精品解析：山东省滨州市阳信县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024－2025学年度第一学期期末学习力调研 九年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分，共8页．满分为120分．考试用时120分钟．考试结束后，只上交答题卡． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、考场、座号填写在答题卡规定的位置上，并用2B铅笔填涂相应位置． 3．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第I卷（选择题） 一、选择题：本大题共个8小题，每小题3分，满分24分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 不能确定 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. B. C. 3 D. 2 4. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ） A. 小星定点投篮1次，不一定能投中 B. 小星定点投篮1次，一定可以投中 C. 小星定点投篮10次，一定投中4次 D. 小星定点投篮4次，一定投中1次 6. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 7. 如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则（ ） A B. C. D. 8. 抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 第II卷（非选择题） 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分． 9. 反比例函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是_____． 10. 如图，在Rt中，，，，则的值为_______． 11. 已知点与点关于原点对称，则_____． 12. 若两个相似三角形的面积比是，则它们的周长比是______． 13. 如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是______．（写出一个条件即可） 14. 已知方程两根分别为，，则的值为_________． 15. 如图，已知折扇的骨柄，折扇张开的最大角度为，此时的长度________．（结果保留） 16. 如图，是上的四点，，过点作交的延长线于点，其中正确的结论是______（填序号）． ①；②等边三角形；③：④是等边三角形． 三、解答题：本大题共8个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程． 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，． （1）与关于原点成中心对称，画出并写出点的坐标； （2）以原点为位似中心，相似比为，在第一象限内将放大，画出放大后的并写出点的坐标． 19. 为促进师生身心全面健康发展，进一步推广“阳光体育”大课间活动，某学校就学生对A实心球，B立定跳远，C跑步，D跳绳四种体育活动项目喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题： （1）请计算本次被调查的学生总人数和喜欢“跑步”的学生人数； （2）将两个统计图补充完整； （3）随机抽取了4名喜欢“跑步”的学生，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到2名女生的概率． 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． （1）求m和k的值； （2）求点C的坐标，并根据图象直接写出关于x的不等式的解集； （3）连接，，求的面积． 21. 学完了三角函数知识后，我县某中学“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量位于滨州市蒲湖风景区内黄河楼的高度，他们把“测量黄河楼的高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表： 课题 测量黄河楼的高 测量说明 测量示意图 说明：是高为1.5米的测角仪，在点处测得楼顶的仰角，点处测得此时楼顶的仰角，（、、三点在同一条直线上） 测量数据 的度数 的度数 的水平距离 52米 （1）请根据表中的测量数据，求黄河楼的高；（精确到0.1米，参考数据，，，； （2）“工程简介”中黄河楼的高度为70.7米，请结合本次测量结果，提出一条减小误差的合理化建议． 22. 春节临近，某水果批发商销售每箱进价为元的阳信鸭梨，物价部门规定每箱销售不得高于元，市场调查发现，若每箱以元的价格出售，平均每天销售箱，价格每提高元平均每天少销售箱． （1）设每箱涨价元，每天盈利元，列出与的函数关系式． （2）当每箱售价为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 23. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F． （1）求证：直线DF是⊙O的切线； （2）求证：BD2＝CF•AC． 24. 如图，已知抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接，． （1）求b，c的值； （2）若点P在第一象限内，过点P作轴交直线于点D，求线段最大值； （3）连接，，若，请判断是否存在符合要求的点，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度第一学期期末学习力调研 九年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分，共8页．满分为120分．考试用时120分钟．考试结束后，只上交答题卡． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、考场、座号填写在答题卡规定的位置上，并用2B铅笔填涂相应位置． 3．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第I卷（选择题） 一、选择题：本大题共个8小题，每小题3分，满分24分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 已知半径是5，，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可． 【详解】解：∵半径是5，， ∴， ∴点P在圆外， 故选：C． 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考查了二次函数的性质，由于二次函数的顶点坐标为，由此即可求出抛物线的顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数， ∴其图象的顶点坐标为． 故选D． 3. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得，． 故选：D． 4. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的左视图是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左面看，是一个正方形，正方形的中间有一条横向的虚线． 故选：A． 5. 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ） A. 小星定点投篮1次，不一定能投中 B. 小星定点投篮1次，一定可以投中 C 小星定点投篮10次，一定投中4次 D. 小星定点投篮4次，一定投中1次 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，据此求解即可． 