特训04 特殊平行四边形 压轴题（八大题型，上海精选新编题）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训04 特殊平行四边形 压轴题（八大题型，上海精选新编题） 目录： 题型1：传统解答证明题 题型2：在三角形中构造特殊平行四边形 题型3：分类讨论—给出条件求长度 题型4：分类讨论—给出等腰三角形求长度 题型5：列函数解析式 题型6：动点问题 题型7：旋转问题 题型8：翻折问题 题型1：传统解答证明题 1．（2025八年级下·上海·名校新编）如图1，在平行四边形中，的平分线交直线于点E，交直线于点F． (1)当时，G是的中点，联结（如图2），请直接写出的度数______． (2)当时，，且，分别联结、（如图3），求的度数． 2．（2025八年级下·上海·统考新编）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，联结DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与边CD相交于点G． (1)求证：CG＝CE； (2)联结CF，求证：∠BFC＝45°； (3)如果正方形ABCD的边长为2，点G是边DC的中点，求EF的长． 3．（23-24八年级下·上海松江·期末）已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线、射线交于点E、F，点E与点C、点B不重合，． (1)当点E在线段上时， ①如图1，求证：； ②连接交于点H，当时，求的长． (2)当时，求的长．（直接写出答案） 题型2：在三角形中构造特殊平行四边形 4．（23-24八年级上·上海松江·期末）在中，，点是边上一点，过作垂直，垂足为点． (1)如图1，点是的中点，，如果，求的长； (2)已知， ①如图2，连接，求证：平分； ②如图3，延长至点，连接交线段于点，当，且点是中点时，求的值． 5．（23-24八年级下·上海·阶段练习）已知在中，，，斜边的中点为P点，动点D、E分别在边、上，且． (1)求证：； (2)设，，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围； (3)若为等腰三角形，请直接写出的长． 题型3：分类讨论—给出条件求长度 6．（2025八年级下·上海·统考新编）如图，已知在正方形中，，点是边上一点（不与点、重合），连接交于点，延长交的外角角平分线于点，连接．    (1)当时，求的面积； (2)求证：； (3)连接，当时，求的长． 7．（2025八年级下·上海·统考新编）正方形中，边长为，点在对角线上，连接，过点作，交直线于点．    (1)如图，当点在边上时，求证：； (2)当点在的延长线上时，设，面积为，求关于的解析式，并写出定义域； (3)若，求BM的长． 题型4：分类讨论—给出等腰三角形求长度 8．（2025八年级下·上海·统考新编）如图，已知在正方形中，，点为线段上一点（点不与、重合）， ，过点作．交射线于点，以、为邻边作矩形． （1）求证：； （2）连接、，设，的面积为．求关于的函数关系式并写出定义域； （3）设、相交于点如果是等腰三角形，求线段的长． 9．（2025八年级下·上海·名校新编）四边形ABCD为菱形，点P为对角线BD上的一个动点． (1)如图1，连接AP并延长交BC的延长线于点E，连接PC，求证：∠AEB=∠PCD； (2)如图1，若PA=PD且PC⊥BE时，求此时∠ABC的度数； (3)若∠ABC=90°且AB=6，如备用图，连接AP并延长交射线BC于点E，连接PC，若△PCE是等腰三角形，求线段BP的长． 题型5：列函数解析式 10．（2025八年级下·上海·名校新编）如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，AC＝4，点M是AC上一点，点N在射线CB上，且MB＝MN，联结DN，设AM＝x． (1)当点M、N（N在边BC上）运动时，∠MND的大小是否会变化？若不变请求出度数，若变化请说明理由． (2)若∠BMN＝30°，求AM的值． (3)当N在线段BC上时，设DN＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域． 题型6：动点问题 11．（2025八年级下·上海·名校新编）已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长； (2)如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值； ②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出与满足的数量关系式． 12．（2025八年级下·上海·统考新编）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点E从点A 出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点E与点A不重合时，过点E作于点F，作交于点G，过点G作射线垂线段，垂足为点H，得到矩形，设点E的运动时间为t秒．    (1)求点H与点D重合时t的值； (2)设矩形与菱形重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； (3)设矩形的对角线与相交于点， ①当时，t的值为 ； ②当时，求出t的值． 题型7：旋转问题 13．（2025八年级下·上海·名校新编）已知在边长为的正方形中，点为射线上的一个动点（点不与点、重合），联结，将线段绕着点按顺时针方向旋转得线段，联结． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图1，当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； (3)在点运动过程中，若点、、恰好在一条直线上，求的长． 题型8：翻折问题 14．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，在长方形ABCD中，AB=3，AD=，点 P为对角线 BD上异于B、D的一个动点，连接 AP，将△ABP沿AP所在直线翻折，使得点B落在E处； (1)当∠DPA=45°时，求点E到直线 AB 的距离； (2)连接AE，交线段BD于点F，当△EFP 为直角三角形时，求线段 BP的长度； (3)当∠DPE=30°时，请直接写出△ABP的面积． 15．（2025八年级下·上海·统考新编）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EFAB交PQ于F，连接BF． （1）求证：四边形BFEP为菱形； （2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动； ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长； ②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．    16．（2025八年级下·上海·统考新编）已知在平行四边形中，，将沿直线翻折，点落在点尽处，与相交于点，联结． （1）如图1，求证：； （2）如图2，如果，，，求的面积； （3）如果，，当是直角三角形时，求的长． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训04 特殊平行四边形压轴题（八大题型，上海精选新编题） 目录： 题型1：传统解答证明题 题型2：在三角形中构造特殊平行四边形 题型3：分类讨论—给出条件求长度 题型4：分类讨论—给出等腰三角形求长度 题型5：列函数解析式 题型6：动点问题 题型7：旋转问题 题型8：翻折问题 题型1：传统解答证明题 1．（2025八年级下·上海·名校新编）如图1，在平行四边形中，的平分线交直线于点E，交直线于点F． (1)当时，G是的中点，联结（如图2），请直接写出的度数______． (2)当时，，且，分别联结、（如图3），求的度数． 【答案】(1)45° (2)60° 【分析】（1）联结CG，BG，证△DCG≌△BEG（SAS），得到BG=DG，∠CDG=∠EBG，再证△BGD是直角三角形，即得△BGD是等腰直角三角形，即可由等腰直角三角形的性质求解； （2）延长AB、FG相交于H，联结DH，先证四边形ADFH是平行四边形，再证平行四边形ADFH是菱形，得∠HDF=∠ADF=60°，△DGF≌△DBH（SAS），得∠GDF=∠BDH，即可得∠BDG=∠HDF，可求解． 【解析】（1）解：∵平行四边形，， ∴四边形为矩形， ∴∠ABC=∠BAD=∠BCD=90°，AB=CD， ∴∠ECF=90°， 联结CG，BG，如图2， ∵G是EF的中点， ∴CG=EG=GF， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=45°， ∴∠BAE=∠BEA=45°， ∴BE=AB， ∴BE=CD， ∴∠FEC=∠BEA=45°， ∴∠BEG=135°， ∴∠EFC=∠FEC=45°， ∴∠GCF=∠EFC=45°， ∴∠DCG=135°， ∴∠DCG=∠BEF， 在△DCG和△BEG中， ， ∴△DCG≌△BEG（SAS）， ∴BG=DG，∠CDG=∠EBG， ∵∠CDG+∠GDB+∠CBD=90°， ∴∠EBG+∠GDB+∠CBD=90°， ∴∠BGD=90°， ∴△BGD是等腰直角三角形， ∴∠BDG=45°； 故答案为：45°； （2）解：延长AB、FG相交于H，联结DH，如图， ∵FGCE， ∴ADHF， ∵AHDF， ∴四边形ADFH是平行四边形， ∵∠ABC=120°， ∴∠DAB=60°，∠ADC=∠ABC=120°， ∵AF平分∠DAB， ∴∠BAF=∠DAF=30°， ∵AHDF， ∴∠DFA=∠BAF=∠DAF=30°， ∴DA=DF，∠AEB=∠FEC=30°， ∴平行四边形ADFH是菱形，CE=CF， ∴∠HDF=∠ADF=60°， ∵FG=CE，CE=CF，CF=BH， ∴FG=HB， 在△DGF和△DBH中， ， ∴△DGF≌△DBH（SAS）， ∴∠GDF=∠BDH， ∴∠BDG=∠HDF=60°． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，本题属四边形综合题目，熟练掌握平行四边形的性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质是解题的关键． 2．（2025八年级下·上海·统考新编）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，联结DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与边CD相交于点G． (1)求证：CG＝CE； (2)联结CF，求证：∠BFC＝45°； (3)如果正方形ABCD的边长为2，点G是边DC的中点，求EF的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) 【分析】（1）把CG和CE分别放在Rt△BCG和Rt△DCE中，说明它们全等即可得证； （2）联结CF，过点C作MC⊥CF交BG于M，说明△MCF为等腰三角形即可得证； （3）过点C作CN⊥BF于N，构造△CNG≌△DFG，即可求出DF＝NC，再利用线段和差即可求出EF的长． 【解析】（1）解：∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE， ∵BF⊥DE， ∴∠E+∠CBG＝∠E+∠EDC， ∴∠CBG＝∠EDC， 在Rt△BCG与Rt△DCE中， ∴Rt△BCG≌Rt△DCE（ASA）， ∴CG＝CE． （2）作CM⊥CF交BF于点M， ∵△BCG≌△DCE， ∴∠E＝∠BGC， ∵∠MCG+∠FCG＝∠ECF+∠FCG＝90°， ∴∠MCG＝∠FCE， 在△MCG和△FCE中， ∴△MCG≌△FCE（ASA）， ∴MG＝FE，MC＝FC， ∴△MCF为等腰直角三角形， ∴∠BFC＝45°． （3）作CN⊥BF于点N， ∴△CNF为等腰直角三角形，CN＝NF， ∵G为CD中点，正方形ABCD的边长为2， ∴CG＝DG＝CE＝1， ∴BG＝DE＝＝， ∴BC•CG＝BG•CN， ∴CN＝＝＝， 在△CNG和△DFG中， ∴△CNG≌△DFG（AAS）， ∴DF＝CN＝， ∴EF＝DE﹣DF＝﹣＝． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，构造特殊三角形和三角形全等是解题的关键． 3．（23-24八年级下·上海松江·期末）已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线、射线交于点E、F，点E与点C、点B不重合，． (1)当点E在线段上时， ①如图1，求证：； ②连接交于点H，当时，求的长． (2)当时，求的长．（直接写出答案） 【答案】(1)①见解析，② (2)或 【分析】（1）①连接，利用菱形的性质，证明为等边三角形，得到，进而证明，利用全等三角形性质即可证明； ②连接交于点，利用菱形的性质和等边三角形性质得到，利用勾股定理得到，证明，利用等腰三角形性质得到，最后根据求解，即可解题； （2）根据与射线交于点E，分以下两种情况讨论，①当在线段上时，作于点，作于点，②当在延长线上时，作于点，以上两种情况分别结合勾股定理和直角三角形性质，以及角平分线性质求解，即可解题． 【解析】（1）①证明：连接， 四边形是菱形，， ， 为等边三角形， ， ， ，即， ， ． ②解：连接交于点， 四边形是菱形， 于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：①当在线段上时， 作于点，作于点， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得， ； ②当在延长线上时，作于点， ，， ， ， ，， 由①同理可知，，， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形性质和判定，全等三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，勾股定理，直角三角形性质，角平分线性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理并灵活运用． 题型2：在三角形中构造特殊平行四边形 4．（23-24八年级上·上海松江·期末）在中，，点是边上一点，过作垂直，垂足为点． (1)如图1，点是的中点，，如果，求的长； (2)已知， ①如图2，连接，求证：平分； ②如图3，延长至点，连接交线段于点，当，且点是中点时，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析  ② 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，然后证明即可解题； （2）①过点作于点，过点作，交的延长线于点，利用直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质和正方形的判定与性质解答即可； ②过点作于点，过点作，交的延长线于点，利用①的结论，全等三角形的判定与性质，平行线的性质解答即可得出结论． 【解析】（1）解：连， ∵是中点，， ∴ ∵， ∴ ∴； （2）①证明：过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图， ，，， 四边形为矩形， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， 矩形为正方形， ， 平分； ②解：过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图， 由（2）知：四边形为正方形， ，． ． ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ，． ． 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，垂直的定义，全等三角形的判定与性质矩形的判定与性质正方形的判定与性质，恰当的添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．（23-24八年级下·上海·阶段练习）已知在中，，，斜边的中点为P点，动点D、E分别在边、上，且． (1)求证：； (2)设，，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围； (3)若为等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2或或4 【分析】（1）过点P作，，可得四边形是矩形，得到，结合，可得，根据三角形中位线性质可得， ，得到，可得，得到； （2）根据中点性质可得，结合，得到，可证矩形是正方形，得到，根据勾股定理得到，根据，得到； （3）连接，根据等腰直角三角形性质可得，，得到，结合，证得，可知是等腰三角形，当时，点D与点A重合，可得；，成立；当时，，可得，点D与点F重合，得到． 【解析】（1）如图1，过点P作，， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵P是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图1，∵F是中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 即； （3）如图2，连接， ∵，， ∴， ∵P是中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当是等腰三角形时，也是等腰三角形， 当时，， ∴点D与点A重合， ∴； 当时，成立； 当时，， ∴，点D与点F重合， ∴． 综上，的长为 ：2或或4． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形综合．熟练掌握等腰直角三角形性质和判定，三角形中位线判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形性质，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键． 题型3：分类讨论—给出条件求长度 6．（2025八年级下·上海·统考新编）如图，已知在正方形中，，点是边上一点（不与点、重合），连接交于点，延长交的外角角平分线于点，连接．    (1)当时，求的面积； (2)求证：； (3)连接，当时，求的长． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）如图1，作于点，延长，延长线交于点，得四边形是矩形，然后证明是等腰直角三角形，得，进而可以解决问题； （2）如图2，延长，交于点，证明是等腰直角三角形，，作交于M，则四边形是平行四边形，证明，进而可得结论； （3）如图3，证明四边形是平行四边形，可得，，，根据正方形的性质，结合（2）利用勾股定理可得，设，则，得，，再利用勾股定理列出方程求出的值，进而可以解决问题． 【解析】（1）解：四边形是正方形， ，， 如图1，作于点，延长，延长线交于点， ， 四边形是矩形， ， 是的外角的平分线， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的面积；    （2）证明：如图2，延长，交于点， 是的外角的平分线， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 作交于M， 则四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ；    （3）解：如图3，由（2）知：， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， 设，则， ，， 在中，根据勾股定理得：， ， 整理得， ，， 或． 的长为或．    【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确添加辅助线、熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解决问题的关键． 7．（2025八年级下·上海·统考新编）正方形中，边长为，点在对角线上，连接，过点作，交直线于点．    (1)如图，当点在边上时，求证：； (2)当点在的延长线上时，设，面积为，求关于的解析式，并写出定义域； (3)若，求BM的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）过点作于点，于点，通过正方形性质可得，通过证明，可得出最后结论； （2）过点作于点，交于点，可证得四边形为矩形，通过矩形性质可得，在中，，由勾股定理可得，可得出，进一步证明，所以，，可求出； （3）当点在边上时，连接，交于，过作于，由正方形性质得到，由等腰三角形的性质可求得，由三角形面积关系得到，可证明，所以，当点在的延长线上时，同理可得． 【解析】（1）过点作于点，于点，   ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）过点作于点，交于点．   ， 在正方形中，，， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ； （3）当点在边上时，连接，交于，过作于，    在正方形中，，， ， 在中，，则， ，，且， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 当点在的延长线上时，同理可得． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，勾股定理，三角形面积等知识，正确作出辅助线，分情况讨论是解答本题的关键． 题型4：分类讨论—给出等腰三角形求长度 8．（2025八年级下·上海·统考新编）如图，已知在正方形中，，点为线段上一点（点不与、重合）， ，过点作．交射线于点，以、为邻边作矩形． （1）求证：； （2）连接、，设，的面积为．求关于的函数关系式并写出定义域； （3）设、相交于点如果是等腰三角形，求线段的长． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)或 【分析】（1）过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，得到EN＝EM，通过证明△DEM≌△FEM，即可得到答案； （2）通过“SAS”可证△ADE≌△CDG，可得AE＝CG，证明∠ACG＝90°即可解决问题． （3）分两种情形：如图1中，当ED＝EH时，如图2中，当HD＝HE时，分别求解即可． 【解析】解：（1）如图，过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE． （2）∵四边形DEFG是矩形，EF＝DE， ∴矩形DEFG是正方形； ∵四边形ABCD是正方形， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°， ∵AD＝DC＝2，∠ADC＝90°， ∴AC＝， ∴y＝EC•CG＝•x•（﹣x）＝﹣x2+x（0＜x＜）； （3）如图1中，当ED＝EH时， ∵ED＝EH， ∴∠EDH＝∠EHD， ∵∠EHD＝∠HEC+∠ECH＝45°+∠CEH，∠CED＝∠CEH+∠DEG＝∠CEH+45°， ∴∠CDE＝∠CEH+45°， ∴∠CDE＝∠CED， ∴CD＝CE＝2， ∴AE＝AC﹣EC＝． 如图2中，当HD＝HE时，点C与F重合，此时AE＝EC＝， 综上所述， AE的值为或2． 【点睛】本题考查了四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． 9．（2025八年级下·上海·名校新编）四边形ABCD为菱形，点P为对角线BD上的一个动点． (1)如图1，连接AP并延长交BC的延长线于点E，连接PC，求证：∠AEB=∠PCD； (2)如图1，若PA=PD且PC⊥BE时，求此时∠ABC的度数； (3)若∠ABC=90°且AB=6，如备用图，连接AP并延长交射线BC于点E，连接PC，若△PCE是等腰三角形，求线段BP的长． 【答案】(1)见解析 (2)∠ABC=60°； (3)线段BP的长为3-3或9-3． 【分析】（1）由四边形ABCD是菱形得AD=CD，∠ADP=∠CDP，AD∥BC，证明△PAD≌△PCD，得∠PAD=∠PCD，因为∠PAD=∠AEB，所以∠AEB=∠PCD； （2）先证明△ABP≌△CBP，得∠PAB=∠PCB=90°，再推导出∠E=∠PBE=∠PBA，则3∠E=90°，得∠E=30°，所以∠ABC=90°-∠E=60°； （3）分两种情况，一是点E在边BC上，PE=CE，可推导出∠AEB=∠PCB+∠CPE=2∠PCB=2∠PAB，得∠PAB=30°，先求得BE=2，作PF⊥BC于点F，则∠PFE=∠PFB=90°=∠ABC，得PF∥AB，∠FPB=∠FBP=45°，∠FPE=∠PAB=30°，可求得EF=3-，则BP=BF=3-3；二是点E在边BC的延长线上，PC=EC，则∠CPE=∠E，先推导出∠E=30°，再求得BE=6，作PF⊥BC于点F，则∠PFE=∠PFB=90°，∠FPB=∠FBP=45°，PE=2PF，BF=PF，可求得BF=PF=9-3，则BP=BF=9-3． 【解析】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=CD，∠ADP=∠CDP，AD∥BC， ∴∠PAD=∠AEB， ∵PD=PD， ∴△PAD≌△PCD（SAS）， ∴∠PAD=∠PCD， ∴∠AEB=∠PCD； （2）解：如图2，∵AB=CB，∠PBA=∠PBC，PB=PB， ∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∵PC⊥BE， ∴∠PAB=∠PCB=90°， ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA， ∵∠PAD=∠E，∠PDA=∠PBE， ∴∠E=∠PBE， ∴∠E=∠PBE=∠PBA， ∵∠E+∠PBE+∠PBA=90°， ∴3∠E=90°， ∴∠E=30°， ∴∠ABC=90°-∠E=60°； （3）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°，AB=6， ∴四边形ABCD是正方形，AD=AB=BC=DC=6， ∴∠BAD=∠BCD=90°， ∴∠CBD=∠CDB=45°， ∴BD= ， 如图3，点E在边BC上，PE=CE， ∵△ABP≌△CBP， ∴∠PCB=∠PAB， ∵∠PCB=∠CPE， ∴∠AEB=∠PCB+∠CPE=2∠PCB=2∠PAB， ∵∠AEB+∠PAB=90°， ∴2∠PAB+∠PAB=90°， ∴∠PAB=30°， ∴AE=2BE， ∵AB2+BE2=AE2， ∴62+BE2=（2BE）2， ∴BE=2， 作PF⊥BC于点F，则∠PFE=∠PFB=90°=∠ABC， ∴PF∥AB，∠FPB=∠FBP=45°， ∴∠FPE=∠PAB=30°， ∴PE=2EF， ∴BF=PF=EF， ∴EF+EF=2， ∴EF=3-， ∴BF=PF=（3-）=3-3， ∴BP=BF=（3-3）=3-3； 如图4，点E在边BC的延长线上，PC=EC，则∠CPE=∠E， ∵△ABP≌△CBP， ∴∠PAB=∠PCB=∠CPE+∠E=2∠E， ∵∠PAB+∠E=90°， ∴2∠E+∠E=90°， ∴∠E=30°， ∴AE=2AB=12， ∵AB2+BE2=AE2， ∴62+BE2=122， ∴BE=6， 作PF⊥BC于点F，则∠PFE=∠PFB=90°， ∴∠FPB=∠FBP=45°，PE=2PF， ∴BF=PF， ∴EF==PF=BF， ∴BF+BF=6， ∴BF=PF=9-3， ∴BP==BF=（9-3）=9-3， 综上所述，线段BP的长为3-3或9-3． 【点睛】此题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、二次根式的混合运算等知识，此题难度较大． 题型5：列函数解析式 10．（2025八年级下·上海·名校新编）如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，AC＝4，点M是AC上一点，点N在射线CB上，且MB＝MN，联结DN，设AM＝x． (1)当点M、N（N在边BC上）运动时，∠MND的大小是否会变化？若不变请求出度数，若变化请说明理由． (2)若∠BMN＝30°，求AM的值． (3)当N在线段BC上时，设DN＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域． 【答案】(1)不变，∠MND=30°； (2)AM的长为2-2或4-4； (3) 【分析】（1）联结DM，设∠MBO=α，可表示出∠DMN，∠CDM，∠CMD，∠CMB，∠CMN，进而计算求得∠DMN=120°，从而求得结果； （2）分点N在边BC上和点N在CB延长线上时两种情况讨论，进而求得结果； （3）作ME⊥AB于E，MF⊥DN，在△ABM中表示出MB，进而表示出MN，进一步表示出DN，从而求得结果． 【解析】（1）解：如图1， 联结DM， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA=OC=AC=2，BD=2OD=2OB，AD=AB， ∴DM=BM，OD=OB==2， ∴BD=4， ∴AD=AB=BD， ∴∠BCD=∠BAD=60°，∠CBD=60°， ∴∠ACD=∠BCD=30°， 设∠MBO=α， ∵MN=MB， ∴∠MBN=∠MNB=∠DBC+∠MBO=60°+α， 在△CBM中， ∠CMB=180°-∠ACB-∠CBM=180°-30°-（60°+α）=90°-α， ∴∠CMD=∠CMB=90°-α， 在△MND中， ∠BMN=180°-∠MBN-∠MNB=180°-2（60°+α）=60°-2α， ∴∠CMN=∠CMB-∠BMN=90°-α-（60°-2α）=30°+α， ∴∠DMN=∠CMN+∠CMD=（30°+α）+（90°-α）=120°， ∵BM=DM=MN， ∴∠MND=∠MDN==30°； （2）解：当点N在边BC上时， 在△MBN和△CBM中， ∠BMN=∠ACB=30°， ∠CBM=∠MBN， ∴∠CMB=∠MBN， ∵MB=MN， ∴∠MBN=∠MNB， ∴∠CBM=∠MBN， ∴CM=CB=4， ∴AM=AC-CM=4-4； 当点N在CB延长线上时， 过点M作MG⊥BN于点G， ∵MB=MN， ∴∠NMG=∠BMG=×30°=15°， ∴∠GMC=180°-90°-30°=60°， ∴∠BMO=45°， ∴△OBM是等腰直角三角形， ∴OB=OM=2， ∴AM=AO-OM=2-2； 综上，AM的长为2-2或4-4； （3）解：如图2， 作ME⊥AB于E，MF⊥DN， ∵∠CAB=30°， ∴EM=AM=x， ∴AE=， ∴BE=AB-AE=4-x， 在Rt△BEM中， BM=， 在Rt△MNF中， 同理可得：NF=MN=， ∴DN=2NF， ∴． 【点睛】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，等腰三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是设角，通过计算寻找角的数量关系． 题型6：动点问题 11．（2025八年级下·上海·名校新编）已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长； (2)如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值； ②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出与满足的数量关系式． 【答案】(1)证明见解析，AF=10cm (2)①；②b=24-a 【分析】（1）先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长； （2）①分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可． ②由题意得，以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上，分三种情况，根据平行四边形对边相等建立等式即可求解． 【解析】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴//． ∴． ∵垂直平分，垂足为， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴． ∴四边形为平行四边形． 又∵， ∴四边形为菱形； 设菱形的边长，则， 在中，， 即， 解得x=10， ∴AF=10cm； （2）解：由（1）得，则． ①显然当点在上时，点在上， 此时A、、、四点不可能构成平行四边形； 同理点在上时，点在或上，也不能构成平行四边形． 因此只有当点在上、点在上时，才能构成平行四边形， ∴以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，， ∵点的速度为每秒5cm，点的速度为每秒4cm，运动时间为秒， ∴， ， ∴， 解得， ∴以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒． ②由题意得，以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上．分三种情况∶ i：如图1，当点在上、点在上时，， ∴，即， ∴b=24-a； ii：如图2，当点在上、点在上时，， ∴， ∴，即， ∴， ∴b=24-a； iii：如图3，当点在上、点在上时，， ∴，即， ∴b=24-a； 综上所述，a与b满足的函数关系式是b=24-a． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，矩形的性质，勾股定理等，解题的关键在于综合应用上述知识，利用分类讨论的思想进行求解． 12．（2025八年级下·上海·统考新编）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点E从点A 出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点E与点A不重合时，过点E作于点F，作交于点G，过点G作射线垂线段，垂足为点H，得到矩形，设点E的运动时间为t秒．    (1)求点H与点D重合时t的值； (2)设矩形与菱形重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； (3)设矩形的对角线与相交于点， ①当时，t的值为 ； ②当时，求出t的值． 【答案】(1) (2) (3)①4；②3 【分析】由四边形是菱形，，可得，，，，， （1）点与点重合时，，有，即得； （2）①当在边上，即时，， ②当在边延长线上，即时，设交于，求出，即可得到答案； （3）①当时，证明是的中位线，得是中点，从而可得与重合，此时，与重合，可得到； ②当时，延长交于，证明是的中位线，从而可得，而在中，，，故，即得． 【解析】（1）解：四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， 当点与点重合时，， ， ； （2）解：①当在边上，即时，如图：   矩形与菱形重叠部分图形的面积即是矩形的面积， ， ②当在边延长线上，即时，设交于，如图：   在中，，， ，， ， 矩形与菱形重叠部分图形的面积， 综上所述，矩形与菱形重叠部分图形的面积， （3）解：①当时，如图：   四边形是矩形， 是的中点， ， 是的中位线， 是中点， ， 又是中点，， 与重合，此时，与重合， ； 故答案为：4； ②当时，延长交于，如图：   ， ， 是的中点， 是的中位线， 是的中点， ， ， ， 在中，，， ，， 在中，， ，， ， ． 【点睛】本题考查菱形性质及应用、矩形的性质应用，涉及勾股定理、中位线定理等的应用，解题的关键是方程的思想的应用，用表达出相关线段的长度，再列方程解决问题． 题型7：旋转问题 13．（2025八年级下·上海·名校新编）已知在边长为的正方形中，点为射线上的一个动点（点不与点、重合），联结，将线段绕着点按顺时针方向旋转得线段，联结． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图1，当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； (3)在点运动过程中，若点、、恰好在一条直线上，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)， (3)或 【分析】（1）根据正方形的性质，得到BC=CD，，，根据全等三角形的判定得到△EBC≌△FCD，从而得出结论； （2）根据勾股定理，可得，再根据△EBC≌△FCD和正方形的性质，即可得出结论； （3）分两种情况讨论：①当点E在线段DB上，②当点E在线段DB延长线上；根据正方形的性质，得到∠CEF=45°，根据三角形的内角和，得到的度数，再跟你讲三角形外角定理和等腰三角形的判定，即可得出结论． 【解析】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°，BD平分∠ABC， ∴， 由题意得EC=FC，∠ECF=90°， ∴， 即， ∴△EBC≌△FCD， ∴； （2）∵∠BCD=90°，BC=CD=6， ∴， ∵△EBC≌△FCD，DF =y， ∴BE=DF= y， ∵DE=x， ∴， 函数定义域为； （3）联结AE，联结AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是正方形，∴BD垂直平分AC， ∴AE=EC，∴∠AEB=∠CEB， ∵EC=FC，∠ECF=90° ，∴△ECF是等腰直角三角形， ∴∠CEF=45°， ①当点E在线段DB上时， ∵点A、E、F在一条直线上， ∴， 又∵， ∴∠BAE=180°－∠AEB－∠ABE=67.5°=∠AEB， ∴AB=BE=6，∴， ②当点E在线段DB延长线上时， ∵点A、E、F在一条直线上， ∴， 又∵， ∴∠EAB=∠ABD－∠AED=22.5°=∠AEB， ∴AB=BE=6， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了动点问题，包含了勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、正方形的性质、三角形的外角定理和等腰三角形的判定等，能够正确画图并综合运用所学相关知识是解题的关键． 题型8：翻折问题 14．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，在长方形ABCD中，AB=3，AD=，点 P为对角线 BD上异于B、D的一个动点，连接 AP，将△ABP沿AP所在直线翻折，使得点B落在E处； (1)当∠DPA=45°时，求点E到直线 AB 的距离； (2)连接AE，交线段BD于点F，当△EFP 为直角三角形时，求线段 BP的长度； (3)当∠DPE=30°时，请直接写出△ABP的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）作EH⊥AB于H，由矩形的性质和勾股定理可求出，即得出AD=BD，从而可判定∠ABD=30．再根据∠APD=∠ABD+∠PAB，即得出∠PAB=∠PAE=15，从而得出∠EAH=30，再由翻折的性质得出AE=AB=3，从而可求出EH=AE=； （2）分类讨论：当∠EPF=90时，易得出 ∠EFP=∠AFD=∠ADB=60，作PM⊥AB于M，在AM上截取一点N，使得AN=PN，即得出∠ADF=60，∠EAB=30，从而得出∠PAB=∠PAE=15．由等边对等角可求出∠NAP=∠NPA=15，即可求出∠PNM =30．设PM=m，则PN=PB=AN= 2m，MN=BM=，由AB=AN+BN，即得出关于m的等式，解出m的值，即得出答案；当∠EFP=90时，即得出∠DAF=30，∠EAB=60，证明 PA=PB，PA=PD，即得出PB=PD=； （3）作PM⊥AB于M，当∠DPE=30°时，点F与点D重合，即∠PAE=∠PAB=45，设AM=PM=n，则BM=n，由AM+BM=AB，即得出关于n的等式，解出n，再根据三角形面积公式计算即可． 【解析】（1）如图1，作EH⊥AB于H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90， ∴， ∴AD=BD， ∴∠ABD=30， ∵∠APD=45=∠ABD+∠PAB， ∴∠PAB=∠PAE=15， ∴∠EAH=30， 由翻折可知AE=AB=3， ∴EH=AE=； （2）分类讨论：当∠EPF=90时， ∵∠E=∠ABD=30， ∴∠EFP=∠AFD=∠ADB=60， 如图2-1，作PM⊥AB于M，在AM上截取一点N，使得AN=PN． ∴∠ADF=60，∠EAB=30， ∴∠PAB=∠PAE=15． ∵AN=PN， ∴∠NAP=∠NPA=15，∠PNM =30． 设PM=m，则PN=PB=AN= 2m，MN=BM=， ∴2m+=3， 解得：m=， ∴PB=； 如图2-2，当∠EFP=90时， ∴∠DAF=30，∠EAB=60， ∴∠PAB=∠PAE =30， ∴∠PAB=∠PBA=30，∠PAD=∠PDA=60， ∴PA=PB，PA=PD， ∴PB=PD=； 综上述，满足条件的PB的值为或； （3）如图3，作PM⊥AB于M， 当∠DPE=30°时，易知点F与点D重合，此时，∠PAE=∠PAB=45， 设AM=PM=n，则BM=n， ∴n+n=3， 解得：n=， ∴=． 【点睛】本题考查矩形与折叠，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质．正确的作出图形和辅助线是解题关键． 15．（2025八年级下·上海·统考新编）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EFAB交PQ于F，连接BF． （1）求证：四边形BFEP为菱形； （2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动； ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长； ②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．    【答案】（1）见解析；（2）①；② 【分析】（1）由折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF＝∠EFP，证出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出结论； （2）①由矩形的性质得出BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，由对称的性质得出CE＝BC＝5cm，在RtCDE中，由勾股定理求出DE＝4cm，得出AE＝AD﹣DE＝1cm；在RtAPE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP＝cm即可； ②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，即可得出答案． 【解析】（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ， ∴点B与点E关于PQ对称， ∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF， 又∵EFAB， ∴∠BPF＝∠EFP， ∴∠EPF＝∠EFP， ∴EP＝EF， ∴BP＝BF＝EF＝EP， ∴四边形BFEP为菱形； （2）解：①∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°， ∵点B与点E关于PQ对称， ∴CE＝BC＝5cm， 在RtCDE中，DE＝＝4cm， ∴AE＝AD﹣DE＝5cm﹣4cm＝1cm； 在RtAPE中，AE＝1，AP＝3﹣PB＝3﹣PE， ∴EP2＝12+（3﹣EP）2， 解得：EP＝cm， ∴菱形BFEP的边长为cm； ②当点Q与点C重合时，如图2： 点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm； 当点P与点A重合时，如图3所示： 点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm， ∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．       【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度． 16．（2025八年级下·上海·统考新编）已知在平行四边形中，，将沿直线翻折，点落在点尽处，与相交于点，联结． （1）如图1，求证：； （2）如图2，如果，，，求的面积； （3）如果，，当是直角三角形时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）4或6 【分析】（1）由折叠的性质得，，由平行四边形的性质得，．则，，得，证出，则，由等腰三角形的性质得，证出，即可得出结论； （2）证四边形是矩形，则，，，设，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，由三角形面积公式即可得出答案； （3）分两种情况：或，需要画出图形分类讨论，根据含角的直角三角形的性质，即可得到的长． 【解析】解：（1）证明：由折叠的性质得：△， ，， 四边形是平行四边形， ，． ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）平行四边形中，， 四边形是矩形， ，，， 由（1）得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， 的面积； （3）分两种情况： ①如图3，当时，延长交于， ，， ， ，， ， ，， ， ， 是的中点， 在中，， ； ②如图4，当时 ，， ， 由折叠的性质得：， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ，，在同一直线上， ， 中，，， ，； 综上所述，当是直角三角形时，的长为4或6． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质是解题的关键． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$