江苏省徐州市第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

徐州一中2025学年度第二学期高二年级3月检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 2. 记函数的导函数为.若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 从3名男生与2名女生中选出2人担任班委，则“恰有1名男生与1名女生当选”的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前n项和为，则（ ） A. 18 B. 36 C. 54 D. 60 5. 在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）种 A. 72 B. 36 C. 12 D. 6 6. 已知，则（ ） A. 0.05 B. 0.27 C. 0.68 D. 0.32 7. 已知随机变量满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（ ） A. 共有120种不同的排法 B. 当2名教师相邻时，共有24种不同的排法 C. 当2名教师不相邻时，共有72种不同的排法 D. 当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法 10. 高考数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则（ ） A. 展开式的各二项式系数的和为0 B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______． 13. 已知随机变量，且，则__________. 14. 椭圆的左焦点为，直线与椭圆和圆心为的圆相切于同一点，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数在处的切线方程； （2）当时，求函数的最大值. 16. 为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类.已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为. （1）设小明同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为X，求X的分布列与数学期望； （2）若小明同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由. 17. 在二项式的展开式中， （1）若第4项的系数与第6项的系数比为5∶6，求展开式中的有理项； （2）若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数最大的项． 18. 已知椭圆的右焦点为F，点在椭圆C上．且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）直线l斜率存在，交椭圆C于A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线和直线关于PF对称． （i）证明：直线l过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 19. （1）我们学过组合恒等式，实际上可以理解为，请你利用这个观点快速求解：.（计算结果用组合数表示） （2）（i）求证：； （ii）求值：. 2024— 第 1 页，共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 徐州一中2024—2025学年度第二学期高二年级3月检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出展开式的通项公式，令的指数为，进而即可求解. 【详解】展开式的通项公式为， 令解得， 所以展开式中的系数为， 故选：D 2. 记函数的导函数为.若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】求导，再令即可得解. 【详解】， 所以. 故选：D. 3. 从3名男生与2名女生中选出2人担任班委，则“恰有1名男生与1名女生当选”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出从5人中选2人的方法数，再求出选的两人恰有1名男生与1名女生的方法数，然后由古典概型的概率公式求解即可. 【详解】因为从3名男生与2名女生中选出2人有种选法， 选的两人恰有1名男生与1名女生的有种选法， 所以所求的概率为. 故选：C 4. 已知等差数列的前n项和为，则（ ） A. 18 B. 36 C. 54 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】由可得， 故， 故选：D 5. 在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）种 A. 72 B. 36 C. 12 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用排列数公式，以及顺序一定问题，列式求解. 【详解】将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，且顺序一定，茄子净肉和鸡胸肉顺序一定， 所以不同排序方法有种方法. 故选：C 6. 已知，则（ ） A. 0.05 B. 0.27 C. 0.68 D. 0.32 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率公式可得，进而可得，即可由对立事件概率公式求解. 【详解】由可得, 所以, 故, 故选：C 7. 已知随机变量满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为，可判断A；因为可求出，由方差和标准差的性质，可判断B、C、D. 【详解】因为随机变量，满足，且，所以 对于A，，所以A不正确； 对于B，，， ，所以B不正确； 对于C，，， ，所以C不正确； 根据, 由, 则，， 故选：D. 8. 已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，令，则在上为增函数，即在上恒成立，分离参数，利用二次函数的单调性求解最值即可. 【详解】对任意的，且，， 则，令，则， 由单调性的定义知在上为增函数，. 则在上恒成立，即， 也即在上恒成立， 记，因为的对称轴为，所以在上单调递减， 所以，所以，即实数a的取值范围为. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（ ） A. 共有120种不同的排法 B. 当2名教师相邻时，共有24种不同的排法 C. 当2名教师不相邻时，共有72种不同的排法 D. 当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法 【答案】AC 【解析】 【分析】利用全排列即可判断A；利用捆绑法即可判断B；利用插空法即可判断C；先排两端，其余再排，即可判断D. 【详解】对于A，共有种不同的排法，故A正确； 对于B，共有种不同的排法，故B错误； 对于C，共有种不同的排法，故C正确； 对于D，共有种不同的排法，故D错误. 故选：AC. 10. 高考数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，，分该题有两个正确选项和3个正确选项，计算出，，A错误；B选项，计算出；C选项，求出的可能取值和对应的概率，计算出，同理可得，得到C正确；D选项，利用方差计算公式得到. 【详解】A选项，，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个， 若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项， 故， ，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，从两个正确选择中选择1个，或选择两个错误选项， 若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项，再从3个正确选项中选择1个， 故， 故，A错误； B选项，，即该题有两个正确选项，小明从正确选项中选择1个， 故， ，即该题有3个正确选项，小明从正确选项中选择2个， 故，故，B正确； C选项，的可能取值为， 其中，， ，即该题有3个正确选项，小明从正确选项中选择1个， 故， 故， 的可能取值为， 其中，， ，即该题有2个正确选项，小明选择了2个正确选项， ， 故 所以，C正确； D选项，， ， 显然，D错误. 故选：BC 11. 已知，则（ ） A. 展开式的各二项式系数的和为0 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】二项式系数和为，得出A；令，得到，令，得到，得出B；由二项式定理可得，所以，它是的展开，得到C；，， 化简即可得D. 【详解】， 展开式的各二项式系数的和为，所以A错； 令，得到，令，得到， ，所以B对； 由二项式定理可得：，， 所以，， ， ，故C对； ， ， ， ，，故D对. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】利用组合数公式计算即可. 【详解】得到，解得或.故. 故答案为：7 13. 已知随机变量，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得相应的正态曲线关于对称，即可求得结论． 【详解】因为，所以可得相应的正态曲线关于对称， 又，所以. 故答案：. 14. 椭圆的左焦点为，直线与椭圆和圆心为的圆相切于同一点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求导可得椭圆在的切线斜率为，进而可得点的轨迹方程为（），利用点到直线的距离公式即可求解最小值. 【详解】由可得， 由于直线与椭圆相切于，故上半椭圆的方程为， 求导得，因此， 故椭圆在的切线斜率为，由于直线于圆也相切于， 故圆心所在的直线斜率为1，且经过点，故点的轨迹方程为（）， ，故的最小值为到的距离， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数在处的切线方程； （2）当时，求函数的最大值. 【答案】（1） （2）21 【解析】 【分析】（1）求导可得，可求切线方程； （2）求导可得在上的单调性，从而可求结论. 【小问1详解】 因为，所以. 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 令， 因为，所以在单调递增，单调递减， 所以. 16. 为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类.已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为. （1）设小明同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为X，求X的分布列与数学期望； （2）若小明同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由. 【答案】（1）分布列见解析， （2）小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出随机变量的取值，结合条件概率求出对应的概率，即可求出分布列和数学期望； （2）先求出，然后根据条件概率公式分别求出借阅两类图书的概率，比较大小即可解答. 【小问1详解】 设表示第次借阅“期刊杂志”，表示第次借阅“文献书籍”，， 则. 依题意，随机变量的可能取值为0，1，2. ， ， . 随机变量的分布列为 0 1 2 所以. 【小问2详解】 若小明第二次借阅“文献书籍”，则他第一次借阅“期刊杂志”的可能性更大．理由如下： ． 若第一次借阅“期刊杂志”，则． 若第一次借阅“文献书籍”，则． 因为，所以小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大. 17. 在二项式的展开式中， （1）若第4项的系数与第6项的系数比为5∶6，求展开式中的有理项； （2）若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数最大的项． 【答案】（1），， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及二项展开式的通项公式，结合有理项的特点即可求解； （2）利用二项式系数的性质及系数的最大项的求法即可求解. 【小问1详解】 由题意得, ∴，即解得或（舍）. ∴，，1，2，…6， 所以，3，6时为有理项 即展开式中的有理项为：，，. 【小问2详解】 因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以， 设第项的展开式系数最大，则 ,解得。 所以展开式中系数最大项为：，. 18. 已知椭圆的右焦点为F，点在椭圆C上．且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）直线l斜率存在，交椭圆C于A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线和直线关于PF对称． （i）证明：直线l过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由离心率和椭圆上的点，求椭圆的方程； （2）设直线方程，与椭圆方程联立，由，结合韦达定理得系数间的关系，可得直线所过定点，利用面积公式表示出的面积，由基本不等式求最大值. 【小问1详解】 因为椭圆离心率为，则， 点在椭圆上，点代入椭圆方程，有，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）设直线l的方程为，由， 消去y，整理得， 因为l交椭圆C于两点，所以， 设，所以， 因为直线和直线关于对称，轴， 所以， 所以， 所以， 解得. 所以直线l的方程为， 所以直线l过定点. （ⅱ）由题意知l斜率不可能为0,设直线l的方程为，由， 消去，整理得， 因为l交椭圆C于两点，所以， 解得， 则， 由题意可知同号，不妨设， 所以， 所以 令 则，当且仅当即时取等号， 所以面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合建立有关参变量的等量关系应用基本不等式求三角形的面积最值即可． 19. （1）我们学过组合恒等式，实际上可以理解为，请你利用这个观点快速求解：.（计算结果用组合数表示） （2）（i）求证：； （ii）求值：. 【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）依题意，将已知式拆开，使其可利用组合恒等式，通过多次提取系数运用恒等式即可求得； （2）（i）利用组合数公式与排列数公式之间的关系推理即得； （ii）将所求和式展开后，拆项，利用（i）式化简，通过构造数列建立和式之间的递推关系，分析得到数列的周期性，从而利用周期求的结果. 【详解】（1）解法一： ； 解法二：设置情境，原式等价于从15个相同的球中取出5个，共有种选法， 所以原式； （2）（i）； （ii） 由（i）得， 则有， 原式 构造数列，令， 则， 所以 所以，即， 即，所以，即数列是周期为6的数列. 又因为， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查组合恒等式的应用和利用构造数列求解和式问题，属于难题. 解题关键在于熟悉组合数与排列数的阶乘计算公式，掌握组合数的性质，并能根据和式组成的规律性，构造对应的数列，运用数列的相关性质求解问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$