的长是8分米，宽是5分米，高是6分米，水深5.4分米。（玻璃厚度忽略不计） （1）做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）如果在这个鱼缸里投入一个棱长是3分米的正方体铁块，鱼缸里的水会不会溢出？请你通过计算说明。 （3）如果会溢出，鱼缸里会溢出多少升水？如果不会溢出，现在水深是多少分米？ 【答案】（1）196平方分米 （2）会溢出；见解析 （3）3升 【分析】（1）从图中可知：这个长方体的长是8分米，宽是5分米，高是6分米。这个无盖的长方体有下面和前后左右面共5个面，因此需要玻璃的面积＝ 长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算即可。 （2）此时水深5.4分米，还剩下空间的高度6－5.4＝0.6分米，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算，分别求出剩下空间的容积、正方体的体积，再比较即可。 （3）若溢出，用正方体的体积减去剩下空间的容积，即可求出溢出的水量（换算成以升为单位）；若不会溢出，用正方体的体积÷长方体的底面积，求出正方体放入水中后，水面升高的高度，再加上原来的水面高度，即可求出现在的水面高度。 【解析】（1）8×5＋8×6×2＋5×6×2 ＝40＋96＋60 ＝196（平方分米） 答：做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃196平方分米。 （2）3×3×3＝27（立方分米）   8×5×（6－5.4） ＝8×5×0.6 ＝24（立方分米）   27＞24 答：鱼缸里的水会溢出。 （3）27－24＝3（立方分米） 3立方分米＝3升 答：鱼缸里会溢出3升水。 1.兰兰做了一个测量铁球体积的实验： 第一步，将800毫升的水倒入一个容积1升的杯子中； 第二步，将5个相同的铁球放入水中，杯中的水没有满； 第三步，再将1个同样的铁球放入水中，这时杯中的水溢出10毫升。 根据这个实验，可以知道一个铁球的体积是( )立方厘米。 【答案】35 【分析】1升＝1000毫升，所以杯子的容积是1000毫升。放入6个铁球后，杯中的水溢出10毫升，因此6个铁球体积包括杯中水上升的体积和溢出的水的体积这两部分，水上升的体积是（1000－800）毫升，再加上溢出的水的体积10毫升，即可求出6个铁球体积之和，再除以6，即是一个铁球的体积，根据进率“1毫升＝1立方厘米”换算单位即可。 【解析】1升＝1000毫升 1000－800＋10＝210（毫升） 210÷6＝35（毫升） 35毫升＝35立方厘米 即一个铁球的体积是35立方厘米。 2．一个长方体水缸，它的长和宽都是6dm，高是5dm，水深3.5dm。把一块棱长4dm的正方体铁块竖直放入水缸内，水缸里的水会溢出( )L。 【答案】10 【分析】根据题意可知，用水缸内水的体积加上铁块的体积，然后减去水缸的容积就是溢出水的体积。根据长方体的体积公式：V＝abh，正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。 【解析】（6×6×3.5＋4×4×4）－6×6×5 ＝（126＋64）－180 ＝190－180 ＝10（立方分米） 10立方分米＝10升 所以水缸里的水会溢出10升。 【总结】本题考查长方体、正方体的体积，解答本题的关键是熟记公式。 3．用一个长8分米、宽6分米、高6分米的长方体玻璃容器做实验。先往容器中倒入4.8分米深的水，再把一块棱长是4分米的正方体铁块放入水中，水会不会溢出？如果溢出，溢出多少升水？ 【答案】会溢出；6.4升 【分析】长方体玻璃容器的长×宽×（高－水深）＝容器空余部分容积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此分别求出容器空余部分容积和正方体铁块体积，比较，并求差即可。 【解析】8×6×（6－4.8） ＝48×1.2 ＝57.6（立方分米） 4×4×4＝64（立方分米） 64＞57.6 64－57.6＝6.4（立方分米）＝6.4（升） 答：水会溢出，溢出6.4升。 4．一个长方体玻璃缸，长12分米，宽10分米，高8分米，水深6.5分米。如果投入一块棱长6分米的正方体实心铁块，缸里的水溢出多少升？ 【答案】36升 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，求出玻璃缸内水的体积，根据正方体的体积公式：V＝a3，求出正方体铁块的体积，用玻璃缸内水的体积加上铁块的体积减去玻璃缸的容积就是溢出水的体积，据此列式解答。 