精品解析：新疆维吾尔自治区省直辖县级行政单位新疆石河子八中集团2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年第一学期期末知识竞赛九年级数学试卷 考试说明： 1．本卷满分150分考试时间120分钟闭卷 2．认真审题，冷静分析，文明考风，诚信考试！ 一、单选题（每题4分，共36分） 1. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，每枚硬币落地后都只可能是正面朝上或者反面朝上．记“两枚硬币都正面朝上”为事件A，“两枚硬币都反面朝上”为事件B，“一枚正面朝上和一枚反面朝上”为事件C，则下列说法正确的是（ ） A. B C. ，并且 D. 事件A、B、C均为随机事件，所以、、的大小不确定 2. 如图，是⊙的切线，切点为A，的延长线交⊙于点B，连接．若，则的度数为（ ） A B. C. D. 3. 如图，中，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽为，坝高为，斜坡的坡角为，斜坡的坡角的正切值为，则坡底的长为（ ）m A. 42 B. C. 78 D. 6. 已知圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角是（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 180° 7. 如图，反比例函数在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为-1，-3，直线AB与x轴交于点C，则△AOC的面积为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 24 8. 如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，EH∥BC，则四边形面积是的面积的：( ) A. B. C. D. 9. 某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺，在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺的O刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为_____． 11. 如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______． 12. 如图，、、是⊙的切线，切点分别是P、C、D．若，，则的长是________． 13. 如图，在等腰直角三角形中，，，以点为圆心画弧与斜边相切于点，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是______ ． 14. 如图，点D为矩形的边的中点，反比例函数的图象经过点D，交边于点E．若的面积为2，则________． 15. 如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是__________． 三、解答题（共90分） 16. 计算：． 17. 一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米． （1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）； （2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度． 18. “2022卡塔尔世界杯”已正式拉开战幕，足球运动备受人们的关注，某中学对部分学生就足球运动的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅统计图． 根据图中信息回答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有 人，条形统计图中m的值为 ； （2）若该中学共有学生 1500人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对足球知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为 人； （3）若从足球运动达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人解说一场足球赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 19. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中点，DE⊥AM于点E． （1）求证：△ADE∽△MAB； （2）求DE长． 20. 实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． （1）求部分双曲线的函数表达式，并写出相应的自变量的取值范围； （2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾去上班？请说明理由． 21. 如果仔细观察和思考，生活中处处有数学，而其中的很多数学问题仅仅利用很简单的数学知识就可以解决．下面的两个图，其中一个图是某电机剖面图，图示中主要包含有电机外壳，以及电机转子中用来缠绕线圈的支撑材料（即图中的粗实线，一般是刚性支撑材料）．另一个图是该电机转子中一个基本图形的局部放大图和相关尺寸标注（注：两个图形都分别具有轴对称性）．据此，请求出完整剖面图中所有线圈支撑材料的总长度． 22. 如图，已知是的直径，点B在⊙上由点E顺时针向点C运动（点B不与点E、C重合），弦交于点F，且，过点B作弦的平行线与的延长线交于点A． （1）证明：是的切线； （2）当，时，求面积． 23. 如图1，在中，，等腰直角三角形BDE的顶点点D是边上的一点，且，过点D作边的垂线，交边于点E，将绕点B顺时针方向旋转，记旋转角为． （1）【问题发现】当时，的值为________，直线相交形成的较小角的度数为________； （2）【拓展探究】试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明； （3）【问题解决】当旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期期末知识竞赛九年级数学试卷 考试说明： 1．本卷满分150分考试时间120分钟闭卷 2．认真审题，冷静分析，文明考风，诚信考试！ 一、单选题（每题4分，共36分） 1. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，每枚硬币落地后都只可能是正面朝上或者反面朝上．记“两枚硬币都正面朝上”为事件A，“两枚硬币都反面朝上”为事件B，“一枚正面朝上和一枚反面朝上”为事件C，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. ，并且 D. 事件A、B、C均为随机事件，所以、、的大小不确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率，事件的分类，根据题意可得出，，，然后一一判断即可． 【详解】解：根据题意，同时抛掷两枚质地均匀的硬币，每枚硬币落地后都只可能是正面朝上或者反面朝上， ∴一共有四种情况，即正正、正反、反正、反反， ∴，，， ∴， ，并且， 事件A、B、C均为随机事件， 故选：C． 2. 如图，是⊙的切线，切点为A，的延长线交⊙于点B，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质等知识，结合切线的性质和可求的度数，然后根据等边对等角和三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵是⊙的切线， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 故选：A． 3. 如图，中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据，可得，然后根据余弦的求法，求出的值是多少即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义和勾股定理，要熟练掌握，解题的关键是要明确：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 4. 如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角的性质即可求解. 【详解】连接CO、DO，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即∠COD=72°， 同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半， 故∠CPD=, 故选B. 【点睛】此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用. 5. 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽为，坝高为，斜坡的坡角为，斜坡的坡角的正切值为，则坡底的长为（ ）m A. 42 B. C. 78 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，过B作于E，过C作于F，根据正切的定义分别求出，，即可求解． 【详解】解：过B作于E，过C作于F， 则四边形是矩形， ∴，， 在中，． ∴， ∵斜坡的坡角的正切值为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6. 已知圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角是（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 180° 【答案】D 【解析】 【分析】根据弧长=圆锥底面周长=6π，圆心角=弧长×180÷母线长÷π计算． 【详解】解：由题意知：弧长=圆锥底面周长=2×3π=6πcm， 扇形的圆心角=弧长×180÷母线长÷π=6π×180÷6π=180°． 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点为：弧长=圆锥底面周长及弧长与圆心角的关系．解题的关键是熟知圆锥与扇形的相关元素的对应关系． 7. 如图，反比例函数在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为-1，-3，直线AB与x轴交于点C，则△AOC的面积为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 详解】解：过点A作轴于点D， 由题意易知，点A和点B的坐标分别为和． 设直线AB的表达式为， 将A，B两点的坐标代入，得， 解得． ∴直线AB的表达式为， 令，得， ∴点C的坐标为． 根据反比例函数图象性质易知， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，EH∥BC，则四边形的面积是的面积的：( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，易证△AEH∽△AFG∽△ABC，利用相似比，可求出S△AEH、S△AFG与S△ABC的面积比，从而表示出S△AEH、S△AFG，再求出四边形EFGH的面积即可． 【详解】∵在矩形中FG∥EH，且EH∥BC， ∴FG∥EH∥BC， ∴△AEH∽△AFG∽△ABC， ∵AB被截成三等分， ∴，， ∴S△AEH：S△ABC=1：9，S△AFG：S△ABC=4：9， ∴S△AEH=S△ABC，S△AFG=S△ABC， ∴S四边形EFGH= S△AFG－S△AEH=S△ABC－S△ABC=S△ABC. 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，明确面积比等于相似比的平方是解题的关键. 9. 某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺，在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺的O刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、直径的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，连接，证明，最后利用锐角三角函数值求出的值． 【详解】解：如图，连接． 是直径， ， ，， ， ，， ， 故选：D． 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为_____． 【答案】1． 【解析】 【详解】∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，∴S△POA=×4=2，S△BOA=×2=1， ∴S△POB=S△POA﹣S△BOA =2﹣1=1． 11. 如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而. 【详解】， ，， ， ， ， ， ； 故答案为：. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键. 12. 如图，、、是⊙的切线，切点分别是P、C、D．若，，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长．本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故答案为：4． 13. 如图，在等腰直角三角形中，，，以点为圆心画弧与斜边相切于点，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用等腰直角三角形的性质求得扇形的半径，再利用图中阴影部分的面积即可解答． 【详解】解：连接，如图， 以点为圆心画弧与斜边相切于点， ， 为等腰直角三角形， ． ， ， 阴影部分的面积 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、圆的切线的性质定理、扇形、三角形的面积等知识点，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 14. 如图，点D为矩形的边的中点，反比例函数的图象经过点D，交边于点E．若的面积为2，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征及矩形的性质，熟知反比例函数的图象与性质及矩形的性质是解题的关键，设出点的坐标，由点是的中点及四边形是矩形得出点的坐标，进一步得出点的坐标，最后根据的面积为2建立方程即可解决问题． 【详解】解：令点的坐标为， 四边形是矩形，且点是的中点， 点的坐标可表示为， 将代入得，有， 点的坐标为， 又的面积为2， ， 解得 故答案为：． 15. 如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，在点N的运动过程中，点在以M为圆心、为直径的圆上运动，当取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、、C三点共线，得出的位置，进而求出的长即可． 【详解】解：由折叠的性质可知， ∴点在以M为圆心、为直径的圆上运动， ∴长度取最小值时，M、、C三点共线，即在上时， 如图所示，过点M作于交延长线于点F， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换、菱形的性质、圆外一点到圆上一点距离的最值，含30度角直角三角形的性质，勾股定理等等，找到当点在上，的长度最小，是解题的关键． 三、解答题（共90分） 16. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，求一个数的绝对值，代入特殊角的三角形函数值，先算乘法，再算加减法即可． 【详解】解：原式 17. 一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米． （1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）； （2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度． 【答案】当水位上升到水面宽为0.8米时，水面上升的高度为0.1米或0.7米 【解析】 【分析】（1）作半径，并交于，连接，则即为弓形高，根据垂径定理得，然后根据已知条件求出的长； （2）当水位上升到水面宽为0.8米时，直线与相交于，可得米，然后根据与在圆心同侧或异侧时两种情况解答． 【详解】 解：（1）作半径，垂足为点，连接，则即为弓形高， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴米，即此时的水深为0.1米． （2）当水位上升到水面宽0.8米时，直线与相交于点 同理可得，当与在圆心同侧时，水面上升的高度为0.1米；当在在圆心异侧时水面上升的高度为0.7米． ∴综上所述，当水位上升到水面宽为0.8米时，水面上升的高度为0.1米或0.7米． 【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理． 18. “2022卡塔尔世界杯”已正式拉开战幕，足球运动备受人们的关注，某中学对部分学生就足球运动的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅统计图． 根据图中信息回答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有 人，条形统计图中m的值为 ； （2）若该中学共有学生 1500人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对足球知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为 人； （3）若从足球运动达到“非常了解”程度2名男生和2名女生中随机抽取2人解说一场足球赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）50， 7 （2）990人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图： （1）由“基本了解”的人数及其所占百分比即可求出总人数，总人数减去前三种了解程度的人数即可求出m的值； （2）用总人数1500乘以达到“非常了解”和“基本了解”程度人数所占的比例即可； （3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：接受问卷调查的学生共有：人， 不了解的人数有：人， 故答案为： 50， 7； 【小问2详解】 解：根据题意得： (人)， 答：估计出该学校学生中对足球知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为990人； 【小问3详解】 解：由题意列树状图： 由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 ． 19. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中点，DE⊥AM于点E． （1）求证：△ADE∽△MAB； （2）求DE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE=∠AMB， 又∵∠DEA=∠B=90°， ∴△DAE∽△AMB. （2）由（1）知△DAE∽△AMB， ∴DE：AD=AB：AM， ∵M是边BC的中点，BC=6， ∴BM=3， 又∵AB=4，∠B=90°， ∴AM=5， ∴DE：6=4：5， ∴DE=． 20. 实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． （1）求部分双曲线的函数表达式，并写出相应的自变量的取值范围； （2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾去上班？请说明理由． 【答案】（1） （2）第二天早上能驾车去上班，见解析 【解析】 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． （1）首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解； （2）把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 直线过， ， ， 直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； 【小问2详解】 解：由得， 当时，， 从晚上到第二天早上时间间距为10小时， ， 第二天早上能驾车去上班． 21. 如果仔细观察和思考，生活中处处有数学，而其中的很多数学问题仅仅利用很简单的数学知识就可以解决．下面的两个图，其中一个图是某电机剖面图，图示中主要包含有电机外壳，以及电机转子中用来缠绕线圈的支撑材料（即图中的粗实线，一般是刚性支撑材料）．另一个图是该电机转子中一个基本图形的局部放大图和相关尺寸标注（注：两个图形都分别具有轴对称性）．据此，请求出完整剖面图中所有线圈支撑材料的总长度． 【答案】厘米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，在设，在中，根据正切的定义求出，在中，根据正切的定义求出，在中，根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：过点A作于点E 由图示数据和图形的轴对称性可知， ， 设， 在中， ，即， 可得 在中， ，即， 可得 即 在中， ，即 解得 所以，所有线圈支撑材料的总长度为：厘米． 22. 如图，已知是的直径，点B在⊙上由点E顺时针向点C运动（点B不与点E、C重合），弦交于点F，且，过点B作弦的平行线与的延长线交于点A． （1）证明：是的切线； （2）当，时，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）432 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，利用到线段两端距离相等点在线段垂直平分线上得到垂直平分，再由得到，即可证明； （2）连接，先证，进而可得，，设，求出、、长度表达式，最后由推出，，由此即可求解． 本题属于圆的综合题，难度较大，考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质，以及圆的切线、直径、圆周角等与圆相关的知识点，综合运用与圆有关的性质和相似三角形的判定定理是解题关键． 【小问1详解】 证明：如图，连接并延长，与交于点G，连接， ，， ， ，即， 又是的半径， 是的切线。 【小问2详解】 连接， 是的直径， ， ， ， 又， 设，则，，， ， ，即， 解得，，， ， 的面积． 23. 如图1，在中，，等腰直角三角形BDE的顶点点D是边上的一点，且，过点D作边的垂线，交边于点E，将绕点B顺时针方向旋转，记旋转角为． （1）【问题发现】当时，的值为________，直线相交形成的较小角的度数为________； （2）【拓展探究】试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明； （3）【问题解决】当旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出的面积． 【答案】（1），； （2）无变化 ，见详解； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据CD=BC-DB，求出CD，利用勾股定理求出BE，AB，再求出AE即可求出，根据等腰直角三角形ABC求出，即可求出AE，CE相交形成较小的度数； （2）延长AE，CD交于F，证，根据相似三角形的性质得，，利用三角形的内解得，求得的度数即可求解； （3）分情况讨论：当点D在线段AE上时，过点C作于点F，先证出 ，再在中，求出AD，在中，求出CF，最后求出的面积；当点E在线段AD上时，过点C作于点F，先求出，再求出AD ，CD，CF，最后求出的面积即可求解． 【小问1详解】 解：中， ， ，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：（1）中的两个结论不发生变化，理由如下： 如图，延长AE，CD交于F， 由旋转可得，， ， ，， ， ， ，， ， ， 即 ， ， （1）中的两个结论不发生变化． 【小问3详解】 解：分情况讨论： 如图，当点D在线段AE上时，过点C作于点F， 在中，， ， 由（2）知，，，， ， ， 在中，， ； 当点E在线段AD上时，如图，过点C作于点F， 在中，， ， ， 由（2）知， ， ， ， 由（2）知， 综上，的面积为或． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质及计算三角形的面积，利用勾股定理及相似三角形的判定和性质是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$