【详解】解：小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，则由概率的意义可知，小星定点投篮1次，不一定能投中，故选项A正确，选项B错误； 小星定点投篮10次，不一定投中4次，故选项C错误； 小星定点投篮4次，不一定投中1次，故选项D错误 故选；A． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根． 根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴方程没有实数根． 故选：C． 7. 如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，由垂径定理推出，由圆周角定理得到，于是． 【详解】解：∵的直径平分弦（不是直径）， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 8. 抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数图象的性质等等，根据抛物线对称轴，经过点得到，再由开口向下，得到，则，据此可判断①；根据时，，即可判断②；根据时，，得到，进而得到，即可判断③；根据函数图象可知二次函数与x轴有两个不同的交点即可判断④． 【详解】解：∵抛物线对称轴，经过点， ∴， ， ∵开口向下， ∴， ， ∴，故①正确， ∵抛物线对称轴， ∴和关于对称轴对称， 时，， ∴，故②正确， ∵抛物线与x轴交于，抛物线对称轴， 抛物线与x轴的另外一个交点为， 时，， ， ， ，即，故③错误， 抛物线与x轴有两个交点， 方程有两个不相等的实数根， ，故④正确； 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分． 9. 反比例函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，对于反比例函数，当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象上，当时，随的增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：。 10. 如图，在Rt中，，，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，根据勾股定理求出，再根据正弦的定义：对边比斜边，进行计算即可，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为： 11. 已知点与点关于原点对称，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的两点坐标的关系求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 12. 若两个相似三角形的面积比是，则它们的周长比是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是， ∴它们的相似比是， ∴它们的周长比是． 故答案为：． 13. 如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是______．（写出一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法．根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵，且点的对应点为点， ∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似， ∴可以添加或或， 故答案为：． 14. 已知方程的两根分别为，，则的值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，对于的两个根分别为，则． 利用根与系数的关系得到，的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵方程的两个根分别为，， ∴， ∴． 故答案为：1． 15. 如图，已知折扇的骨柄，折扇张开的最大角度为，此时的长度________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式即可得到结论．本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：折扇的骨柄长为，折扇张开的角度为， 的长度为． 故答案为： 16. 如图，是上的四点，，过点作交的延长线于点，其中正确的结论是______（填序号）． ①；②是等边三角形；③：④是等边三角形． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，由圆内接四边形的性质可判断；由圆周角定理可得，即可判断；证明即可判断；进一步证明，得到即可判断；掌握圆的有关性质是解题的关键． 【详解】解：∵是上四点， ∴， ∵， ∴，故正确； ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，故正确； ∵四边形是的内接四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形，故正确； ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∵为等边三角形， ∴， ∴，故正确； ∴正确的结论是， 故答案为：． 三、解答题：本大题共8个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程． 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）1；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊值三角函数的运算，求根公式法解一元二次方程等知识点，熟练记忆特殊角的三角形函数值是解决此题的关键． （1）先将特殊角的三角形函数值代入，再进行实数运算即可； （2）利用配方法解方程即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ，即， 则， ，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，． （1）与关于原点成中心对称，画出并写出点的坐标； （2）以原点为位似中心，相似比为，在第一象限内将放大，画出放大后的并写出点的坐标． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析， 【解析】 【分析】（1）作出关于点O成中心对称的对应点，顺次连接即可得到，再写出点A的对应点的坐标即可； （2）作出以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧的对应点，顺次连接得到，再写出点的对应点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为要求，点A的对应点的坐标为， 【小问2详解】 如图，即为所求，点B的对应点的坐标为， 【点睛】此题考查了中心对称图形的作图和位似图形的作图、写出点的坐标，熟练掌握作图方法并准确作图是解题的关键． 19. 为促进师生身心全面健康发展，进一步推广“阳光体育”大课间活动，某学校就学生对A实心球，B立定跳远，C跑步，D跳绳四种体育活动项目喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题： （1）请计算本次被调查的学生总人数和喜欢“跑步”的学生人数； （2）将两个统计图补充完整； （3）随机抽取了4名喜欢“跑步”的学生，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到2名女生的概率． 