黄金卷05（北京专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（北京专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本大题共8题，每题2分，共16分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．如图图案是我国的一些国产新能源车企的车标，图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线a∥b，将直角三角板的60°角的顶点放在直线b上，若∠1＝57°，则∠2的度数是（　　） A．57° B．33° C．27° D．23° 3． 已知有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．四个完全相同的球上分别标有数字，，0，5，从这4个球中任意取出一个球记为a，放回后，再取出一个记为b，则能被5整除的概率为（    ） A． B． C． D． 6．2024年12月12日是南水北调东中线一期工程全面通水十周年．截至12日，该工程已累计调水超过767亿立方米．数据767亿立方米用科学记数法表示为（   ） A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米 7．如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（    ）    A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 8．如图，在菱形中，，为对角线的交点．将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，．对八边形给出下面四个结论，正确的是（      ） A．对于任意，该八边形都是正八边形 B．存在唯一的，使得该八边形为正八边形 C．对于任意，该八边形都有外接圆 D．存在唯一的，使得该八边形有内切圆 二、填空题（本大题共8题，每题2分，共16分.） 9．如果在实数范围内有意义，则的取值范围是 . 10．分解因式： ． 11．关于x的方程＝3的解为 ． 12．已知点，都在反比例函数的图象上．若，则的值为 ． 13．随着创建“生态文明城市”活动的开展，某市灯光秀的展演吸引了无数市民及外地游客，某校数学学习小组调查了用于光影秀的10000只灯泡．为了解这10000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下： 使用寿命 灯泡只数 5 10 12 17 6 根据以上数据，估计这10000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为 只． 14．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠COA的度数是 ． 15．如图，四边形和均为正方形，连接交于点，点恰好为中点，若，则的长为 ． 16．车间里有五台车床同时出现故障． 已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 16 6 30 5 9 若每台车床停产一分钟造成经济损失 10 元，修复后即可投入生产，现只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号），最少为 元． 三、解答题（本大题共12题，第17-19题、第22-23题、第25题每题5分，第20-21题、第24题、第26题每题6分，第27-28题每题7分，共68分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．计算：． 18．解不等式组：． 19．已知，求代数式的值． 20．如图，在中，，中线，交于点，，分别是，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当，时，求的长． 21．某市对七年级综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评价得分（满分100分）由测试成绩（满分100分）和平时成绩（满分100分）两部分组成，其中测试成绩占80%，平时成绩占20%，孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？ 22．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于函数 的值，直接写出n的取值范围． 23．我市某中学八年级举行“中国梦·校园好声音”歌手大赛，其中八年级（1）、八年级（2）班派出的名选手的比赛成绩如图所示： (1)根据图，完成表格： 中位数（分） 众数（分） 平均数（分） 班 班 (2)请问，哪个班参加比赛选手的成绩比较整齐？为什么？ 24．如用，在中，平分，交于点F，交外接圆于点E．过点E作的切线交延长线于点D． (1)求证：； (2)若，，求的长． 25．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3（x≤3）的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c），记为L．将L沿直线x＝3翻折得到“部分抛物线”K，点A，C的对应点分别为点A'，C'． (1)求a，b，c的值； (2)画出“部分抛物线”K的图象，并求出它的解析式； (3)某同学把L和“部分抛物线”K看作一个整体，记为图形“W”，若直线y＝m和图形“W”只有两个交点M，N（点M在点N的左侧）． ①直接写出m的取值范围； ②若△MNB为等腰直角三角形，求m的值． 