培优训练(三)(范围：7.3～7.5)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

13.解析设农民工年均收入一N(4,), 预期可获利80×0.7+40×0.2一40×0.1=60（元）.故选 结合图象可知，=8000，a=500. B项. (1)由题意知此地农民工年均收入的正态密度函数表达式为 P(x)=1 e 、26 =1 -800 2.C醒扬因为随机变量X服从二项分布B(4,),所以 50012云9 2×9w,x∈(-o,十0∞). DX)=4×号×(1-是)=1，则D3X+D=9.故选C项。 (2)图为P(7500≤8500)=P(8000-500≤8000+ 3.C解析由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故 500)≈0.6827， 所以P(8000≤≤8500)=2P(7500≤区8500)≈ P0X-)-智-易长选C项 0.34135=34.135%, 4.D解析根据正态曲线的对称性，每个收费口有不低于700 即农民工年均收入在8000~8500元之间的人数占总体的 辆小汽车通过的概率P(X≥700)=号[1-P(500<X< 34.135%. 14.解析若选第一条路线，即X~N(5,1),则=5，斤=1，所 70)]=号×(1-号）=号(i=1,2,340,所以这四个收货 以能及时到达的概率P1=P(X1≤7)=P(X,<5)十P(5≤ 口每天至少有一个不低于700辆小汽车通过的概率P-1 X<7)=之+Pga-2a<X≤m+2a. (1-)）广=故选D项 若选第二条路线，即X:~N(6,0.16),则=6，=0.16， 5.AD解析甲取出一张红牌为事件A,乙取出一张红牌为事 所以能及时到达的概率P:=P(X2≤7)=P(X<6)十 件B,则P(A)=号=号，P(B)=子，则X的可能取值为1， P(6<X:<7)=+P-2.5a<X≤+2.5a 易知P<P2,所以应选第二条路线. 2.3,且y=3-X,则PX=1)=号×是=是，PX=2) 15.AC解析因为随机变量服从标准正态分布N(0,1),所 ×+号×P0X=0=号×-所以00= 以正态曲线关于—0对称，因为(x)=P(≤x),其中x> 0,所以根据曲线的对称性可得g(一x)=1一gx),故A项正 1×景+2×号+3×日-子，所以EY)=E3-X0=3 确：(2x)=P(≤2.x)<1,2e(x)=2P(≤x)>1,所以 g(2x)≠2g(x),故B项错误：P(<x)=2P(0<<x)= BX0=3子=号，DY)=D3-X0=(-1rD) 2)-]=g-1,故C项正确：P>)=21- D(X).故选AD项， (x)]≠2-(x),故D项错误.故选AC项 6.照由题虑得P(-Q5<A<05)>0能7=P(-是<A< 16.BC解析A项，因为正态曲线关于x=180对称，所以这次 马）所以05≥是，所以m≥6，至少要实验6次。 考试标准分超过180分的约有号×1000=500（人），故A 答6 项不正确：B项，由正态分布V(180,900),可知4=180，a= 7.解析由题意X~B(9,p),由于p=,则C8p(1一p)'=Cp°· 30,所以P(90≤X≤270)=P(180-3×30≤X≤180+3× 30)=0.9973,因此这次考试标准分在[90,270]内的人数 1-pP,解得p=号，ECX0=np=9X号-号 约为1000×0.9973≈997，故B项正确：C项，因为正态曲 鉴号 线关于x=180对称，所以某个人标准分超过180分的概率 1 为2，因此甲、乙，丙三人拾有2人的标准分超过180分的 8.解折当p=子时，B0=0X2 +1x号+2x喜=在 概率为C×(合)×(1-号)=君，故C项正确D项，由 p的交化过程中，B0=0x号+1×号+2×号=十p: 题中所给的公式可知P(90≤X≤270)=P(180-3×30≤ X180+3×30)=0.9973.P(120≤X240)=P(180-2× 则D0=(o-号-p)'.12+(1-号-p）· 30≤X≤180十2×30)=0.9545，所以由正态分布的性质可 (2--p)·专=-r+p+号=-(p-2)}+2,所 知P(240<X<20)=号[P(90≤XK270)-P120≤X≤ 以当p=2时，D(X)最大，最大值为号，所以D(2X+1) 240]-号×(0.973-0.9545)=0.0214，故D项不正确. 4D(X)ms=2. 故选BC项. 昏8 2 培优训练（三）》 9.解析(1)因为体能成绩X服从正态分布N(,),P(X≤ 1.B解析设这台机器每生产一件产品可获利X元，则X的可 75)=0.5,P(X≥95)=0.1， 能取值为80,40，-40，所以P(X=80)=0.7,P(X=40)= 所以P(75<X95)=1一P(X≤75)-P(X≥95)=1-0.5 0.2,P(X=一40)=0.1，所以这台机器每生产一件产品平均 0.1=0.4. ·209· (2)由题意知，专的可能取值为0,1,2,3，则P(:=0) 正态分布N1,1),可得=1，g=1,若P(>2)=p,则P(0< G(号)广=g,P(=)=C(合)'=是，P(=2) )=号一p,错误：对于D项，若随机变量Y服从二项分 c心（号）广-是，P3)=C(2)广- 布B(4,号）)，则Em=4X号=2，Dn=4X号×号 所以：的分布列为 1.所以E(2Y+1)=2E(Y)十1=5.D(2Y+1)=22D(Y) 0 1 2 3 4,正确.故选ABD项. P 1 3 1 14.解析(1)甲滑雪用时比乙多5×36=180秒=3分钟，因为 8 前三次射击，甲、乙两人的被罚时间相同，所以在第四次射 数学期望为E0-0X日+1×号+2X骨+3X日-是 击中，甲至少要比乙多命中4发子弹. 10.解析(1)样本中一共有产品3十4+7+5十1=20（件），包装质 设“甲胜乙”为事件A,“在第四次射击中，甲有4发子弹命 中目标，乙均未命中目标”为事件B,“在第四次射击中，甲 量在(495,510]克的产品有4十7+5=16（件），故从该流水 有5发子弹命中目标，乙至多有1发子弹命中目标”为事件 线任取一件产品为一等品的概率P一》-青 C,依题意可知，事件B和事件C是互斥事件，A=B十C, (2)依题意得X的可能取值为0,1,2， PB-C×号×（信）广×（日）广-2PO-(号)》× 则P(X=2) 是-器，PX=1=e-器PX=o) C [()广+C()×]=所以PA=P(B+ 是-品 PO-28即甲雅乙的托奉为Tz 69 故X的分布列为 (2)依题意得，甲选手在比赛中未击中目标的子弹数为X, X 0 2 乙选手在比赛中未击中目标的子弹数为Y,则X一 品 器 B(20,号)Y-B(20,4). (3)由(2)可得E(X)=0× 3 +1×+2× 95 195 所以甲被弱时间的期望为1XE0=X2DX号=4分钟)。 依题意Y~B(2,号)，则Y的可能取值为0,1,2， 乙被司时间的期望为1XB0)=1×20X号=5（分钟）. PY=2)=(》'-PY=1)=C(1-号)×号 又在赛道上甲选手滑行时间慢3分钟，所以甲最终用时的 P0=o=(1-号广-= 期望比乙多2分钟.因此仅从最终用时考虑，乙选手水平 更高 故Y的分布列为 15.解析继续再进行80次投掷试验，出现点数为1的次数X 0 1 2 服从二项分布X一B(80,日)，则k=(a+1)p=81×日 6 25 25 25 号-18.5，姑合题中结论可知，k=13时耗率最大，即后西 所以EY)=2X 4 后，所以EY)=E(X). 80次中出现13次点数1的概率最大，加上前面20次中的 1山.A服团由题中表格可得E(X)=-1×号十0×号+1× 5次，所以出现18次的概率最大. 答率18 言=-京周为y=aX+3,所以E)=aEX0+3=aX 16.解析(1)由题意得2×(0.02+0.03+a+0.18+0.10+ （-子)十3=亭，所以0=4.故选A项。 0.05)=1,解得a=0.12. (2)由题意知样本的平均数为4×0.02×2十6×0.03×2+ 12.A解折由图可知，棋盘共计48个菱形，其中有16个灰色 8×0.12×2+10×0.18×2+12×0.10×2+14×0.05× 的菱形，故向棋盘内随机投掷1个，点，落在灰色区域内的概 2=9.84,所以=9.84. 率为日，则至少2点落在灰色区城内的概率P=G(号)· 又≈2.39，所以P(7.45<≤14.62)=P(u-<≤μ十 (号)+（号）广-品故选A项 2a)=Pg<+o+P-2+2a× (0.6827+0.9545)=0.8186, 13.ABD解析对于A项，若事件A与B相互独立，且0P(A)< 则5000×0.8186=4093，所以估计该地区教职工中学习 1,0<P(B)<1可得P(AB)=P(A)·P(B),则P(A|B) 时间在(7.45,14.62]内的人数约为4093. PA)PB=P(A),故A项正确：对于B项，若二项分布满 P(B) (3)由频率分布直方图可知，[7,9)，[9,11)对应的频率比为 足E(X)=10,D(X)=5,则有E(X)=np=10,D(X)= 0.24:0.36.即为2：3， np一p)=5,解得p=之，正确：对于C项，随机变量服从 所以抽取的5人中学习时间在[7,9)，[9,11)内的人数分别 为2,3， ·210· 设从这5人中抽取的3人学习时间在[7,9)内的人数为X,:10.解析画出散点图，如图所示，由图可知，y有线性相关关系. 则X的所有可能取值为0,1,2， PX-0-8-品PX-1D--号PX-2) 70 C 5 0 所以EC0=0X品+1x号+2x是-号 0 246 故这3人中学习时间在[7,9)内的教职工平均人数约为L, x=5,y=47.5,∑2=120.∑=9900.∑xy,=1080, 课时作业（十七） 之y-4西 则r= 1,C解析由回的周长公式可知，圆的周长和半径之间的关系 是确定的函数关系，故A项不符合题意：价格不变的前提 (公-)（公-4） 下，商品销售额与销售量之间的关系是确定的函数关系，故 1080-4×5×47.5 ≈0.9827. B项不符合题意：家庭年收入会影响家庭年消费支出，但不 √(120-4×5)×(9900-4×47.52) 是唯一影响因素，故C项符合题意：正三角形的面积和边长之 故x与y之间具有很强的正相关关系 间的关系是确定的函数关系，故D项不符合题意，故选C项， 11,AD解析若所有样本，点都在直线y=一2x十1上，且直线 2.D解析A,C项中的散，点不具有线性相关关系，B项具有负 斜率为负数，副r=一1，故A项说法错误，B项说法正确：若 相关关系，D项具有正相关关系.故选D项. r越接近1，则变量x与y的线性相关程度越强，故C项 3.D解析r≤1，且r越接近1，线性相关程度越强，r越 说法正确，D项说法错误.故选AD项. 接近0，线性相关程度越弱，故选D项 12.C解析由图可以看出，同城和异地快递量最高都在5月份 4.C解析由散点图知，两个变量具有线性相关关系，所以 故A项错误：因为679566596046708626679566 59960L.6 6795566 ①正确：利用统计知识进行预测，得到的结论有一定的随机 所以3月异地快递增长率明显高于4月异地快递增长率， 性，所以②错误，③正确.所以正确结论的个数是2.故选 故B项错误：由图可看出，除2024年6月异地快递量较5 C项. 月略少，其余都有较明显增加，因此可以判断异地快递量与 5.ABC解扬月温差（月最高气温一月最低气温）的最大值出 月份呈正相关关系，故C项正确，D项错误.故选C项. 现在10月，故A项正确：每月最低气温与最高气温有较强的 线性相关性，且二者为线性正相关，故B项正确：每月最高气 13.照玩由题可知，=名×(8+1+14+20叶23+2)=17， 温与最低气温的平均值在4~8月分别为20.5,23,26.5,29， 30,逐月增加，故C项正确：9~12月的月温差为20,31,24， 2x-=(8-17+1-172+14-1+(20 21,5-8月的月温差为18,17,16,16,912月的月温差的波 17)2+(23-17)2+(26-17)2=252. 动性更大，故D项错误.故选ABC项. 6.解析②④中的两个变量正相关 85 则r 答案②④ w252×5.5 一) 7解析因为点E到其他，点的平均距离最大，所以去掉点E后， 85 制下的5个点所对应的数据的相关系数会最大 ≈0.97， 67×5.5 答索E 因为r非常接近1，所以酶的活性指标值y与温度x具有 8解析|越接近于1，成对样本数据的线性相关程度就越强， 较强的线性相关性， 在甲、乙、丙所给的样本相关系数中，一0.90的绝对值最接 近1，所以丙的线性相关程度最强. 14服罚易知x=吉×(6+6+7+8+9)=7，y=吉×(8+6十 答察丙 9.解析散点图如图所示 4.5十3.5+3)-5，则 2-)-5)=-6-1+0 12弹簧长度/cm 1.5-4=-12.5,2,-xP=4+1+0+1+4=10, 10r 20%-=9+1+025+225+4=16.5,所以r 6 ∑-D(- -12.5 0510152025303540黄0g -12.5≈ 10X16.5≈12.8号 由散点图可以看出两个变量对应的点大致分布在一条直线 附近，因此可以得出结论：质量与弹簧长度这两个变量具有 一0.97，则r∈[0.75,1]，所以变量x与y的相关程度 相关关系，且它们是正相关关系 很强。 ·211·培优训练（三） 答案见P (范围：7.3~7.5) I基础训练川 5.(多选)甲、乙两位同学玩纸牌游戏（纸牌除了颜 一、选择题 色有不同，没有其他任何区别)，他们手里先各持 1.一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品 4张牌，其中甲手里有2张黑牌，2张红牌，乙手 可获利80元，生产出一件乙等品可获利40元，生 里有3张黑牌、1张红牌，现在两人都各自随机的 产一件次品要赔40元，已知这台机器生产出甲 拿出一张牌进行交换，交换后甲、乙手中的红牌数 等、乙等和次品的概率分别为0.7,0.2和0.1，则 分别为X,Y张，则 () 这台机器每生产一件产品，平均预期可获利 APX=2)=号 BP(X=3)= C.E(X)=E(Y) D.D(X)=D(Y) A.59元 B.60元 二，填空题 C.61元 D.62元 6.小强对重力加速度做n次实验，若以每次实验结 2.已知随机变量X服从二项分布B(4,),则 果的平均值作为重力加速度的估值.已知估值的 D(3X+1)= ( 误差4.~N(0,号)，为使误差4在(-0.5,0.5) A.3 B.4 内的概率不小于0.6827，至少要实验 C.9 D.10 次（参考数据：若X一N(4,d),则P(u一o≤X≤ 3.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的， 4+a)=0.6827). 从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此 7.假设苏州肯帝亚球队在某赛季的任一场比赛中 时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为 输球的概率都等于p,其中0<p<1,且各场比赛 P(X),则P(X=4)的值为 ( 互不影响.令X表示连续9场比赛中出现输球的 1 A.220 B影 场数，且令p代表9场比赛中恰有k场出现输球 的概率P(X=k).已知p=p,则该球队在这连 c易 n器 续9场比赛中出现输球场数的期望为 4.2024年劳动节期间，某高速公路收费站的四个高 8.已知0<p<1,随机变量X的分布列如表所示， 速收费口每天通过的小汽车数X,(i=1,2,3,4)(单 当p=3时，EX) :在p的变化过程 位：辆)均服从正态分布N(600,d),若P(500< 中，D(2X十1)的最大值为 X<70)=号（=1,23,4)，假设四个收费口均 X 0 1 2 能正常工作，则这四个收费口每天至少有一个不 1-2 1 2 号 低于700辆小汽车通过的概率为 ( 三、解答题 AS A号 9.某市高二学生进行了体能测试，经分析，他们的 体能成绩X服从正态分布N(:,a),已知P(X≤ 65 D.81 75)=0.5,P(X≥95)=0.1. 141 (1)求P(75X<95): 10.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产 (2)现从该市高二学生中随机抽取3位同学，记 情况，对该流水线上的产品进行简单随机抽样， 抽到的3位同学中体能测试成绩不超过75分的 获得数据如表所示，包装质量在(495,510]克的产 人数为，求：的分布列和数学期望 品为一等品，其余为二等品 分组区间 490,495] 495,500](500.505 (505,510]510,515 (单位，克) 产品件数 3 (1)估计从该流水线任取一件产品为一等品的 概率： (2)从上述抽取的样本产品中任取2件.设X为 一等品的产品数量，求X的分布列： (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为一等品 的产品数量，求Y的分布列：试比较数学期望 E(X)与E(Y)的大小（结论不要求证明）. ·142· 川能力提升川 圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行 1L.已知随机变量X的分布列满足Y=aX+3, 后立射，第5圈滑行直达终点： E)=号，则a的值为 ③如果选手有n发子弹未命中目标，将被罚时n ( 分钟： X -1 0 ④最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间 1 2 3 之和，最终用时少者获胜。 A.4 B.-4 C.2 D.-2 已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36 12.世界著名的数学杂志《美国数学月刊》于1989 秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为 年曾刊登过一个红极一时的棋盘问题.题中的 考和子假设甲，乙两人的射击用时相同.且每发子 正六边形棋盘，用三种全等（仅朝向和颜色不 弹是否命中目标互不影响. 同)的菱形图案全部填满（如图），如果在棋盘内 (1)若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间 随机投掷3点，则至少2点落在灰色区域内的 相同，求甲胜乙的概率； 概率为 ( (2)若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个 水平更高？说明理由. ◆ A B号 c D20 7 13.(多选)下列说法正确的是 ( A.若事件A与B相互独立，且0<P(A)<1, 0<P(B)<1,则P(AB)=P(A) B.设随机变量X服从二项分布B(n,p),若 EX0=10,DX0=5.则p= C.设随机变量：服从正态分布N(1,1),若 P(>2=p,则P(0<<)=1-2P D.设随机变量Y服从二项分布B(4,),则 E(2Y+1)=5,D(2Y+1)=4 14.冬季两项是冬奥会的比赛项目之一，它把越野 滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一 起，其中20km男子个人赛的规则如下： ①共滑行5图（每圈4km),前4圈每滑行1圈 射击一次，每次5发子弹： ②射击姿势及顺序为：第1圈滑行后卧射，第2 ·143. ‖拓展探究‖ 5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别 15.在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究 求这3人中学习时间在[7,9)内的教职工平均 活动中，某中学高三某小组的学生表现优异，发 人数（四舍五入取整数）. 现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设 参考数据：若随机变量：服从正态分布N(4,), 随机变量X~B(n,p),记P=Cp*(1一p), 则P(4十a)≈06827，P(u一2o<≤+ k=0,1,2,…,n.在研究P的最大值时，小组同 2a)≈0.9545，P(u-3r6≤十3a)≈0.9973. 学发现：若(n十1)p为正整数，则k=(n十1)p 时，P=P。1,此时这两项概率均为最大值；若 (n十1)p为非整数，则当k取(1十1)p的整数部 分时，p:是唯一的最大值.以此为理论基础，有 同学重复投掷一枚质地均匀的散子并实时记录 点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到 此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试 验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次 数为 的概率最大， 16.为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利 用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络 学习.第一学习阶段结束后，为了解学习情况， 负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职 工的学习时间（满时长为15h),将其分成[3， 5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15]六 组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一 组中的数据用该组区间的中点值为代表). 宽 0.18 0.6f开 0.05----- 0.03上 0.2☐ 0 3579111315时ir/h (1)求a的值： (2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间 近似服从正态分布N(4,),其中：近似为样 本的平均数，经计算知σ≈2.39.若该地区有 5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时 间在(7.45,14.62]内的人数： (3)现采用分层随机抽样的方法从样本中学习 时间在[7,9)，[9,11)内的教职工中随机抽取 ·144.