精品解析：广东省茂名市高州市第四中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

高州四中2024-2025学年度第二学期3月月考 高二数学试卷 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 三名学生分别从4门选修课中选修一门课程，不同的选法有（ ） A. 24种 B. 81种 C. 64种 D. 32种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理计算可得； 【详解】三名学生分别从4门选修课中选修一门课程，对于任意1名同学均有4种不同的选法，故不同的选法有种； 故选：C 2. 已知某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】即求函数在时的导数值. 【详解】，则. 故选：A. 3. 已知函数的导函数为，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由导数的四则运算及赋值即可求解. 【详解】解：， 则， 故选：A 4. 若函数在处可导，则等于（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】函数在处可导， . 故选：C. 5. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】分别考虑甲站在排头或排尾再结合捆绑法，求解即可. 【详解】若甲站在排头，则丙和丁相邻，则共有种方法， 若甲站在排尾，则丙和丁相邻，则共有种方法， 则共有：种方法. 故选：B. 6. 笛卡尔心形线极坐标方程是．某同学利用GeoGebra电脑软件将，两个画在同一直角坐标系中，得到了如图“心形线”．观察图形，当时，的导函数的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】易得函数表示如图“心形线”中轴下方的图象，再根据函数的单调性及切线斜率的变化情况即可得解. 【详解】因为，， 所以函数表示如图“心形线”中轴下方的图象， 由得，所以 由图可知函数在上单调递增，可得，故排除BC， 又函数在时的图象的切线斜率先减小后增大，排除D， 故函数的先减后增，故只有A选项符合题意. 故选：A. 7. 已知函数的导数，则数列的前项和是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用导数求得、的值，然后利用裂项求和法可求得数列的前项和. 【详解】，，则，得， ，， 因此，数列的前项和. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数求参数，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题 8. 若对于任意的，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，求出导数可知的单调性，由题可知在单调递增，即可求出的范围. 【详解】对于任意的，都有， 即对于任意的，都有， 令，则在上单调递增， 又，令，解得， 则时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，即实数的取值范围是. 故选：D 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 下列求导运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由基本初等函数的求导公式代入计算，即可判断. 详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误； 故选：BCD 10. 某种产品的加工需要经过5道工序，则以下说法正确的是（ ） A. 如果其中某道工序不能放在最后，那么有96种加工顺序 B. 如果其中某2道工序不能放在最前，也不能放在最后，那么有36种加工顺序 C. 如果其中某2道工序必须相邻，那么有24种加工顺序 D. 如果其中某2道工序不能相邻，那么有72种加工顺序 【答案】ABD 【解析】 【分析】先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，再将剩余的4道工序全排列即可判断A；先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，再将剩余的3道工序全排列即可判断B；先排这2道工序，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列即可判断C；先排其余的3道工序，出现4个空位，再将这2道工序插空即可判断D 【详解】先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，有种不同的排法， 再将剩余的4道工序全排列，有种不同的排法， 故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序，A正确； 先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，有种不同的排法， 再将剩余的3道工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得， 共有种加工顺序，B正确； 先排这2道工序，有种不同的排法，再将它们看做一个整体， 与剩余的工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得， 共有种加工顺序，C错误； 先排其余的3道工序，有种不同的排法，出现4个空位， 再将这2道工序插空，有种不同的排法，所以由分步乘法原理可得， 共有种加工顺序，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列的结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 当时，函数有极小值 D. 当时，函数有极小值 【答案】AC 【解析】 【分析】由的单调性即可判断AB，由函数极值的定义，结合原函数以及导函数的图像，即可判断CD. 【详解】 由有， 由图可知的分布如图所示： 当时，，所以，所以在单调递增， 所以，即，所以，故A正确； 当时，，所以，即在单调递减，B错误； 当时，，所以，由图可知当时，， 当时，， 所以在单调递减，在单调递增，所以是的极小值点， 故当时，函数有极小值，故C正确； 当时，，所以，由图可知当时，， 所以，所以，所以在单调递增， 所以当时，函数有极大值，故D错误. 故选：AC. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成______个无重复数字的四位偶数．（用数字作答） 【答案】420 【解析】 【分析】应用千位数字分奇数和偶数两类，再分别应用分步乘法原理，最后应用加法原理计算即可. 【详解】①第1类，当千位数字为奇数，即取1，3，5中的任意一个时，个位数字可取0，2，4，6中的任意一个，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字．根据分步乘法计数原理，有种法． ②第2类，当千位数字为偶数，即取2，4，6中的任意一个时，个位数字可以取除首位数字外的任意一个偶数数字，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字，根据分步乘法计数原理，有种取法． 所以根据分类加法计数原理，共可以组成个无重复数字的四位偶数． 故答案为：420. 13. 若直线是曲线和曲线的一条公切线，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得直线与曲线相切于点,再根据直线与曲线相切,即可求出的值. 【详解】由可得,令可得, 将代入,可得, 故直线与曲线相切于点, 故直线的方程为. 因为直线与曲线相切, 故联立可得, 则,解得. 故答案为: 14. 函数，经过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】设切点坐标为，求出切线方程，将点的坐标代入切线方程得，构造函数，利用导数分析函数的单调性与极值，由题意可知直线与函数的图象有三个交点，数形结合可得实数的取值范围. 【详解】设切点坐标为，，则， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 将点的坐标代入切线方程得，构造函数， 由题意可知，直线与函数的图象有三个交点， ，令，得或，列表如下： 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 如下图所示： 由图象可知，当时，直线与函数的图象有三个交点. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查由过函数图象外一点引曲线的切线条数求参数，将问题转化为两函数图象的交点个数问题是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 四､解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1）； （2）； （3）若，求值. 【答案】（1）5040 （2）5 （3）6 【解析】 【分析】（1）（2）（3）根据排列数的计算公式即可求解. 【小问1详解】 【小问2详解】 【小问3详解】 若，则 所以 解得或（舍），所以 16. 已知函数及点． （1）若点P在的图象上，求曲线在点P处的切线的方程； （2）若点P在的图象外，过点P与的图象相切的直线斜率是1，求a的取值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求导函数，再代入求出导数值即可求出切线的斜率，最后点斜式求出直线方程； （2）设出切点坐标，利用导数及斜率坐标公式列式计算得解. 【小问1详解】 由点在的图象上，得，求导得，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 小问2详解】 由点P在的图象外，得，则， 设过点的直线与的图象切于点，则切线的斜率， 由过点P与的图象相切的直线斜率是1，得，解得， 所以的值为. 17. 某企业投资生产产品，经过市场调研，生产产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，．每件产品的售价为100元． （1）写出利润关于产量的函数； （2）若生产的产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为多少万元？ 【答案】（1） （2）最大利润为1000万元 【解析】 【分析】（1）分产量不足50万件和产量不小于50万件两种情况讨论，分别求出函数解析式； （2）利用导数求出函数在时的最大值，利用基本不等式求出当时的最大值，即可得解. 【小问1详解】 由题意得，销售收入为100万元， 当产量不足50万件时，利润； 当产量不小于50万件时，利润． 所以利润； 【小问2详解】 ①当时，， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，则； ②当时，， 当且仅当，即时取等号．又， 故当时，所获利润最大，最大值为1000万元． 所以，生产该产品能获得的最大利润为1000万元． 18. 已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）求证：当时，. （3）若时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意及导数的几何意义先求出和，由点斜式可得解； （2）当时，恒成立，等价于恒成立， 构造函数，通过研究的单调性和最小值即可得证； （3）利用参变分离将原不等式转化为恒成立， 再构造函数，通过研究的单调性和最小值即可得解 【小问1详解】 由题意，，又 由导数的几何意义， ， 所以在点处的切线方程：， 即； 【小问2详解】 当时，恒成立，等价于恒成立， 设，则， 当时，，所以，即在上增函数， 所以，即恒成立，恒成立， 所以当时，，问题得证； 【小问3详解】 若时，恒成立， 等价于恒成立， 令，则， 令，得， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 故当时，原不等式恒成立. 【点睛】利用导函数解不等式常见思路： （1）恒成立问题常利用分离参数法转化为最值求解 （2）证明不等式可通过构造函数转化为函数的最值问题． 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若函数恰有两个极值点、. ①求的取值范围； ②证明： 【答案】（1）答案见解析 （2）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）①求得，由题意可知，二次方程有两个不等的正根，利用二次方程根的分布可得出关于的不等式组，解之即可； ②由韦达定理得出，，由此可得出，于是所证不等式变形为，其中，令，其中，利用导数分析函数的单调性，结合其单调性可证得结论成立. 【小问1详解】 由题意知. 当时，，所以的增区间为，无减区间； 当时，令，解得，令，解得， 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 ①由题意知， 所以， 因恰有两个极值点、，所以方程，即方程有两不等正根， 所以，解得，即的取值范围为； ②由①知，， 所以， 所以， 令，其中，所以， 因为函数、在上均为增函数， 则函数在上单调递增， 又，， 所以，使得，即， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增，则， 所以，所以，所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高州四中2024-2025学年度第二学期3月月考 高二数学试卷 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 三名学生分别从4门选修课中选修一门课程，不同的选法有（ ） A. 24种 B. 81种 C. 64种 D. 32种 2. 已知某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 3. 已知函数的导函数为，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数在处可导，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 6. 笛卡尔心形线的极坐标方程是．某同学利用GeoGebra电脑软件将，两个画在同一直角坐标系中，得到了如图“心形线”．观察图形，当时，的导函数的图象为（ ） A. B. C D. 7. 已知函数的导数，则数列的前项和是 A. B. C. D. 8. 若对于任意的，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 下列求导运算错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 某种产品的加工需要经过5道工序，则以下说法正确的是（ ） A. 如果其中某道工序不能放在最后，那么有96种加工顺序 B. 如果其中某2道工序不能放在最前，也不能放在最后，那么有36种加工顺序 C 如果其中某2道工序必须相邻，那么有24种加工顺序 D. 如果其中某2道工序不能相邻，那么有72种加工顺序 11. 已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列的结论正确的是（ ） A. B. 区间上单调递增 C 当时，函数有极小值 D. 当时，函数有极小值 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成______个无重复数字的四位偶数．（用数字作答） 13. 若直线是曲线和曲线的一条公切线，则______． 14. 函数，经过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围是______. 四､解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1）； （2）； （3）若，求值. 16. 已知函数及点． （1）若点P在的图象上，求曲线在点P处的切线的方程； （2）若点P在的图象外，过点P与的图象相切的直线斜率是1，求a的取值． 17. 某企业投资生产产品，经过市场调研，生产产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，．每件产品的售价为100元． （1）写出利润关于产量的函数； （2）若生产的产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为多少万元？ 18. 已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）求证：当时， （3）若时，恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若函数恰有两个极值点、. ①求的取值范围； ②证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$