【解析】12×10×6.5＋6×6×6－12×10×8 ＝120×6.5＋36×6－120×8 ＝780＋216－960 ＝996－960 ＝36（立方分米） 36立方分米＝36升 答：缸里的水溢出36升。 考点二十五：两容器倒水高度相同（连通器） 解题方法：先分别计算出两个容器的底面积，由于水的总体积始终保持不变，设倒水后两容器水的高度为，根据容器的底面积容器的底面积水的总体积这一关系来建立方程求解。 当连通器内装入同种液体且液体静止时，各容器中的液面总是保持相平。可根据这一特性，结合液体的体积公式（为容器总的底面积，为液体高度）以及容器的形状、液体体积等因素，分析和解决诸如求液体深度、不同容器中液体体积关系等问题。 典例1.两个长方体容器A、B，其长、宽、高如图所示（单位：厘米）。容器A中没有水，容器B中水深30厘米。要将容器B中的水倒一部分给容器A，使两个容器中水的高度相同，这时水深多少厘米？ 【答案】10厘米 【分析】因为水的总体积＝A容器水的体积＋B容器水的体积＝A容器的底面积×A容器水的高度＋B容器的底面积×B容器水的高度，因为两个容器中水的高度相同，所以水的总体积＝（A容器的底面积＋ B容器的底面积）×水的高度。先求出 A、B 两个容器的底面积之和，再算出水的总体积，最后用水的总量除以底面积之和，即可得到相同高度的水深是多少，据此解答。 【解析】 （平方厘米） （立方厘米） 18000÷1800＝10（厘米） 答：这时水深10厘米。 典例2．如图，两个长方体容器用一根极细的管道相连接，管道关闭时，两个容器中水的深度分别是8dm和6dm，打开管道让水自由流动，等水静止后，两个容器中水的深度是相同的，这时水深是多少？（容器壁厚度不计，不考虑管道内的空间） 【答案】6.8 【分析】两个容器中水的总体积一直不变。设这时水深是xdm，则左边容器中有（2×5×x）的水，右边容器中有（3×5×x）的水，这些水加起来应等于水的体积，据此列出方程并求解。 【解析】2×5×8＋3×5×6 ＝80＋90 ＝170（dm3） 解：设这时水深是xdm。 2×5×x＋3×5×x＝170 10x＋15x＝170 25x＝170 x＝170÷25 x＝6.8 答：这时水深6.8。 【总结】此题的关键是打开管道后，两个容器里水的总体积不变。 1.有一个装水的长方体容器A和一个空的长方体容器B（如图）。 （1）若容器A中的水全部倒入容器B中，容器B中水深多少厘米？   （2）现将容器A中的一部分水倒入容器B，使得此时两个容器内的水面高度相同。你知道这时容器A中水深多少厘米吗？ 【答案】（1）12厘米 （2）8厘米 【分析】（1）根据题意，将容器A中的水全部倒入容器B中，因为容器A和容器B的底面积不同，所以两个容器内水的深度不同，但水的体积是不变的；先根据长方体的体积公式V＝abh，求出水的体积；再根据长方体的高h＝V÷S，求出容器B中水的深度。 （2）根据题意可知，水的总体积不变，容器A中水的体积＋容器B中水的体积＝水的总体积，根据长方体的体积公式V＝abh，据此列出方程，并求解。 【解析】（1）水的体积： 30×20×24 ＝600×24 ＝14400（立方厘米） 容器B中水的深度： 14400÷（40×30） ＝14400÷1200 ＝12（厘米） 答：容器B中水深12厘米。 （2）解：设这时容器A中水深厘米。 30×20×＋40×30×＝14400 600＋1200＝14400\ 1800＝14400 ＝14400÷1800 ＝8 答：这时容器A中水深8厘米。 2．明明通过课外阅读认识了连通器。上端开口。下端连通的容器叫连通器，它的特点是当连通器中只有一种液体，在液体不流动的情况下，连通器各容器中液面的高度总是同样高的。连通器在生活中的应用很广泛，如茶壶、洗手间下水管、锅炉水位计等都属于连通器。 明明用甲、乙两个长方体容器和一个粗吸管自制了一个连通器。甲容器是一个底面为正方形的长方体容器。如果给甲容器倒入45升水，给乙容器倒入135升水，那么此时甲容器内水的高度是多少分米？（吸管的容积忽略不计） 【答案】5分米 【分析】由题意可知，连通器各容器中液面的高度总是同样高的，则用甲、乙两个容器中水的总体积除以甲、乙容器的底面积之和，即可求出此时甲容器内水的高度是多少分米。 【解析】45升＝45立方分米 135升＝135立方分米 （45＋135）÷（3×3＋9×3） ＝180÷36 ＝5（分米） 答：此时甲容器内水的高度是5分米。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$