精品解析：河北省廊坊市固安县2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年度八年级下学期阶段评估（一） 数学 下册第十六～十七章 注意事项：共8页，总分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A 9，12，15 B. ，， C. 1，， D. 2，3，4 3. 若代数式在实数范围内有意义，则x的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4. 若△ABC三边a、、满足，则△ABC的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 5. 若，则“△”表示的数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 14 6. 如图，在平面直角坐标系中，A，C两点分别位于坐标轴上，且．若，，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中有两个相邻的直角三角形，恰好能拼成如图2所示的四边形．已知，，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 8. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C都在小正方形的顶点上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. “分母有理化”是常用的一种化简方法，如：．根据这种方法，化简的结果为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，分别以三角形的三边为边长向外侧作正方形，若最大的正方形的面积为52，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 12 B. 20 C. 24 D. 36 11. 如图，将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB中，初始位量为CD，当一端C下滑至时，另一端D向右滑到，则下列说法正确的是（ ） A. 下滑过程中，始终有 B. 下滑过程中，始终有 C. 若，则下滑过程中，一定存在某个位置使得 D. 若，则下滑过程中，一定存在某个位置使得 12. 如图，将“赵爽弦图”中的四个全等的直角三角形（阴影部分）分别沿着正方形的四条边向外翻折，得到大正方形．记正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，则，，之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：______． 14. “同旁内角互补，两直线平行”逆命题是_____________________________. 15. 如图，圆柱高为10，底面圆的直径为8，若取3，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到的中点E的最短距离为______． 16. 如图，在长方形中，，，，沿边所在直线翻折，与重合，点F在上，则的长是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 现有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出三块面积分别为，和的正方形木板． （1）问三块正方形木板的边长分别是多少？ （2）求剩余木板的面积． 18. 如图，在四边形中，，为对角线．已知，，，．求证：是直角三角形． 19. （1）填空： ①______，②______，③______，探究：对于任意非负数a，④______； ⑤______，⑥______，探究：对于任意负数a，⑦______． 综上所述，对于任意实数a，⑧______． （2）请运用上述性质解答：当时，化简． 20. 某校“综合与实践”小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，他们经过思考、讨论，制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果见下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高 成员 组员：，， 工具 皮尺等 测量 示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点B．第一次操作：如图1，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺测出的长度．第二次操作：如图2，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处，用皮尺测出的长度． 测量 数据 测量项目 数值（单位：m） 图1中的长度 2 图2中的长度 6 …… …… （1）请根据以上测量结果，帮助小组求出学校旗杆的高． （2）如图3，淇淇同学进行第三次操作：沿射线方向前行至点E处，再次将绳子拉直，测得此时绳子末端F到地面的距离，则点F到旗杆的距离为______m．（图中的点均在同一平面内，结果保留根号） 21. 有个填写运算符号的游戏：在“”，中的每个“□”内，分别填入“”“”“”“”中的某一个（可重复使用），然后计算结果． （1）计算：． （2）若，则“□”内的符号是______． （3）在“”“□”内填入运算符号，使计算结果最大，并直接写出最大值． 22. 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． （1）如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，请推导勾股定理． （2）如图2，在中，，，，，垂足为H，求的长． 23. 阅读下面材料： 将边长为a，，，，…，的正方形面积分别记为，，，，…，，其中a，b均为正数． ． 根据以上材料解答下列问题： （1）______．（用含a，b的代数式表示） （2）试猜想的值，并证明你的猜想． （3）令，，，…，，．当，时，求T的值． 24. 如图1，在中，，点D在边上，点F在射线上，连接，，作，交射线于点E，连接． （1）求证：． （2）如图2，当，时． ①若，求的长； ②若，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度八年级下学期阶段评估（一） 数学 下册第十六～十七章 注意事项：共8页，总分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】最简二次根式须同时满足两个条件：一是被开方数中不含分母，二是被开方数中不含能开的尽方的因数或因式，据此逐项判断即得答案．本题考查了最简二次根式的定义，属于基础题型，熟知概念是关键． 【详解】解：A、，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、中含有分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； C、不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、是最简二次根式，本选项符合题意． 故选：D． 2. 在下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 9，12，15 B. ，， C. 1，， D. 2，3，4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟悉相关性质是解题的关键．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A．∵，∴9，12，15是勾股数组； B．，，不是正整数，不是勾股数组； C．1，，不是正整数，不是勾股数组； D．∵，∴2，3，4不是勾股数组． 故选A． 3. 若代数式在实数范围内有意义，则x的值可以是（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出的范围，判断即可． 详解】解：由题意得：， 解得：， 观察四个选项，的值可以是2， 故选：C． 4. 若△ABC三边a、、满足，则△ABC的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】先根据非负数的性质求出a，b，c的值，然后利用勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴ 解得： 则 ∴为直角三角形， 故选A 【点睛】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．同时考查了勾股定理的逆定理的应用． 5. 若，则“△”表示的数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质以及二次根式的减法运算，先根据二次根式的性质化简得，再结合二次根式的减法法则进行计算，即可作答． 【详解】解：， 则， ∴“△”表示的数是， 故选：A 6. 如图，在平面直角坐标系中，A，C两点分别位于坐标轴上，且．若，，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质，勾股定理等知识，先根据勾股定理求出，然后根据全等三角形的性质求出，，最后根据第四象限内点的坐标特点求解即可． 【详解】解：在，，， ∴， ∵ ∴，， 又点D在第四象限，， ∴点D的坐标为， 故选：D． 7. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中有两个相邻的直角三角形，恰好能拼成如图2所示的四边形．已知，，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，，是直角三角形，可以求得的值，再根据勾股定理可以求得的值．本题考查勾股定理、含角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出的值． 【详解】解：解：∵，，是直角三角形， ∴， ∵是直角三角形，， ∴， 故选：D． 8. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C都在小正方形的顶点上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定与性质，先分别算出的三边的长度，再运用勾股定理的逆定理得出是等腰直角三角形，进而得出的度数，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： 依题意， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：C 9. “分母有理化”是常用的一种化简方法，如：．根据这种方法，化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则是关键． 分子、分母同时乘以，结合二次根式的混合运算法则计算即可求解． 【详解】解：， 故选：A ． 10. 如图，在中，分别以三角形的三边为边长向外侧作正方形，若最大的正方形的面积为52，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 12 B. 20 C. 24 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题差了勾股定理，根据勾股定理求出是解答本题的关键．先由勾股定理求出，然后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积为∶． 故答案为：20． 11. 如图，将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB中，初始位量为CD，当一端C下滑至时，另一端D向右滑到，则下列说法正确的是（ ） A. 下滑过程中，始终有 B. 下滑过程中，始终有 C. 若，则下滑过程中，一定存在某个位置使得 D. 若，则下滑过程中，一定存在某个位置使得 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB中，初始位置为CD，当一端C下滑至时，另端D向右滑到，当△OCD与全等时，， A、下过程中，与不一定相等，说法错误； B、下滑过程中，当△OCD与△ODC全等时，，说法错误； C、若OC＜OD，则下过程中，不存在某个位置使得，说法错误； D、若OC＞OD，则下过程中，当△OCD与△ODC全等时，一定存在某个位置使得，说法正确； 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，关键是根据全等三角形的对应边相等解答． 12. 如图，将“赵爽弦图”中的四个全等的直角三角形（阴影部分）分别沿着正方形的四条边向外翻折，得到大正方形．记正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，则，，之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式与几何图形，设中较长的直角边长为a，较短直角边长为b，得到，，，即可得出结论． 【详解】解：设中较长的直角边长为a，较短直角边长为b，则：，，， ∴，，， ∴； 故选C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，把被开方数相乘，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 故答案为：6． 14. “同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是_____________________________. 【答案】两直线平行，同旁内角互补 【解析】 【详解】分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“同旁内角互补，两直线平行”的条件是同旁内角互补，结论是两直线平行，故其逆命题是两直线平行，同旁内角互补． 详解： 命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补， 故答案为两直线平行，同旁内角互补． 点睛：考查了互逆命题的知识及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 15. 如图，圆柱的高为10，底面圆的直径为8，若取3，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到的中点E的最短距离为______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画出爬行路线的展开图，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，． 16. 如图，在长方形中，，，，沿边所在直线翻折，与重合，点F在上，则的长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了长方形的性质，勾股定理与折叠问题，连接．证明垂直平分得．在中，由勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是长方形， ∴． 根据题意，，． ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴． ∵，，， ∴， ∴． 在中，， 在中，． ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 现有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出三块面积分别为，和的正方形木板． （1）问三块正方形木板的边长分别是多少？ （2）求剩余木板的面积． 【答案】（1）三块正方形木板的边长从左到右依次为，， （2）21平方分米 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义求解即可； （2）用大长方形的面积减去三个正方形的面积即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴三块正方形木板的边长从左到右依次为，，． 【小问2详解】 解：根据题意，长方形木板的长为，长方形木板的宽为， ∴剩余木板的面积． 18. 如图，在四边形中，，为对角线．已知，，，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．先根据勾股定理求出，再根据，得出是直角三角形即可． 【详解】证明：∵，，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 19. （1）填空： ①______，②______，③______，探究：对于任意非负数a，④______； ⑤______，⑥______，探究：对于任意负数a，⑦______． 综上所述，对于任意实数a，⑧______． （2）请运用上述性质解答：当时，化简． 【答案】（1）①3；②0；③；④；⑤3：⑥；⑦；⑧；（2） 【解析】 【分析】本题考查了数轴和二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质的正确和灵活运用； （1）①②③根据算术平方根的意义求解即可； ④根据①②③的计算归纳即可； ⑤⑥根据算术平方根的意义计算即可； ⑦⑧根据前面的计算归纳即可； （2）根据（1）中结论化简即可． 【详解】解（1）①，②，③，探究：对于任意非负数a，④； ⑤，⑥，探究：对于任意负数a，⑦． 综上所述，对于任意实数a，⑧． 故答案为：①3；②0；③；④；⑤3：⑥；⑦；⑧． （2） ∵， ∴，， ∴原式． 20. 某校“综合与实践”小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，他们经过思考、讨论，制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果见下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高 成员 组员：，， 工具 皮尺等 测量 示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点B．第一次操作：如图1，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺测出的长度．第二次操作：如图2，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处，用皮尺测出的长度． 测量 数据 测量项目 数值（单位：m） 图1中的长度 2 图2中的长度 6 …… …… （1）请根据以上测量结果，帮助小组求出学校旗杆的高． （2）如图3，淇淇同学进行第三次操作：沿射线方向前行至点E处，再次将绳子拉直，测得此时绳子末端F到地面的距离，则点F到旗杆的距离为______m．（图中的点均在同一平面内，结果保留根号） 【答案】（1）学校旗杆的高为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）设学校旗杆的高度为，则绳子的长度为．在中，根据勾股定理求解即可； （2）过点F作，垂足为G，可得，，在中，根据求解即可． 【小问1详解】 解：设学校旗杆的高度为，则绳子的长度为． 在中，根据勾股定理，得 ，即， 解得． 答：学校旗杆的高为． 【小问2详解】 解：如图，过点F作，垂足为G， 则四边形是长方形， ∴，， ∴． 由（1）可知，． 中，， 即点F到旗杆的距离为． 故答案为． 21. 有个填写运算符号的游戏：在“”，中的每个“□”内，分别填入“”“”“”“”中的某一个（可重复使用），然后计算结果． （1）计算：． （2）若，则“□”内的符号是______． （3）在“”的“□”内填入运算符号，使计算结果最大，并直接写出最大值． 【答案】（1）125 （2） （3）“□”内依次填入“”“”．运算结果为 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，清楚运算顺序是解题的关键． (1)先化成最简二次根式，后合并同类二次根式计算即可． (2)先按照运算顺序依次计算，后比较□前后两个数与结果，计算推想即可． (3)要想使得结果最大，只需前三个数的和或积最大即可，比较和与积的大小，计算判断即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 ∵ ， ∴， ∴“□”内的符号为“”． 【小问3详解】 ∵，，， ∴“□”内依次填入“”“”，计算所得结果最大， 则 ． 22. 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． （1）如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，请推导勾股定理． （2）如图2，在中，，，，，垂足为H，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及梯形、三角形面积公式的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理； （1）用两种方法表示出梯形的面积，再根据他们相等整理即可证明结论； （2）设，分别在和中，表示出，列出方程，求出x，再利用勾股定理即可求出的值 【小问1详解】 解：∵ ∴ 整理得：； 【小问2详解】 解：设 ∵ ∴ ∴和都是 在中， 在中， ∴ ∵ 则 解得 即 在中，由勾股定理，得 23. 阅读下面材料： 将边长为a，，，，…，的正方形面积分别记为，，，，…，，其中a，b均为正数． ． 根据以上材料解答下列问题： （1）______．（用含a，b的代数式表示） （2）试猜想的值，并证明你的猜想． （3）令，，，…，，．当，时，求T的值． 【答案】（1） （2）猜想，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用、平方差公式、代数式求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）根据正方形的面积公式可得，利用平方差公式计算即可得； （2）根据正方形的面积公式可得，利用平方差公式计算即可得证； （3）先代入化简可得，再利用平方差公式化简，然后将的值代入计算即可得． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 故答案为：． 【小问2详解】 解：猜想，证明如下： ． 【小问3详解】 解：∵，，，…，， ∴ ， 当，时，． 24. 如图1，在中，，点D在边上，点F在射线上，连接，，作，交射线于点E，连接． （1）求证：． （2）如图2，当，时． ①若，求的长； ②若，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得，结合外角性质，得，则； （2）①先由等边对等角得，结合（1）的，则，然后证明，故，再运用勾股定理列式计算，即可作答． ②如图1，过点A作于点M，当点D在点M的右侧时，运用勾股定理得，结合等面积法列式计算，得，结合线段的和差关系得，再证明，如图2，当点D在点M的左侧时，同理可得，，，得． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 ①∵，， ∴． ∵， ， ∴． ∵， ∴． 由（1）已证， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 易得． ②或，过程如下： 如图1，过点A作于点M，当点D在点M的右侧时， ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 由（1）得，而，， ∴， ∴． 如图2，当点D在点M的左侧时， 同理可得，，， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，熟练的证明需要的两个三角形全等是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$