【答案】（1）被调查的学生总人数为150，喜欢“跑步”的学生人数为60人； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）用A的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生数，再用抽查的总人数减去A、B、D的人数，求出喜欢“跑步”的学生人数； （2）根据四个项目的百分比之和为1求出C对应的百分比，补全统计图即可； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好抽到2名女生情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：由图形可知：A实心球的人数是15人，占学生总人数的， 被调查的学生总人数为（人）， 喜欢“跑步”的学生人数为（人）； 【小问2详解】 喜欢“跑步”的学生占学生总人数， 补全统计图如下： 【小问3详解】 画树状图得： 共有12种等可能的结果，刚好抽到2名女生的有2种情况， 刚好抽到2名女生的概率为＝． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，画树状图法求概率，解题的关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息以及掌握概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． （1）求m和k的值； （2）求点C的坐标，并根据图象直接写出关于x的不等式的解集； （3）连接，，求的面积． 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把分别代入和即可得到答案，熟练掌握待定系数法是解题的关键； （2）把代入得到，解得，即可得到点C的坐标，再根据图象的位置关系和交点的横坐标即可得到答案，数形结合是解题的关键； （3）求出直线与x轴、y轴的交点，利用即可得到答案，数形结合和准确计算是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入得到， ， ∴， 把代入得到， ， ∴； 【小问2详解】 由（1）得到，， 把代入得到， 解得， ∴点， 由图象可知，当时，， 即不等式的解集为； 【小问3详解】 设直线与x轴交于点D，与y轴交于点A， 当时，， 当时，，解得， ∴点A的坐标是，点D的坐标是， ∴， ∴， 即的面积为． 21. 学完了三角函数知识后，我县某中学“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量位于滨州市蒲湖风景区内黄河楼的高度，他们把“测量黄河楼的高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表： 课题 测量黄河楼的高 测量说明 测量示意图 说明：是高为1.5米的测角仪，在点处测得楼顶的仰角，点处测得此时楼顶的仰角，（、、三点在同一条直线上） 测量数据 的度数 的度数 的水平距离 52米 （1）请根据表中的测量数据，求黄河楼的高；（精确到0.1米，参考数据，，，； （2）“工程简介”中黄河楼的高度为70.7米，请结合本次测量结果，提出一条减小误差的合理化建议． 【答案】（1）黄河楼的高约为70.3米 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键． （1）设为a米，在中用含x的式子表示出，在中用含x的式子表示出，再列方程即可得解． （2）测角仪的精确度不够高，计算过程有误差等（答案不唯一，合理即可），进行多次测量求其平均数即可减小误差． 【小问1详解】 解：由题意得，米，，， 设为米，则米， 在中，， 即， 解得， 在中，， 即， 解得， 解得， ． 答：黄河楼的高约为70.3米．   【小问2详解】 解：测量过程中，测角仪的精确度不够高，计算过程有误差等（答案不唯一，合理即可），进行多次测量求其平均数即可减小误差． 22. 春节临近，某水果批发商销售每箱进价为元的阳信鸭梨，物价部门规定每箱销售不得高于元，市场调查发现，若每箱以元的价格出售，平均每天销售箱，价格每提高元平均每天少销售箱． （1）设每箱涨价元，每天盈利元，列出与的函数关系式． （2）当每箱售价为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当每箱售价为元时，可获得最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的销售盈利问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依据题意，易得出平均每天销售量与涨价x元之间的代数式为箱，然后根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的盈利y（元与涨价x元之间的函数关系式即可； （2）根据（1）所给，化为顶点式，运用二次函数的图象性质，即可作答． 【小问1详解】 解： ， 化简得：， 【小问2详解】 ， ， 开口向下，在时，有最大值，且为，则（元）， 当每箱售价为元时，可获得最大利润，最大利润是元． 23. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F． （1）求证：直线DF是⊙O的切线； （2）求证：BD2＝CF•AC． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质可得∠ODB=∠ABC=∠C，由DF⊥AC，得∠CDF+∠C=90°，等量代换可证∠ODF=90°，从而证明结论； （2）连接AD，根据圆周角定理知∠ADB=90°，从而证明△CFD∽△CDA，得CD2=CF•AC，而CD=BD，代入即可． 【详解】解：（1）证明：如图，连接OD， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵OB=OD， ∴∠ODB=∠ABC=∠C， ∵DF⊥AC， ∴∠CDF+∠C=90°， ∴∠CDF+∠ODB=90°， ∴∠ODF=90°， ∴直线DF是⊙O的切线； （2）证明：如图，连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴DB=DC=BC， ∵∠CDF+∠C=90°，∠C+∠DAC=90°， ∴∠CDF=∠DAC， ∵∠DFC=∠ADC=90°， ∴△CFD∽△CDA， ∴CD2=CF•AC， ∴BD2＝CF•AC． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，证明△CFD∽△CDA是解题的关键． 24. 如图，已知抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接，． （1）求b，c的值； （2）若点P在第一象限内，过点P作轴交直线于点D，求线段的最大值； （3）连接，，若，请判断是否存在符合要求的点，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）最大值为 （3）存在，P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将点A和B代入解析式即可求得； （2）利用待定系数法求得直线BC的表达式为．，设，则，则，结合二次函数的性质即可求得最大值； （3）由（1）知，抛物线解析式为，即可求得点C，进一步求得，分点P在x轴上方和下方，分别列出等式，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得：， ∴，． 【小问2详解】 解：设直线的表达式为， 将，分别代入， 得，解得， 故直线的表达式为． 设，则， ∴， ∵， ∴当时，线段有最大值，最大值为 【小问3详解】 解：由（1）知，抛物线解析式为， 当时，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴ ①如图，当P在x轴上方时， 设， ∴ ， ∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴此方程无实数根， ∴在x轴上方不存在P点满足题意． ②如图，当P在x轴下方时，   由①得：∴ ， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，； 当时，； ∴P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、二次函数最值、求一次函数的解析式和解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟悉二次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$