精品解析： 江西省赣州市南康区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期教学质量检测试卷 九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化成一般形式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是的直径，是的切线，A，B为切点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数，有下列说法中：①其图象经过点；②其图象分别位于第一、第三象限；③随的增大而增大；④当时，．正确的是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 6. 正六边形的中心角等于______度． 7. 抛物线的顶点坐标为 ________________． 8. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为______． 9. 若，是一元二次方程的两根，且，则的值为______． 10. 从“”中随机抽取一个字母，抽中字母u的概率为_________． 11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为______． 三、（本大题共5个小题，每小题6分，共30分） 12. （1）解方程： （2）如图，已知正方形的边长为4，以点B为圆心，长为半径画弧，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 13. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明将“．立春”“．清明”“．雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好． （1）随机抽取一张邮票是“．雨水”的概率是 ． （2）随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的邮票是“．立春”和“．雨水”的概率． 14. 在中，以为直径作，请你根据下列条件仅用无刻度的直尺画出的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图1，，与相交于点D； （2）如图2，点C在上，点D是的中点． 15. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点正好落在边上．若，求的度数． 16. 如图，在中，，是互相垂直的两条弦，，，垂足分别为．求证：． 四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分） 17. 如图，已知四边形为矩形，且B点坐标为，反比例函数的图象与矩形交于D点和E点，且，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的长． 18. 如图，在中，，是的平分线，O是上一点，以为半径的经过点D，交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求长． 19. 某服装厂生产一批服装，2022年该服装的出厂价是300元/件，2023年、2024年连续两年改进技术降低成本，2024年该服装的出厂价调整为243元/件． （1）若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，求平均下降率； （2）2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以300元/件销售时，平均每天可销售10件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2件，如果该商场想每天盈利1920元，那么单价应降低多少元？ 五、（本大题共2个小题，每小题9分，共18分） 20. 如图，等腰直角中，，点在上，将绕顶点沿顺时针方向旋转后得到． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 21. 【综合与实践】 矩形种植园最大面积探究 情境 劳动实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为S． 分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 方案一：将墙的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）． 方案二：将墙的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）． 【解决问题】 根据分析，分别求出两种方案中S的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少？ 六、（本大题共12分） 22. 如图，已知内接于，．点从圆上某一点开始沿圆运动一周，设点运动的路线长为，的面积为，随变化的图象如图所示，其中． （1）当点不与两点重合时，的度数为___________． （2）求出点和点的纵坐标； （3）点在运动的过程中，存在多少个点的位置，使得 ？并请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期教学质量检测试卷 九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解∶A．原图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．原图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 将一元二次方程化成一般形式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，利用去括号和移项把方程整理成（为常数，且）即可，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴将一元二次方程化成一般形式为， 故选：． 3. 如图，是的直径，是的切线，A，B为切点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查切线的性质、圆周角定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，根据切线的性质推导出，则，而，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 单循环赛的总比赛场数为队数乘以每队比赛场数除以2，等于总安排场数，据此列方程即可． 【详解】解：∵每个队都与其他队比赛一场， ∴每队比赛场数为场，总比赛场数为． 又∵赛程计划安排7天，每天4场比赛， ∴总比赛场数为． ∴满足的关系式为． 故选B． 5. 已知反比例函数，有下列说法中：①其图象经过点；②其图象分别位于第一、第三象限；③随的增大而增大；④当时，．