26．已知抛物线． (1)若，求抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若是这条抛物线上不同的两点，求证：． 27．已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.    (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 28．P是内一点，过点P作的任意一条弦，我们把的值称为点P关于的“幂值”． （1）的半径为5，． ①如图1，若点P恰为弦的中点，则点P关于的“幂值”为_____； ②判断当弦的位置改变时，点P关于的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P关于的“幂值”的取值范围． （2）若的半径为r，，请参考（1）的思路，用含r、d的式子表示点P关于的“幂值”或“幂值”的取值范围为_____； （3）在平面直角坐标系中，的半径为4，若在直线上存在点P，使得点P关于的“幂值”为13，请写出b的取值范围． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（北京专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本大题共8题，每题2分，共16分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．如图图案是我国的一些国产新能源车企的车标，图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 2．如图，直线a∥b，将直角三角板的60°角的顶点放在直线b上，若∠1＝57°，则∠2的度数是（　　） A．57° B．33° C．27° D．23° 【答案】C 【分析】由平行线的性质可得∠3＝∠1＝57°，∠A＝30°，则利用三角形的外角性质可求得∠4＝27°，再利用对顶角相等即可求∠2的度数． 【详解】解：如图， 由题意得∠A＝30°， ∵，∠1＝57°， ∴∠3＝∠1＝57°， ∴∠4＝∠3-∠A＝27°， ∴∠2＝∠4＝27°． 故选：C． 【点睛】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质，三角形外角的性质．利用数形结合的思想是解题关键． 3．已知有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴比较数的大小，有理数绝对值的性质，乘法和加法计算，解题的关键是掌握相关法则并应用． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， 故选：D． 4．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程有实数根即△＝b2﹣4ac≥0，从而得出关于m的不等式，解不等式即可得答案． 【详解】∵关于的一元二次方程有实数根， ∴△＝b2﹣4ac≥0，即[-(2m-1)]2-4m2≥0， 解得：m≤， 【点睛】本题主要考查根的判别式，对于一元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0)，判别式△=b2﹣4ac，当△>0时，方程有两个不相等得实数根；当△=0时，方程有两个相等得实数根；当△<0时，方程没有实数根；熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键． 5．四个完全相同的球上分别标有数字，，0，5，从这4个球中任意取出一个球记为a，放回后，再取出一个记为b，则能被5整除的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：列表如下： 0 5 3 2 0 0 5 5 3 2 5 10 一共有16种情况，其中点能被5整除的有6种情况， 点能被5整除的概率． 故选：A． 6．2024年12月12日是南水北调东中线一期工程全面通水十周年．截至12日，该工程已累计调水超过767亿立方米．数据767亿立方米用科学记数法表示为（   ） A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：767亿立方米立方米立方米， 故选：C． 7．如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（    ）    A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定进行判断即可． 【详解】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定， 所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解题的关键． 8．如图，在菱形中，，为对角线的交点．将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，．对八边形给出下面四个结论，正确的是（      ） A．对于任意，该八边形都是正八边形 B．存在唯一的，使得该八边形为正八边形 C．对于任意，该八边形都有外接圆 D．存在唯一的，使得该八边形有内切圆 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的性质与判定、旋转的性质等知识点，掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 如图：延长和，连接，根据菱形的性质可得，；根据旋转的性质可得点一定在对角线上，且，，再证明可得，同理可得，再说明当时，，即存在唯一的，使得该八边形为正八边形，据此即可解答． 【详解】解：如图：延长和，连接， ∵菱形，， ∴，， ∵菱形绕点O逆时针旋转得到菱形， ∴点一定在对角线上，且，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴该八边形各边长都相等； 当时，，即 ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴当，八边形各内角相等，故②正确． 故选：B． 二、填空题（本大题共8题，每题2分，共16分.） 9．如果在实数范围内有意义，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列不等式求解即可得出结果． 【详解】由题意得：3-4x≥0， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的意义和性质，注意掌握①概念：式子（a≥0）叫二次根式，②性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 10．分解因式： ． 【答案】（a-b）（x+1）（x-1） 【分析】根据提公因式法，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案． 【详解】解：原式=（a-b）（x2-1） =（a-b）（x+1）（x-1）． 故答案为：（a-b）（x+1）（x-1）. 【点睛】本题考查了因式分解，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底． 11．关于x的方程＝3的解为 ． 【答案】x＝2 【分析】此题考查解分式方程的方法和步骤：第一步，分式两边同乘以最简公分母（2x﹣5），将分式方程化为整式方程x﹣5＝3（2x﹣5）；第二步，解整式方程，得x＝2；第三步：将x＝2代入（2x﹣5）验根，从而得到x＝2为分式方程的解． 【详解】方程两边同乘以(2x﹣5)，得 x﹣5＝3(2x﹣5) 解得x＝2 经检验，x＝2为原方程的解． 故答案为x＝2． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出x的值后不要忘记检验. 12．已知点，都在反比例函数的图象上．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象上点的特征，掌握反比例函数图象上点的坐标之积等于是解题的关键．因为、都在反比例函数的图象上，可知，，把已知代入可求得的值． 【详解】解：点，都在反比例函数的图象上， ，， ， 且， ． 故答案为：． 13．随着创建“生态文明城市”活动的开展，某市灯光秀的展演吸引了无数市民及外地游客，某校数学学习小组调查了用于光影秀的10000只灯泡．为了解这10000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下： 使用寿命 灯泡只数 5 10 12 17 6 根据以上数据，估计这10000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为 只． 【答案】4600 【分析】本题考查了利用样本估计总体，熟练掌握利用样本估计总体的方法是解题关键．利用10000乘以使用寿命不小于2200小时的灯泡所占百分比即可得． 【详解】解：（只）， 即估计这10000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为4600只， 故答案为：4600． 14．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠COA的度数是 ． 【答案】70° 【分析】在同圆和等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求解即可． 【详解】解：由题意可得：． 故答案是70°． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理． 15．如图，四边形和均为正方形，连接交于点，点恰好为中点，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据正方形的性质可证，得到，则，由点恰好为中点，，则，设，则，由，解得，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形和均为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点恰好为中点， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：2 ． 16．车间里有五台车床同时出现故障． 已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 16 6 30 5 9 若每台车床停产一分钟造成经济损失 10 元，修复后即可投入生产，现只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号），最少为 元． 【答案】 ① 1380 【分析】本题考查了有理数的混合运算，要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的即可，找出方案是解题的关键． 