精品解析：云南省昆明市嵩明县2024-2025学年八年级上期末数学试卷

2024-2025学年云南省昆明市嵩明县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三根木条首尾相连，能组成三角形的是（　　） A. 3，4，8 B. 8，7，15 C. 2，2，3 D. 5，5，11 3. 我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是（ ） A. 三角形的不稳定性 B. 三角形的稳定性 C. 四边形的不稳定性 D. 四边形的稳定性 4. 华为手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为( )． A. B. C. D. 5. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 要使分式有意义，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 根据图中的数据，可得的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 已知等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点若，，则的值为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 11. 如图，在中，，的垂直平分线交于，连接，若的周长为27，则的长为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 12. 如图，已知是的边上一点，根据下列条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 13. 随着快递业务量的增加，某快递公司为快递物品更换快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每天300件提高到420件，平均每人每天比原来多投递8件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每天投递快件多少件？设原来平均每人每天投递快件x件，根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是，以为边在其右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，再过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 15. 已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①，②，③，④，其正确的个数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 因式分解：2a2﹣8=_____． 17. 如果一个正多边形的每个外角都等于，那么它是正______边形． 18. 如图，在中，点D，E分别在，边上，，若，则____． 19. 中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当与全等时，v的值为______． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 如图，点、在上，，，．求证：． 21. 化简：． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_______； （3）在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 23. 先化简，再求值：，其中x=3． 24. 如图，是的高，是的角平分线，且． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 25. 习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．求每辆B型汽车进价是多少万元？ 26. 如图，将一个边长为的正方形分割成四部分边长分别为a，b的正方形、边长为a和b长方形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）请用两种方法分别表示正方形的面积用含a、b的代数式表示： ①______；②______． 由此可以验证一个重要的公式是______． （2）若图中a，b满足，，求的值． （3）若，求的值． 27. 在等边中，线段为边上的中线．动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连接 （1）若点D在线段上时如图，则 ______填“>”、“<”或“=”，______； （2）设直线与直线的交点为 ①当动点D在线段的延长线上时如图，试判断与的数量关系，并说明理由； ②当动点D在射线上时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年云南省昆明市嵩明县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列长度的三根木条首尾相连，能组成三角形的是（　　） A. 3，4，8 B. 8，7，15 C. 2，2，3 D. 5，5，11 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”，进行分析． 【详解】解：A、3+4＜8，不能组成三角形； B、8+7=15，不能组成三角形； C、2+2＞3，能够组成三角形； D、5+5＜11，不能组成三角形． 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 3. 我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是（ ） A. 三角形的不稳定性 B. 三角形的稳定性 C. 四边形的不稳定性 D. 四边形的稳定性 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性，即可得到答案． 【详解】跨海大桥上的结构有许多三角形，这样可以使得大桥更加牢固，体现了三角形的稳定性． 故选B 【点睛】本题主要考查三角形的稳定性，熟记三角形的稳定性是解题的关键． 4. 华为手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为( )． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：； 故选：D． 【点睛】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法中与的意义是解题的关键． 5. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法法则逐一判断即可． 【详解】A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 6. 要使分式有意义，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用分式有意义则分母不等于零，进而得出答案． 【详解】解：分式有意义， ． 解得． 故选：D． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 7. 根据图中的数据，可得的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形外角定理，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 8. 如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用掌握全等三角形判定的“”方法是解题的关键． 由题意知、，由于，根据“”即可证明． 【详解】解：由题意知、， 在和中， ∴． 故选：B． 9. 已知等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况：当等腰三角形的顶角为时；当等腰三角形的底角为时；然后分别进行计算即可解答． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形的顶角为时，则它的两个底角度数都； 当等腰三角形的底角为时，则它的顶角度数； 综上所述：这个等腰三角形的顶角等于或， 故选：D 10. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点若，，则的值为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作于点H，根据角平分线的性质得出的长，再根据三角形面积公式求解即可． 本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作于点H， 由作图可知，是的角平分线， 又， ， 的值为， 故选：A． 11. 如图，在中，，的垂直平分线交于，连接，若的周长为27，则的长为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，据此可得，再根据三角形周长计算公式推出，据此可得答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交于， ∴， ∵的周长为27， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 12. 如图，已知是的边上一点，根据下列条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可． 【详解】∵是公共角， ∴再加上或都可以证明，故A，B可证明， C选项中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能证明． ∵， 若再添加，即，可证明，故D可证明． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 13. 随着快递业务量的增加，某快递公司为快递物品更换快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每天300件提高到420件，平均每人每天比原来多投递8件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每天投递快件多少件？设原来平均每人每天投递快件x件，根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设原来平均每人每天投递快件x件，根据由每天300件提高到420件，平均每人每天比原来多投递8件列分式方程即可． 【详解】解：设原来平均每人每天投递快件x件，根据题意得， 故选：D． 