第17讲 事件的相互独立性（知识点+4大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修二）

第17讲 事件的相互独立性 目录 题型归纳 1 题型01 相互独立事件与互斥事件 2 题型02 独立事件的乘法公式 3 题型03 独立事件的实际应用 4 题型04 独立事件的判断 5 分层练习 6 夯实基础 6 能力提升 11 知识点01相互独立事件 1、定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 2、性质及推广： 如果事件A与事件B相互独立，则与，与，与也都相互独立。 两个事件的相互独立可以推广到个事件的相互独立性，即若事件相互独立，则这个事件同时发生的概率 3、相互独立事件的概率计算公式 已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件 表示 概率 A，B同时发生 P(A)P(B) A，B都不发生 A，B恰有一个发生 A，B中至少有一个发生 A，B中至多有一个发生 题型01相互独立事件与互斥事件 【例1】（22-23高一下·福建厦门·阶段练习）已知事件与相互独立，且，则（    ） A．0.3 B．0.6 C．0.8 D．0.9 【变式1】（22-23高一下·江苏扬州·期末）抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是（    ）. A．A与B对立 B．A与B互斥 C． D．A与B相互独立 【变式2】（多选）（22-23高一上·河南南阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．在统计学中，数字特征—平均数、众数、中位数一定是原始数据 B．在统计学中，数字特征—平均数、众数、中位数、极差和标准差的单位与原始数据单位一致 C．若为相互独立事件，则 D．若为互斥事件，则 【变式3】（多选）（23-24高一下·湖南郴州·期末）下列说法中正确的是（    ） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体被抽到的概率是 B．连续抛硬币两次，第一次得正面，第二次得反面是两个独立事件 C．数据的第70百分位数是23.5 D．若样本数据的标准差为1，则数据的标准差为9 题型02 独立事件的乘法公式 【例2】（24-25高一上·山东威海·期末）现有甲，乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．若比赛采用“三局两胜”制，则甲队获得胜利的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·山东日照·期末）已知事件A，B相互独立，且，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击.约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·河南驻马店·期末）如图，电流通过元件的概率均为0.8，且各元件能否正常工作相互独立，则电流能在E，F之间通过的概率是 . 题型03 独立事件的实际应用 【例3】（23-24高一下·安徽六安·期末）概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金180枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这360枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（    ） A．甲180枚，乙180枚 B．甲288枚，乙72枚 C．甲240枚，乙120枚 D．甲270枚，乙90枚 【变式1】（22-23高一下·江苏常州·期末）在某项比赛中，两个水平相当的选手在决赛中相遇，决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金，前3局打成2:1时比赛因故终止．若发放奖金总额为12000元，为公平合理起见，应该发放给已胜两场者奖金 元． 【变式2】（21-22高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，电路原件，，正常工作的概率分别为，，，则电路能正常工作的概率为 ． 【变式3】（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）甲、乙两个篮球运动员互不影响的在同一位置各投球10次，其中甲投进5个，乙投进个． 注：用此次投进球的频率去估计概率． (1)若乙投球2次均未命中的概率为，求； (2)若，甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率． 题型04 独立事件的判断 【例4】（24-25高一上·河南驻马店·期末）投掷一枚均匀的骰子，记事件：“朝上的点数大于3”，：“朝上的点数为2或6”，则下列选项正确的是（   ） A．与互斥 B．与对立 C． D．与相互独立 【变式1】（24-25高一上·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 【变式2】（22-23高一下·安徽芜湖·期末）设样本空间含有等可能的样本点，且事件，事件，事件，使得，且满足两两不独立，则 . 【变式3】（23-24高一下·天津·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个黑色球（标号为3和4），采用不放回简单随机抽样的方法从袋中依次摸出2个球．设事件“摸到的2个球颜色不相同”，事件“摸到的2个球的数字之和大于5”． (1)用集合的形式写出试验的样本空间，并求，； (2)求，并说明事件与是否相互独立． 【夯实基础】 一、单选题 1．（24-25高一上·江西景德镇·期末）如图所示，表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为，则系统的可靠性是（    ） A．0.504 B．0.994 C．0.496 D．0.06 2．（24-25高一上·辽宁·期末）太空站内有甲、乙、丙三名航天员依次出舱进行同一实验，每次只派一人，每人最多出舱一次，若前一实验不成功，则返舱后派下一人重复进行该实验；若实验成功，则终止实验.已知甲、乙、丙各自出舱实验成功的概率分别为、、，每人出舱实验能否成功相互独立，若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该项实验最终成功的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·辽宁·期末）先后投掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次投掷的骰子朝上的数字为2”，表示事件“第二次投掷的骰子朝上的数字为6”，表示事件“两次投掷的骰子朝上的数字之差的绝对值小于3”，表示事件“两次投掷的骰子朝上的数字均为偶数”，则（   ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 4．（24-25高一上·陕西汉中·期末）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（） A．事件与事件互斥 B． C．事件与事件互斥 D． 二、多选题 5．（24-25高一上·河南南阳·期末）已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（   ） A．若B发生时A一定发生，则 B．若A与B互斥，则A和B都不发生的概率为0.5 C．若，则A与B相互独立 D．若A与B相互独立，则 6．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（   ）    A．事件B与C互斥 B． C．事件A与C相互独立 D． 7．（24-25高一上·辽宁大连·期末）某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球.事件“取出的小球编号为奇数”，事件“取出的小球编号为偶数”，事件“取出的小球编号小于6”，事件“取出的小球编号大于6”，则下列结论正确的是（   ） A．A与B互斥 B．A与B相互对立 C．C与D相互对立 D．B与D相互独立 三、填空题 8．（24-25高一上·贵州·期末）某校开设了、、、、这门课程，甲、乙都任意选修了其中门课程，则甲、乙都没有选修课程，且他们恰有人选修课程的概率是 . 9．（24-25高一上·江西·期末）甲、乙两个零件正常工作的概率分别为0.4，0.6，且它们是否正常工作相互独立，则这两个零件至少有一个正常工作的概率为 . 10．（24-25高一上·江西九江·期末）如图，某电子元件由三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，三种部件不能正常工作的概率分别为，各个部件是否正常工作相互独立，同时正常工作或正常工作则该电子元件能正常工作，那么该电子元件能正常工作的概率是 . 四、解答题 11．（23-24高一下·河南商丘·期末）张三参加某闯关比赛，比赛分为三关，每关都需要闯，且在同一天内完成三关的闯关，不能弃权.比赛规则如下：第一天三关都闯关失败者被淘汰；第一天只有一关闯关成功者获得纪念奖并结束闯关；第一天三关都闯关成功者获得蓝牙耳机一副并结束闯关；第一天只有两关闯关成功者第二天可以重新参与闯关，若该闯关者第二天三关都闯关成功，则获得蓝牙耳机一副，否则获得纪念奖，并结束闯关.已知张三每关闯关成功的概率均为，且前面各关闯关成功与否对后面的闯关没有影响. (1)求张三被淘汰的概率； (2)求张三第一天获得纪念奖的概率； (3)求张三第二天获得蓝牙耳机的概率. 12．（23-24高一下·广东湛江·期末）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为． (1)求乙答对题的概率； (2)若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率． 13．（22-23高一下·甘肃白银·期末）甲、乙两人进行围棋比赛，两人共比两局，每局比赛甲赢的概率为0.6，两人平局的概率为0.1，设每局的胜方得3分，负方得﹣1分，若该局为平局，则两人各得2分． (1)求甲、乙各赢一局的概率； (2)求两局结束后甲的最后得分不大于2的概率． 14．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一方，下一局比赛将作为后手．在每一局比赛中若甲方先手，则该局甲获胜的概率为；若甲方后手，则该局甲获胜的概率为． (1)求双方需要进行第三局比赛的概率； (2)若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率． 15．（23-24高一下·江苏南京·期末）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. (1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率； (2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； (3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 【能力提升】 一、单选题 1．（24-25高一上·江西赣州·期末）已知事件A，B相互独立，且，，则（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一下·广东深圳·期中）设A，B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（    ） A．若A，B是对立事件，则事件A，B满足P（A）＋P（B）＝1 B．事件A，B，C两两互斥，则P（A）＋P（B）＋P（C）＝1 C．若A和B互斥，则A和B一定相互独立 D．P（A＋B）＝P（A）＋P（B） 3．（21-22高一下·江西南昌·期中）甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如表： 购买A种医用口罩 购买B种医用口罩 购买C种医用口罩 甲 0.1 0.4 乙 0.3 0.2 则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（    ） A．0.24 B．0.28 C．0.30 D．0.32 4．（23-24高一下·江西景德镇·期中）在古装剧《知否》中，甲和乙两人进行一场投壶比赛，比赛投中得分情况分“有初”，“贯耳”，“散射”，“双耳”，“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹最多者获胜.假设甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，乙的投掷水平与甲相同，且甲和乙投掷相互独立，比赛第一场，两人平局；第二场，甲投了个“贯耳”，乙投了个“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一下·贵州遵义·期中）连续掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件甲为“第一次掷出的点数为1”，事件乙为“第二次掷出的点数为6”，事件丙为“两次掷出的点数之和为6”，事件丁为“两次掷出的点数之和为7”，则（    ） A．甲与乙相互独立 B．甲与丙相互独立 C．甲与丁相互独立 D．乙与丁相互独立 6．（24-25高一上·山东威海·期末）口袋中装有编号为①，②，③的3个红球和编号为①，②，③，④，⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同．现从中取出1个小球，记事件A为“取出的小球的编号为③”，事件B为“取出的小球是黑球”，则（   ） A．A与B互斥 B． C．A与B独立 D． 三、填空题 7．（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）在荷花池中，有一只蜻蜓在成品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示.假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率是 . 8．（24-25高一上·陕西·期末）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则1次活动中，甲获胜的概率为 ；2次活动中，甲1次都没获胜的概率为 ． 四、解答题 9．（23-24高一上·江西上饶·期末）甲、乙两人组成“博学队”参加上饶市中学“博学少年”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； (2)求“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率. 10．（22-23高一下·江西景德镇·期中）溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响. (1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率； (2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率. 11．（24-25高一上·江西宜春·期末）某公司年会拟通过摸球抽奖的方式对员工发红包.先在一个不透明的袋子中装入个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为元，元，元的球分别有个，个，个.参与的员工每次从袋中随机摸出个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次.规定：每人摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的红包的总金额. (1)当时，求甲员工所获得的红包金额不高于元的概率； (2)当时，设事件“甲员工获得的红包总金额不低于元”，事件“甲员工获得的红包总金额不高于元”，试判断事件是否相互独立，并说明理由. 12．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮胜出的概率； (2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求p，q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 事件的相互独立性 目录 题型归纳 1 题型01 相互独立事件与互斥事件 2 题型02 独立事件的乘法公式 5 题型03 独立事件的实际应用 8 题型04 独立事件的判断 11 分层练习 15 夯实基础 15 能力提升 28 知识点01相互独立事件 1、定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 2、性质及推广： 如果事件A与事件B相互独立，则与，与，与也都相互独立。 两个事件的相互独立可以推广到个事件的相互独立性，即若事件相互独立，则这个事件同时发生的概率 3、相互独立事件的概率计算公式 已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件 表示 概率 A，B同时发生 P(A)P(B) A，B都不发生 A，B恰有一个发生 A，B中至少有一个发生 A，B中至多有一个发生 题型01相互独立事件与互斥事件 【例1】（22-23高一下·福建厦门·阶段练习）已知事件与相互独立，且，则（    ） A．0.3 B．0.6 C．0.8 D．0.9 【答案】C 【知识点】相互独立事件与互斥事件 【分析】根据题意，结合，即可求解. 【详解】由题意，事件与事件相互独立，且， 则. 故选：C. 【变式1】（22-23高一下·江苏扬州·期末）抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是（    ）. A．A与B对立 B．A与B互斥 C． D．A与B相互独立 【答案】D 【知识点】相互独立事件与互斥事件 【分析】根据题意，列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可得到结果. 【详解】由题意可得，抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 则事件包含的结果有：（正，正），（正，反），事件包含的结果有：（正，反），（反，反）， 显然事件，事件都包含“（正，反）”这一结果，即事件，事件能同时发生， 所以，事件，事件既不互斥也不对立，故AB错误. 又因为，而，， 所以，，故C错误，D正确. 故选：D 【变式2】（多选）（22-23高一上·河南南阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．在统计学中，数字特征—平均数、众数、中位数一定是原始数据 B．在统计学中，数字特征—平均数、众数、中位数、极差和标准差的单位与原始数据单位一致 C．若为相互独立事件，则 D．若为互斥事件，则 【答案】BD 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、相互独立事件与互斥事件 【分析】根据平均数、众数、中位数、极差和标准差的定义即可判断AB；根据相互独立事件和互斥事件的定义即可判断CD. 【详解】对于A，一组数据的中位数为，故A错误； 对于B，在统计学中，平均数、众数、中位数、极差和标准差的单位与原始数据单位一致，故B正确； 对于C，为相互独立事件，无法判断与的大小，故C错误； 对于D，由互斥事件的定义知，故D正确. 故选：BD. 【变式3】（多选）（23-24高一下·湖南郴州·期末）下列说法中正确的是（    ） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体被抽到的概率是 B．连续抛硬币两次，第一次得正面，第二次得反面是两个独立事件 C．数据的第70百分位数是23.5 D．若样本数据的标准差为1，则数据的标准差为9 【答案】ABC 【知识点】简单随机抽样的概率、计算几个数据的极差、方差、标准差、相互独立事件与互斥事件、总体百分位数的估计 【分析】用简单随机抽样的方法求解；根据独立性事件的概念进行判断，先对数据从小到大排序，再根据百分位数定义计算即可；先得到，，，的方差，根据方差性质得到，，，的方差，进而得到其标准差，即可得答案． 【详解】对于A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体被抽到的概率为，正确； 对于B．连续抛硬币两次，第一次得正面，第二次得反面互不影响，是两个独立事件，正确； 对于C．从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30， 由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数， 即，所以第70百分位数是23.5，C正确； 对于D．若样本数据，，，的标准差为1，则，，，的方差为1， 设，，，的平均数为，则， ， 又， 故， 则的标准差为，D错误． 故选：ABC． 题型02 独立事件的乘法公式 【例2】（24-25高一上·山东威海·期末）现有甲，乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．若比赛采用“三局两胜”制，则甲队获得胜利的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】讨论甲获胜时比赛的场次，结合独立事件的概率乘法公式运算求解. 【详解】若比赛两场甲获胜，则概率为； 若比赛三场甲获胜，则概率为； 甲获得冠军的概率. 故选：A. 【变式1】（24-25高一上·山东日照·期末）已知事件A，B相互独立，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据对立事件的概率关系和相互独立事件的概率公式计算即可. 【详解】因为事件是相互独立事件，所以与相互独立， 所以， 则. 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击.约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】首先要明确前4次中甲恰好射击3次的所有可能情况，然后根据每次射击命中与否相互独立这一条件，利用独立事件概率的乘法公式来计算每种情况的概率，最后将所有情况的概率相加得到最终结果. 【详解】前4次中甲恰好射击3次有三种情况： 第一种情况：第一次甲命中，第二次乙命中，第三次甲没命中，第四次甲射击. 第二种情况：第一次甲没命中，第二次甲没命中，第三次甲命中，第四次乙射击 . 第三种情况：第一次甲没命中，第二次甲命中，第三次乙命中，第四次甲射击 . 甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与， 则甲、乙两人每次射击没有命中目标的概率分别为与. 计算第一种情况的概率: 根据独立事件概率的乘法公式，这种情况的概率为. 计算第二种情况的概率: 根据独立事件概率的乘法公式，这种情况的概率为. 计算第三种情况的概率: 根据独立事件概率的乘法公式，这种情况的概率为. 计算前4次中甲恰好射击3次的总概率: 将三种情况的概率相加得，前4次中甲恰好射击3次的概率为. 故选：B. 【变式3】（24-25高一上·河南驻马店·期末）如图，电流通过元件的概率均为0.8，且各元件能否正常工作相互独立，则电流能在E，F之间通过的概率是 . 【答案】0.7424 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】先求出电流不能通过，且也不能通过的概率，再利用对立事件的概率公式求出电流能通过的概率，然后利用独立事件的概率公式可求得结果. 【详解】根据题意可知电流能通过的概率为，电流能通过的概率为， 所以电流不能通过，且也不能通过的概率为， 所以电流能通过的概率为， 因为电流能通过的概率为， 所以电流能在E，F之间通过的概率为. 故答案为： 题型03 独立事件的实际应用 【例3】（23-24高一下·安徽六安·期末）概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金180枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这360枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（    ） A．甲180枚，乙180枚 B．甲288枚，乙72枚 C．甲240枚，乙120枚 D．甲270枚，乙90枚 【答案】D 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的实际应用 【分析】利用独立事件的概率公式进行求解即可. 【详解】根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为， 假设两人继续进行比赛， 甲获取360枚金币有：第四局甲赢，或第四局甲输，第五局甲赢， 故概率为， 乙获取360枚金币有：第四、五局乙都赢， 故概率为， 则甲应该获得枚金币，乙应该获得枚金币， 故选：D 【变式1】（22-23高一下·江苏常州·期末）在某项比赛中，两个水平相当的选手在决赛中相遇，决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金，前3局打成2:1时比赛因故终止．若发放奖金总额为12000元，为公平合理起见，应该发放给已胜两场者奖金 元． 【答案】9000 【知识点】独立事件的实际应用 【分析】根据前3局打成时，利用独立事件乘法公式求出胜2局者和胜1局者获胜的概率，即可得答案. 【详解】甲乙两队水平相当，故任意一局比赛，甲胜概率为，乙胜概率， 不妨设前三局中甲胜2场，乙胜1场，剩下甲获胜的情况是： 第四局甲胜或者第四局甲输同时第五局甲胜， 此情况下,甲获胜的概率为， 所以乙胜的概率为， 所以前3局打成时，2局胜利者与1局胜利者奖金分配应为， 若发放奖金总额为12000元，为公平合理起见， 应该发放给已胜两场者奖金为（元）， 故答案为：9000. 【变式2】（21-22高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，电路原件，，正常工作的概率分别为，，，则电路能正常工作的概率为 ． 【答案】/0.4375 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、独立事件的实际应用 【分析】电路能正常工作的条件是：必须正常工作，，至少有一个正常工作，由此求解即可 【详解】由题意，电路能正常工作的条件是： 必须正常工作，，至少有一个正常工作， 所以电路能正常工作的概率为， 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）甲、乙两个篮球运动员互不影响的在同一位置各投球10次，其中甲投进5个，乙投进个． 注：用此次投进球的频率去估计概率． (1)若乙投球2次均未命中的概率为，求； (2)若，甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率． 【答案】(1)6 (2) 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的实际应用 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案； （2）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得答案. 【详解】（1）由题意知，，故； （2）用表示“两人共命中2次”， ． 题型04 独立事件的判断 【例4】（24-25高一上·河南驻马店·期末）投掷一枚均匀的骰子，记事件：“朝上的点数大于3”，：“朝上的点数为2或6”，则下列选项正确的是（   ） A．与互斥 B．与对立 C． D．与相互独立 【答案】D 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】对于AB，根据互斥事件和对立事件的定义结合题意分析判断，对于C，根据分析判断，对于D，根据独立事件的定义分析判断. 【详解】对于AB，由题意可知当朝上的点数为6时，事件A和事件B同时发生，所以事件A和事件B既不互斥，也不对立，所以AB错误； 对于C，由题意可知， 所以，所以C错误； 对于D，因为， 所以，所以与相互独立，所以D正确. 故选：D 【变式1】（24-25高一上·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 【答案】D 【知识点】独立事件的判断、相互独立事件与互斥事件 【分析】A选项，根据甲乙项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与乙项目互斥；B选项，根据甲丁项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与丁项目互斥且对立；C选项，根据参与甲项目与参与丁项目对立和得到，然后得到，，，最后利用乘法公式判断；D选项，利用乘法公式判断即可. 【详解】设总人数为，记参与甲，乙，丙，丁项目分别为事件， 由题意可得，故， 故参与甲项目与参与乙项目互斥，故A错误； 由题意可得，，故， 故参与甲项目与参与丁项目互斥且对立，故B错误； 由题意得， 故，， 故，故参与丙项目与参与丁项目相互独立，故C错误； ， 故参与甲项目与参与丙项目相互独立，故D正确． 故选：D． 【变式2】（22-23高一下·安徽芜湖·期末）设样本空间含有等可能的样本点，且事件，事件，事件，使得，且满足两两不独立，则 . 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】根据古典概型概率计算及相互独立性推测即可. 【详解】由题意，，所以， 所以是共同的唯一的样本点，又两两不独立，即，，， 可见不可以为或，所以为或，即. 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·天津·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个黑色球（标号为3和4），采用不放回简单随机抽样的方法从袋中依次摸出2个球．设事件“摸到的2个球颜色不相同”，事件“摸到的2个球的数字之和大于5”． (1)用集合的形式写出试验的样本空间，并求，； (2)求，并说明事件与是否相互独立． 【答案】(1)答案见解析 (2)，事件与事件不独立． 【知识点】写出基本事件、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式即可求得结果； （2）利用独立事件定义可得，即可得出结论. 【详解】（1）试验的样本空间为，，共12个基本事件， 而事件包含的基本事件有，，，，，，，，共包含8个基本事件， 则可得， 事件包含的基本事件有，，，，共4个基本事件； 则． （2）因为事件与同时发生的基本事件有，， 所以． 又因为，可得， 所以事件与事件不独立． 【夯实基础】 一、单选题 1．（24-25高一上·江西景德镇·期末）如图所示，表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为，则系统的可靠性是（    ） A．0.504 B．0.994 C．0.496 D．0.06 【答案】B 【分析】根据并联线路的特征，只有三个开关同时发生故障，系统才不正常，可以考虑对立事件求解. 【详解】系统正常工作的概率为， 即可靠性为0.994. 故选：B 2．（24-25高一上·辽宁·期末）太空站内有甲、乙、丙三名航天员依次出舱进行同一实验，每次只派一人，每人最多出舱一次，若前一实验不成功，则返舱后派下一人重复进行该实验；若实验成功，则终止实验.已知甲、乙、丙各自出舱实验成功的概率分别为、、，每人出舱实验能否成功相互独立，若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该项实验最终成功的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】因为甲、乙、丙各自出舱实验成功的概率分别为、、，每人出舱实验能否成功相互独立， 若按照甲、乙、丙的顺序依次出舱，则该项实验最终成功的概率为. 故选：D. 3．（24-25高一上·辽宁·期末）先后投掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次投掷的骰子朝上的数字为2”，表示事件“第二次投掷的骰子朝上的数字为6”，表示事件“两次投掷的骰子朝上的数字之差的绝对值小于3”，表示事件“两次投掷的骰子朝上的数字均为偶数”，则（   ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】A 【分析】利用列举法，根据古典概型概率公式求出各事件的概率，然后根据相互独立的概率关系逐一判断即可. 【详解】由题可知，， 先后投掷两枚质地均匀的骰子的所有结果有： ，共36种. 两次投掷的骰子朝上的数字之差的绝对值小于3的结果有： ，共24种. 两次投掷的骰子朝上的数字均为偶数的结果有： ，共9种. 所以，. 事件包含的结果有：共4种. 事件包含的结果有：，共3种. 事件包含的结果有：，共3种. 事件包含的结果有：，共3种. 所以，，，， 因为，，，． 所以与相互独立，A正确，BCD错误. 故选：A． 4．（24-25高一上·陕西汉中·期末）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（） A．事件与事件互斥 B． C．事件与事件互斥 D． 【答案】B 【分析】对于A与C，根据互斥事件的定义判断即可；对于B，分别计算、、，验证是否成立即可；对于D，明确的含义即可求解其概率. 【详解】选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误； 选项B，，，B正确； 选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误； 选项D，表示选出的盒子既有笔记本，又有笔袋，故只能选第四个礼盒，故，故D错误． 故选：B． 二、多选题 5．（24-25高一上·河南南阳·期末）已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（   ） A．若B发生时A一定发生，则 B．若A与B互斥，则A和B都不发生的概率为0.5 C．若，则A与B相互独立 D．若A与B相互独立，则 【答案】BCD 【分析】对于A，分析事件A和事件B的关系即可判断；对于B，利用互斥事件的概率加法公式即可判断；对于C，D，利用独立事件的定义及独立事件的概率乘法公式进行分析判断即可. 【详解】对于A，由“若B发生时A一定发生”可知，故，所以，故A错误； 对于B，由事件A与事件B互斥可知，故事件A和事件B都不发生的概率为，故B正确； 对于C，由题知，，故，所以事件A与事件相互独立，故事件A和事件B相互独立，故C正确； 对于D，若事件A和事件B相互独立，则事件与事件相互独立，，故，故D正确. 故选：BCD. 6．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（   ）    A．事件B与C互斥 B． C．事件A与C相互独立 D． 【答案】BCD 【分析】确定事件包含的样本点，利用互斥、独立事件的意义，结合古典概率逐项判断. 【详解】事件，事件，事件，， 对于A，事件有相同的样本点2，事件B与C不互斥，A错误； 对于B，，则，B正确； 对于C，，事件A与C相互独立，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 7．（24-25高一上·辽宁大连·期末）某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球.事件“取出的小球编号为奇数”，事件“取出的小球编号为偶数”，事件“取出的小球编号小于6”，事件“取出的小球编号大于6”，则下列结论正确的是（   ） A．A与B互斥 B．A与B相互对立 C．C与D相互对立 D．B与D相互独立 【答案】ABD 【分析】分别求出样本空间和事件、、、，再利用互斥事件、对立事件及相互独立事件的定义逐一判断. 【详解】抽奖者从中任取一个球的样本空间为， 事件，事件，事件，事件， 且，则与互斥，且与互为对立事件，AB正确； 且真包含于，事件C与D不相互对立，C错误； ，，事件B与D相互独立，D正确. 故选：ABD 三、填空题 8．（24-25高一上·贵州·期末）某校开设了、、、、这门课程，甲、乙都任意选修了其中门课程，则甲、乙都没有选修课程，且他们恰有人选修课程的概率是 . 【答案】/ 【分析】对甲或乙选修课程进行分类讨论，结合独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，甲选修课程与乙选修课程相互独立， 若甲选修课程，乙没有选修课程，其概率为； 若乙选修课程，甲没有选修课程，其概率为. 因此，甲、乙两人都没有选修课程，且他们中恰有人选修课程的概率是. 故答案为：. 9．（24-25高一上·江西·期末）甲、乙两个零件正常工作的概率分别为0.4，0.6，且它们是否正常工作相互独立，则这两个零件至少有一个正常工作的概率为 . 【答案】0.76/ 【分析】设出事件，利用独立事件和对立事件概率求解公式进行计算 【详解】记事件A为“甲零件正常工作”，事件B为“乙零件正常工作”， 事件C为“这两个零件至少有一个正常工作”， 则. 故答案为：0.76 10．（24-25高一上·江西九江·期末）如图，某电子元件由三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，三种部件不能正常工作的概率分别为，各个部件是否正常工作相互独立，同时正常工作或正常工作则该电子元件能正常工作，那么该电子元件能正常工作的概率是 . 【答案】/ 【分析】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件.则，分别计算出，根据对立事件即可得即可解出. 【详解】解：设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件. ， ，即该电子元件能正常工作的概率是. 故答案为：. 四、解答题 11．（23-24高一下·河南商丘·期末）张三参加某闯关比赛，比赛分为三关，每关都需要闯，且在同一天内完成三关的闯关，不能弃权.比赛规则如下：第一天三关都闯关失败者被淘汰；第一天只有一关闯关成功者获得纪念奖并结束闯关；第一天三关都闯关成功者获得蓝牙耳机一副并结束闯关；第一天只有两关闯关成功者第二天可以重新参与闯关，若该闯关者第二天三关都闯关成功，则获得蓝牙耳机一副，否则获得纪念奖，并结束闯关.已知张三每关闯关成功的概率均为，且前面各关闯关成功与否对后面的闯关没有影响. (1)求张三被淘汰的概率； (2)求张三第一天获得纪念奖的概率； (3)求张三第二天获得蓝牙耳机的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)结合题意，结合独立事件的含义求解即可； （2）结合题意得到相对应的事件，利用全概率公式和独立性求解 （3）利用独立性和全概率公式求解即可,.. 【详解】（1）记张三第一、二、三关闯关成功分别为事件A，B，C，则A，B，C相互独立，且.张三被淘汰是指第一天三关都闯关失败. 记事件“张三被淘汰”， 则. （2）张三第二天获得蓝牙耳机是指第一天有两关闯关成功且第二天三关都闯关成功. 记事件“张三第二天获得蓝牙耳机”，事件“张三第一天有两关闯关成功”，事件“张三第二天三关都闯关成功”， 则， （3）. 所以 12．（23-24高一下·广东湛江·期末）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为． (1)求乙答对题的概率； (2)若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出关于的方程解得即可. （2）两人共答对3次，只可能为甲答对2次乙答对1次或甲答对1次乙答对2次，列式解得即可. 【详解】（1）设“甲答对每题的概率”为事件，“乙答对每题的概率”为事件， 由已知， 则乙连续2次答错的概率， 由题意得，解得或（舍去）， 乙答对题的概率为． （2）事件甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次，可表示为事件：甲答对一次、乙2次全部答对， 与事件：乙只答对一次、甲2次全部答对的和事件． 甲答对一次、乙2次全部答对的概率为， 乙只答对一次、甲2次全部答对的概率为， 故两人共答对3次的概率为． 所以甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次的概率为． 13．（22-23高一下·甘肃白银·期末）甲、乙两人进行围棋比赛，两人共比两局，每局比赛甲赢的概率为0.6，两人平局的概率为0.1，设每局的胜方得3分，负方得﹣1分，若该局为平局，则两人各得2分． (1)求甲、乙各赢一局的概率； (2)求两局结束后甲的最后得分不大于2的概率． 【答案】(1)0.36； (2)0.51． 【分析】（1）先求出每局比赛乙赢的概率，从而根据独立事件的概率公式求解即可； （2）设两局结束后甲的最后得分为X，利用独立事件的概率乘法公式求出，再相加即可求出结果． 【详解】（1）∵每局比赛甲赢的概率为0.6，两人平局的概率为0.1， ∴每局比赛乙赢的概率为， ∴甲、乙各赢一局的概率为； （2）设两局结束后甲的最后得分为X，X可取, 则，， ， ∴两局结束后甲的最后得分不大于2的概率为． 14．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一方，下一局比赛将作为后手．在每一局比赛中若甲方先手，则该局甲获胜的概率为；若甲方后手，则该局甲获胜的概率为． (1)求双方需要进行第三局比赛的概率； (2)若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由互斥事件和事件概率加法公式可得； （2）将所求事件转化为这互斥事件的和事件，再由概率加法公式可求. 【详解】（1）若双方需要进行第三局比赛，则前两局比赛中双方各胜一局， 因为前两局比赛中，双方各先手一次， 故双方需要进行第三局比赛的概率． （2）记第局甲获胜为事件，甲赢得比赛为事件，则包含的所有事件为，且这个事件之间两两互斥， 由， ， ， 得． 15．（23-24高一下·江苏南京·期末）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. (1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率； (2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； (3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算出答案； （2）求出乙考生通过某校强基招生面试的概率，从而分两种情况，求出甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求出丙考生通过某校强基招生面试的概率，先求出无人通过强基招生面试的概率，利用对立事件求概率公式得到答案. 【详解】（1）甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是， 甲考生通过某校强基招生面试的概率为. （2）乙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为： . （3）丙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为： . 【能力提升】 一、单选题 1．（24-25高一上·江西赣州·期末）已知事件A，B相互独立，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据A，B是相互独立事件，结合对立事件和相互独立事件概率运算的性质，直接进行计算即可. 【详解】解：由，得， 则. 故选：A. 2．（21-22高一下·广东深圳·期中）设A，B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（    ） A．若A，B是对立事件，则事件A，B满足P（A）＋P（B）＝1 B．事件A，B，C两两互斥，则P（A）＋P（B）＋P（C）＝1 C．若A和B互斥，则A和B一定相互独立 D．P（A＋B）＝P（A）＋P（B） 【答案】A 【分析】A.该选项正确；B. 事件A，B，C两两互斥，举例说明该选项错误；C. 若A和B互斥，则A和B一定不相互独立，所以该选项错误；D.只有当A和B互斥时， P（A＋B）＝P（A）＋P（B），所以该选项错误. 【详解】A. 若A，B是对立事件，则事件A，B满足P（A）＋P（B）＝1，所以该选项正确； B. 事件A，B，C两两互斥，如 : 投掷一枚均匀的骰子，设{向上的点数是1点}，{向上的点数是2点}，{向上的点数是3点}，则A，B，C两两互斥，, P（A）＋P（B）＋P（C）＜1,所以该选项错误； C. 若A和B互斥，则，则A和B一定不相互独立，所以该选项错误； D.只有当A和B互斥时， P（A＋B）＝P（A）＋P（B），所以该选项错误. 故选：A 3．（21-22高一下·江西南昌·期中）甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如表： 购买A种医用口罩 购买B种医用口罩 购买C种医用口罩 甲 0.1 0.4 乙 0.3 0.2 则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（    ） A．0.24 B．0.28 C．0.30 D．0.32 【答案】B 【分析】由概率的性质求得甲购买A口罩、乙购买B口罩的概率，再应用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求概率. 【详解】由表知：甲购买A口罩概率为，乙购买B口罩概率为， 所以甲、乙购买同一种口罩的概率. 故选：B 4．（23-24高一下·江西景德镇·期中）在古装剧《知否》中，甲和乙两人进行一场投壶比赛，比赛投中得分情况分“有初”，“贯耳”，“散射”，“双耳”，“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹最多者获胜.假设甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，乙的投掷水平与甲相同，且甲和乙投掷相互独立，比赛第一场，两人平局；第二场，甲投了个“贯耳”，乙投了个“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】甲要想赢得比赛，在第三场比赛中，比乙至少多得三筹．甲得“四筹”，乙得“零筹”，甲可赢；甲得“五筹”，乙得“零筹”或“两筹”，甲可赢；甲得“六筹”，乙得“零筹”或“两筹”，甲可赢；甲得“十筹”，乙得“零筹”或“两筹”、“四筹”、“五筹”、“六筹”，甲都可蠃，由此利用互斥事件概率加法公式能求出甲获胜的概率． 【详解】由题可知甲、乙投掷一次获得的筹数相应的概率如下所示： 筹数 2 4 5 6 10 0 若甲获胜，则在第三场比赛中，甲比乙至少多得三筹． 分以下四种情况：①甲得“四筹”，乙得“零筹”，此种情况发生的概率； ②甲得“五筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的概率； ③甲得“六筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的概率； ④甲得“十筹”，乙得“零筹”或“两筹”或“四筹”或“五筹”或“六筹”，此情况发生的概率， 故甲获胜的概率． 故选：D． 二、多选题 5．（23-24高一下·贵州遵义·期中）连续掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件甲为“第一次掷出的点数为1”，事件乙为“第二次掷出的点数为6”，事件丙为“两次掷出的点数之和为6”，事件丁为“两次掷出的点数之和为7”，则（    ） A．甲与乙相互独立 B．甲与丙相互独立 C．甲与丁相互独立 D．乙与丁相互独立 【答案】ACD 【分析】由题意，求出，， 再由相互独立事件的概念,即如果,则事件与事件相互独立,对选项进行判断即可. 【详解】由题意， ，， 因为， ，所以甲与乙相互独立，甲与丁相互独立，乙与丁相互独立，甲与丙不相互独立． 故选：ACD. 6．（24-25高一上·山东威海·期末）口袋中装有编号为①，②，③的3个红球和编号为①，②，③，④，⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同．现从中取出1个小球，记事件A为“取出的小球的编号为③”，事件B为“取出的小球是黑球”，则（   ） A．A与B互斥 B． C．A与B独立 D． 【答案】BD 【分析】根据互斥事件、独立事件的概念判断A、C，根据和事件、交事件的定义及古典概型的概率公式计算即可判断B、D； 【详解】对于A，当取到的小球为黑球，且编号为③，事件和事件同时发生，所以， 故与不互斥，故A错误； 对于B，表示、同时发生的概率，即取到的小球为黑球且编号为③，所以，故B正确； 对于C，表示取出的小球的编号为③的概率，则， 表示取出的小球是黑球的概率，则， 因为，所以事件A与B不独立，故C错误； 对于D，表示取到的小球标号为③或黑球，所以，故D正确. 故选：BD． 三、填空题 7．（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）在荷花池中，有一只蜻蜓在成品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示.假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率是 . 【答案】/0.4375 【分析】根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率，然后根据跳3次回到A，则应满足3次逆时针或者3次顺时针，根据概率公式即可得到结论． 【详解】由题意，知青蛙沿逆时针方向跳的概率是，沿顺时针方向跳的概率是. 青蛙跳三次要回到叶上只有两条途径： 第一条，按，此时停在叶上的概率； 第二条，按，此时停在A叶上的概率. 所以跳三次之后停在叶上的概率. 故答案为： 8．（24-25高一上·陕西·期末）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则1次活动中，甲获胜的概率为 ；2次活动中，甲1次都没获胜的概率为 ． 【答案】 /0.25 【分析】根据甲猜对乙没有猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在2次活动中，甲1次都没获胜由独立事件同时发生的概率公式得解. 【详解】由题意可得一次活动中，甲获胜的概率为； 则在2次活动中，甲1次都没获胜的概率为. 故答案为：；. 四、解答题 9．（23-24高一上·江西上饶·期末）甲、乙两人组成“博学队”参加上饶市中学“博学少年”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； (2)求“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可； （2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案. 【详解】（1）设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件，则 . （2）设事件“甲第一轮猜对”，“乙第一轮猜对”，“甲第二轮猜对”，“乙第二轮猜对”， ““博学队”猜对三个数学名词”，所以， ，则， 由事件的独立性与互斥性，得 ， 故“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率为. 10．（22-23高一下·江西景德镇·期中）溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响. (1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率； (2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率. 【答案】(1)甲队得3分、1分的概率分别为 (2) 【分析】（1）根据独立事件同时发生的概率公式求解； （2）由题意分析相互独立事件同时发生的概率公式分别求解即可. 【详解】（1）记“甲队总得分为3分”为事件A，记“甲队总得分为1分”为事件B， 甲队得3分，即三人都回答正确，则概率. 甲队得1分，即三人中只有一人回答正确，其余两人都答错，则其概率 . （2）记“甲队总得分为2分”为事件C，记“乙队总得分为1分”为事件D， 事件C即甲队三人中只有2人答对，其余1人答错，则其概率. 事件D即乙队3人中只有1人答对，其余两人都答错，则其概率. 由题意可知，事件C和事件D相互独立，故甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为. 11．（24-25高一上·江西宜春·期末）某公司年会拟通过摸球抽奖的方式对员工发红包.先在一个不透明的袋子中装入个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为元，元，元的球分别有个，个，个.参与的员工每次从袋中随机摸出个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次.规定：每人摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的红包的总金额. (1)当时，求甲员工所获得的红包金额不高于元的概率； (2)当时，设事件“甲员工获得的红包总金额不低于元”，事件“甲员工获得的红包总金额不高于元”，试判断事件是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1) (2)事件不相互独立，理由见解析 【分析】（1）根据条件，利用互斥事件的概率公式，即可求解； （2）根据条件，分别求出，，再利用相互独立事件的判断方法，即可求解. 【详解】（1）因为，即只摸次球， 红包总金额不高于元，即为元或元， 从袋中随机摸出个球，对应的红包金额为元的概率为，为元的概率为， 故甲员工所获得的红包金额不高于200元的概率为. （2）当时，“甲员工获得的红包总金额为元或元或元”， 因为，所以. 事件的对立事件为“甲员工获得的红包总金额为元”， 所以； 事件的对立事件为“甲员工获得的红包总金额为元”， 因为，所以， 所以， 所以事件不相互独立. 12．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮胜出的概率； (2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求p，q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 【答案】(1) (2)① ，；② 【分析】（1）利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可； （2）①根据对立事件和独立事件的概率公式列方程，即可求解；②先根据独立事件的概率公式求“甲两轮都胜出”和“乙两轮都胜出”的概率，再利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）设事件“第一轮比赛中甲胜出”，事件“第二轮比赛中甲胜出”， 设事件“第一轮比赛中乙胜出”，事件“第二轮比赛中乙胜出”， 由题意得，，，相互独立，且，，，． 记事件“乙恰好有一轮胜出”，则，又互斥， 所以，当时， . 因此，当时，乙恰好有一轮胜出的概率为. （2）①事件“甲，乙各有一轮胜出”，事件“甲，乙两轮都胜出”， 则， ， 则，解得，． ②事件“甲两轮都胜出”，事件“乙两轮都胜出”， 事件“甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”， ，， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$