【详解】解：要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，然先修复时间短的，即按5、6、9、16、30分钟顺序修复，即线路①； 此时经济损失为元， 故答案为：①；1380． 三、解答题（本大题共12题，第17-19题、第22-23题、第25题每题5分，第20-21题、第24题、第26题每题6分，第27-28题每题7分，共68分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．计算：． 【答案】 【分析】利用算术平方根的意义，绝对值的意义，特殊角的三角函数值和零指数幂的意义化简运算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，算术平方根的意义，绝对值的意义，特殊角的三角函数值和零指数幂的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键． 18．解不等式组：． 【答案】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键． 19．已知，求代数式的值． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的化简求值，涉及完全平方公式，熟练正确知识点是解题的关键． 先将变形为，再将代数式化简为，再代入求值即可． 【详解】解： ， ∵ ∴， ∴， ∴代数式的值为1． 20．如图，在中，，中线，交于点，，分别是，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由是的中位线，则且，由是的中位线，则且，推出且，由一组对边相等且平行的四边形是平行四边形即可证； （2）由（1）可得点O是的中点，点分别是的中点，结合，可得，根据，易得，则，由勾股定理求出，最后利用勾股定理可求得的长． 【详解】（1）证明：∵点D是的中点，点E是的中点， ∴是的中位线，则且， ，分别是，的中点， ∴是的中位线， 且， 且， 四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴点O是的中点， ， 点分别是的中点， ， ， ， ， ， ， 点D是的中点， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形判定与性质、勾股定理的应用、三角形中位线性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是灵活运用这些知识点． 21．某市对七年级综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评价得分（满分100分）由测试成绩（满分100分）和平时成绩（满分100分）两部分组成，其中测试成绩占80%，平时成绩占20%，孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？ 【答案】孔明同学测试成绩为90分，则平时成绩为95分． 【分析】设孔明同学测试成绩为x分，则平时成绩为（185﹣x）分，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果 【详解】解：设孔明同学测试成绩为x分，则平时成绩为（185﹣x）分， 根据题意得：80%x+20%（185﹣x）＝91， 解得：x＝90， ∴185﹣90＝95， 答：孔明同学测试成绩为90分，则平时成绩为95分． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． 22．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于函数 的值，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． （1）先求解，再利用待定系数法求解即可； （2）当时，，当过时，可得：，再结合图象分析即可． 【详解】（1）解：∵过点， ∴， 解得：， ∴， ∵直线过点，， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为； （2）当时，， 如图， 当过时， ∴，解得：， 如图， ∴当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于函数 的值，n的取值范围为； 23．我市某中学八年级举行“中国梦·校园好声音”歌手大赛，其中八年级（1）、八年级（2）班派出的名选手的比赛成绩如图所示： (1)根据图，完成表格： 中位数（分） 众数（分） 平均数（分） 班 班 (2)请问，哪个班参加比赛选手的成绩比较整齐？为什么？ 【答案】(1)表见详解 (2)八（1）班参加比赛选手的成绩比较整齐，理由见详解 【分析】（1）根据条形统计图给出的数据，把这组数据从小到大排列，找出最中间的数求出中位数，再根据众数、平均数的定义即可得出答案； （2）根据方差的公式计算可得出两个班的方差，根据平均数和方差，再进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：∵八（1）的成绩分别是，把这组数据从小到大排列为， ∴这组数据的中位数是分，众数是分，平均数分； ∵八（2）的成绩分别是，把这组数据从小到大排列为， ∴这组数据的众数是90分， 填表如下： 中位数（分） 众数（分） 平均数（分） 班 班 （2）解：八（1）班参加比赛选手的成绩比较整齐； 理由如下：八（1）的成绩的方差为； 八（2）的成绩的方差； ∵两个班的平均分相同，均为，八（1）班的方差小，， ∴八（1）班选手的成绩总体上较整齐． 