特训04 三角形的有关概念、内角和 压轴题（八大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版2024，上海专用）

特训04 三角形的有关概念、内角和 压轴题（八大题型） 目录： 题型1：与三角形的高有关的计算问题 题型2：根据三角形的中线求面积 题型3：三角形角平分线有关的计算 题型4：三角形的角平分线+三角板+旋转问题 题型5：三角形的内角和+外角问题 题型6：三角形的有关概念+内角和综合 题型7：三角形的有关概念+内角和+平行线综合 题型8：定值问题 题型1：与三角形的高有关的计算问题 1．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，则长为__________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是__________； (3)如图3，在中，（），点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 2．已知，点，分别在直线，上，点在直线，之间，平分，交直线于点. (1)如图1，若，，求的度数；. (2)如图2，在（1）问的条件下，过点作，交直线于点，交直线于点，连接，交直线于点，过点作于点；当平分时，求的度数；. (3)如图3，已知，，点到的距离与线段的长度之比是，点到的距离等于7，求线段的长度． 题型2：根据三角形的中线求面积 3．（数学经验）三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分． （经验发展）（1）面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图1，的边上有一点，请证明：； （结论应用）（2）如图2，的面积为1，，求的面积； （拓展延伸）（3）如图3，的边上有一点，为上任意一点，请利用上述结论，证明：； （迁移应用）（4）如图4，中，M是的三等分点，N是的中点，若的面积是1，请直接写出四边形的面积： ． 4．【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知． 又因为高相同，所以，于是，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图2，的面积为4平方厘米，延长到点，延长到点，延长边到点，使，，，依次连接得到，求的面积． 【拓展延伸】（2）如图3．若四边形的面积为，分别延长四边形的各边，使得，，，，依次连接得到四边形． ①若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） ②直接写出四边形的面积（用含的代数式表示）      题型3：三角形角平分线有关的计算 5．综合与探究：小新在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在中，与的平分线相交于点． （1）如图，如果，求的度数． （2）在（）的条件下，如图2，作的外角，的平分线交于点，求的度数． （3）如图，作的外角，的平分线交于点，延长线段，交于点，在中，是否存在一个内角等于另一个内角的倍，若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 题型4：三角形的角平分线+三角板+旋转问题 6．活动课上，王老师将一副三角尺按图①位置摆放在直线上，45°角的顶点与60°的顶点重合于点，斜边与直角边在直线上，然后将直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转时间为秒． (1)旋转前，_________，_________； (2)“希望”小组同学发现：当时，是的角平分线，请利用图②说明理由； (3)“飞翔”小组同学发现：若直角三角板旋转至如图③的位置时，为定值．请你判断是否正确，如果正确，请求出该度数；如果不正确，请说明理由． 7．如图，，是一块含角（）三角板与摆在同一平面内，且角的顶点与顶点O重叠，边和边重合，平分，平分．（本题中的角均大于且小于的角） (1)如图1，边和边重合，三角板的另一边在的外部时，求的度数； (2)如图2，把三角板绕点O逆时针旋转α，即，且．请根据条件完成探究： ①探究三角板旋转过程中，的大小是否改变？若有改变，请直接用含α的式子表示；若没有改变，请直接写出定值的度数； ②在三角板旋转过程中，是否存在α使得？若存在，请求出α的值，若不存在，请说明理由． 题型5：三角形的内角和+外角问题 8．在中，，点，分别是边，上的两个定点，点是平面内一动点． 初探：（1）如图1，若点在线段上运动， ①当时，则　 ； ②，，之间的数量关系为：　　． 再探：（2）若点运动到边的延长线上，交于，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展：（3）当点在的内部，且，，不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论． 9．【问题】 如图，在中，平分，平分，若，则____________； 若，则____________．    【探究】 （）如图，在中，、三等分，、三等分，若，则____________； （）如图，是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； （）如图，是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？请说明理由． 题型6：三角形的有关概念+内角和综合 10．中，是的角平分线，是的高． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，，由的计算结果，你能发现与的数量关系吗？写出这个关系式，并加以证明； (3)如图3，，延长到点，和的角平分线交于点、请直接写出的度数______． 题型7：三角形的有关概念+内角和+平行线综合 11．如图1，直角三角板的直角边所在直线与直线重合．将该三角板绕点A逆时针旋转一定角度后，如图2所示．记，过B作直线．P为射线上异于点A的一点，从点P出发且位于直线上方的射线交直线于点Q，记． (1)若，且，求的度数； (2)①若点Q在线段上（不含端点），则与，满足的数量关系为 ； ②若点Q在线段延长线上（不含端点），判断上述关系是否成立．若成立，请说明理由；若不成立，给出三者应满足的关系并说明理由； (3)若，且射线不经过点B，设直线分别交直线、于点R、S，直接写出当，满足什么条件时，有． 12．已知，点P是直线，外一点． (1)【问题初探】如图1，点E，F分别在直线，上，连接，．求证： ①； ②． 证明：过点P作，…，请将问题①，②的证明过程补充完整； (2)【结论应用】如图2，的角平分线交于点E，点F是射线上一动点且点F不在直线上，连接，作的角平分线与相交于点Q，问：与有怎样的数量关系？说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，O是上一定点，．在内部作射线，使得，与相交于点F．动点P在射线上，点Q在上，连接，，若在点P的运动过程中，始终有，求n，α的值． 13．平面内和，存在一个常数，使得，则称为的倍补角，例如，，则为的倍补角． (1)是的5倍补角，，则___________； (2)如图1，在平面内，，点在左侧，连接、． ①若是的3倍补角，求； ②在①的条件下，点在直线、之间，且在折线右侧，为的倍补角，为的倍补角，求（用表示）． 14．已知：直线与直线平行，点N、点E在直线上，点H、点M在直线上，，直线交直线于点P． (1)如图1，求证：． (2)如图2，以点N为旋转中心顺时针旋转直线交直线于点G，以点M为旋转中心顺时针旋转直线交直线于点F，，当时，求的度数． (3)在（2）的条件下，如图3，直线交直线于点R，直线交直线于点S，的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点K，若，当点N在线段上移动时，求的度数． 15．探究（一） 已知，P为直线所在平面上一点，平分，平分， （1）如图1，P为之间一点，若，则　 　°； （2）如图2，P为外一点，判断之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 探究（二） 已知P为所在平面上一点，平分，平分，D、E分别为上的点，点P关于的对称点为点． （3）如图3，若P在内部，，则　 　°； （4）如图4，若P在外部，判断之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 题型8：定值问题 16．如图，分别在边上，的角平分线交于． (1)如图1，求的度数． (2)如图2，如果的平分线与交于点，，求的度数； (3)如图3，点是边上的一个动点（不与重合），交于点，的平分线交于点，当点在上运动时，的值是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值． 17．在中，，点在线段上， (1)如图1，点在线段上，，若，，则______； (2)如图2，平分，点在线段上，交的延长线于点，与的角平分线交于点，问是否为定值，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段上，时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训04 三角形的有关概念、内角和 压轴题（八大题型） 目录： 题型1：与三角形的高有关的计算问题 题型2：根据三角形的中线求面积 题型3：三角形角平分线有关的计算 题型4：三角形的角平分线+三角板+旋转问题 题型5：三角形的内角和+外角问题 题型6：三角形的有关概念+内角和综合 题型7：三角形的有关概念+内角和+平行线综合 题型8：定值问题 题型1：与三角形的高有关的计算问题 1．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，则长为__________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是__________； (3)如图3，在中，（），点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】(1) (2)1：2 (3) 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握利用等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，从而得到，即可求解； （2）根据题意可得，从而得到，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴； （2）解：根据题意得：， ∴， ∴ （3）解：∵，，，， ∴， 又， ∴， 即． 2．已知，点，分别在直线，上，点在直线，之间，平分，交直线于点. (1)如图1，若，，求的度数；. (2)如图2，在（1）问的条件下，过点作，交直线于点，交直线于点，连接，交直线于点，过点作于点；当平分时，求的度数；. (3)如图3，已知，，点到的距离与线段的长度之比是，点到的距离等于7，求线段的长度． 【答案】(1) (2) (3)线段的长度为 【分析】（1）如图，过点做，证明，求出，进而求出，根据平行线的性质即可求出； （2）如图，先求出，再求出，过点做，即可求出； （3）过点做于点，过点做于点，设，，根据得到，求出，进而得到，，根据，即可求出线段的长度为． 