【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是，以为边在其右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，再过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点A的坐标是，以为边在右侧作等边，过点作x轴的垂线，垂足为点，得到点纵坐标是 ，根据以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，得到点纵坐标是 ，以此类推得点的纵坐标是，从而完成求解． 【详解】解：点A的坐标是，以为边在右侧作等边，过点作x轴的垂线，垂足为点， ，， ，点纵坐标是 ， 以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点， ，， ， 点纵坐标是 ，即， 以为边在右侧作等边三角形， 同理，得点纵坐标是 ， 按此规律继续作下去，得：点的纵坐标是，即， 故选：． 【点睛】本题考查了坐标规律探究，解题的关键是熟练掌握直角坐标系、等边三角形、垂线、图形和数字规律、含角的直角三角形的性质． 15. 已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①，②，③，④，其正确的个数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得，，再利用“边角边”证明，结合全等三角形的性质与三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质逐一分析判断即可． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确 ∵， ∴， ∴．故③正确， ∵．， ∴， ∴，故④正确， 若，则，，与题干条件不符， ∴无法判断，故②错误， 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 因式分解：2a2﹣8=_____． 【答案】2（a+2）（a－2）． 【解析】 【分析】首先提取公因数2，进而利用平方差公式分解因式即可． 【详解】2a2－8=2（a2－4）=2（a+2）（a－2）． 故答案为2（a+2）（a－2）． 考点：因式分解． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键． 17. 如果一个正多边形的每个外角都等于，那么它是正______边形． 【答案】5 【解析】 【分析】正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，因而用除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数． 本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键． 【详解】解：这个正多边形的边数： 故答案为：5 18. 如图，在中，点D，E分别在，边上，，若，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．因为，所以，由，得到，利用相似三角形的性质，即得答案． 【详解】， ， ， ， ． 19. 中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当与全等时，v的值为______． 【答案】2或3 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，此题要分两种情况：①当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v． 【详解】解：分以下两种情况： 当时，， ∵点D为的中点， ∴（厘米）， ∵， ∴（厘米）， ∵点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动， ∴运动时间是1秒， ∵， ∴（厘米）， ∴（厘米/秒）； 当时，， ∵（厘米），， ∴（厘米）， ∵（厘米）， ∴（厘米）， ∴运动时间为（秒）， ∴（厘米/秒）， 故答案为：2或3． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 如图，点、在上，，，．求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ∴， ∵． 【解析】 【分析】证明，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．掌握全等三角形的判定是解题的关键． 21. 化简：． 【答案】． 【解析】 【分析】根据平方差公式、完全平方公式、整式的除法即可求出答案． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式、平方差公式以及整式的除法运算，本题属于基础题型． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_______； （3）在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1）如图所示： ； （2） （3）点即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了作图--轴对称变换，轴对称--最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作出点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）一个点关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标变为相反数； （3）作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求． 【小问1详解】 解：关于x轴对称对应点分别为，如图所示： 【小问2详解】 解：关于y轴对称点为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求： 理由如下： 由对称可知， 的周长为，当且仅当三点共线时，等号成立， ∴当P为与y轴的交点时，的周长最小． 23. 先化简，再求值：，其中x=3． 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式= ． 当x=3时，原式=． 【点睛】本题考查分式的化简求值、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握分式的混合运算法则是解答的关键. 24. 如图，是的高，是的角平分线，且． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形有关的角和线段，掌握三角形内角和定理与外角的性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义得，由高的定义得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （2）由三角形外角的性质得，再由三角形内角和定理计算出，由角平分线的定义得，最后根据即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知：， ∵是的高， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可知：， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 25. 习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．求每辆B型汽车进价是多少万元？ 【答案】型汽车的进价为每辆10万元 【解析】 【分析】设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元，列出分式方程，解方程即可； 【详解】解：设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解且符合实际意义， 答： 型汽车的进价为每辆10万元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确列出方程是解决本题的关键． 26. 如图，将一个边长为的正方形分割成四部分边长分别为a，b的正方形、边长为a和b长方形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）请用两种方法分别表示正方形的面积用含a、b的代数式表示： ①______；②______． 由此可以验证一个重要的公式是______． （2）若图中a，b满足，，求的值． （3）若，求的值． 【答案】（1） ；； （2）7 （3）20 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据代入计算即可； （3）设，，则，根据题意可得，由代入求出的值即可． 【小问1详解】 解：①大正方形的边长为， ∴面积为， 故答案为：； ②拼成图中大正方形的4部分的面积和为， 故答案为：； 由①②可得； 故答案为：； 【小问2详解】 解：，， ， ， ； 【小问3详解】 解：设，，则， ， ． 27. 在等边中，线段为边上的中线．动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连接 （1）若点D在线段上时如图，则 ______填“>”、“<”或“=”，______； （2）设直线与直线的交点为 ①当动点D在线段的延长线上时如图，试判断与的数量关系，并说明理由； ②当动点D在射线上时，求的值． 【答案】（1）=；； （2） ①，理由如下： 和都是等边三角形， ，，， ，， ， ， ； ②的度数是或 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质证明，得，即可解决问题； ①根据等边三角形的性质证明，即可解决问题； ②分两种情况讨论：当点D在线段上时，当点D在线段的延长线上时，结合①，根据三角形的外角定义即可解决问题． 本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外角定义，解决本题的关键是得到≌ 【小问1详解】 解：是等边三角形， ，， 线段为边上的中线， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 故答案为：=；； 【小问2详解】 ①略 ②当点D在线段上时，如图1， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ，， 是等边三角形，，线段为边上的中线， ， ， ， ， ； 当点D在线段的延长线上时，如图2， 同理可得， ， ， ， ； 综上所述，的度数是或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $