第7章 随机变量及其分布 章末复习方案-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

数学 选择性必修 第三册 课堂学案 章末复习方案 知识网络体系构建 条件率 P(B14)P(HA)0 PAB -PA)-P(A(BA) 乘法公与全概率公 P-CPJP(BA 条件框率与 全概率公式 P1 PA)P(BL4) P(A)P(BA) 叶斯公式 P(B) Y(4J)P(B!4) i=1.2.. 独立性与条件 当P4)0时,当日仅当什4与B 概率的关系 相互独立时有P(BA)=PB 定义 两点分 随机变量 二项分布 事件发生的概率为在,重伯努利试验!事件4恰好 发斗次的题率/P(-=(1-(=0.1.2.. C_C-m,n+I.-,其n. A.eN.1A, 超几何分行 P=- n m=maxl0.n-N+M.r=minn.M! r-xp.D(-i-r(xy 随机变量 及其分布 若Y-aY-(a-0),则rY)-aF(+b. D(-a'D() 齿散型 机变量的 两点分布 (-.D(X-p1-p 分布列 一项分布 EX-np.D( -np(I-p r(X-D(x)-. 超几何 1分布 (1-) 10.i=1.2.. p+p+1.+p=1 [性质及应用 随机变量X的度函数/(x)=- 正态曲线 7/2” xER.EBo>0为参数.H=E(X).o-D() 1正分布 P-7A+rj~0.6827 3r则 P-20rX+27)0.9545 P-30xt+3)-0.9973 .76. 第七章 随机变量及其分布 知识整合融会贯通 答案见P 探究一 条件概率与全概率公式 【真题呈现】 2.(2022·全国甲)甲、乙两个学校进行体育比 1.条件概率的两种求法 赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10 P(AB)n(AB) (1)P(B|A)- P(A) (A); 分,负方得0分,没有平局,三个项目比赛结束 后,总得分高的学校获得冠军,已知甲学校在 (2)条件概率的加法公式,如果B与C是两个 三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8 互斥事件,则P(BUC A)=P(B A)+ 各项目的比赛结果相互独立. P(CA). (1)求甲学校获得冠军的概率 2.全概率公式适用于“整体难算,分开易算”的情 (2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列 况,采取“化整为零,各个击破”的解题策略 与期望. 【真题呈现】 1.(1)(2024·天津)已知有A.B,C.D.E五项活 动,甲、乙都要选择三项活动参加,甲选到A活 动的概率为 :已知乙选了A活动,他 再选择B活动的概率为 (2)(2024·上海)某校举办科学竞技比赛,有 A.B.C3种题库,A题库有5000道题,B题库 有4000道题,C题库有3000道题.小申已完成 听有题,他A题库的正确率是0.92,B题库的正 确率是0.86,C题库的正确率是0.72.现在他从 所有的题中随机选一题,正确率是 探究二 离散型随机变量的分布列、均值与 方差 求离散型随机变量的均值与方差,常见分布以 相应公式求解,综合问题注意以下几个步骤 3.某学校组织中国传统文化知识竞赛,有A.B 两类问题,每位参加比赛的同学先在两类问题 理解x的实际意义,并写出X的全部取值 中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若 求出x取每个值的概率 回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从 另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论 写出x的分布列(有时也可省略) 回答正确与否,该同学比赛结束,A类问题中 利用(A-xP-..xp求出均值利 的每个问题回答正确得20分,否则得0分:E 用n(X)=(x-F(X)](-F(X))p.. 类问题中的每个问题回答正确得80分,否则 (x-(×),求出方差 得0分,已知小明能正确回答A类问题的概率 .77. 数学 选择性必修 第三册 课堂学案 为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且 (3)若随机变量X 服从两点分布,且P(X-1) 能正确回答问题的概率与回答次序无关 (1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累 计得分,求X的分布列; (2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先 中甲投篮的次数为Y,求E(Y). 回答哪类问题?并说明理由 探究三 二项分布与超几何分布 由伯努利试验得出二项分布,由古典概型得出 超几何分布,这两个分布的关系:若采用有放 回抽样,则随机变量服从二项分布;若采用不 放回抽样,则随机变量服从超几何分布 【真题呈现】 4.(2023·新课标I)甲、乙两人投篮,每次由其 5.甲、乙去某公司应骋面试,该公司的面试方案 中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投 为:应骋者从7道备选题中一次性随机抽取3 篮,若未命中则换为对方投篮,无论之前投篮 道题,按照答对题目的个数为标准进行筛选 情况如何,甲每次投的命中率均为0.6,乙每 已知7道备选题中应骋者甲有4道题能正确 次投篮的命中率均为0.8.由抽答确定第1次 完成,3道题不能完成;应骋者乙每题正确完成 投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率 的概率都是,且每题正确完成与否互不影响. 各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率 (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分 (2)求第i次投篮的人是甲的概率 布列; .78. 第七章 随机变量及其分布 (2)请从均值和方差的角度分析比较甲、乙两 (1)求这2000户农户家庭年收人的样本平均 人谁的面试通过的可能性较大? 数=和样本方差s(同一组的数据用该组区间 中点值作代表); (2)由直方图可认为农户家庭年收人X近似服 从正态分布N(.c^*}).其中近似为样本平均 数示,o*近似为样本方差s}。 ①估计这2000户农户家庭年收入超过9.52 万元(含9.52)的户数?(结果保留整数) ②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估 计全市农户家庭年收入的情况,现从全市农户 家庭中随机抽取4户,即年收入不超过9.52 万元的农户家庭数为.求P(3)(结果精确 到0.001). 附:2.3~1.52;若X-N(,*),则P(- $<+o)=0.6827,P(-2<t<+2)= 0. 9545:0.84135~0.501. 探究四 正态分布 解答正态分布的实际应用题,关键是如何转 化,同时注意以下两点 (1D)注意“3”原则,记住正态总体在三个区面 内取值的概率; (2)注意数形结合,由干正态分布密度曲线具 有完美的对称性,体现了数形结合的重要思 想,因此运用对称性和结合图象解决某一区间 内的概率问题成为热点问题 【真题呈现】 6.某市为了解当地农村经济情况,随机抽取该 2000户农户家庭年收入x(单位:万元)进行调 查,并绘制得到如图所示的频率分布直方图 ,进 0.3-------------- 0.15------ 0.2--.......- 0~4.55.56.57.58.59.510.5(万元) l提示 完成第七章综合测评 .79.(2)从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x一20对 “瘦高”，故X对应曲线①，Y对应曲线②，Z对应曲线③. 称，最大值是后所以以=20由 2左解得。 1=1 答率①②③ 4,解析由题意可知X~V(5,4),且=5，=2，所以P(3≤X≤ 2.于是概率密度函数的解析式是f代)=1 - 7)=P(4-≤X≤a十a)≈0.6827. 答案0.6827 x∈（一00，十o).总体随机变量的期望是：=20，方差是 g=(2)'=2. 章末复习方案 [变式1门解析(1)函数f(x)图象的对称轴为直线x=,因为 1.解析(1)方法一从五项活动中选三项的情况有ABC, <0,所以排除B,D项：正态曲线位于x轴上方，因此排除 ABD.ABE.ACD.ACE.ADE,BCD.BCE.BDE.CDE.10 C项.故选A项. 种情况，其中甲选到A活动有6种可能的情况：ABC,ABD, (2)以反映的是正态分布的平均水平，x=以是正态密度曲线 的对称轴，由图可知出<四反映正态分布的离散程度，d ABE,ACD.ACE,ADE,则甲选到A活动的概率为P=品 越大，越分散，曲线越“矮牌”，σ越小，越集中，曲线越“瘦 高”，由图可知<1.故选A项. 号乙选A活动有6种可能性：APC,ABD,ABE.ACD.ACE 答率(1)A(2)A ADE,其中再选择B活动有3种可能性：ABC,ABD,ABE,故 [例题2]解析(1)由X一N(2,o)可知， 其正态曲线如图所示，对称轴为直线 乙选了A活动，他再选择B活动的概率为君-司 =2,则P(X>25)=P(X>2) 方法二设甲（乙）选到A活动为事件M,乙选到B活动为 P(2<X≤2.5)=0.5-0.36= 事件N,则甲选到A活动的概率为P(M)= C 0.14. (2)由题意得，P(<1.96)=1- A活动，他再选择B活动的概率为P(NMD=PM心 P(M) P(≥1.96)=1-P(≤-1.96)，所以P(1|<1.96)= C P(-1.96<1.96)=P(×1.96)-P(-1,96)=1 C 2P(≤-1.96)=1-2×0.025=0.95. C 2 答秦(1)0.14(2)0.95 (2)由题意知，A,B,C题库的比例为5：4：3，占比分别为 [变式2]解析(1)由题意可得P(1<X<3)=0.5-0.2=0.3.因 为随机变量X~V(1,g),所以P(X<3)=0.3+0.5= 品·品，是则报据金概率公式知所求正确率p一是×092+ 543 0.8.故选D项. (2)因为随机变量X服从正态分布N(4,d),所以正态曲线 危×0.6+是×0.72=0版. 的对称轴是直线x=4.由正态曲线的对称性得，P(X8一 图号 1 2 (2)0.85 m)=P(X>m)=0.3,故P(X≥8-)=1一0.3=0.7.故选 C项. 2.解析(1)设“甲学校在三个项目中获胜”分别为事件A,B,C, 答案(1)D(2)C 则P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(C)=0.8,由题意可知，甲学校 [例题3BC解析依题可知，x=2.1,=0.01,所以Y~N(2.1, 想要获得冠军，至少要在两个项目中取胜，所以甲学校获得冠 0.01),故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈ 军的概率为P=P(A)P(B)P(C)十P(A)P(B)P(C)十P(A)· 0.8413>0.5,C项正确，D项错误；因为X~N(1.8,0.01), P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6× 所以P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1),因为P(X<1.8+ 0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8=0.6. 0.1)≈0.8413，所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.8413= (2)由题意可得，X的可能取值为0,10,20,30，由(1)和题意 0.1587<0.2.而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X> 可得，乙在三个项日中获胜的概率分别为P(A)=0.5,P(B)= 1.8十0.1)<0.2，B项正确，A项错误.故选BC项. 0,6,P(C)=0.2,则P(X=0)=P(A)P(B)P(C)=0.5× [变式3]B解析由题意得P(X>100)=0.5,P(100<X≤ 0.4×0.8=0.16.P(X=10)=PAPB)P(C)+P(A)P(B)· 120)=P(80≤X<100)=0.45,所以P(X>120)= P(C+P(A)P(B)P(C)=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+ P(X>100)-P(100X≤120)=0.05，所以应从120分以 0.5×0.4×0.8=0.44,P(X=20)=P(A)P(B)P(C)+ 上的试卷中抽取200×0.05=10（份）.故选B项. P(A)P(B)P(C)+PA)PB)P(C=0.5×0.6×0.2+0.5× 0.4×0.2+0.5×0.6×0.8=0.34,P(X=30)-P(A)P(B)· 随堂检测·学以致用 P(C)=0.5×0.6×0.2=0.06, 1.B解析A项中、2元·a错为√20，指数错为正数，故A项 所以X的分布列为 错误：C项中从系数可得=2，而从指数处可得a=√2，显然矛 X 0 10 20 30 盾，故C项错误；D项中指数错为正，故D项错误.故选B项. 0.160.440.340.06 2.B解析由题知此正态密度曲线的对称轴是直线x=100,由 数学期望E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34十30× 正态曲线的对称性可知，P(×80)=2×[1-P(80≤ 0.06=13. 120)]=0.1.故选B项. 3.解析(1)由题意可知，X的所有可能取值为0,20,100， 3解析在密度曲线中，g越大，曲线越“矮胖”：0越小，曲线越 则P(X=0)=1一0.8=0.2， ·181· P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32, 由题意得，随机变量Y的可能取值为0.1,2.3，可得Y~3,), P(X=100)=0.8×0.6=0.48. 所以随机变量X的分布列如表所示。 所以PY=0)=C×(1-)'=器 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 PY-)-d×号×(1-)-器 (2)由(1)得X的数学期望E(X)=0×0.2+20×0.32+100× PY=2)=C×(号)广×1-号)-错 0.48=54.4. 若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可 PY=3)=G×()广-第， 能取值为0,80,100，则P(Y=0)=1一0.6=0.4，P(Y=80)= 所以Y的分布列为 0.6×(1-0.8)=0.12,P(Y=100)=0.6×0.8=0.48,所以 Y 0 2 9 EY)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6.因为E(X)< E(Y),所以小明应选择先回答B类问题， 27 108 144 64 343 343 343 343 4.解析(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件A,“第i次投篮的 人是乙”为事件B, (2)由(1)可得， 所以P(B)=P(AB2)+P(BB)=P(A)P(B|A)+ B0=-0需+1×号+2x袋+3 35 P(B1)P(BB1)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6. 35 (2)设P(A)=p:,依题可知，P(B)=1一，则P(A+)= E0==3X号-号 P(AA)+P(BA)=P(A)P(AA)+P(B)P(AB). 即p+1=0.6p,十(1-0.8)×(1-b)=0.4p十0.2， 0=(0）)×需+(1-号)×号+(2号)×8+ 构造等比数列{p,十， 授p=1十以=号（十》，解得=一合 (3)×嘉器 对A1-子=号(A-吉》： Dn=mp1-p)=3X号×号-8 因为E(X)=E(Y),D(X)<D(Y), 又p=-=，所以-}是首项为，公比 所以甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的可能性较大。 为号的等比数到，即A一=×（号），即A=日 6.解析(1)这2000户农户家庭年收入的样本平均数元=5× 0.1+6×0.15+7×0.2+8×0.3+9×0.2+10×0.1=8. ()+号 这2000户农户家庭年收入的样本方差2=0.1×(-3)2+ 0.15×(-2)2+0.2×(-1)+0.3×0+0.2×12+0.1× (3)设第i次投篮时甲投篮的次数为X:,则X的可能取值为 22=2.3. 0或1，当X,=0时，表示第i次投篮的人是乙，当X,=1时， (2)①由(1)得，农户家庭年收入X近似服从正态分布V(8,23). 表示第i次投篮的人是甲，所以P(X,=1)=p,P(X=0)= 1一p,所以E(X)=p,又Y=X1十X:十X十…十Xw,则 国为8+/2.3.52，所以P(X>9.52)=05-P E(Y)=E(X十X2+…+X)=p1十p+…+pn. X<4十c)=0.5-0.34135=0.15865. 2=吉×(）广+=1,2 图为2000×0.15865=317.3≈317， 所以这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的 1-(号) 户数约为317. 所以当nEN时，EB)=A十p十…+A=6 ②年收入不超过9.52万元的农户家庭数服从二项分布：一 B(4,0.84135. 号-[-()]+号 所以P(3)=1-P(=4)=1-C(0.84135)≈1-0.501= 0.499. 故m-1-(号)”]+号 第八章成对数据的统计分析 5.解析(1)设X为甲正确完成面试题的数量， Y为乙正确完成面试题的数量， 8.1成对数据的统计相关性 由题意可得X的可能取值为0,1,2,3， 所以PX=0-=8-高X==S-品， 必备知识·基础落实 [问题]提示有一定根据。 P(X-2)= c P(x-3)- 35' 要点一 所以X的分布列为 1,确定精确地决定 2.直角坐标系 X 0 1 2 3 3.增加的趋势 减少的趋势 18 4.一条直线 35 35 5.相关性线性相关曲线 ·182·