精品解析：福建省泉州第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

泉州一中2026届高二下数学月考卷 一､单选题 1. 函数在点处的切线斜率为2，则a=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程有两个零点，则实数a取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，下面表述不正确的为（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，过点作曲线的两条切线，切点为，其中.若在区间中存在唯一整数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 8. 设数列满足，且，若表示不超过的最大整数，则 A. 2015 B. 2016 C. 2017 D. 2018 二､多选题 9. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在的值域为 C. 函数在点处的切线方程为 D. 关于的方程有2个不同的根当且仅当 10. 已知为等差数列，其前项和，，则下列结论一定正确的是（ ） A. 若，则公差 B. 若，则最小 C. D. 11. 已知的导函数为，且对任意的恒成立，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题 12. 名学生报名参加项体育比赛，每人限报一项，则报名方法的种数为______. 13. 已知函数在上为单调函数，则的取值范围为______. 14. 已知函数，，若关于的方程有6个解，则的取值范围为__________. 四､解答题 15 已知函数. （1）证明：在定义域内单调递增； （2）求在处的切线与坐标轴围成区域的面积. 16 已知函数有两个极值点，，. （1）求的取值范围； （2）求的取值范围. 17. 已知数列的前项和为，且与的等差中项为. （1）求数列的通项公式. （2）设，求数列的前项和. 18. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）无论取何值，函数图象都在函数图象的上方，求实数的取值范围． 19 已知函数． （1）求f（x）的单调区间； （2）已知，证明： （ⅰ）； （ⅱ）且时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泉州一中2026届高二下数学月考卷 一､单选题 1. 函数在点处的切线斜率为2，则a=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，求出，即可得解. 【详解】，， 故选：B. 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】由求导得，则，而， 所以所求切线方程为. 故选：A 3. 已知方程有两个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求定义域，令得有两个根，构造，求导得到其单调性，得到最值，结合函数图象特征得到实数a的取值范围. 【详解】的定义域为， 令得，即有两个根， 令，则， 令，显然在单调递减， 又，故当时，，当时，， 故时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的最大值为，当时，恒成立， 当趋向于0时，趋向于， 故要想有两个根，需满足 故选：A 4. 已知函数，下面表述不正确的为（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，求出函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减，再对每个选项逐一判断即可. 【详解】对函数求导， 得， 令，解得：或； 令，解得：， 所以函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减，如下图： 对于选项A：观察图像可知，选项A正确； 对于选项B：当时，，且函数在区间上单调递增， 故，故选项B错误； 对于选项C：当时，，且函数在区间上单调递减， 且，故，故选项C正确； 对于选项D：当时，，由，得， 故，故选项D正确； 故选：B 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可通过构造函数且，利用导数求出其单调性，即可比较得出各数的大小. 【详解】因为，所以构造函数且， 则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上可知，在与上单调递減，在上单调递增. 所以. 又因为，所以， 可得. 故选：C. 6. 已知函数，过点作曲线的两条切线，切点为，其中.若在区间中存在唯一整数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，然后求出过点作曲线的两条切线，把，代入两条切线方程，得到①，②，所以可以把看成的两个根，因为，所以有 ，解出的取值范围③，可以证明出，在区间中存在唯一整数，必须要满足，解出的取值范围，结合③，最后求出的取值范围. 【详解】， 切点为的切线的斜率为， 所以切点为的切线方程为：， 同理可求得切点为的切线方程为：， 两条切线过点，把，代入两条切线方程得： ①，②， 所以可以把看成的两个根，因为，所以有 ③，即， 因为，所以， 在区间中存在唯一整数必须满足：，结合③，的取值范围是. 故选：C. 7. 已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】, 且 ，所以函数为单调递减的奇函数，因此 即 ，选A. 点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内 8. 设数列满足，且，若表示不超过的最大整数，则 A. 2015 B. 2016 C. 2017 D. 2018 【答案】B 【解析】 【分析】数列满足，且，即，利用等差数列的通项公式可得，再利用累加求和方法可得，利用裂项求和方法即可得出. 【详解】数列满足，且， 即， 数列为等差数列，首项为，公差为， ， ， ， ，故选B. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，“累加法”的应用，以及裂项相消法求和，属于难题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 二､多选题 9. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在的值域为 C. 函数在点处的切线方程为 D. 关于的方程有2个不同的根当且仅当 【答案】BC 【解析】 【分析】A通过判断在上是否恒大于等于0可得选项正误；B利用导数求出在上的单调性，据此可得值域；C由导数知识可得在点处的切线；D将问题转化为图象与直线有两个交点. 【详解】对于A，，，则在上单调递减，故A错误； 对于B，由A分析，，则在上单调递增， 则， 故函数在上的值域为； 对于C，由题，， 则点处的切线方程为，故C正确； 对于D，即图象与直线有两个交点，由上述分析可得大致图象如下， 则要使图象与直线有两个交点，，故D错误. 故选：BC 10. 已知为等差数列，其前项和，，则下列结论一定正确的是（ ） A. 若，则公差 B. 若，则最小 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于等差数列，最重要的是基本量，根据每一个选项的条件再结合基本量来分析，就可以作出判断. 【详解】当时，因为，所以，故A正确； 当，时，满足，无最小值，故B错误； 当，，且满足时，，此时，当，，且满足时，的符号无法确定，故C无法确定； ，故D正确． 故选：AD. 11. 已知的导函数为，且对任意的恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】构造函数，由，可得单调递增，进而利用单调性求解即可. 【详解】，所以，，则设，，得，单调递增，所以，必有，，则，，所以，A和B正确； 故选：AB 三､填空题 12. 名学生报名参加项体育比赛，每人限报一项，则报名方法的种数为______. 【答案】 【解析】 【分析】每人都有种报名方法，然后利用分步乘法计数原理可得出报名方法种数. 【详解】由题意可知，每名学生都有种报名方法，因此，名学生的报名方法的种数为. 故答案为. 【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，理解题意是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 13. 已知函数在上为单调函数，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】分别利用、在上恒成立求得取值范围. 【详解】由题意得： 若在上单调递增，则在上恒成立 若在上单调递减，则在上恒成立 综上所述： 本题正确结果： 【点睛】本题考查已知函数在区间内的单调性求解参数范围问题，如果函数在区间内单调，可将问题转化为恒成立问题的求解. 14. 已知函数，，若关于的方程有6个解，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，根据图象可知，等于常数的解最多只有3个，根据图象性质可知，等于常数的解最多只有2个，若有6个解，需要有3个解，有2个解，根据图象先求出，再得出和中最小解之间的等式关系，而后结合的值域即可建立关于的不等式，最后构造关于的函数，求导求单调性即可解不等式，进而得出结果。 【详解】解：由题可得，令，则方程的解有3个， 当时，，所以在上单调递增， 当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， ，，当时，，所以， 画的图象如下： 由图象可得， 且方程的三个解分别为，不妨设， 则有，即， 又 所以在上单调递减，在上单调递增， 且， 又因为，所以， 所以有，即， 令，所以， 所以在上单调递增， 又，所以的解集为， 综上，的取值范围为。 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题考查复合函数零点个数问题，此类题目一般做法为： （1）先根据解析式画出两个函数图象； （2）令复合函数内函数为； （3）结合函数图象及零点个数，分析外函数根的个数以及自变量对应的取值范围； （4）再确定内函数根个数及对应参数取值范围； （5）解出参数范围即可。 四､解答题 15. 已知函数. （1）证明：定义域内单调递增； （2）求在处的切线与坐标轴围成区域的面积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据即可判断函数的单调性； （2）根据导数的几何意义求出切线方程，进而求解. 【小问1详解】 证明：（）， 当时，，所以在定义域内单调递增. 小问2详解】 ，， 所以曲线在点处的切线为， 即， 令得；令得， 所以切线与坐标轴所围成的三角形面积为. 16. 已知函数有两个极值点，，. （1）求的取值范围； （2）求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）函数有两个极值点，，等价于有两个不等的正实数根，等价于有两个不等的正实数根，再利用根的分布研究二次函数，即可得的取值范围； （2），是的两个根，利用韦达定理可得，的关系，将用一个变量表示，再研究关于的函数的单调性，即可得的取值范围. 【详解】（1）因为函数，定义域为， ， 函数有两个极值点， 等价于关于的方程有两个不等的正实数根， 令，因为函数的图象的对称轴为直线， 所以，解得， 所以的取值范围为. （2）由（1）知，是的两个不等的正实数根，且， 所以，， 故，其中. 令，，因为时，， 所以在上单调递增， 所以， 即的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，研究函数的取值范围，属于中档题. 17. 已知数列的前项和为，且与的等差中项为. （1）求数列通项公式. （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差中项，构造数列，等比数列的知识得出； （2）采用裂项相消法，注意分为奇数偶数. 【小问1详解】 因为与的等差中项为，所以，即. 当时，，则. 当时，， 所以，所以，可变形为， 所以，且也符合， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以， 即数列通项公式为. 【小问2详解】 方法一 当为奇数时， . 当为偶数时， . 所以数列前项和为. 方法二. . 18. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）无论取何值，函数的图象都在函数图象的上方，求实数的取值范围． 【答案】（1）在上为增函数，在上为减函数 （2）． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的取值范围求出函数的单调区间即可； （2）根据已知条件将问题转化为：恒成立，构造函数，对函数求导，根据函数单调性求出函数的最值即可求解. 【小问1详解】 ， 当时，，在上为增函数； 当时，， 令，得；令，得， 在上为增函数，在上为减函数． 【小问2详解】 无论取何值，函数的图象都在函数图象的上方， 即为恒成立，即，则，恒成立， 令，， ， 令，得；令，得， 则在上为增函数，在上为减函数， ， 则． 19. 已知函数． （1）求f（x）的单调区间； （2）已知，证明： （ⅰ）； （ⅱ）且时，． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，求出根为0，后分情况讨论即可． （2） （ⅰ）由前面一问赋值0，得到，令，两边再n次方即可． （ⅱ）由前面得出，两边取对数，变形得到．累加求和,后按照放缩求和即可. 【小问1详解】 由得， 单调递增且．故时，；时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，，即，当且仅当时取等号， 令得，两边n次方得，即得证． （ⅱ）由，两边取对数得，即， 则有，，…，， 累加得． 即得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$