【点睛】此题考查了平均数、中位数、方差．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24．如用，在中，平分，交于点F，交外接圆于点E．过点E作的切线交延长线于点D． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和垂径定理得到，利用圆的切线的性质定理得到，再利用同垂直与第三条直线的两直线互相平行的性质解答即可； （2）利用等腰三角形的性质，平行线的性质和圆周角定理得到，，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【详解】（1）解：证明：连接，如图， 平分， ， ， ． 为的切线， ． ； （2）由（1）知：， ，， ， ， ． ， ． ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，添加辅助线． 25．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3（x≤3）的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c），记为L．将L沿直线x＝3翻折得到“部分抛物线”K，点A，C的对应点分别为点A'，C'． (1)求a，b，c的值； (2)画出“部分抛物线”K的图象，并求出它的解析式； (3)某同学把L和“部分抛物线”K看作一个整体，记为图形“W”，若直线y＝m和图形“W”只有两个交点M，N（点M在点N的左侧）． ①直接写出m的取值范围； ②若△MNB为等腰直角三角形，求m的值． 【答案】(1)a、b、c的值分别为1、﹣2、﹣3 (2)y＝x2﹣10x+21（x≥3）；图见解析 (3)①m＞0或m＝﹣4；②5 【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c）代入y＝ax2+bx﹣3，列方程组并且解该方程组求出a、b、c的值即可； （2）由（1）得原抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，将其配成顶点式y＝（x﹣1）2﹣4，则翻折后得到的抛物线的顶点为（5，﹣4），再根据轴对称的性质，可求出“部分抛物线”K的解析式为y＝x2﹣10x+21（x≥3）； （3）①先求出K与L的公共点为B（3，0），再结合图象，确定m的取值范围是m＞0或m＝﹣4； ②按m＞0和m＝﹣4两种情况分类讨论，当m＞0时，先求出直线BM的解析式，再将其与L的解析式组成方程组，求出点M的纵坐标即为m的值；当m＝﹣4时，则△MNB不是等腰直角三角形． 【详解】（1）解：把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c）代入y＝ax2+bx﹣3， 得， 解得， ∴a、b、c的值分别为1、﹣2、﹣3． （2）由（1）得，L的解析式为y＝x2﹣2x﹣3（x≤3）， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）， ∴将抛物线y＝（x﹣1）2﹣4沿直线x＝3翻折得到的抛物线的顶点坐标为（5，﹣4）， ∴翻折后的抛物线为y＝（x﹣5）2﹣4，即y＝x2﹣10x+21， ∵K与L关于直线x＝3对称， ∴“部分抛物线”K的解析式为y＝x2﹣10x+21（x≥3）．   画出“部分抛物线”K的图象如图1所示： （3）由得， ∴K与L的公共点为B（3，0）， ①如图2，当直线y＝m在点B上方，由直线y＝m与图形W只有两个交点M、N， ∴m＞0； 如图3，当直线y＝m′在点B下方， 直线y＝m经过L、K的顶点M（1，﹣4）、N（5，﹣4）， 此时直线y＝m与图形W只有两个交点M、N， ∴m＝﹣4， 综上所述，m＞0或m＝﹣4． ②如图2，m＞0，△MNB为等腰直角三角形， 设BM交y轴于点D，M（x，x2﹣2x﹣3）， ∵BM＝BN，∠MBN＝90°， ∴∠BMN＝∠BNM＝45°， ∵MN∥x轴， ∴∠OBD＝∠BMN＝45°， ∵∠BOD＝90°， ∴∠OBD＝∠ODB＝45°， ∴OB＝OD＝3， ∴D（0，3）， 设直线BM的解析式为y＝kx+3，则3k+3＝0， 解得k＝﹣1， ∴直线BM的解析式为y＝﹣x+3， ∵点M在直线y＝﹣x+3上， ∴M（x，﹣x+3）， ∴x2﹣2x﹣3＝﹣x+3， 解得x1＝﹣2，x2＝3（不符合题意，舍去）， ∴M（﹣2，5）， ∴m＝5； 如图3，m＝﹣4， ∵BM2+BN2＝2BM2＝2×[（3﹣1）2+（0+4）2]＝40，MN2＝（5﹣1）2＝16， ∴BM2+BN2≠MN2， ∴此时△MNB不是等腰直角三角形， 综上所述，m的值是5． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、等腰直角三角形、待定系数法等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 26．已知抛物线． (1)若，求抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若是这条抛物线上不同的两点，求证：． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； (2)． 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数顶点式以及二次根式的性质是求解的关键． （1）将的值代入可求出二次函数解析式，再化成顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标； （2）根据题意可得为抛物线的顶点，可求出的值，再求出函数解析式，是抛物线上的点，分别用含的式子表示出和，进而求出，通过配方式，可证明结论． 【详解】（1）解： ， ∴抛物线的解析式为， ∴ ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． （2）∵抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有， ∴为抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵是抛物线上不同的两点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 27．已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.    (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，则，故，再根据等角的余角相等即可得到，故，最后等量代换出，即点是的中点； （2）在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，可证明，则，，则，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，则，而，故可等量代换出． 【详解】（1）证明：连接，    由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （2）解：， 在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 28．P是内一点，过点P作的任意一条弦，我们把的值称为点P关于的“幂值”． （1）的半径为5，． ①如图1，若点P恰为弦的中点，则点P关于的“幂值”为_____； ②判断当弦的位置改变时，点P关于的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P关于的“幂值”的取值范围． （2）若的半径为r，，请参考（1）的思路，用含r、d的式子表示点P关于的“幂值”或“幂值”的取值范围为_____； （3）在平面直角坐标系中，的半径为4，若在直线上存在点P，使得点P关于的“幂值”为13，请写出b的取值范围． 【答案】（1）①16；②为定值，证明见解析；（2）r2-d2；（3）-2≤b≤2 【分析】（1）①如图1所示：连接OA、OB、OP．由等腰三角形的三线合一的性质得到△PBO为直角三角形，然后依据勾股定理可求得PB的长，然后依据幂值的定义求解即可； ②过点P作⊙O的弦A′B′⊥OP，连接AA′、BB′．先证明△APA′∽△B′PB，依据相似三角形的性质得到PA•PB=PA′•PB′从而得出结论； （2）连接OP、过点P作AB⊥OP，交圆O与A、B两点．由等腰三角形三线合一的性质可知AP=PB，然后在Rt△APO中，依据勾股定理可知AP2=OA2-OP2，然后将d、r代入可得到问题的答案； （3）过点O作OP⊥AB．先求得OP的解析式，然后由直线AB和OP的解析式，得到点P的坐标，然后由题意圆的幂值为13，半径为4可求得d的值，然后结合两点间的距离公式可求得关于b的方程，从而可求得b的极值，故此可确定出b的取值范围． 【详解】解：（1）①如图1所示：连接、、． ，为的中点， ． 在中，由勾股定理得：， ． 的“幂值” ． 故答案为：16． ②当弦的位置改变时，点关于的“幂值”为定值． 证明：如图，为中过点的任意一条弦，且不与垂直．过点作的弦，连接、． 在中，，， △． ． ． 当弦的位置改变时，点关于的“幂值”为定值． （2）如图3所示；连接、过点作，交圆与、两点． ，， ． 点关于的“幂值” ． 在中，． 关于的“幂值” ． （3）如图4所示：过点作． ， 直线的解析式为． 将与联立得：， 解得：，． 点的坐标为，． 点关于的“幂值”为13， ． ，即． 整理得：． 的取值范围是-2≤b≤2． 故答案为：-2≤b≤2． 【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了幂值的定义、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定、一次函数的交点问题、两点间的距离公式，依据两点间的距离公式列出关于b的方程，从而求得b的极值是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（北京专用） 黄金卷 一、单选题（本大题共8题，每题2分，共16分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C D C A C C B 二、填空题（本大题共8题，每题2分，共16分.） 9． 10．（a-b）（x+1）（x-1） 11．x＝2 12． 13．4600 14．70° 15．2 16． ① 1380 三、解答题（本大题共12题，第17-19题、第22-23题、第25题每题5分，第20-21题、第24题、第26题每题6分，第27-28题每题7分，共68分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．解：原式 ． 18．解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 19．解： ， ∵ ∴， ∴， ∴代数式的值为1． 20．（1）证明：∵点D是的中点，点E是的中点， ∴是的中位线，则且， ，分别是，的中点， ∴是的中位线， 且， 且， 四边形是平行四边形．（3分） （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴点O是的中点， ， 点分别是的中点， ， ， ， ， ， ， 点D是的中点， ， ．（3分） 21．解：设孔明同学测试成绩为x分，则平时成绩为（185﹣x）分， 根据题意得：80%x+20%（185﹣x）＝91，（2分） 解得：x＝90，（2分） ∴185﹣90＝95， 答：孔明同学测试成绩为90分，则平时成绩为95分．（2分） 22．（1）解：∵过点， ∴， 解得：， ∴， ∵直线过点，， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为；（2分） （2）当时，， 如图， 当过时， ∴，解得：， 如图， ∴当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于函数 的值，n的取值范围为；（3分） 23．（1）解：∵八（1）的成绩分别是，把这组数据从小到大排列为， ∴这组数据的中位数是分，众数是分，平均数分； ∵八（2）的成绩分别是，把这组数据从小到大排列为， ∴这组数据的众数是90分， 填表如下： 中位数（分） 众数（分） 平均数（分） 班 班 （3分） （2）解：八（1）班参加比赛选手的成绩比较整齐； 理由如下：八（1）的成绩的方差为； 八（2）的成绩的方差； ∵两个班的平均分相同，均为，八（1）班的方差小，， ∴八（1）班选手的成绩总体上较整齐．（2分） 24．（1）解：证明：连接，如图， 平分， ， ， ． 为的切线， ． ；（3分） （2）由（1）知：， ，， ， ， ． ， ． ， ， ， ， ， ．（3分） 25．（1）解：把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c）代入y＝ax2+bx﹣3， 得， 解得， ∴a、b、c的值分别为1、﹣2、﹣3．（1分） （2）由（1）得，L的解析式为y＝x2﹣2x﹣3（x≤3）， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）， ∴将抛物线y＝（x﹣1）2﹣4沿直线x＝3翻折得到的抛物线的顶点坐标为（5，﹣4）， ∴翻折后的抛物线为y＝（x﹣5）2﹣4，即y＝x2﹣10x+21， ∵K与L关于直线x＝3对称， ∴“部分抛物线”K的解析式为y＝x2﹣10x+21（x≥3）．   画出“部分抛物线”K的图象如图1所示： （2分） （3）由得， ∴K与L的公共点为B（3，0）， ①如图2，当直线y＝m在点B上方，由直线y＝m与图形W只有两个交点M、N， ∴m＞0； 如图3，当直线y＝m′在点B下方， 直线y＝m经过L、K的顶点M（1，﹣4）、N（5，﹣4）， 此时直线y＝m与图形W只有两个交点M、N， ∴m＝﹣4， 综上所述，m＞0或m＝﹣4． ②如图2，m＞0，△MNB为等腰直角三角形， 设BM交y轴于点D，M（x，x2﹣2x﹣3）， ∵BM＝BN，∠MBN＝90°， ∴∠BMN＝∠BNM＝45°， ∵MN∥x轴， ∴∠OBD＝∠BMN＝45°， ∵∠BOD＝90°， ∴∠OBD＝∠ODB＝45°， ∴OB＝OD＝3， ∴D（0，3）， 设直线BM的解析式为y＝kx+3，则3k+3＝0， 解得k＝﹣1， ∴直线BM的解析式为y＝﹣x+3， ∵点M在直线y＝﹣x+3上， ∴M（x，﹣x+3）， ∴x2﹣2x﹣3＝﹣x+3， 解得x1＝﹣2，x2＝3（不符合题意，舍去）， ∴M（﹣2，5）， ∴m＝5； 如图3，m＝﹣4， ∵BM2+BN2＝2BM2＝2×[（3﹣1）2+（0+4）2]＝40，MN2＝（5﹣1）2＝16， ∴BM2+BN2≠MN2， ∴此时△MNB不是等腰直角三角形， 综上所述，m的值是5．（2分） 26．（1）解： ， ∴抛物线的解析式为， ∴ ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．（3分） （2）∵抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有， ∴为抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵是抛物线上不同的两点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴．（3分） 27．（1）证明：连接，    由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点；（3分） （2）解：， 在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，，（2分） ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．（2分） 28．解：（1）①如图1所示：连接、、． ，为的中点， ． 在中，由勾股定理得：， ． 的“幂值” ． 故答案为：16．（2分） ②当弦的位置改变时，点关于的“幂值”为定值． 证明：如图，为中过点的任意一条弦，且不与垂直．过点作的弦，连接、． 在中，，， △． ． ． 当弦的位置改变时，点关于的“幂值”为定值．（2分） （2）如图3所示；连接、过点作，交圆与、两点． ，， ． 点关于的“幂值” ． 在中，． 关于的“幂值” ．（2分） （3）如图4所示：过点作． ， 直线的解析式为． 将与联立得：， 解得：，． 点的坐标为，． 点关于的“幂值”为13， ． ，即． 整理得：． 的取值范围是-2≤b≤2． 故答案为：-2≤b≤2．（1分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$