【解析】（1）解：过点做， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴, ∵， ∴； （2）解：由（1）问得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点做， ∴，， ∴； （3）过点做于点，过点做于点， ∵点到的距离与线段的长度之比是， ∴， 设，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点到的距离等于7， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段的长度为． 【点睛】本题考查了利用平行线的性质进行角的计算，点到直线的距离，三角形形面积公式等知识，熟知平行线的性质定理，根据题意适当添加辅助线是解题关键，第3问利用方程思想解决问题是解题关键． 题型2：根据三角形的中线求面积 3．（数学经验）三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分． （经验发展）（1）面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图1，的边上有一点，请证明：； （结论应用）（2）如图2，的面积为1，，求的面积； （拓展延伸）（3）如图3，的边上有一点，为上任意一点，请利用上述结论，证明：； （迁移应用）（4）如图4，中，M是的三等分点，N是的中点，若的面积是1，请直接写出四边形的面积： ． 【答案】（1）见解析；（2）12；（3）见解析；（4） 【分析】本题主要考查了三角形的面积公式以及三角形的中线的性质的运用： 【经验发展】过C作于H，依据三角形面积计算公式，即可得到结论； 【结论应用】连接，依据“如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比”，即可得到与面积之间的关系； 【拓展延伸】依据如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，即可得到与面积之间的关系； 【迁移应用】连接，设,即可得出,, ,进而得到． 【解析】（经验发展）如图1，过作于，    ，， ， 即． （结论应用）如图2，连接， ∵， ， 又∵， ， ， 又的面积为1， 的面积为12． （拓展延伸）如图3， ∵是上任意一点， ∴， ∵是上任意一点， ，， ∴，即． （迁移应用）如图4，连接， ∵是的三等分点， ∴， ∵是的中点， ∴， 设，则，，， ，， ． 故答案为． 4．【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知． 又因为高相同，所以，于是，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图2，的面积为4平方厘米，延长到点，延长到点，延长边到点，使，，，依次连接得到，求的面积． 【拓展延伸】（2）如图3．若四边形的面积为，分别延长四边形的各边，使得，，，，依次连接得到四边形． ①若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） ②直接写出四边形的面积（用含的代数式表示）      【答案】（1）28；（2）①；② 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积计算、列代数式，解题的关键在于添加适当的辅助线，正确表示出三角形面积． （1）连接，，根据三角形中线有关的面积计算出、、、，再根据计算即可得出答案； （2）①连接、、、、，设的面积为、的面积为，则，结合题意求出，同理可得：，再根据计算即可得出答案；②同①的方法计算即可得出答案． 【解析】解：（1）如图，连接，， ， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，连接、、、、， ， 设的面积为、的面积为，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴； ②如图，连接、、、、， ， 设的面积为、的面积为，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴题型3：三角形角平分线有关的计算． 5．综合与探究：小新在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在中，与的平分线相交于点． （1）如图，如果，求的度数． （2）在（）的条件下，如图2，作的外角，的平分线交于点，求的度数． （3）如图，作的外角，的平分线交于点，延长线段，交于点，在中，是否存在一个内角等于另一个内角的倍，若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或 【分析】（1）根据三角形内角和的性质求得的度数，即可求解； （2）根据角平分线、三角形内角和以及平角的性质求得与的关系，即可求解； （3）根据角平分线的性质可以求得、，根据题意分四种情况（、、、）分别讨论求解． 【解析】解：（1）， ． 点是和的平分线的交点， ． （2）外角，的角平分线交于点， ∴ ， ． （3）存在，的度数为或或 如图，延长至， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴ ∵平分， ∴ ∵， ∴， 即． 又∵， ∴，即． ， 如果在中存在一个内角等于另一个内角的倍，那么分四种情况： ①， 则； ②， 则，，； ③， 则，解得 ④， 则， 解得． 综上所述，的度数是或或 【点睛】此题考查了角平分线的有关性质，涉及了三角形内角和、平角等性质，熟练掌握相关基本性质，找到角之间的关系是解题的关键． 题型4：三角形的角平分线+三角板+旋转问题 6．活动课上，王老师将一副三角尺按图①位置摆放在直线上，45°角的顶点与60°的顶点重合于点，斜边与直角边在直线上，然后将直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转时间为秒． (1)旋转前，_________，_________； (2)“希望”小组同学发现：当时，是的角平分线，请利用图②说明理由； (3)“飞翔”小组同学发现：若直角三角板旋转至如图③的位置时，为定值．请你判断是否正确，如果正确，请求出该度数；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)正确，； 【分析】本题考查了角的和差和角平分线，解题关键是正确识图，准确进行计算； （1）利用平角减去相邻的角即可； （2）求出的度数，再通过计算说明即可； （3）分别表示出，再求它们的和即可． 【解析】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转，当时， ，则, ∵, ∴是的角平分线． （3）解：正确，； 直角三角板旋转至如图③的位置时， ，， ． 7．如图，，是一块含角（）三角板与摆在同一平面内，且角的顶点与顶点O重叠，边和边重合，平分，平分．（本题中的角均大于且小于的角） (1)如图1，边和边重合，三角板的另一边在的外部时，求的度数； (2)如图2，把三角板绕点O逆时针旋转α，即，且．请根据条件完成探究： ①探究三角板旋转过程中，的大小是否改变？若有改变，请直接用含α的式子表示；若没有改变，请直接写出定值的度数； ②在三角板旋转过程中，是否存在α使得？若存在，请求出α的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①为定值，且；②存在，， 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用； （1）利用角平分线的含义与角的和差运算计算即可； （2）①分当时，如图所示：表示，，可得；当时，如图所示， 表示，，可得，当时，如图所示：表示，，结合； ②分当时，当时，当时，再分别表示，再利用解方程即可． 【解析】（1）解：∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （2）解：①为定值，且；理由如下： 当时，如图所示： ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 当时，如图所示：此时， ∵平分，平分， ∴， ， ∴， 当时，如图所示： 此时，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴； 综上：为定值，且； ②存在；当时，如图所示： 此时，， ∵平分，平分， ∴， ， ，， ∵， ∴， 解得：； 当时，如图所示：此时， ∵平分，平分， ∴， ， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 当时，如图所示： 此时，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， 解得：（不符合题意舍去）； 综上分析可知，，． 题型5：三角形的内角和+外角问题 8．在中，，点，分别是边，上的两个定点，点是平面内一动点． 初探：（1）如图1，若点在线段上运动， ①当时，则　 ； ②，，之间的数量关系为：　　． 再探：（2）若点运动到边的延长线上，交于，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展：（3）当点在的内部，且，，不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论． 【答案】（1）①130度；②；（2）；（3）或 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）①如图1中，连接．证明即可． ②利用①中结论解决问题． （2）利用三角形的外角的性质解决问题即可． （3）利用三角形的外角的性质解决问题即可． 【解析】解：（1）①如图1中，连接． ，， ， ，， ． 故答案为：； ②由①可知，， 故答案为：． （2）结论：． 理由：如图2中， ，， ． （3）结论：． 理由：如图3中，当在 内部时， ，， ， ． 当在四边形内部时，． 9．【问题】 如图，在中，平分，平分，若，则____________； 若，则____________．    【探究】 （）如图，在中，、三等分，、三等分，若，则____________； （）如图，是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； （）如图，是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？请说明理由． 【答案】问题：，；（）；（），理由见解析；（），理由见解析． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键； 问题：利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，即可求出； 探究：（）利用三角形内角和定理求出，再根据三等分线的定义求出，即可求出； （）由三角形外角性质可得，，再根据角平分线的定义可得， ，代入即可求解； （）根据角平分线的定义可得，，进而得到，再根据三角形内角和定理即可求解． 【解析】解：问题：若， 则， ∵平分，平分， ∴ ，， ∴， ∴， 故答案为：； 若， 则， ∵平分，平分， ∴ ，， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图，∵， ∴， ∵、三等分，、三等分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （）． 理由：由三角形的外角性质得，，， ∵是与外角的平分线和的交点， ∴， ， ∴ ， ∴∠A=2∠BOC （）． 理由：∵是外角与外角的平分线和的交点， ∴， ， 在中， ， ， ∵， ∴． 题型6：三角形的有关概念+内角和综合 10．中，是的角平分线，是的高． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，，由的计算结果，你能发现与的数量关系吗？写出这个关系式，并加以证明； (3)如图3，，延长到点，和的角平分线交于点、请直接写出的度数______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得，由角平分线的定义可得的度数，利用三角形的高线可求得度数，进而求解即可得出结论； （2）根据（1）的推理方法可求解、、的数量关系； （3）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，根据三角形内角和定理即可求解． 【解析】（1），，， ， 是的角平分线， ， 是的高， ， ， ， ； （2）， ， 是的角平分线， ， 是的高， ， ， ， 即； （3）∵， ∴ ∴ ∵是的角平分线， ∴ ∴ 是的角平分线， ∴ ∵是的角平分线 ∴ 中，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，角平分线等知识的综合运用，掌握以上基础知识是解本题的关键． 题型7：三角形的有关概念+内角和+平行线综合 11．如图1，直角三角板的直角边所在直线与直线重合．将该三角板绕点A逆时针旋转一定角度后，如图2所示．记，过B作直线．P为射线上异于点A的一点，从点P出发且位于直线上方的射线交直线于点Q，记． (1)若，且，求的度数； (2)①若点Q在线段上（不含端点），则与，满足的数量关系为 ； ②若点Q在线段延长线上（不含端点），判断上述关系是否成立．若成立，请说明理由；若不成立，给出三者应满足的关系并说明理由； (3)若，且射线不经过点B，设直线分别交直线、于点R、S，直接写出当，满足什么条件时，有． 【答案】(1) (2)①；②不成立，，理由见解析； (3)当时，有． 【分析】（1）由题意可得，，，利用平行线的性质，得到，进而得出，再利用平行线的性质，即可求出的度数； （2）①由（1）可知，进而得出，再利用三角形外角的性质，即可得出结论； ②过点作，由平行线的性质，得到，，进而即可得出结论； （3）依题意分四种情况分析：①当与线段交于点，与的延长线交于点时；②当与的延长线交于点，与线段交于点时；③当与线段交于点，与的延长线交于点时；④当与的延长线交于点，与的延长线交于点，与的延长线交于点时，利用三角形内角和定理和三角形外角的性质，分别表示出、、，即可得出结论． 【解析】（1）解：，，， ，， ， ， ， ， ； （2）解：①由（1）可知， ， 是的外角， ， 故答案为：； ②不成立，，理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ，， ； （3）解：依题意有四种情况： ①如图，当与线段交于点，与的延长线交于点时， ， ， ， 是的外角， ， ， ， ， ， 整理得：， 即当时，有； ②如图，当与的延长线交于点，与线段交于点时， 同①理可得：， ， ， ， 整理得：， 即当时，有； ③如图，当与线段交于点，与的延长线交于点时， 同①理可得：， 是的外角， ， ， 是的外角， ， ， ， 整理得：， 即当时，有； ④如图，当与的延长线交于点，与的延长线交于点，与的延长线交于点时， 同③理可得：， ， ， ， 又， ， 整理得：， 即当时，有； 综上可知，当时，有． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角等知识，灵活运用相关知识找出角度之间的数量关系是解题关键． 12．已知，点P是直线，外一点． (1)【问题初探】如图1，点E，F分别在直线，上，连接，．求证： ①； ②． 证明：过点P作，…，请将问题①，②的证明过程补充完整； (2)【结论应用】如图2，的角平分线交于点E，点F是射线上一动点且点F不在直线上，连接，作的角平分线与相交于点Q，问：与有怎样的数量关系？说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，O是上一定点，．在内部作射线，使得，与相交于点F．动点P在射线上，点Q在上，连接，，若在点P的运动过程中，始终有，求n，α的值． 【答案】(1)①详见解析；②详见解析 (2)，详见解析 (3)， 【分析】（1）①过点P作，可得，再利用平行线的性质可得结论；②由，再结合平角的含义可得答案； （2）由（1）可得，结合，三角形的内角和定理可得结论； （3）先证明，，结合，可得，从而可得答案． 【解析】（1）证明：①过点P作． ∵， ∴， ∴，， ∴，即． ②∵， ∴． （2）． 理由如下： ∵、分别是、的平分线， ∴，， ∴根据（1）②可知，． ∵， ∴， ∴． ∴． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵α，n为定值， ∴为变量， 要使等式恒成立，需要， ∴，． 【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质的应用，角的和差运算，整式的加减运算中与某项无关的含义，本题难度大，理清思路是解本题的关键． 13．平面内和，存在一个常数，使得，则称为的倍补角，例如，，则为的倍补角． (1)是的5倍补角，，则___________； (2)如图1，在平面内，，点在左侧，连接、． ①若是的3倍补角，求； ②在①的条件下，点在直线、之间，且在折线右侧，为的倍补角，为的倍补角，求（用表示）． 【答案】(1)； (2)①；②或． 【分析】（1）根据倍角的定义求解即可； （2）①过点作，所以，进而求出的度数； ②分类讨论，点在右侧或者左侧，画出图形，利用倍角定义建立方程从而得出关于的关系式，即可得解． 【解析】（1）解：∵是的倍补角， ， ， ， ， 故答案为：； （2）①如图，过点作直线， ∵ ∴ ， ， 由题意得，， ， 即； ②如图， ， ， 由①得， ， ， 如图，若点在右侧，则 如图，若点在左侧，连接并延长， 是的外角， ， 同理可得，， ． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、余角与补角、三角形的外角的性质，新定义等问题，综合性强，熟练掌握相关知识是解题的关键． 14．已知：直线与直线平行，点N、点E在直线上，点H、点M在直线上，，直线交直线于点P． (1)如图1，求证：． (2)如图2，以点N为旋转中心顺时针旋转直线交直线于点G，以点M为旋转中心顺时针旋转直线交直线于点F，，当时，求的度数． (3)在（2）的条件下，如图3，直线交直线于点R，直线交直线于点S，的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点K，若，当点N在线段上移动时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）如图1，过点P作，则，由，可得，则，由，可得； （2）设，，则，，，，由，可得，由，可得，即，计算求解即可； （3）由题意知，，，，，由题意知，分①当点S在下方，②当点S在上方两种情况求解作答即可． 【解析】（1）证明：如图1，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设，，则，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， ∴； （3）解：由题意知，，，，， 由题意知，分①当点S在下方，②当点S在上方两种情况求解； ①当点S在下方时，如图2， ∵， ∴，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 如图2，过点K作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点S在上方时，如图3， 同理①可得： 过点K作，则：． ∴， ∴； 综上所述，或． 15．探究（一） 已知，P为直线所在平面上一点，平分，平分， （1）如图1，P为之间一点，若，则　 　°； （2）如图2，P为外一点，判断之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 探究（二） 已知P为所在平面上一点，平分，平分，D、E分别为上的点，点P关于的对称点为点． （3）如图3，若P在内部，，则　 　°； （4）如图4，若P在外部，判断之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】（1）50；（2），理由见解析；（3）200；（4）．理由见解析 【分析】（1）连接，由平行线的性质得出，由三角形内角和定理可得出答案； （2）设，，由平行线的性质得出，，由三角形外角的性质可得出答案； （3）连接，求出，由轴对称的性质求出，，则可得出答案； （4）由三角形内角和定理证出，则可得出结论． 【解析】解：（1）连接， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：50； （2）． 理由：设，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点P关于的对称点为点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：200； （4）． 理由：设，， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 题型8：定值问题 16．如图，分别在边上，的角平分线交于． (1)如图1，求的度数． (2)如图2，如果的平分线与交于点，，求的度数； (3)如图3，点是边上的一个动点（不与重合），交于点，的平分线交于点，当点在上运动时，的值是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值． 【答案】(1)； (2) (3)不变，2 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形角平分线、外角的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是利用三角形的角平分线、外角得到角之间的关系． （1）根据，得到，再利用角平分线的性质，即可解答； （2）根据，，得到，利用外角的性质得到，再根据平分，平分，得到，，得到，利用三角形内角和为，． （3）不变，根据，，即可解答． 【解析】（1）如图1， ， ， ， ，， ， ， ， ． ； （2）如图2， ，， ， ， 平分，平分， ，， ， ． （3）不变，如图3， ，， ． 17．在中，，点在线段上， (1)如图1，点在线段上，，若，，则______； (2)如图2，平分，点在线段上，交的延长线于点，与的角平分线交于点，问是否为定值，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段上，时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)50 (2)是定值，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形外角的性质得到，再结合已知条件可证； （2）如图，延长交于K．设，求出x与y之间的关系即可解决问题； （3）如图，延长交于K，延长交于N．设，仿照（2）求出x与y之间的关系即可解决问题； 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：是定值，理由如下： 如图，延长交于K．设． ∵，平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴ ∵（三角形的外角的性质）， ∴， ∴，即， ∴是定值； （3）解：如图，延长交于K，延长交于N．设． 同（2）法可证：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角的性质，角度的和差计算等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$