精品解析：湖南衡阳市第八中学2025-2026学年高三下学期期中考试数学试题

绝密★启用前 衡阳市八中2026年高三下学期期中考试试题 数 学 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知一组数据12，10，8，15，6，8，这组数据的中位数是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 2. 在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为，过上一点作的准线的垂线，垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 已知函数，若有三个零点，，，且，则最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等比数列的前n项和为，数列的前n项和为，，若，则（ ）． A. B. 2 C. D. 8. 关于 的方程 有两个不同的解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若，则 10. 已知在矩形中，，为线段的中点，将分别沿翻折，使得两点重合于点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 点到平面的距离为 D. 存在半径为的球，使得四点均在球的球面上 11. 已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，则（ ） A. 存在点使得 B. 的最大值为4 C. 当直线垂直于时，三角形的周长为8 D. 的取值范围是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知动点到点和点的距离的平方和为定值6，那么点的轨迹方程为__________. 13. 设，当时，，则______. 14. 有个编号分别为1，2，…，的盒子，第1个盒子中有3个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，从第个盒子中取到白球的概率是_________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，长方体中，，，分别为的中点，在线段上，且. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，，求AB边上中线的长. 17. 现有编号为≥N*的个二进制码元，对应数字通信系统中待传输的离散信息序列，每个码元仅包含或两种基带信号状态．在高斯白噪声信道的实际传输场景中，信号会因信道噪声干扰产生随机畸变：设单个码元传输正确（即接收端收到的信号与发送端原始码元一致）的概率为，发生比特翻转（误码）的概率为，．且不同码元的传输相互独立． 定义随机变量为编号为奇数的码元中，传输正确的码元个数，随机变量为编号为偶数的码元中，发生比特翻转（误码）的码元个数．记，<．(参考公式：设为n个随机变量，则有) （1）若，计算的值； （2）若，求； （3）证明：对任意奇数n(n≥3)，． 18. 已知抛物线与双曲线的渐近线在第一､四象限的交点分别为P，，且. （1）求抛物线的方程； （2）过点的直线与抛物线相交于两点，关于轴的对称点为. （i）若，求直线的方程. （ii）证明：直线必过定点. 19. 定义：若函数在其定义域内存在极大值和极小值，且存在一个常数k，使得成立，则称为“极值可差比函数”，常数为的“极值差比系数”.已知函数. （1）当时，判断是否为“极值可差比函数”，并说明理由； （2）是否存在，使得的“极值差比系数”为?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； （3）设函数，数列满足，，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 衡阳市八中2026年高三下学期期中考试试题 数 学 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知一组数据12，10，8，15，6，8，这组数据的中位数是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】将这组数据从小到大排列为6，8，8，10，12，15，中间的两个数为8和10， 则中位数为. 2. 在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由及即可求解. 【详解】 因为点是线段的中点,所以， 又， 所以， 所以， 故选：C 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次不等式的解法求得，利用具体函数的定义求得，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】由，得到，所以， 又，得到，所以，得到， 故选：A. 4. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性分析出在上单调递减，且在上恒成立后，再求解即可. 【详解】因为在单调递增，所以要使函数在上单调递减， 则在上单调递减，且在上恒成立， 故且在上恒成立，又时，， 所以且，故， 故选：B. 5. 已知抛物线的焦点为，过上一点作的准线的垂线，垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线的准线确定抛物线方程，结合抛物线定义与特殊三角形计算即可. 【详解】由于的准线，所以，设准线与纵轴交于E点， 根据抛物线定义可知，所以， 易知，所以. 故选：A 6. 已知函数，若有三个零点，，，且，则最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解析式画出大致图象，数形结合可得参数范围，进而有，且，则得，从而得，再构造函数，，结合导数知识从而可求解. 【详解】根据函数解析式，可得函数的大致图象如图所示， 因为有三个零点，所以. 令，得， 因为，所以， 又，且， 则. ，且 令，，则. 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，的最大值为， 综上，，则，故A正确. 故选:A. 7. 已知等比数列的前n项和为，数列的前n项和为，，若，则（ ）． A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的求和公式进行求解即可. 【详解】由是等比数列，得也是等比数列， 而当公比时，，此时， 则，不满足，故， 所以当公比时，有， 则， 由，则，即， 又由，得， 故选：C． 8. 关于 的方程 有两个不同的解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指对运算将方程化为，设，求导确定单调性可得，令，求导确定函数的单调性与最值从而得实数的取值范围. 【详解】方程可转化为，则， 所以， 设，则方程转化为， 又恒成立，所以在上为增函数， 所以，即， 令，所以，则可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以， 又时，，时，， 若方程有两个不同的解，则实数的取值范围为. 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例排除AD，设，根据复数的运算性质和求模长的公式判断BC，从而得解. 【详解】A选项，令，则，但不满足，A错误； B选项，设，则， ，B正确； 选项，设，则，则，C正确； 选项，令，则，但不满足D错误. 故选：BC. 10. 已知在矩形中，，为线段的中点，将分别沿翻折，使得两点重合于点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 点到平面的距离为 D. 存在半径为的球，使得四点均在球的球面上 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：借助折叠性质与勾股定理逆定理计算即可得；对B：借助线面垂直判定定理可得为三棱锥的高，再利用体积公式计算即可得；对C：借助等体积法计算即可得；对D：设出球心，结合外接球性质，利用勾股定理计算即可得. 【详解】对A：，，， 有，故，故A正确； 对B：由，故、， 又、平面，，故平面， 故，故B错误； 对C：设点到平面的距离为，则由可得： ，则，故C正确； 对D：设三棱锥外接球球心为，半径为， 由，平面，取中点， 则，且，则， 则有， 即，故D错误. 故选：AC. 11. 已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，则（ ） A. 存在点使得 B. 的最大值为4 C. 当直线垂直于时，三角形的周长为8 D. 的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于AD，设，，根据平面向量的数量积的坐标表示求得，进而求解判断即可；对于B，根据椭圆定义可得，再结合基本不等式求解判断即可；对于C，由直线垂直于可得，，再根据椭圆定义求解判断即可. 【详解】对于AD，由椭圆，则， 即， 设，，则，即， 所以， 则， 因为，所以的取值范围是，故D正确， 显然，则不存在点使得，故A错误； 对于B，根据椭圆定义，可知， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为4，故B正确； 对于C，由于， 当直线垂直于时，可得直线垂直平分，即，， 所以的周长为： ，故C正确. 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知动点到点和点的距离的平方和为定值6，那么点的轨迹方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】运用直接法，设点，依题意列出方程，化简即得. 【详解】设点，依题意，, 代入点的坐标，可得：， 化简得：. 即点的轨迹方程为. 故答案为：. 13. 设，当时，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用降幂公式化简可得，由已知可求得，再利用同角的三角函数的平方关系可求. 【详解】， 由，所以，所以， 因为，又，所以， 所以. 故答案为：. 14. 有个编号分别为1，2，…，的盒子，第1个盒子中有3个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，从第个盒子中取到白球的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】记事件表示从第个盒子里取出白球，即可得到，然后构造等比数列，求通项公式即得. 【详解】记事件表示从第个盒子里取出白球，则，， 所以， ， 进而可得，， 所以， 又，，， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，长方体中，，，分别为的中点，在线段上，且. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则， ∴， 设是平面的法向量， 则，令，则， ∴是平面的一个法向量， 易知，∴也是平面的一个法向量， ∴平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量证明线面垂直即可； （2）求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法计算线面角即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）中建立的空间直角坐标系，可得， 设平面的法向量为， 则，令，则， ∴是平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则， ∴直线与平面所成角的正弦值为． 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，，求AB边上中线的长. 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）将已知三角等式通过内角和与二倍角公式转化为关于的二次方程，求解角； （2）先利用正弦定理求出三角形各边长度，再通过余弦定理计算边上的中线长. 【小问1详解】 在中，，故. 由，得， 即， 即，(舍去，因). 由，，得. 【小问2详解】 由，，得. . 由正弦定理得， 同理，. 设的中点为，则. 在中， ， 故，即边上的中线长为. 17. 现有编号为≥N*的个二进制码元，对应数字通信系统中待传输的离散信息序列，每个码元仅包含或两种基带信号状态．在高斯白噪声信道的实际传输场景中，信号会因信道噪声干扰产生随机畸变：设单个码元传输正确（即接收端收到的信号与发送端原始码元一致）的概率为，发生比特翻转（误码）的概率为，．且不同码元的传输相互独立． 定义随机变量为编号为奇数的码元中，传输正确的码元个数，随机变量为编号为偶数的码元中，发生比特翻转（误码）的码元个数．记，<．(参考公式：设为n个随机变量，则有) （1）若，计算的值； （2）若，求； （3）证明：对任意奇数n(n≥3)，． 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意列出的表达式，再把代入即可； （2）法1：写出， ， ，，，，再求出即可判断； 法2：写出，再根据公式求出即可判断； （3）设，原不等式等价于，一方面，考虑由个码元的传输情况到个码元的传输情况，另一方面，考虑由个码元的传输情况到个码元的传输情况证明即可. 【小问1详解】 ， ． 【小问2详解】 法1：由题意知：可以取，可以取，可以取， ， ， ， ． 可以取，可以取，可以取， ， ， ， ， ． ， 解得． 法2．由题意， ， ， ， 解得． 【小问3详解】 设原不等式等价于 ． 一方面，考虑由个码元的传输情况到个码元的传输情况： ； ， ． 下面证明，： i) ， 由于，，，所以． ii) ， ． 另一方面，考虑由个码元的传输情况到个码元的传输情况： ≥ ； ； ． 下面证明，： i) ， 由于，，，所以． ii) ， ，证毕． 18. 已知抛物线与双曲线的渐近线在第一､四象限的交点分别为P，，且. （1）求抛物线的方程； （2）过点的直线与抛物线相交于两点，关于轴的对称点为. （i）若，求直线的方程. （ii）证明：直线必过定点. 【答案】（1）； （2）（i）或； （ii）设关于轴的对称点为，则直线为， 根据抛物线的对称性，知定点必定在轴上， 令得： 直线过定点. 【解析】 【分析】（1）设点P的坐标为，根据点在渐近线上列方程求得，再代入抛物线求参数，即可得方程； （2）（i）设直线的方程为，联立抛物线并应用韦达定理，结合的坐标表示列方程得，即可得直线方程；（ii）设关于轴的对称点为，写出直线的方程，根据对称性知定点在必定在轴上，令结合韦达公式化简，即可证. 【小问1详解】 因为点关于x轴对称，设点P的坐标为， 双曲线的渐近线方程为， 因为点P在双曲线的渐近线上，所以， 所以点的坐标为， 又点在抛物线上，所以，所以， 故抛物线的标准方程为：； 【小问2详解】 （i）设直线的方程为，联立，消得，， 方程的判别式，即， 设，则①，②， ， ，代入①②得，则， 直线的方程为或； （ii）略 19. 定义：若函数在其定义域内存在极大值和极小值，且存在一个常数k，使得成立，则称为“极值可差比函数”，常数为的“极值差比系数”.已知函数. （1）当时，判断是否为“极值可差比函数”，并说明理由； （2）是否存在，使得的“极值差比系数”为?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； （3）设函数，数列满足，，，证明：. 【答案】（1）是，理由为： 当时，，， 则，令，得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 的极大值为，极小值为. 所以. 是“极值差比系数”为的“极值可差比函数”. （2）不存在，理由为： 假设存在，使得的“极值差比系数”为. ，， . 又为“极值可差比函数”，有两个不同的极值点，， 故关于的方程在上有两个不同的实数解，， 则，解得，则. 不妨设，则， 所以 ，则， ，， ，，则，即. 令，，则， 在上单调递增，则. 在时无解. 故不存在，使得的“极值差比系数”为. （3） 证明：，定义域， 要证，即证， ，，即，， 故证<，设，则， 证即可， ，的判别式， 恒成立，即，在单调递减， 所以当时，，即， 又， 令，在单调递增； 令，在单调递减； ，，，， 且， ，，， 所以当时，，，， 又在单调递减，，即， 得证. 【解析】 【分析】（1）先求出的导数，根据导数求出极值点，再计算的值，判断是否满足“极值可差比函数”的定义即可. （2）先根据函数有两个不同的正根得出的取值范围，再通过的表达式求出，结合已知的值建立方程求解即可. （3）求出的表达式，并求导判断其单调性，再构造函数，通过分析的单调性，结合的递推关系证明不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $