黄金卷03（湖南省卷专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D D C D A B B A 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11． 12．且 13． 14．2025 15．60 16.20 17.6 18. 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．解：原式 ．(6分) 20．解：原式 ，（3分） 当时，原式．（3分） 21．（1）解：120； 补全统计图如图所示： （2分） （2）解：（人）， 估计该校参加A项目的学生有520人；（2分） （3）解：画树状图如下： 一共有12种等可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“a”和“b”的有2种可能的结果， （4分） 22．（1）证明：连接． 梯形中，，， ， 和中，，，， ． ． 又，， ，， ，， ， 四边形是平行四边形；（4分） （2）证明：垂直平分， ∴，， ， ∴ 是等边三角形， ，， ∵， ∴， ， ∴ ∵ ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形（4分） 23．（1）解：若，则名学生的总费用为元， ∵， ∴， 依题意得，， 解得， 答：甲旅行社一次最多能接纳的人数为人；（3分） （2）根据题意可得，（元） 故答案为：；（3分） （3）解：当时，； 解得； 当时，， 解得； ∴每批组织人数的合理范围为．（3分） 24.（1）解：过点C作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴；（4分） （2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，如图所示， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 又∵，，， ∴， ∴（cm）， 答：点到桌面的距离约为．（5分） 25.（1）解：依题意将代入得： 解得：， ∴解析式为：；（3分） （2）解：① 令 ， 过点作交直线于点，作 于点 于点， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设点 ， 则， ∴， 将 两点的坐标代入直线中得： 解得：（舍） ；（3分） ②点，由题意得点， 设点的横坐标分别为． 设直线为，直线为，直线为， 联立直线与抛物线的解析式： 整理得： 则， 同理：联立直线与抛物线的解析式： 整理得：， 则 ， ， ， 同理：联立直线与抛物线的解析式：， 整理得：， 则， ， 设直线的解析式为：，过点 得： ，则点 过作轴，交于点， 设点 ，则点 ， ， ∴ 解得： 点在第一象限． 点的坐标为（4分） 26.解：（1）为半圆的直径， ， ，， ， ， ， 故答案为：；（4分） （2），D为边的中点， ， ， 是等边三角形， 作于，作于， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当时， ， ， 中，；（4分） （3），，， ， ，， ， （3分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养人全面发展的一个重要方面，许多体育图标在设计上采用了大胆的对称美学，下列体育图标既是轴对称图形也是中心对称图形的是（   ） A．B．C．D． 2．（本题3分）人类对宇宙的探索从未停止，航天梦凝聚了人类对未知的好奇，也充分体现了人类的科技水平．人类正朝着星辰而奋斗．而要实现飞天梦，少不了人类对天体力学的研究，艾萨克•牛顿是人类历史上最伟大的数学家，物理学家之一．在天体力学方面，他对万有引力进行了阐述．他推导得出万有引力的计算公式为：．其中，引力常量G由另一位科学家卡文迪许通过实验测量得出： ，则引力常量G可用科学记数法表示为：（   ）． A． B． C． D． 3．（本题3分）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）下列说法正确的是（   ） A．一组数据2，3，3，4，5，6的众数和中位数都是3 B．“打开电视机，正在播放足球赛”是必然事件 C．了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用普查（全面调查） D．甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定 5．（本题3分）把一块含有角的三角尺与两条长边平行的直尺按如图所示方式放置（直角顶点在直尺的一条边上）．若，则（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）下列命题中，是真命题的是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．面积相等的三角形全等 C．如果，那么 D．三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角 7．（本题3分）如图，折叠矩形纸片，使得顶点，重合，点落在处，然后还原，得到折痕．已知：，，则折痕的长为（　　） A． B． C． D． 8．（本题3分）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 9．（本题3分）对于实数a，b，定义运算“★”：，已知关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图所示，，，作折线关于点的中心对称图形，再作出新的折线关于与x轴的下一个交点的中心对称图形……以此类推，得到一个大的折线，现有一动点P从原点O出发，沿着折线以每秒1个单位的速度移动，设运动时间为t．当时，点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（本题3分）分解因式： ． 12．（本题3分）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 13．（本题3分）2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是 ． 14．（本题3分）若a，b是一元二次方程的两根，则的值为 ． 15．（本题3分）某市举行了一次无人机表演大赛，参赛者勇勇让自己的微型无人机上升到一定高度时，开始按照如图所示的程序框图在空中完成表演，从开始表演到结束表演，勇勇的无人机飞行的总路程是 米． 16．（本题3分）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，过点D，E作直线，交于点O，交于点P．，，则 17．（本题3分）如图，在中，，，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ． 18．（本题3分）如图，在中，，点为上一动点，且，连接，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题6分）计算：． 20．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 21．（本题8分）党的二十大报告再次将劳动教育同“德育、智育、体育、美育”放在同等重要的战略地位，明确了全面加强新时代大中小学劳动教育的重要性．为落实劳动教育，阳光学校在寒假期间组织学生进行“为家献爱心”活动．活动设置了四个爱心项目：A：为家人做早饭，B：洗碗，C：打扫，D：洗衣服．要求每个学生只选择参加一项，并且要坚持整个寒假，为了了解全校参加各项目的学生人数，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据所给信息，解答下列问题： (1)本次接受抽样调查的总人数是 人，并补全条形统计图； (2)该校参加活动的学生共2600人，请估计该校参加A项目的学生有多少人； (3)小雯同学在整个寒假中每天都能坚持洗碗，养成了很好的劳动习惯，妈妈奖励带她去看两场电影．小雯听说春节期间新上映的四部电影《热辣滚烫》、《飞驰人生2》、《第二十条》、《熊出没之逆转时空》（依次记为a，b，c，d）都深受大家喜爱，很难做出决定，于是将写有这四个编号的卡片（除序号和内容外，其余完全相同）背面朝上放置，洗匀放好，从中随机抽取两张卡片．请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“a”和“b”的概率P． 22．（本题8分）如图，在梯形中，，，过点作，垂足为，并延长至，使，联结、、． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)联结，如果，，求证：四边形是矩形． 23．（本题9分）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴河南博物院参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待 m 人（即额定数量），超过 额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费300元，再额外收取每人150元； 乙旅行社收费标准：每人收取180元．该中学第一批组织了35名学生参加，总费用为5700元． (1)求甲旅行社一次最多能接待的人数； (2)若该中学第二批组织了42人参加，则总费用为 元 ； (3)该中学为节约开支，要控制人均费用不超过165元，试求每批组织人数x 的合理范围． 24．（本题9分）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图如图2所示（台灯底座高度忽略不计），其中灯柱，灯臂，灯罩，，，分别可以绕点上下调节一定的角度．经使用发现：当，且时，台灯光线最佳． (1)求台灯光线最佳时的度数； (2)求台灯光线最佳时点到桌面的距离．（精确到，参考数值：，，） 25．（本题10分）已知抛物线(，且a为常数)，与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)直线（，且为常数）与轴交于点（异于点），与抛物线交于点，，其中点在第一象限． ①如图1，若时，，求的值； ②如图2，若点关于点的中心对称点为点，直线交抛物线于另一点，过点作交轴于点，连接，若，求点的坐标． 26．（本题10分）【问题提出】 （1）如图①，为半圆的直径，为圆心，，为半圆上的两点，若，，则_____． 【问题探究】 （2）如图②，中，，，D为边的中点，边上有一点，连接，当时，作交边于点，垂足为，连接，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图③，有一个四边形花园，，，，根据设计要求，，，在边上有一点，连接交于点，作交边于点，垂足为E，连接交于点，园丁师傅想在区域种植一种红色花卉，在四边形花园内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植总费用至少需要多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养人全面发展的一个重要方面，许多体育图标在设计上采用了大胆的对称美学，下列体育图标既是轴对称图形也是中心对称图形的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； 故选：C． 