正确的是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数， ∴， ∵， ∴其图象经过点，故①正确； ∵， ∴其图象分别位于第一、第三象限，在每一象限内，随的增大而减小，故②正确，③错误； 当时，， ∵在每一象限内，随的增大而减小， ∴当时， 综上，正确的说法是①②， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 6. 正六边形的中心角等于______度． 【答案】60° 【解析】 【分析】根据正n边形中心角的公式直接求解即可. 【详解】解：正六边形的圆心角等于一个周角，即为，正六边形有6个中心角，所以每个中心角= 故答案为：60° 【点睛】本题考查正六边形，解答本题的关键是掌握正六边形的性质，熟悉正六边形的中心角的概念 7. 抛物线的顶点坐标为 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质求解． 【详解】解：抛物线的顶点为， ∴抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 8. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称：横纵坐标都互为相反数；进而此题可根据此方法进行求解m的值． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 解得：． 故答案为：2 9. 若，是一元二次方程的两根，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 从“”中随机抽取一个字母，抽中字母u的概率为_________． 【答案】##0.125 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，概率公式：概率所求情况数与总情况数之比；直接利用概率计算公式求解即可． 【详解】解：从“”中随机抽取一个字母，共有8种等可能的结果，其中抽中字母u的结果有1种， ∴抽中字母u的概率为， 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为______． 【答案】（7，4）或（6，5）或（1，4）． 【解析】 【分析】由勾股定理求出PA=PB==，由点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，得出PC=PA=PB=，即可得出点C的坐标． 【详解】∵点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）， ∴PA=PB==， ∵点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心， ∴PC=PA=PB==， 则点C的坐标为 （7，4）或（6，5）或（1，4）； 故答案为（7，4）或（6，5）或（1，4）． 三、（本大题共5个小题，每小题6分，共30分） 12. （1）解方程： （2）如图，已知正方形的边长为4，以点B为圆心，长为半径画弧，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，扇形面积计算． （1）利用直接开方法求解即可； （2）用正方形的面积减去扇形面积即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：（1） 解得：； （2）由题意可得 ， 阴影部分的面积为． 13. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明将“．立春”“．清明”“．雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好． （1）随机抽取一张邮票是“．雨水”的概率是 ． （2）随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的邮票是“．立春”和“．雨水”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据概率公式计算即可求解； （）画出树状图，根据树状图解答即可求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【小问1详解】 解：随机抽取一张邮票是“．雨水”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中两次抽取的邮票是“．立春”和“．雨水”的结果有种， ∴两次抽取的邮票是“．立春”和“．雨水”的概率为． 14. 在中，以为直径作，请你根据下列条件仅用无刻度的直尺画出的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图1，，与相交于点D； （2）如图2，点C在上，点D是的中点． 【答案】（1） 如图，连接，则平分， 即为所求； （2） 作射线交于点P，连接即可， AI 为的平分线． 【解析】 【分析】本题考查直径所对的圆周角是直角，同圆中等弧所对的圆周角相等，等腰三角形三线合一，根据相关定理寻求角之间的关系是解题的关键． （1）如图，连接，根据直径所对的圆周角是直角，得，根据等腰三角形三线合一，得，所以即为所求； （2）作射线交于点P，连接，利用垂径定理得到，即可得到，进而得到为的平分线． 【小问1详解】 解：如图，连接，则平分，理由如下： ∵ 是直径， ∴， 又， ∴是等腰三角形， ∴（三线合一）， ∴即为所求； 【小问2详解】 解：作射线交于点P，连接即可，理由如下： ∵ 是直径， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴为的平分线． 15. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点正好落在边上．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质得，，即得，，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转可得，，， ∴，， ∴， 即的度数为． 16. 如图，在中，，是互相垂直的两条弦，，，垂足分别为．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，垂径定理，正方形的判定和性质，由弧弦圆心角的关系得，进而由垂径定理可得，再证明四边形是正方形即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】略 四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分） 17. 