精品解析：江苏省淮安市金湖县2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2025年春学期3月份调研八年级数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，计24分） 1. 为了解某校2500名师生员工的新冠病毒感染情况，抽查了其中500名人员进行核酸检测．下面叙述正确的是（ ） A. 2500名人员是总体 B. 500名人员的核酸检测情况是总体的一个样本 C. 每名人员是总体的一个个体 D. 以上调查是全面调查 2. 下列问题适合全面调查的是（　　） A. 调查市场上某品牌灯泡的使用寿命 B. 了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况 C. 了解郴江河的水质情况 D. 神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查 3. 如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2019次旋转结束时，点D的坐标为（　　） A. （3，﹣10） B. （10，3） C. （﹣10，﹣3） D. （10，﹣3） 4. 将一个含角的三角板绕它直角顶点C逆时针旋转一定角度后得到，设与交于点F，连接，若，则旋转角为（ ） A. B. C. D. 5. 如图在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标是，，顶点的坐标是，，对角线、的交点为将正方形绕着原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为 ( ) A. B. C. D. 6. 如图，菱形中，， ，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 7. 在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，，，则的度数为（ ）． A. 24° B. 25° C. 26° D. 28° 8. 如图，以点A为中心，把逆时针旋转，得到（点B、C的对应点分别为点、），连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，计30分） 9. 已知点与点关于原点对称，则___________． 10. 为了解某市年中考数学学科各分数段成绩的分布情况，采用抽样调查方式从中随机抽取名考生的中考数学成绩进行统计分析，在这一问题中，样本是指______． 11. 某工厂对一批衬衣进行抽检，随机抽取大量的衬衣后，算得合格衬衣的频率为0.9．估计在这一批衬衣中，1200件衬衣中有 _____件是合格的． 12. 从名学生中随机抽查了名学生的数学成绩，按成绩共分六组，第一组至第四组的人数分别是，，，，第五组所占的百分比为，则第六组所占的百分比为 __． 13. 已知，则点关于原点的对称点在第_____象限 14. 菱形的周长是20cm，则此菱形面积的最大值是______cm2． 15. 如图，，，点在上，四边形是矩形，连接，交于点，连接交于点．下列4个判断：①；②；③；④若点是线段的中点，则为等腰直角三角形，其中，判断正确的是______．（填序号） 16. 如图，直线与轴交于点N ，与轴交于点M ，A为的中点，的顶点B在轴上，顶点C在直线上，则的面积为_____． 17. 如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为12和8时，则阴影部分的面积为____________. 18. 如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等腰，其中，，连接，则的最小值为____． 三、解答题（共9题，计96分） 19. 利用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是钝角． 20. 图1，图2分别是10×6的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个网格中画有一个平行四边形，请分别在图1，图2中各画一条线段，各图均满足以下要求： （1）线段的一个端点为平行四边形的顶点，另一个端点在平行四边形一边的格点上（每个小正方形的顶点均为格点）； （2）将平行四边形分割成两个图形，都要求其中一个是轴对称图形，图1，图2的分法不相同． 21. 为推动实施健康中国战略，树立国家健康形象．手机APP推出多款健康运动软件，如“微信运动”．王老师随机调查了我校50名教师某日“微信运动”中的步数，并进行统计整理，绘制了如下的统计图表． 步数 频数 频率 8 15 0.3 0.24 10 0.2 3 0.06 2 0.04 合计 50 C 请根据以上信息，解答下列问题： （1）_______， ， ； （2）补全频数分布直方图； （3）若某人一天的走路步数不低于16000步，将被“微信运动”评为“运动达人”．我市市区约有4000名初中教师，根据此项调查请估计市区被评为“运动达人”教师有多少名？ 22. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线段AB上．求证：DC平分∠ADE． 23. 如图，点B，F，C，E在同一直线上，． （1）求证：． （2）连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 24. 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，对角线、相交于点．在线段上任取一点 (端点除外)，连接． 点在线段的延长线上，连接，且．当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； 探究与的数量关系，并说明理由． 【迁移探究】 （2）如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变．试探究与的数量关系，并说明理由． 25. 如图，点C为线段AB外一点． （1）求作平行四边形ABCD（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）设点P，Q分别为平行四边形ABCD的边AB，CD的中点，求证：直线AC，BD，PQ相交于同一点． 26. 如图，将边长为a的正方形绕顶点O按顺时针方向旋转角，得到正方形．设边与的延长线交于点M，边与交于点N，边与的延长线交于点E，连接． （1）求证：； （2）试说明：的边上的高为定值； （3）的周长p是否发生变化？若发生变化，试说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值． 27. 如图，在中，，D、E分别为、上的点，，． （1）求的度数； （2）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期3月份调研八年级数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，计24分） 1. 为了解某校2500名师生员工的新冠病毒感染情况，抽查了其中500名人员进行核酸检测．下面叙述正确的是（ ） A. 2500名人员是总体 B. 500名人员的核酸检测情况是总体的一个样本 C. 每名人员是总体的一个个体 D. 以上调查是全面调查 【答案】B 【解析】 【分析】根据总体，个体、样本、普查、抽查的意义进行判断即可． 【详解】2500名师生员工的新冠病毒感染情况是总体，A错误； 500名人员的核酸检测情况是总体的一个样本，B正确； 每名人员新冠病毒感染情况是总体的一个个体，C错误； 以上调查是抽样调查，D错误． 故选：B． 【点睛】本题考查总体、个体、样本、以及普查和抽样调查，理解总体、个体、样本的意义是判断的关键． 2. 下列问题适合全面调查的是（　　） A. 调查市场上某品牌灯泡的使用寿命 B. 了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况 C. 了解郴江河的水质情况 D. 神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查 【答案】D 【解析】 【分析】根据全面调查的定义与适用范围对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A、B、C项数量较大，也不需要非常精确的数据，适于抽查，故不符合要求； D项关乎生命安全且需要的数据比较精确，适于全面调查，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了全面调查．解题的关键在于熟练掌握全面调查的适用条件． 3. 如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2019次旋转结束时，点D的坐标为（　　） A. （3，﹣10） B. （10，3） C. （﹣10，﹣3） D. （10，﹣3） 【答案】C 【解析】 【分析】先求出AB=6，再利用正方形的性质确定D（-3，10），由于2019=4×504+3，所以旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转3次，由此求出点D坐标即可． 【详解】∵A(﹣3，4)，B(3，4)， ∴AB=3+3=6． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=AB=6， ∴D(﹣3，10)． ∵2019=4×504+3， ∴每4次一个循环，第2019次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转3次，每次旋转，刚好旋转到如图O的位置． ∴点D的坐标为(﹣10，﹣3)． 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 4. 将一个含角的三角板绕它直角顶点C逆时针旋转一定角度后得到，设与交于点F，连接，若，则旋转角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转得：CA=CD，∠ACD=α，所以∠CAD=∠CDA，根据三角形内角和定理，，可得∠ADC=（180°-α），又因为AF=AD，所以AF=AD，而∠AFD=∠ACF+∠CAF=α+45°，所以得α+45°=（180°-α），解之即可求解． 【详解】解：由旋转得：CA=CD，∠ACD=α， ∴∠CAD=∠CDA， ∴∠ADC=（180°-α）， ∵AF=AD， ∴∠AFD=∠ADF， ∵∠AFD=∠ACF+∠CAF=α+45°， ∴α+45°=（180°-α）， 解得：α=30°， 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形外角性质，熟练掌握旋转的性质、等腰三角形的性质是解题的关键． 5. 如图在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标是，，顶点的坐标是，，对角线、的交点为将正方形绕着原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点D作轴，垂足为N，证明．求出点D的坐标为．进一步求出点M的坐标为．分析可知点M旋转一周需要旋转(次)，利用，，，可知第次旋转结束时和第次旋转结束时，点的位置在轴正半轴上，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，． 过点D作轴，垂足为N，如解图所示， 则． ∵四边形ABCD为正方形， ∴，． ∴． ∴． ∴，． ∴点的坐标为． ∵点为的中点， ∴点的坐标为． 由题意，可知正方形绕着原点逆时针旋转，每次旋转，点也绕着原点逆时针旋转，每次旋转，则点旋转一周需要旋转(次)． 又∵，， ∴第次旋转结束时和第次旋转结束时，点的位置在轴正半轴上， ∵ ∴， ∴第2023次旋转结束时，点M的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与旋转规律，正方形性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是理解第2023次旋转结束时和第7次旋转结束时，点M的位置在轴上． 6. 