2．（本题3分）人类对宇宙的探索从未停止，航天梦凝聚了人类对未知的好奇，也充分体现了人类的科技水平．人类正朝着星辰而奋斗．而要实现飞天梦，少不了人类对天体力学的研究，艾萨克•牛顿是人类历史上最伟大的数学家，物理学家之一．在天体力学方面，他对万有引力进行了阐述．他推导得出万有引力的计算公式为：．其中，引力常量G由另一位科学家卡文迪许通过实验测量得出： ，则引力常量G可用科学记数法表示为：（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：； 故选B． 3．（本题3分）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，一定要记准法则才能做题．根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并；故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项正确． 故选：D． 4．（本题3分）下列说法正确的是（   ） A．一组数据2，3，3，4，5，6的众数和中位数都是3 B．“打开电视机，正在播放足球赛”是必然事件 C．了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用普查（全面调查） D．甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定 【答案】D 【分析】本题主要考查了众数、中位数的定义、随机事件的概念、调查方式的选择、方差的意义等知识点，掌握它们的概念和特点是解题的关键． 利用众数、中位数的定义、随机事件的概念、调查方式的选择、方差的意义逐项判定即可． 【详解】解：A．一组数据2，3，3，4，5，6的众数是3，中位数是，故该选项错误，不符合题意； B．“打开电视机，正在播放足球赛”是随机事件，故该选项错误，不符合题意； C．了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用抽样调查，故该选项错误，不符合题意； D．由，所以乙组数据比甲组数据稳定，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 5．（本题3分）把一块含有角的三角尺与两条长边平行的直尺按如图所示方式放置（直角顶点在直尺的一条边上）．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，掌握平行线的性质，三角形内角和定理的内容是解题的关键． 根据三角板的性质得到，由直尺得到，则，在中，由三角形内角和定理得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：C ． 6．（本题3分）下列命题中，是真命题的是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．面积相等的三角形全等 C．如果，那么 D．三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角 【答案】D 【分析】本题考查了命题与真理，平行线的性质，全等三角形的判定等知识，根据平行线的性质可判断A，根据全等三角形的性质可判断B，根据乘法法则可判断C，根据三角形外角定理可判断D，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，故选项不符合题意； B、面积相等的三角形不一定全等，原命题是假命题，故选项不符合题意； C、若，则，原命题是假命题，故选项不符合题意； D、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，原命题是真命题，故选项符合题意； 故选：D． 7．（本题3分）如图，折叠矩形纸片，使得顶点，重合，点落在处，然后还原，得到折痕．已知：，，则折痕的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 分别连接与相交于，由折叠知，，所以共线，可以证明四边形为菱形，则，作，证明四边形是矩形，所以，设，则，，然后由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，分别连接与相交于， 由折叠知， ∴， ∴共线， 由折叠知， ∴， ∵，， ∴四边形为菱形， ∴， 作，则， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则，， 在直角中，， 解得：，即， ∴， 同理， ∴， ∴， 故选：． 8．（本题3分）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】分别判断a、b、c的符号，即可判断①；根据图象与x轴交点个数，即可判断②；把代入即可判断③；根据该二次函数的最大值，即可判断④；根据该函数的开口方向判断其增减性，即可判断⑤． 【详解】解：①由图可知：∵图象开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与y轴相交于正半轴， ∴， ∴，故①不正确； ②∵函数图象与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ③∵该函数图象经过点，对称轴为直线， ∴该函数与x轴另一个交点坐标为， ∴当时，，故③正确； ④∵对称轴为直线，函数开口向下， ∴当时，y有最大值， 把代入得：， 把代入得：， ∵， ∴，则，故④正确； ⑤∵函数开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵对称轴为直线，， ∴，故⑤不正确， 综上：正确的有②③④． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象和系数的关系． 9．（本题3分）对于实数a，b，定义运算“★”：，已知关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．先求得，根据题意得出关于x的一元二次方程，然后根据根的判别式得出，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， ∵关于x的方程恰好有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故选：B． 10．（本题3分）如图所示，，，作折线关于点的中心对称图形，再作出新的折线关于与x轴的下一个交点的中心对称图形……以此类推，得到一个大的折线，现有一动点P从原点O出发，沿着折线以每秒1个单位的速度移动，设运动时间为t．当时，点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，，，进而可得点从运动到的路程，把点从运动到作为一个循环，由于，因而把点向右平移个单位，可得时点的坐标，由与关于点中心对称可得，再利用坐标与图形变化——平移即可求出当时点的坐标． 【详解】解：由题意得： ， ， 点从运动到的路程 ， 把点从运动到作为一个循环， ， 把点向右平移个单位，可得时点的坐标， 与关于点中心对称， ， ，， 当时，点的坐标为， 故选：． 【点睛】本题主要考查了点坐标规律探索，坐标与图形变化——平移，已知两点坐标求两点距离，中点坐标公式等知识点，由点的运动规律得出“把点向右平移个单位，可得时点的坐标”是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（本题3分）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．（本题3分）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题关键是掌握函数自变量的范围一般从三个方面考虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数．根据二次根式和分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：， ，， 且， 故答案为：且． 13．（本题3分）2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，根据题意，准确画出树状图或列出表格得到所有等可能结果是解题的关键．分别记“巳”、“巳”、“如”、“意”为A，B，C，D，利用树状图的方法可得所有等可能结果；再找恰好组成“如意”字样的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】解：分别记“巳”、“巳”、“如”、“意”为A，B，C，D， 画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好组成“如意”字样的结果数有2种结果， 所以抽取的两张卡片上的文字恰好组成“如意”字样的概率为：， 故答案为：． 14．（本题3分）若a，b是一元二次方程的两根，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了根与系数的关系．，是一元二次方程的两根时，，，根据根与系数的公式求得，，则将其代入所求的代数式进行求值即可． 【详解】解：方程的两根为、， ∴，， ． 故答案为：2025 15．（本题3分）某市举行了一次无人机表演大赛，参赛者勇勇让自己的微型无人机上升到一定高度时，开始按照如图所示的程序框图在空中完成表演，从开始表演到结束表演，勇勇的无人机飞行的总路程是 米． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的性质与流程图，根据流程图得到路程是正多边形，根据外角得到边数，再求解即可得到答案． 【详解】解：由流程图可得，无人家的飞行轨迹是正多边形，多边形外角为， ∴边数为：， ∴无人机飞行的总路程是：（米）， 故答案为：． 16．（本题3分）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，过点D，E作直线，交于点O，交于点P．，，则 【答案】20 【分析】本题考查尺规作图-作线段垂直平分线、勾股定理，得到是垂直平分线是解答的关键．先由作图得，，由勾股定理求得即可求解． 【详解】解：由题意，得是垂直平分线， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：20． 17．（本题3分）如图，在中，，，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】此题考查了勾股定理、圆面积公式等知识．根据勾股定理求出长，两个小半圆面积和直角三角形的面积之和减去大半圆面积即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴图中阴影部分的面积为 故答案为：6 18．（本题3分）如图，在中，，点为上一动点，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查勾股定理，矩形的判定与性质，垂线段最短等知识，连接，作于点，由，证明四边形是矩形，则，由，得，则B，由勾股定理得，求得或，当时，则，不符合题意，舍去；当时，则，由，求得，由，得，则的最小值为，于是得到问题的答案，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，作于点，如图： ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 整理得， 解得：或， 当时，则， ∴不符合题意，舍去， 当时，则， ， ， ， ， ， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题6分）计算：． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂，零次幂，绝对值，特殊角的三角函数值，根据负整数指数幂，零次幂，绝对值，特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 20．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 首先利用完全平方公式和平方差分解因式，同时小括号内通分、括号、约分，将分式的除法转化为乘法，利用分式的乘除法进行化简，然后合并可得到结果，最后代入数值计算即可解答． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 21．（本题8分）党的二十大报告再次将劳动教育同“德育、智育、体育、美育”放在同等重要的战略地位，明确了全面加强新时代大中小学劳动教育的重要性．为落实劳动教育，阳光学校在寒假期间组织学生进行“为家献爱心”活动．活动设置了四个爱心项目：A：为家人做早饭，B：洗碗，C：打扫，D：洗衣服．要求每个学生只选择参加一项，并且要坚持整个寒假，为了了解全校参加各项目的学生人数，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据所给信息，解答下列问题： (1)本次接受抽样调查的总人数是 人，并补全条形统计图； (2)该校参加活动的学生共2600人，请估计该校参加A项目的学生有多少人； (3)小雯同学在整个寒假中每天都能坚持洗碗，养成了很好的劳动习惯，妈妈奖励带她去看两场电影．小雯听说春节期间新上映的四部电影《热辣滚烫》、《飞驰人生2》、《第二十条》、《熊出没之逆转时空》（依次记为a，b，c，d）都深受大家喜爱，很难做出决定，于是将写有这四个编号的卡片（除序号和内容外，其余完全相同）背面朝上放置，洗匀放好，从中随机抽取两张卡片．请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“a”和“b”的概率P． 【答案】(1)120，图见解析 (2)520人 (3) 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体的思想，列表法或树状图法求概率，熟练掌握相关知识是解题的关键； 对于（1），根据选择B项目的人数和所占百分比可得抽样的总数，再求出C项目的人数，补全统计图即可； 对于（2），用总人数乘以选择A项目的百分比可得答案； 对于（3），画出树状图得出所有可能出现的结果，再得出符合题意的结果，然后根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 所以本次抽样调查的总人数为120人． 故答案为：120； 选择C项目的人数为． 补全统计图如图所示： （2）解：（人）， 估计该校参加A项目的学生有520人； （3）解：画树状图如下： 一共有12种等可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“a”和“b”的有2种可能的结果， ． 22．（本题8分）如图，在梯形中，，，过点作，垂足为，并延长至，使，联结、、． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)联结，如果，，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定及性质，矩形的判定，平行四边形的判定定理． （1）连接，利用等腰梯形的性质得到，再根据垂直平分线的性质得到，从而得到，然后证得，利用一组对边平行且相等判定平行四边形； （2）利用等边三角形的判定和性质以及矩形的判定定理，解答即可． 【详解】（1）证明：连接． 梯形中，，， ， 和中，，，， ． ． 又，， ，， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：垂直平分， ∴，， ， ∴ 是等边三角形， ，， ∵， ∴， ， ∴ ∵ ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形 23．（本题9分）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴河南博物院参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待 m 人（即额定数量），超过 额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费300元，再额外收取每人150元； 乙旅行社收费标准：每人收取180元．该中学第一批组织了35名学生参加，总费用为5700元． (1)求甲旅行社一次最多能接待的人数； (2)若该中学第二批组织了42人参加，则总费用为 元 ； (3)该中学为节约开支，要控制人均费用不超过165元，试求每批组织人数x 的合理范围． 【答案】(1)30人 (2) (3) 【分析】（）当时，名学生的总费用为，得，依题意可得方程，解方程即可求解； （2）根据（1）得到答案列式计算即可； （3）分两种情况：和，列出不等式解答即可求解； 本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意，掌握列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：若，则名学生的总费用为元， ∵， ∴， 依题意得，， 解得， 答：甲旅行社一次最多能接纳的人数为人； （2）根据题意可得，（元） 故答案为：； （3）解：当时，； 解得； 当时，， 解得； ∴每批组织人数的合理范围为． 24．（本题9分）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图如图2所示（台灯底座高度忽略不计），其中灯柱，灯臂，灯罩，，，分别可以绕点上下调节一定的角度．经使用发现：当，且时，台灯光线最佳． (1)求台灯光线最佳时的度数； (2)求台灯光线最佳时点到桌面的距离．（精确到，参考数值：，，） 【答案】(1) (2)点到桌面的距离约为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）过点C作，由题意得，再结合，，利用平行线的性质即可解答； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，然后根据锐角三角函数，即可得到的长，再根据，即可求得的长，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：过点C作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，如图所示， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 又∵，，， ∴， ∴（cm）， 答：点到桌面的距离约为． 25．（本题10分）已知抛物线(，且a为常数)，与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)直线（，且为常数）与轴交于点（异于点），与抛物线交于点，，其中点在第一象限． ①如图1，若时，，求的值； ②如图2，若点关于点的中心对称点为点，直线交抛物线于另一点，过点作交轴于点，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）① 令,则，过点作交直线于点，作 于点 于点，为等腰直角三角形，证明，设点，则，那么，将 两点的坐标代入直线中得解得（舍），那么； ②点，由题意得点，设点的横坐标分别为．设直线为，直线为，直线为 ，联立直线与抛物线的解析式：整理得：，则，同理：联立直线与抛物线的解析式，整理得：，则，则，同理： 联立直线与抛物线的解析式，整理得： ，则，设直线的解析式为：，过点，得，则，则点过作轴，交于点，设点，则点 ，则，由建立方程求解即可． 【详解】（1）解：依题意将代入得： 解得：， ∴解析式为：； （2）解：① 令 ， 过点作交直线于点，作 于点 于点， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设点 ， 则， ∴， 将 两点的坐标代入直线中得： 解得：（舍） ； ②点，由题意得点， 设点的横坐标分别为． 设直线为，直线为，直线为， 联立直线与抛物线的解析式： 整理得： 则， 同理：联立直线与抛物线的解析式： 整理得：， 则 ， ， ， 同理：联立直线与抛物线的解析式：， 整理得：， 则， ， 设直线的解析式为：，过点 得： ，则点 过作轴，交于点， 设点 ，则点 ， ， ∴ 解得： 点在第一象限． 点的坐标为 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，与一次函数的综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，一元二次方程根与系数的关系，与面积的综合问题，难度大，综合性强． 26．（本题10分）【问题提出】 （1）如图①，为半圆的直径，为圆心，，为半圆上的两点，若，，则_____． 【问题探究】 （2）如图②，中，，，D为边的中点，边上有一点，连接，当时，作交边于点，垂足为，连接，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图③，有一个四边形花园，，，，根据设计要求，，，在边上有一点，连接交于点，作交边于点，垂足为E，连接交于点，园丁师傅想在区域种植一种红色花卉，在四边形花园内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植总费用至少需要多少元？ 【答案】（1）；（2）；（3）元 【分析】（1）由为半圆的直径得出，根据同弧所对的圆周角相等及正弦的定义即可求解； （2）由，D为边的中点，证明是等边三角形，作于，作于，证明四边形是矩形，进而可得，，得，进而可求中，； （3）作于点，求得，由证明点四点共圆，得，， 作的外接圆，圆心为，过点作交于点，连接，证明当点三点共线时，即重合时，的高最小，解直角三角形求出，设总费用为元，根据一次函数的性质可得答案． 【详解】解：（1）为半圆的直径， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2），D为边的中点， ， ， 是等边三角形， 作于，作于， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当时， ， ， 中，； （3），，， ， ，， ， ， ， 设总费用为元， 则， 当最小时，总费用最小， 作于点， ， ， ， ， 点四点共圆， ， ， ，，即， 作的外接圆，圆心为，过点作交于点，连接，，设， ，， ， ， 作于K， ， 四边形是矩形， ， ， 即， ， ， 当点三点共线时，即重合时，， ， （元）． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等数学知识，理解各个量之间的关系，解题时做到数形结合、分类讨论是正确解答此题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$