如图，已知四边形为矩形，且B点坐标为，反比例函数的图象与矩形交于D点和E点，且，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的应用，勾股定理的应用，化为最简二次根式，熟练的求解反比例函数的解析式是解本题的关键； （1）由矩形的性质先求解，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）先求解D的坐标，求解，，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， ∵B点坐标为， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵比例函数的图象与矩形交于D点和E点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 ∵比例函数的图象与矩形交于D点， ∴D点的纵坐标为4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，在中，，是的平分线，O是上一点，以为半径的经过点D，交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）8 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，角平分线，平行线的判定与性质，切线的判定，勾股定理等知识．熟练掌握等边对等角，角平分线，平行线的判定与性质，切线的判定，勾股定理是解题的关键． （1）由等边对等角，角平分线的定义可证，则，进而结论得证； （2）设的半径为r，则，，，由勾股定理得，，即，计算求解，然后作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为r，则，，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∴的长为8． 19. 某服装厂生产一批服装，2022年该服装的出厂价是300元/件，2023年、2024年连续两年改进技术降低成本，2024年该服装的出厂价调整为243元/件． （1）若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，求平均下降率； （2）2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以300元/件销售时，平均每天可销售10件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2件，如果该商场想每天盈利1920元，那么单价应降低多少元？ 【答案】（1）平均下降率为 （2）单价应降低27元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，正确列出方程是解题关键． （1）设平均下降率为x，然后根据题意可直接列方程求解； （2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，然后根据题意可列方程，求解即可． 【小问1详解】 设平均下降率为x， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：平均下降率为； 【小问2详解】 设单价应降低m元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． ∵要减少库存， ∴． 答：单价应降低27元． 五、（本大题共2个小题，每小题9分，共18分） 20. 如图，等腰直角中，，点在上，将绕顶点沿顺时针方向旋转后得到． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查图形旋转的性质以及勾股定理，牢记图形旋转的性质以及勾股定理是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质可直接求得答案． （2）根据图形旋转的性质，可证得为等腰直角三角形，根据勾股定理可求得的长度，进而可求得的长度． 【小问1详解】 解：∵是等腰直角三角形， ∴ 根据图形旋转的性质可知． ． 【小问2详解】 解：根据图形旋转的性质可知，，． ∵， ∴． 又， ∴为等腰直角三角形． ∴． 在中， ． ∴． 21. 【综合与实践】 矩形种植园最大面积探究 情境 劳动实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为S． 分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 方案一：将墙的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）． 方案二：将墙的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）． 【解决问题】 根据分析，分别求出两种方案中S的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少？ 【答案】方案1，；方案2，；矩形种植园面积最大为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，求出二次函数解析式． （1）设，则，根据矩形面积公式得出，根据，求出最大值即可； （2）设，得出，根据矩形面积公式得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：方案1：∵，则， ∴， ∵， ∴当时，． 方案2：设， 则， ∴． ∵，当时，． ∵， ∴矩形种植园面积最大为． 六、（本大题共12分） 22. 如图，已知内接于，．点从圆上某一点开始沿圆运动一周，设点运动的路线长为，的面积为，随变化的图象如图所示，其中． （1）当点不与两点重合时，的度数为___________． （2）求出点和点的纵坐标； （3）点在运动的过程中，存在多少个点的位置，使得 ？并请说明理由． 【答案】（1）或 （2）点的纵坐标为，点的纵坐标为 （3）存在个点的位置，使得， 理由如下： 设边上的高为，由得，， 解得， 当点在上方时，由（）可知此时存在个点的位置，使得； 当点在下方时，由（）可知此时不存在点的位置，使得； 综上，存在个点的位置，使得． 【解析】 【分析】（）如图，由题意可知，当直径时，在点位置时，的面积在上方最大；在点位置时，的面积在下方最大，进而结合函数图象可得半圆的弧长为，即得的半径，连接，利用勾股定理的逆定理得，最后根据圆周角定理即可求解； （）利用等腰直角三角形的性质可得，，进而求出在上方和下方的最大面积即可求解； （）设边上的高为，求出时的值，再根据，值比较即可求解． 【小问1详解】 解：如图，当直径时，在点位置时，的面积在上方最大；在点位置时，的面积在下方最大， 由图知，点顺时针运动，当点运动的路线长为，的面积在上方 最大；当点运动的路线长为，的面积在下方最大，且， ∴半圆的弧长为， 设的半径为，则， ∴， 连接，则， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， 当点在上方时，； 当点在下方时，； 故答案为：或； 【小问2详解】 解：设直径与的垂足为点， 由（）可得为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定和性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $