山东省临沂市沂水县第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

沂水一中高一月考数学试题 2025.3 一、单选题（40分） 1．已知，则（  ） A． B． C． D． 2．如图，在梯形中，，，为线段的中点，且，则（     ） A． B． C． D． 3．已知平面上三点满足，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 4．已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（     ） A． B． C．或 D．或 5．如图，在中，，， ，则（   ）   A．2 B． C． D．4 6．在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，， 则的最小值（     ） A．2 B．8 C．9 D．18 8.已知当时，函数取得最小值，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题（18分） 9．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（    ） A．向量，能作为平面内所有向量的一组基底 B．若点G是的重心，则 C．若，则或 D．若向量，，则向量在向量上的投影向量为 10．在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则下列结论中正确的是（     ） A．越小越省力，越大越费力 B．的范围为 C．当时， D．当时， 11．如图是函数的部分图象，下列说法正确的是（   ） A．函数的周期是 B．点是函数图象的一个对称中心 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的 函数是偶函数. 三、填空题（15分） 12．两个力，作用于同一个质点，使该质点从点移到点，则这两个力的合力对质点所做的功为 ． 13．已知，，且，则与方向相同的单位向量的坐标为 . 14．若，，，，则 . 四、解答题（77分） 15．（13分）已知，，且与夹角为求： (1)； (2)与的夹角． 16．（15分）已知向量 (1)求； (2)若，求的值； (3)若与的夹角为锐角，求的取值范围 (4)求与的夹角的余弦值. 17．(15分)在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，. (1)若，试用，和实数表示； (2)试用，表示； (3)在边上有点，使得，求证：，，三点共线. 18．（17分）已知用“五点法”画函数在一个周期上的图象时，列表如下： 0 0 0 0 (1)求的解析式； (2)将函数图象上所有点向右平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象. ①求在上的单调增区间； ②若关于的方程在上有四个不相等的实数根，求的值. 19．（17分）已知向量，，且. (1)若，求值； (2)若，求值； (3)求与的夹角的最大值. 选做（不计入总分） 1．设向量的夹角为，定义：．若平面内不共线的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．在△中，，，是边上的点，且，为△的外心，则（     ） A．12 B．13 C．18 D．9 3．在中，设，那么动点的轨迹必通过的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 4．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7，4)，＝(3，6)，则四边形ABCD的面积是 ． 5．已知向量，，，设X是直线OP上的一点(O为坐标原点)，那么的最小值是 . 6．如图，在半径为2、圆心角为的扇形的弧上任取一点A，作扇形的内接平行四边形，使点B在上，点C在上，则该平行四边形面积的最大值为 . 7．如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题： (1)若，，求的坐标； (2)若，，且，求实数的值； (3)若，，求向量的夹角的余弦值. 沂水一中高一月考数学试题 2025.3 1． D解析. 2． D解析：． 3． A解析法一：设AC的中点为D，则，因为，即 所以，即中线BD也为高线，所以△ABC是等腰三角形． 法二：由已知,所以△ABC是等腰三角形. 4． C解析 因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或，即点坐标为或. 5．C解析 因为，所以， 即, 所以，即，因为, 所以. 6． D解析：建立如图直角坐标系，则, 得, 所以. 7． C解析 由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 8. B解析 ， 其中，，所以当，函数取得最小值为， 所以，，所以， 所以． 9.答案 BD 解析 因为向量，，则，即，则不能作为平面内的基底，故A错误；    如图所示，连接并延长交于点，点为中点，延长到点，使得，则，，所以，故B正确； 因为，若，则或或，故C错误； 因为向量，，则向量在向量上的投影向量为 ，故D正确，故选BD. 10．AC 解析 如图所示， 对于A，由于，且，则有，即. 又为定值，故越小越省力，越大越费力，A正确； 对于B，当时，，行李包不会处于平衡状态，即，B错误； 对于C，当时，有，则，C正确； 对于D，当时，有，则，D错误.故选AC 11．AB 解析 由图可得，所以，则，解得， 即函数的最小正周期是，故A正确； 又，所以，所以， 因为，所以，所以， 又，所以点是函数图象的一个对称中心，故B正确； 因为， 所以直线不是函数图象的一条对称轴，故C错误； 将函数的图象向右平移个单位得到， 显然为非奇非偶函数，故D错误.故选AB 12．－5 解析 两个力，作用于同一个质点，其合力大小为，从点移到点，其位移， 则这两个力的合力对质点所做的功为． 13． 解析 ∵，，且，∴， ∴，故，∴与方向相同的单位向量为. 14．答案 解析 由，得，而， 则，所以 . 15．解（1）由已知，， ， ∴；………………5分 （2），， ，………………10分 设与的夹角为， ，又， 所以，即与的夹角为．………………13分 16．解 （1）由已知. 所以.………………3分 （2）由已知， . 因为，所以， 即，，解得.………………7分 （3）由已知，， 则， 即，解得. 由（2）可知，当与共线时，所以要排除. 综上，的取值范围是.………………11分 （4）由已知， ，，. 所以.………………15分 17．解（1）由题意，所以， ①………………5分 （2）设，由，， ② 由①、②得，， 所以，解得，所以；………………10分 （3）由，得，所以， 所以，因为与有公共点，所以，，三点共线. ……………15分 18．解（1）由题意得，，所以. 所以.因为，所以，即， 因为，所以.所以.………………5分 （2）①将图象上所有点向右平移个单位长度后得到的图象， 再将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象， 所以， 令，得， 又，所以在上的增区间为.………………10分 ②令，因为，所以.由得，即. 因为方程在上有四个不相等的实数根， 所以方程在上有四个不相等的实数根， 所以，且，， 所以，， 所以，所以.……………17分 19.解（1）由题知，因为，所以， 所以，，又，则.………………5分 （2）因为，所以， 所以，，又，则.………………10分 （3）由，， 且， 又， 所以，………………13分 因为，所以，， 令，则，， 令，，则， 所以， 当且仅当，即，，或时，等号成立， 又，所以角的最大值为.………………17分 选做题答案 1． A 解析 设向量的夹角为，因为， 所以，由，所以.又与的夹角为，所以， 所以或，因为向量不共线，所以，又，所以，所以. 2．B解析 由于，则，取的中点为，连接， 由于为△的外心，则， ∴， 同理可得，， ∴. 3．C 解析 设的中点是， ， 即，所以， 所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心，故选C. 4．30解析 ，又因为 所以四边形ABCD为矩形，所以 所以. 5．－8解析 直线方程为，设点坐标为，则， 所以， 当时，的最小值为． 6． 解析 过点分别作分别垂直于点，    则，，又， 所以，所以， 所以平行四边形的面积和长方形的面积相等， 设，， 则，，， 所以， 所以四边形的面积， 所以 ，因为，所以，故当即时，面积取得最大值为. 7．解（1）若，，则， 则，故的坐标为. （2）若，，且，则，， 由已知得，. 所以 ，解得. （3）若，，则， ，所以， 又， 向量，的夹角的余弦值为. 试卷第12页，共13页 试卷第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$