如图，菱形中，， ，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质．根据菱形的性质，可知，，，从而在中，，所以，再根据勾股定理求得，即得答案． 【详解】四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ． 故选C． 7. 在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，，，则的度数为（ ）． A. 24° B. 25° C. 26° D. 28° 【答案】B 【解析】 【分析】设∠BAC=x，然后结合平行四边形、等腰三角形的性质和已知条件列方程求出x即可． 【详解】解：设∠BAC=x， ∵， ∴∠EBA=∠BAC=x，∠BCE=∠CEB=2x， ∴∠EBC=180°-4x， ∴180°-4x+x=105°， ∴x=25°， 故答案为B． 【点睛】本题考查平行四边形的应用，熟练掌握平行四边形、等腰三角形的性质和方程思想方法的应用是解题关键． 8. 如图，以点A为中心，把逆时针旋转，得到（点B、C的对应点分别为点、），连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据旋转的性质得到，；根据等腰三角形的性质易得，再根据平行线的性质由得，然后利用进行计算． 【详解】∵以点A为中心，把逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质． 二、填空题（每小题3分，计30分） 9. 已知点与点关于原点对称，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得，即可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题的关键． 10. 为了解某市年中考数学学科各分数段成绩的分布情况，采用抽样调查方式从中随机抽取名考生的中考数学成绩进行统计分析，在这一问题中，样本是指______． 【答案】被抽取的名考生的中考数学成绩 【解析】 【分析】本题考查了样本，根据样本的定义“被抽取的那些个体组成一个样本”即可得；掌握样本的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，样本为被抽取的名考生的中考数学成绩， 故答案为：被抽取的名考生的中考数学成绩． 11. 某工厂对一批衬衣进行抽检，随机抽取大量的衬衣后，算得合格衬衣的频率为0.9．估计在这一批衬衣中，1200件衬衣中有 _____件是合格的． 【答案】1080 【解析】 【分析】根据频数=总数频率，即可得答案． 【详解】∵（件）， ∴1200件衬衣中有1080件是合格的． 故答案为：1080． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，理解总数、频率和频数之间的关系及熟记频数的计算公式是解题的关键． 12. 从名学生中随机抽查了名学生的数学成绩，按成绩共分六组，第一组至第四组的人数分别是，，，，第五组所占的百分比为，则第六组所占的百分比为 __． 【答案】 【解析】 【分析】根据频数总次数频率，先求出第五组的频数，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：第五组的人数为， ， 第六组的人数是， 第六组所占的百分比为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了频数与频率，熟练掌握“频率频数总次数”是解题的关键． 13. 已知，则点关于原点的对称点在第_____象限 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，判断点所在的象限；由已知求得点P关于原点的对称点的坐标，根据可判断的符号，从而可判断点所处的象限． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为； ∵， ∴，， ∴点在第四象限． 故答案为：四． 14. 菱形的周长是20cm，则此菱形面积的最大值是______cm2． 【答案】25 【解析】 【分析】根据菱形的面积计算公式求得最大值即可． 【详解】∵菱形的周长为20cm， ∴菱形的边长为5cm， 设菱形的高为hcm， 所以面积为5h， 所以当h最大时面积最大， 当邻边垂直也就是菱形变成正方形时面积最大，为52=25， 故答案为25． 【点睛】考查了菱形的性质，解题的关键是了解菱形的两种不同的面积计算方法，难度不大． 15. 如图，，，点在上，四边形是矩形，连接，交于点，连接交于点．下列4个判断：①；②；③；④若点是线段的中点，则为等腰直角三角形，其中，判断正确的是______．（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可判断①；先根据等腰三角形的性质可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，然后根据角的和差即可判断②；先证出，从而可得，再设，从而可得，由此即可判断③；先证出，从而可得，再根据等腰三角形的定义可得为等腰三角形，然后根据角的和差可得，由此即可得判断④． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， （等腰三角形的三线合一），则①正确； ， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ，则②错误； ， （等腰三角形的三线合一）， 在和中，， ， ， 设， ， ， ， ， ，则③正确； ， ， 连接， 点是线段的中点， ， 在和中，， ， ， 为等腰三角形， ， ，即， 为等腰直角三角形，则④正确； 综上，判断正确的是①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是④，正确找出两个全等三角形是解题关键． 16. 如图，直线与轴交于点N ，与轴交于点M ，A为的中点，的顶点B在轴上，顶点C在直线上，则的面积为_____． 【答案】4.5 【解析】 【分析】本题考查了一次函数以及平行四边形的性质，根据题意得出图中各点的坐标是解本题的关键．根据一次函数解析式求出点M的坐标，得出A点坐标，再求出点C的坐标，然后运用平行四边形面积计算公式计算即可． 【详解】解：当时，， ∴点M的坐标为，． ∵点A为的中点， ∴． ∵四边形为平行四边形，点B在x轴上， ∴轴． 当时，， 解得：， ∴点C的坐标为， ∴， ∴的面积． 故答案为：． 17. 如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为12和8时，则阴影部分的面积为____________. 【答案】24； 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，即可得出结果． 【详解】 解：如图所示：∵菱形ABCD的两条对角线的长分别为12和8， ∴菱形ABCD的面积 ， ∵O是菱形两条对角线的交点，菱形ABCD是中心对称图形， ∴△OEG≌△OFH，四边形OMAH≌四边形ONCG，四边形OEDM≌四边形OFBN， ∴阴影部分的面积 ． 故答案为24． 【点睛】本题考查了中心对称、菱形的性质；熟记菱形的性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键． 18. 如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等腰，其中，，连接，则的最小值为____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知点为主动点，为从动点，则可知点的运动轨迹，然后作垂线段即可求解． 【详解】将绕点顺时针旋转，使与重合， ∴， ∴，，点在垂直于所在直线上， 过作于点， ∴当与重合时，最小，如图， 过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴ 由题意得：， ∴， ∴， 则的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了线段极值问题，垂线段最短，解题的关键是分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点的运动轨迹． 三、解答题（共9题，计96分） 19. 利用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是钝角． 【答案】 证明：假设三角形的三个内角中有两个钝角，不妨设∠A＞90°，∠B＞90°， ∴，这与三角形内角和为相矛盾， ∴，∠B＞90°不成立， ∴一个三角形中不能有两个角是钝角． 【解析】 【分析】假设三角形的三个内角中有两个钝角，不妨设，∠B＞90°，与三角形内角和为相矛盾，由此即可证明． 【详解】略． 【点睛】本题主要考查了反证法，解题的关键在于能够熟练掌握反证法的步骤． 20. 图1，图2分别是10×6的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个网格中画有一个平行四边形，请分别在图1，图2中各画一条线段，各图均满足以下要求： （1）线段的一个端点为平行四边形的顶点，另一个端点在平行四边形一边的格点上（每个小正方形的顶点均为格点）； （2）将平行四边形分割成两个图形，都要求其中一个是轴对称图形，图1，图2的分法不相同． 【答案】 （1）如图1，线段AC即为所求 （2）如图2，线段EF即为所求 【解析】 【分析】根据线段的定义、轴对称图形的定义、平行四边形的性质分别画图即可． 【详解】（1）由网格的特点可知， ∴是等腰三角形，是轴对称图形 则线段AC满足要求； （2）由网格的特点可知， ∴是等腰三角形，是轴对称图形 则线段EF满足要求． 【点睛】本题考查了线段的定义、轴对称图形的定义、平行四边形的性质，读懂题意，理解轴对称图形的定义是解题关键． 21. 为推动实施健康中国战略，树立国家健康形象．手机APP推出多款健康运动软件，如“微信运动”．王老师随机调查了我校50名教师某日“微信运动”中的步数，并进行统计整理，绘制了如下的统计图表． 步数 频数 频率 8 15 0.3 0.24 10 0.2 3 0.06 2 0.04 合计 50 C 请根据以上信息，解答下列问题： （1）_______， ， ； （2）补全频数分布直方图； （3）若某人一天的走路步数不低于16000步，将被“微信运动”评为“运动达人”．我市市区约有4000名初中教师，根据此项调查请估计市区被评为“运动达人”教师有多少名？ 【答案】（1），12， （2） 解：补全统计图如图所示： （3）400名 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，频数分布表，用样本估计总体 （1）根据各个频数之和等于样本容量50，可求得b的值，根据频数、频率总数之间的关系可求出a的值，再根据所有组的频率之和为1可得c的值； （2）补全频数分布直方图如图所示； （3）样本估计总体，样本中“被评为运动达人”的占，估计总体4000人的被评为运动达人． 【小问1详解】 解：由题意得，(人)，，， 故答案为：，12， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：(名)， 答：我市4000名初中教师中被评为“运动达人”的由400名． 22. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线段AB上．求证：DC平分∠ADE． 【答案】 证明：由旋转可知，△ABC≌△DEC， ∴∠A=∠CDE，AC=DC， ∴∠A=∠ADC， ∴∠ADC=∠CDE， 即DC平分∠ADE． 【解析】 【分析】利用旋转的性质，等腰三角形的性质证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了旋转的全等性，等腰三角形的性质，熟练掌握两个性质是解题的关键． 23. 如图，点B，F，C，E在同一直线上，． （1）求证：． （2）连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） ∵， ∴， 即， ∵， ∴； （2） 如图，连接，四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）由得到，又由即可证明； （2）由得到，则，即可判断四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 24. 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，对角线、相交于点．在线段上任取一点 (端点除外)，连接． 点在线段的延长线上，连接，且．当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； 探究与的数量关系，并说明理由． 【迁移探究】 （2）如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变．试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）的大小不发生变化，， 作，，垂足分别为点， ∵四边形是正方形，，是对角线 ∴， ∴ ∴四边形是正方形； ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴； ， 理由，如下： 设，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，，是对角线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）， 理由：如下： 作，，垂足分别为点，，令，， ∵四边形是菱形，，是对角线， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查正方形，菱形，三角形的知识，解题的关键是掌握正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，即可． （1）作，，垂足分别为点，，根据正方形的判定和性质，则四边形是正方形，根据全等三角形的判定和性质，则， 得到，根据等量代换，即可；设，，根据正方形的性质，勾股定理的运用，求出，根据线段之间的数量关系，得到；再根据正方形的性质，勾股定理求出，根据全等三角形的性质，则，再根据线段间的数量关系，即可； （2）作，，垂足分别为点，，令，，根据菱形的性质，全等三角形的判定和性质，则，得到，再根据等边三角形的判定，则是等边三角形，根据全等三角形的判定和性质，则，，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，则，最后根据线段间的数量关系，即可． 【详解】解∶（1）①略；②略 （2）略 25. 如图，点C为线段AB外一点． （1）求作平行四边形ABCD（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）设点P，Q分别为平行四边形ABCD的边AB，CD的中点，求证：直线AC，BD，PQ相交于同一点． 【答案】（1） 解：如图，平行四边形ABCD即为所求作． （2） 证明：记AC，BD的交点为K， 连接KP，KQ． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴KA=KC，KB=KD，AD∥BC， ∵AP=PB，DQ=QC， ∴ ∴P，K，Q共线． ∴AC，BD，PQ交于K点． 【解析】 【分析】（1）连接BC，分别以A，C为圆心，BC，AB为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，CD即可． （2）记AC，BD的交点为K，连接KP，KQ．利用三角形中位线定理，证明可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图-尺规作图，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 26. 如图，将边长为a的正方形绕顶点O按顺时针方向旋转角，得到正方形．设边与的延长线交于点M，边与交于点N，边与的延长线交于点E，连接． （1）求证：； （2）试说明：的边上的高为定值； （3）的周长p是否发生变化？若发生变化，试说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值． 【答案】（1） 证明：∵正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 解：∵（已证）， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的边上的高等于边上的高，即的长a，为定值； （3），是定值 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得，即，即可根据证明； （2）通过证明，可得，即可得出结论； （3）根据（1）（2）可得，，则将的周长转化为，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 p不会发生变化，是定值． 理由如下：根据（1）（2），， ∴， ∴的周长， ， ， ， ， ， ∵正方形的边长为a， ∴， ∴，是定值． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关内容并灵活运用． 27. 如图，在中，，D、E分别为、上的点，，． （1）求的度数； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过作，且，连，，则为平行四边形．再证明，则，得为等腰直角三角形，再利用即可得结果； （2）由（1）可知，，四边形为平行四边形，则，由勾股定理可得：，即，即可得结果． 【小问1详解】 证明：过作，且，连，，则四边形为平行四边形，则 ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，则， ∴ 为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 由（1）可知，，四边形为平行四边形， 则， 由勾股定理可得：，即， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，平角的性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $