特训05 特殊平行四边形的坐标应用 压轴题（十大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训05 特殊平行四边形的坐标应用 压轴题（十大题型） 目录： 题型1：矩形、菱形、正方形存在性问题 题型2：特殊平行四边形中的全等问题 题型3：特殊平行四边形中的等腰三角形问题 题型4：特殊平行四边形中的直角三角形问题 题型5：角度问题 题型6：最值问题 题型7：定值问题 题型8：（恒）等式有关的存在性问题 题型9：旋转问题 题型10：翻折问题 题型1：矩形、菱形、正方形存在性问题 1．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）． (1)求直线的解析式； (2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标； (3)如图2，若点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 2．如图，平面直角坐标系中直线：分别与轴，轴交于点和点，过点的直线与轴交于点，． (1)求直线的解析式； (2)若为线段上一点，为线段上一点，当时，求的最小值，并求出此时点的坐标； (3)在（2）的结论下，将沿射线方向平移得，使落在直线上，若为直线上一点，为平面内一点，当以点为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 3．如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边在y轴上，的长分别是一元二次方程的两个根，，且，P为上一点，且． (1)求点A的坐标； (2)求过点P的反比例函数解析式； (3)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 题型2：特殊平行四边形中的全等问题 4．在平面直角坐标系中，已知点C的坐标为 （1）求直线的表达式； （2）以线段为边作正方形，点A、B在直线的下方，求点A的坐标； （3）设直线与y轴交于点E，点F在y轴右侧，且与全等，顶点O、A、E分别与顶点O、C、F对应，求的长． 题型3：特殊平行四边形中的等腰三角形问题 5．如图，边长为5的菱形ABCD如图所示放置在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，点D在x轴负半轴上，点． (1)求AB所在直线的解析式； (2)如果直线l经过点C且与直线平行，点是y轴上的一个动点． ①当点P在线段OB上（点P不与O、B重合），过点P作平行于x轴的直线分别交线段AB于M、交直线l于N．设线段MN的长度为d，求d关于t的函数解析式，并写出它的定义域； ②当点P在y轴正半轴上，如是等腰三角形，求t的值． 6．如图，在矩形中，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在边上，点的坐标为，，点是射线上一个动点，连接，． (1)求点的坐标； (2)如果点，之间的距离为，的面积为，求与之间的函数关系式，并写出函数定义域； (3)在点运动过程中，是否有可能为等腰三角形？若有可能，求出点的坐标；若不可能，请说明理由． 题型4：特殊平行四边形中的直角三角形问题 7．以菱形的对角线交点O为坐标原点，所在的直线为x轴，已知，，，P为折线上一动点，作轴于点E，设点P的纵坐标为a． (1)求边所在直线的解析式； (2)设，求y关于a的函数关系式； (3)当为直角三角形时，求点P的坐标． 8．已知长方形，为坐标原点，的坐标为，点，分别在坐标轴上，是线段上的动点，设 (1)已知点在第一象限且是直线上的一点，设点横坐标为，则点纵坐标可用含的代数式表示为_________； (2)在（1）的条件下，此时若是等腰直角三角形，求点的坐标； (3)直线过点，请问在该直线上，是否存在第一象限的点使是等腰直角三角形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由. 题型5：角度问题 9．如图，已知点，点，点在轴负半轴上，，点为直线上一点． (1)求直线的解析式； (2)点为平面内任一点，若以点、、、为顶点的四边形是正方形，求点的坐标； (3)当直线与直线的夹角等于的倍时，直接写出点的坐标． 题型6：最值问题 10．在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，． (1)如图1，当点恰好落在边上时，则的长为______(请直接写出答案)； (2)如图2，所在直线与、分别交于点、，且．求线段的长度． (3)如图3，设点为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边落在轴的正半轴上，边落在轴的正半轴上，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着射线的方向运动，点关于的对称点为点．运动时间为秒，连接，，，． (1)如图，当时，求的度数． (2)如图，当时，求证：． (3)如图，过点作，且，连接，为的中点．连接，则当____时，有最小值，的最小值为_____． 题型7：定值问题 12．在平面直角坐标系中，、，四边形是正方形，点是轴正半轴上一动点，，交正方形外角的平分线于点．    (1)如图1，当点是的中点时，求证：； (2)点在轴正半轴上运动，点在轴上．若四边形为菱形，求直线的解析式． (3)连，点是的中点，当点在轴正半轴上运动时，点随之而运动，点到的距离是否为定值？若为定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由． 题型8：（恒）等式有关的存在性问题 13．如图，在平面直角坐标系中，点为原点，直线分别交轴，轴于点，A，点在轴的负半轴上，且，作直线． (1)求直线的解析式； (2)点在线段上（不与点A重合），过点作轴交于点，设点的横坐标为，线段的长为d，求d与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，在直线的右侧以线段为斜边作等腰直角，连接，以线段为直角边作等腰直角三角形，且，且点在直线的右侧，则点的坐标为______．（用含有的代数式表示） (4)在（2）、（3）的条件下，若，则______． 14．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），以OA为一边在第一象限内作矩形OABC，直线CD：交AB于点E，与y轴交于点D，． (1)求点B的坐标． (2)点P为线段CE上的一个动点，过点P作轴，交AB于点F，交x轴于点G，连接FD，设点p的横坐标为m，△DFP的面积为S，求S关于m的函数关系式． (3)在（2）的条件下，连接BP并延长与x轴交于点M，过点P作，与x轴交于点，当时，在直线CD上是否存在一点R，过点作轴交直线于点Q，得，若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 题型9：旋转问题 15．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为． (1)如图1，当时，求点D的坐标； (2)如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标； (3)当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标． 题型10：翻折问题 16．如图，在平面直角坐标系中，已知直线交y轴于点A，交x轴于点B，点（0，），直线DE为AB的中垂线，垂足为点E，交x轴于点C． (1)如图1，点E的坐标为______，直线DC的表达式为______； (2)如图1，若点M为直线CD上一个动点，且点M在第一象限，过点M作轴，交直线AB于点N，当四边形AMND为菱形时，求点M的坐标； (3)如图2，点P为x轴上的一个动点，连接PA，PD，将△ADP沿DP翻折得到，当时，点P的坐标为______． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训05 特殊平行四边形的坐标应用 压轴题（十大题型） 目录： 题型1：矩形、菱形、正方形存在性问题 题型2：特殊平行四边形中的全等问题 题型3：特殊平行四边形中的等腰三角形问题 题型4：特殊平行四边形中的直角三角形问题 题型5：角度问题 题型6：最值问题 题型7：定值问题 题型8：（恒）等式有关的存在性问题 题型9：旋转问题 题型10：翻折问题 题型1：矩形、菱形、正方形存在性问题 1．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）． (1)求直线的解析式； (2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标； (3)如图2，若点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点N的坐标为或或 【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，得出和的长度，再根据旋转的性质，得出点C和点D的坐标，最后用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）设，则可将点F和点G的坐标表示出来，进而得出的表达式，最后根据列出方程求出a的值，即可进行解答； （3）根据题意进行分类讨论：①为矩形的边时；②为矩形的对角线时． 【解析】（1）解：把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴， ∴， ∵绕点O顺时针旋转得， ∴， ∴， 设直线的函数解析式为， 把代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为． （2）∵， ∴， ∵点E在线段上， ∴设， ∵轴，轴， ∴点F的横坐标为a，点G的纵坐标为， 把代入得：； 把代入得：，解得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：． ∴． （3）①当为矩形的边时， 过点M作，交直线于点，过点O作，交直线于点N，过点N作交于点P，过点作交于点， 根据作图可得：四边形和四边形都是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵绕点O顺时针旋转得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点M为线段的中点，， ∴，，即点N为中点， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线和直线的解析式为： ，解得：， ∴， ②当为矩形的对角线时， 过点M作轴于点P，过点M作轴于点N， ∵，， ∴轴， 过一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点C和点N重合， ∴， 综上：点N的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合运用，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，中点坐标公式，旋转的性质，矩形的性质． 2．如图，平面直角坐标系中直线：分别与轴，轴交于点和点，过点的直线与轴交于点，． (1)求直线的解析式； (2)若为线段上一点，为线段上一点，当时，求的最小值，并求出此时点的坐标； (3)在（2）的结论下，将沿射线方向平移得，使落在直线上，若为直线上一点，为平面内一点，当以点为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)，，， 【分析】（1）根据直线的解析式可以求得点的坐标，再结合点的坐标，用待定系数法可以求出直线的解析式； （2）根据可以求出的面积，设点是轴上一点，且满足，过点作直线的平行线，与直线的交点就是点，进而求出点的坐标，求的最小值，关键是对进行转化，利用垂线段最短可求出此时点的坐标； （3）先根据题意，找到点的坐标，根据菱形的性质，可求出点的坐标． 【解析】（1）解：在中，令，得， ， 令，得， ， ， ， 设直线的解析式为，将，代入得， ，解得， 直线的解析式为； （2）解：由可得， ， ， 设点是轴上一点，且满足， ， ， 过点作直线的平行线，与直线的交点就是点， 记直线的解析式为，将代入可得， 直线的解析式为， 联立，解得， 则，显然点为的中点， 如图，作点关于轴的对称点，则，作直线，则直线的解析式为：， 过点作于点，交轴于点，点即为所求， 易得直线的解析式为：，则； （3）Ⅰ.如图，当为菱形的一条边时， 时，如图所示，过点作轴于点， 根据题意可得，，则， 则， 易得，则， 由，可得， 在Rt中，，， ， ， 同理可得，； 时，如图所示， 根据题意可得，，轴， ； Ⅱ.如图，当为菱形的一条对角线时， 根据题意可得，，轴， 又， 可得； 综上，当以点为顶点的四边形为菱形时，的坐标分别为：，，，． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查平移变换，菱形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建一次函数解决直线的交点问题． 题型2：特殊平行四边形中的全等问题 3．如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边在y轴上，的长分别是一元二次方程的两个根，，且，P为上一点，且． (1)求点A的坐标； (2)求过点P的反比例函数解析式； (3)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在．，， 【分析】（1）用因式分解法求出方程的两个根即可求解； （2）根据求出点P的坐标，然后用待定系数法求解即可； （3）分3种情况，画出图形，结合图形特点求解即可． 【解析】（1）， ， ，． ∵， ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∴点P的坐标为． 设过点P的反比例函数解析式为．将点代入，得． ∴过点P的反比例函数解析式为． （3）存在． 如图1，当为正方形的对角线时， 过点M作交的延长线于点E，过点C作交直线于点F． ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ， ∴． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∴． ∵把先向右平移7个单位，再向上平移1个单位得， ∴把先向右平移7个单位，再向上平移1个单位得； 如图2，当为正方形的边时， 过点N作于点H， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3，当为正方形的边时， 由图2可知，， ∵把先向右平移6个单位，再向上平移8个单位得， ∴把先向右平移6个单位，再向上平移8个单位得； 综上可知，点N的坐标为：，，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，解一元二次方程，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定与性质，以及平移的性质，作出辅助线构造全等三角形是解（3）的关键． 4．在平面直角坐标系中，已知点C的坐标为 （1）求直线的表达式； （2）以线段为边作正方形，点A、B在直线的下方，求点A的坐标； （3）设直线与y轴交于点E，点F在y轴右侧，且与全等，顶点O、A、E分别与顶点O、C、F对应，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）因为直线经过原点，可以设直线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意画出草图，如图1，因为，且，所以过和分别作轴的垂线，构造“三垂直”全等模型，求出和长度即可解决； （3）根据题意画草图，可以知道点有两种位置，即在上方和下方，当在上方时，如图2，可以直接利用全等三角形的性质，得到在轴上，且，再利用勾股定理得到的长度，当在下方时，如图3，根据全等三角形的性质，得到在直线上，证得为等腰三角形，过作于，利用勾股定理求得的长度． 【解析】解：（1）设直线为， 代入点得，， 直线的表达式为； （2）如图1，过作轴于，过作轴于， 则， 四边形为正方形， ，， ，， ， 在与中， ， ， ，， 的坐标为， ，， 的坐标为； （3）设直线的解析式为， 代入点，坐标可得，， 解得， 直线为， 令，则， 直线与轴交于点， ， ①如图2，当在下方时， ， ， ， ， 点轴正半轴上， ， 的坐标为， ， ②如图3，当在上方时， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ，，，四点共线， 又， ， 过作于， ， ， ， ， ，， ， 或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，同时，解决本题的关键是根据题意画出草图，第2题和第3题都涉及到了画图问题，要仔细辨别点的位置，当点的位置不确定时，一定要注意要分类讨论，比如第3问只说明了在轴右侧，所以要根据在上方和下方展开讨论． 题型3：特殊平行四边形中的等腰三角形问题 5．如图，边长为5的菱形ABCD如图所示放置在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，点D在x轴负半轴上，点． (1)求AB所在直线的解析式； (2)如果直线l经过点C且与直线平行，点是y轴上的一个动点． ①当点P在线段OB上（点P不与O、B重合），过点P作平行于x轴的直线分别交线段AB于M、交直线l于N．设线段MN的长度为d，求d关于t的函数解析式，并写出它的定义域； ②当点P在y轴正半轴上，如是等腰三角形，求t的值． 【答案】(1)y=x+4； (2)①d=12−t（0<t<4）；②t的值为或4或． 【分析】（1）利用菱形的性质及B点坐标，在Rt△AOB中由勾股定理可求得OA的长，则可求得A点坐标，利用待定系数法可求得直线AB解析式； （2）①由菱形的性质可求得C点坐标，则可求得直线l的解析式，从而可用t分别表示出M、N的坐标，则可得到d关于t的函数解析式，结合P在线段OB上可求得t的取值范围； ②用t可分别表示出PC、PD的长，结合C、D坐标可求得CD的长，分PD=PC、PD=CD和PC=CD三种情况可分别得到关于t的方程，可求得t的值． 【解析】（1）解：∵B(0，4)， ∴OB=4， ∵四边形ABCD为菱形，且边长为5， ∴AB=AD=BC=CD=5， 在Rt△AOB中，由勾股定理可得OA=3， ∴A(3，0)， 设AB所在直线解析式为y=kx+b， ∴，解得 ∴AB所在直线的解析式为y=x+4； （2）解：①由题意可知C(−5，4)， ∵直线l经过点C且与直线y=x平行， ∴可设直线l解析式为y=x+m， ∴4=−5+m，解得m=9， ∴直线l解析式为y=x+9， ∵过点P作平行于x轴的直线分别交AB于M、交直线l于N，且P(0，t)， ∴M、N点的纵坐标为t， 在y=x+4中，令y=t，可解得x=3−t， 在y=x+9中，令y=t可得x=t−9， ∴d=3−t −(t−9)=12−t， ∵点P在线段OB上（点P不与O、B重合）， ∴0<t<4； ②∵A(3，0)，AD=5， ∴D(−2，0)，且C(−5，4)，P(0，t)， ∴PC2=52+(t−4)2=t2−8t+41，PD2=22+t2=t2+4，CD2=(−5+2)2+42=25， ∵△PCD为等腰三角形， ∴有PC=PD、PC=CD和PD=CD三种情况， 当PC=PD时，则有t2−8t+41=t2+4，解得t=； 当PC=CD时，则有t2−8t+41=25，解得t=4； 当PD=CD时，则t2+4=25，解得t=√或t=−（舍去）； 综上可知当△PCD是等腰三角形时，t的值为或4或． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及菱形的性质、勾股定理、待定系数法、函数图象的交点、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得A点坐标是解题的关键，在（2）①中用t表示出M、N的横坐标是解题的关键，在（2）②中利用t分别表示出PD、PC和CD的长是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 6．如图，在矩形中，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在边上，点的坐标为，，点是射线上一个动点，连接，． (1)求点的坐标； (2)如果点，之间的距离为，的面积为，求与之间的函数关系式，并写出函数定义域； (3)在点运动过程中，是否有可能为等腰三角形？若有可能，求出点的坐标；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)有可能为等腰三角形，点的坐标为或或或． 【分析】（）过点作于，利用勾股定理求出即可求解； （）分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，利用割补法解答即可求解； （）分点为顶点、点为顶点、点为顶点，分别画出图形，利用勾股定理解答即可求解． 【解析】（1）解：过点作于，则， ∵的坐标为，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵，， ∴，， 当点在线段上时， ； 当点在线段的延长线上时，如图，过点作轴于，则四边形是矩形，，， ； 综上，； （3）解：有可能为等腰三角形． ∵，，， ∴， 当点为顶点时，如图，， ∴， ∴或； 当点为顶点时，如图，， ∴    ， ∴， ∴； 当点为顶点时，如图，， 设，则， ∵， ∴， 即， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，勾股定理，求一次函数，等腰三角形的定义，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 题型4：特殊平行四边形中的直角三角形问题 7．以菱形的对角线交点O为坐标原点，所在的直线为x轴，已知，，，P为折线上一动点，作轴于点E，设点P的纵坐标为a． (1)求边所在直线的解析式； (2)设，求y关于a的函数关系式； (3)当为直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为（，）， 【分析】（1）先确定出，再利用菱形的性质得出，最后用待定系数法即可确定出直线解析式； （2）分两种情况，先表示出点P的坐标，利用两点间的距离公式即可得出函数关系式； （3）分两种情况，利用勾股定理的逆定理建立方程即可求出点P的坐标． 【解析】（1）解：∵，∴， ∵四边形是菱形，∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）由（1）知，， ∴直线的解析式为， 由（1）知，直线的解析式为， 当点P在边上时，设， ∵， ∴ 即， 当点P在边上时， ∵点P的纵坐标为a， ∴， ∵， ∴， 即； 综上所述： ； （3）①当点P在边上时，即：，由（2）知，， ∵， ∴，，, ∵是直角三角形，易知，最大， ∴， ∴， ∴（舍）； ②当点P在边上时，即：时，由（2）知，， ∵， ∴，，， ∵是直角三角形，分两种情况讨论： Ⅰ、当时， ∴， ∴， ∴， ∴； Ⅱ、当时，， ∴（舍）或，∴P（，）， 综上所述：当为直角三角形时，点P的坐标为（，），． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，勾股定理逆定理，两点间的距离公式，待定系数法，解（1）的关键是掌握待定系数法，解（2）的关键是分类讨论的思想，解（3）的关键是分两种情况，利用勾股定理逆定理建立方程求解，是一道中等难度的题目． 8．已知长方形，为坐标原点，的坐标为，点，分别在坐标轴上，是线段上的动点，设 (1)已知点在第一象限且是直线上的一点，设点横坐标为，则点纵坐标可用含的代数式表示为_________； (2)在（1）的条件下，此时若是等腰直角三角形，求点的坐标； (3)直线过点，请问在该直线上，是否存在第一象限的点使是等腰直角三角形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)点 (3)点的坐标或或 【分析】（1）过点作轴于，轴于，设点横坐标为，点在第一象限且是直线上的一点，可得点 （2）根据是等腰直角三角形，可得，可证，可得，，再证四边形为矩形，得出点，，根据点在直线上，求出即可； （3）存在点，使是等腰直角三角形，理由为：由直线过点求出直线的解析式，分三种情况考虑：当，时，根据等腰直角三角形的性质易得点坐标；当，时，由全等三角形的性质表示出点坐标为，列出关于的方程，求出的值，即可确定出点坐标；当，时，同理求出的坐标，综上，得到所有满足题意得坐标． 【解析】（1）解：设点横坐标为，点在第一象限且是直线上的一点， ，， 点 故答案为：． （2）过点D作轴于E，轴于F， 是等腰直角三角形， ，， ， 轴，轴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形为矩形，的坐标为， ，，， ， 四边形为矩形， ， ， ， 点， 点在直线上， ， ， 点； （3）直线过点， ， ， 直线， 设点， 过点作轴，交轴于，交延长线于， 要使为等腰直角三角形， 当，，为等腰直角三角形， ， 轴，， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形为矩形，，， ， 四边形为矩形，， ，， ， 解得， ， 点； 当，，为等腰直角三角形， ， 过作射线于， ， 四边形为矩形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 解得， ， 点； 如图所示，当，时，如图，作于点，作轴于点， ，， 的坐标为， ， 点坐标； 当，，为等腰直角三角形， ， 过作轴于，过作轴于， ， ， ， 四边形为矩形， ，，， ， 四边形为矩形， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 解得：， ， ， 此种情况不成立； 综合存在第一象限的点使是等腰直角三角形，点的坐标或或． 【点睛】本题考查等腰直角三角形先证，三角形全等判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，分类讨论思想，一次函数图像上点的特征，矩形的判定与性质，掌握等腰直角三角形先证，三角形全等判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，分类讨论思想，一次函数图像上点的特征，矩形的判定与性质是解题关键． 题型5：角度问题 9．如图，已知点，点，点在轴负半轴上，，点为直线上一点． (1)求直线的解析式； (2)点为平面内任一点，若以点、、、为顶点的四边形是正方形，求点的坐标； (3)当直线与直线的夹角等于的倍时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据，求出点的坐标，利用待定系数法，求出直线的解析式即可． （2）分是正方形的边、是正方形的对角线两种情况，利用正方形性质即可求解． （3）当时，，利用两点间距离可求点坐标；当时，，此时，过点作交于，过点作轴交于，由是等腰直角三角形，求出，再由是的中点，求出的另一个点坐标即可． 【解析】（1）解：，点， ， ， ， ， 点在轴负半轴上， ， 设直线的解析式是， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：①当是正方形的边时，对应的正方形为， ，，， ， ； ②当是正方形的对角线时，对应的矩形为， 、是正方形对角线， 线段和线段互相垂直平分， 点、的横坐标为， ， ， 综上所述：点的坐标为或； （3）解：设， ①当时，， ， ， ； ②当时，， 此时， 是等腰三角形， 过点作交于，过点作轴交于， ， ， 是等腰直角三角形， 是的中点， ， ， 是的中点， ； 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角的判定与性质，等腰三角形的性质，数形结合解题是关键． 题型6：最值问题 10．在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，． (1)如图1，当点恰好落在边上时，则的长为______(请直接写出答案)； (2)如图2，所在直线与、分别交于点、，且．求线段的长度． (3)如图3，设点为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的面积的最大值为 【分析】（1）在中，利用勾股定理即可解决问题； （2）由可证()可得，由可证，可得，，可得点与点重合，点，点，点三点共线，在中，勾股定理，可求的长，由三角形中位线定理可求解； （3）根据三角形的底边的长度固定，当边上的高最大时即可求解，连接，当轴于点时，则，此时面积最大，利用，求得，再根据三角形面积公式即可求解． 【解析】（1）解：∵四边形．点，)， ，，， 矩形是由矩形旋转得到， ， 在中，， ; 故答案为：． （2）如图，过点作于，过点作于，连接， ，， 四边形是矩形， ， ，，， ()， ， 又， ()， ，， 又， 点与点重合， ，， ， 点，点，点三点共线，   ， ， ， 设 在中，， ， ， ， ， ，， ； （3）解：依题意，， ，， ， 当边上的高最大时，面积最大， 如图，当轴于点时，则，此时面积最大， 连接， ， 的面积的最大值为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 11．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边落在轴的正半轴上，边落在轴的正半轴上，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着射线的方向运动，点关于的对称点为点．运动时间为秒，连接，，，． (1)如图，当时，求的度数． (2)如图，当时，求证：． (3)如图，过点作，且，连接，为的中点．连接，则当____时，有最小值，的最小值为_____． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)；； 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，推出，求出即可解决问题； （2）如图，作于，交于，设，，在和中，利用勾股定理构建方程，求出x，y的值，再利用勾股定理的逆定理得出结论； （3）如图3，在的延长线上截取，连接，，，，通过证明求解的长，进而可得的长，当点M落在线段上时，最小，最小值为（如图4中，连接），证明，可得，求出，可得，进而可得答案． 【解析】（1）解：如图，连接， 由翻折的性质可知：，， ， 是等边三角形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ∴； （2）证明：如图，作于，交于， 由翻折的性质可知：，， 设，． ， 四边形是矩形， ，，， 在中，由勾股定理得，即， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ， ，， ， ，即； （3）解：如图3，在的延长线上截取，连接，，，， ∵，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴当点M落在线段上时，最小，最小值为（如图4中，连接）， 此时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 题型7：定值问题 12．在平面直角坐标系中，、，四边形是正方形，点是轴正半轴上一动点，，交正方形外角的平分线于点．    (1)如图1，当点是的中点时，求证：； (2)点在轴正半轴上运动，点在轴上．若四边形为菱形，求直线的解析式． (3)连，点是的中点，当点在轴正半轴上运动时，点随之而运动，点到的距离是否为定值？若为定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)是定值， 【分析】（1）如图1中，取的中点，连接．只要证明即可； （2）如图2中，作交作于，则，由四边形是正方形，可证，四边形是平行四边形，当点在边上时，点在上，，推出四边形不可能是菱形，推出点在点的右侧，如图3中，利用全等三角形的性质求出，可得当坐标，致力于待定系数法即可解决问题； （3）只要证明点到的距离为定值且等于平行线之间的距离即可． 【解析】（1）证明：如图1中，取的中点，连接．   为正方形的外角平分线， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图2中，作交作于，由四边形是正方形，可证，    ∴， 由（1）可知， ∴， ∴四边形是平行四边形，当点在边上时，点在上，， ∴四边形不可能是菱形， ∴点在点的右侧， 如图3中，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有， 解得， ∴直线的解析式为． （3）解：如图4或5，连接．      ∵， ∴， ∵是中点， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵垂直平分， ∴点在直线上， ∵， ∴， ∴点到的距离为定值且等于平行线之间的距离， ∴点到的距离． 【点睛】本题考查一次函数综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于压轴题． 题型8：（恒）等式有关的存在性问题 13．如图，在平面直角坐标系中，点为原点，直线分别交轴，轴于点，A，点在轴的负半轴上，且，作直线． (1)求直线的解析式； (2)点在线段上（不与点A重合），过点作轴交于点，设点的横坐标为，线段的长为d，求d与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，在直线的右侧以线段为斜边作等腰直角，连接，以线段为直角边作等腰直角三角形，且，且点在直线的右侧，则点的坐标为______．（用含有的代数式表示） (4)在（2）、（3）的条件下，若，则______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先由直线的解析式求出A、C两点的坐标，根据，求出B点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式； （2）过点P作轴于M，过点Q作轴于N，令与y轴的交点为R，由点P在直线上，点P的横坐标为t，得出．根据轴，Q在直线上，得到，进而得出线段的长d与t之间的函数关系式； （3）连接交y轴于N点，令交y轴于F点，证明可得，，根据（2）即可得到解答； （4）由（2）得，，进而计算即可得到解答． 【解析】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， 则， 解得． ∴直线的解析式为． （2）解：过点P作轴于M，过点Q作轴于N，令PQ与y轴的交点为R，． ∵点P在直线上，点P的横坐标为t， ∴． ∵轴， ∴， ∴轴， ∴， ∴点Q的纵坐标为． ∵直线的解析式为， ∴当时， ， 解得， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 即d与t之间的函数关系式为． （3）如图2，连接交y轴于N点，令交y轴于F点， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴轴， 由（2）得， ∴E点的横坐标为，纵坐标为， ∴； （4）如下图，由（2）得，， ∴ ， ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题是综合题，其中涉及利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形、矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质准确作出辅助线构造三角形全等，利用数形结合与方程思想是解题的关键． 14．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），以OA为一边在第一象限内作矩形OABC，直线CD：交AB于点E，与y轴交于点D，． (1)求点B的坐标． (2)点P为线段CE上的一个动点，过点P作轴，交AB于点F，交x轴于点G，连接FD，设点p的横坐标为m，△DFP的面积为S，求S关于m的函数关系式． (3)在（2）的条件下，连接BP并延长与x轴交于点M，过点P作，与x轴交于点，当时，在直线CD上是否存在一点R，过点作轴交直线于点Q，得，若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；或 【分析】（1）先求出直线CD的解析式即可解决问题； （2）用M表示PF的长，利用三角形的面积公式计算即可； （3）由题意可知：，整理得：，解得或（舍去），则，根据，，，可证，则，，则，根据直线解析式为：，结合，可知直线的解析式为：，则，当点再点上方时，设，则，根据，则，进而可知，故，根据对称性可知，也满足条件，由此可得到结果． 【解析】（1）解：由题意知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线， 当时，， ∴， ∴． （2）解：如图所示， ∵，F（m，4）， ∴， ∴； （3）解：如图2所示： 由题意可知：， 整理得：， 解得或（舍去）， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵直线解析式为：， ∵， ∴直线的解析式为：， ∴， 当点再点上方时，设， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据对称性可知，也满足条件， ∴或． 【点睛】本题考查一次函数综合题，矩形的性质，平行线分段成比例定理，一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式是解决本题的关键． 题型9：旋转问题 15．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为． (1)如图1，当时，求点D的坐标； (2)如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标； (3)当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作轴于，由旋转的性质得出，，，由直角三角形的性质得出，，得出，即可得出点的坐标为； （2）过点作轴于，，于，则则，，由勾股定理得出AE=10，由面积法求出DH=，得出，由勾股定理得出，即可得出点的坐标为； （3）连接，作轴于，由旋转的性质得：，， 由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，，得出，即可得出答案． 【解析】（1）解：过点作轴于，如图所示： ∵点，点， ∴，， ∵以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形， ∴，，， 在Rt中，，， ∴， ∴点的坐标为； （2）过点作轴于，，于，如图所示： 则，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点的坐标为； （3）连接，作轴于，如图所示： 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题． 题型10：翻折问题 16．如图，在平面直角坐标系中，已知直线交y轴于点A，交x轴于点B，点（0，），直线DE为AB的中垂线，垂足为点E，交x轴于点C． (1)如图1，点E的坐标为______，直线DC的表达式为______； (2)如图1，若点M为直线CD上一个动点，且点M在第一象限，过点M作轴，交直线AB于点N，当四边形AMND为菱形时，求点M的坐标； (3)如图2，点P为x轴上的一个动点，连接PA，PD，将△ADP沿DP翻折得到，当时，点P的坐标为______． 【答案】(1)， (2)（，6） (3)（，0）或（，0） 【分析】（1）求出，两点的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，设直线的解析式，把点，的坐标代入，可得出结论． （2）判断出点与点重合，可得出结论． （3）分两种情形：平分，平分的邻补角，分别求解即可． 【解析】（1）∵直线交轴于点，交轴于点， ∴，， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得到  ， ∴ ， ∴直线的解析式为，        故答案为：，． （2）∵四边形是菱形， ∴ ， ∴ 点 与重合， ∴点M的横坐标为 ∵M在直线DC上 ∴； （3）如图（3）中， ∵当时，点落在直线上， 此时平分， 过点作于点，则，设， 则， 由（1）可知，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当平分的邻补角时，也满足条件， 同理可得， 综上所述，满足条件的点的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质，三角形的面积，角平分线的性质定理，熟练掌握这些性质和学会分类讨论的思想思考问题是解决本题的关键． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$