精品解析：山东省德州乐陵市开元中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题

山东省德州乐陵市开元中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 下面四组数，其中是勾股数组的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足的三个数，称为勾股数．由此判定即可． 【详解】解：A、，能构成勾股数，故正确； B、0.3，0.4，0.5，不是正整数，所以不是勾股数，故错误； C、，不能构成勾股数，故错误； D、，不能构成勾股数，故错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，熟记常用的勾股数． 2. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从根指数，被开方数两个基本条件去判断即可． 【详解】∵的根指数是2，被开方数是7，是非负数， ∴是二次根式，故A符合题意； ∵的根指数是3， ∴不是二次根式，故B不符合题意； ∵的根指数是2，被开方数是x，不一定是非负数， ∴不是二次根式，故C不符合题意； ∵的根指数是2，被开方数是-15，无意义， ∴不是二次根式，故D不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的基本条件是解题的关键． 3. 下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 两直线平行，同位角相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 直角三角形有两个锐角 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了逆命题、对顶角、平行线、全等三角形，直角三角形的性质等知识，先对各个选项写出逆命题，然后进行判断即可得到答案，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】解：、对顶角相等的逆命题为：相等的角是对顶角，原选项逆命题错误，不符合题意； 、两直线平行，同位角相等的逆命题为：同位角相等，两直线平行，原选项逆命题正确，符合题意； 、全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的三角形为全等三角形，原选项逆命题错误，不符合题意； 、直角三角形有两个锐角的逆命题为：有两个锐角的三角形是直角三角形，原选项逆命题错误，不符合题意； 故选：． 4. 在△ABC中，三边长满足b2-a2=c2，则互余的一对角是（ ） A. ∠A与∠B B. ∠C与∠A C. ∠B与∠C D. ∠A、∠B、∠C 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：∵△ABC中三边a，b，c，满足b2－a2＝c2即b2=a2+c2， ∴∠B最大，即∠B=90°． ∴互余的角为∠C与∠A 故选B． 5. 若，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 6. 等边三角形的高是，则该三角形的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，解题的关键是掌握知识点的应用． 由等边三角形的性质得，，，，则，然后用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该三角形的边长是， 故选：． 7. 如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点P，则P的坐标为（　　） A. （﹣1，0） B. （﹣5，0） C. （1，0） D. （0，﹣1） 【答案】A 【解析】 【分析】根据OA=4，OB=3，在Rt△ABO中，由勾股定理得AB=5，从而求出OP的长即可． 【详解】解：∵A（4，0），B（0，3）， ∴OA=4，OB=3， 在Rt△ABO中，由勾股定理得： AB=， ∴AP=AB=5， ∴OP=1， ∴P（-1，0）， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理等知识，明确AB=AP是解题的关键． 8. 如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则阴影部分面积是（　　） A B. C. 14 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，以直角三角形三边为图形的面积，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键． 由勾股定理求出的长，再根据阴影部分面积代入数据求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 由图形可知，阴影部分面积 ， 故选：D． 9. 《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设折断处离地面x尺， 根据题意可得：x2+32=（10-x）2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． 10. 如图，在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．过作于点，则，由勾股定理得，，设，则，得出，求出的值，然后代入，求出，再利用面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过作于点， ∴， ∴，， ∴ 设，则， ∴，解得：， 即， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：． 11. 若，化简二次根式的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二次根式有意义，得到，由已知条件得到，即可化简， 主要考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握开平方的结果为非负数． 【详解】解：∵， ∴， ∵有意义，， ∴， ∴， 故选：B． 12. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 2025 D. 2020 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的求值，分式的求值．根据已知，利用完全平方公式计算得到，去分母得到，再整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，即被开方数大于等于，分母不为，先根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出关于的不等式组，求出的取值范围即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴，解得：， 故答案为：． 14. 有如下一串二次根式：；；；，仿照，写出第个二次根式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字类变化规律，根据已知二次根式找到变化规律即可求解，由已知二次根式找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ∴第个二次根式为， 故答案为：． 15. 如图是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），且大正方形的面积是，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为．如果将四个全等的直角三角形按如图的形式摆放所围成的大正方形的面积是，那么一个直角三角形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 由图可得，图中最大的正方形的面积为，即，求出的值即可． 【详解】解：由图可得，图中最大的正方形的面积为，即， ∴， ∴， ∴， ∴一个直角三角形的面积为， 故答案为：． 16. 如图，某港口P位于南北延伸的海岸线上，东面是大海.“远洋”号、“长峰”号两艘轮船同时离开港口P，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12n mile，“长峰”号每小时航行16n mile，它们离开港东口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB=20n mile，已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，那么“长峰”号航行的方向是________. 【答案】南偏东30° 【解析】 【分析】直接得出AP=12 n mile，PB=16 n mile，AB=20 n mile，利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案. 【详解】如图， 由题意可得：AP=12 n mile，PB=16 n mile，AB=20 n mile， ∵122+162=202， ∴△APB是直角三角形， ∴∠APB=90°， ∵“远洋”号沿着北偏东60°方向航行， ∴∠BPQ=30°， ∴“长峰”号沿南偏东30°方向航行； 故答案为南偏东30°. 【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理以及解直角三角形的应用，正确得出各线段长是解题关键． 17. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式，掌握运算法则是解题的关键． 由，，得，，，，然后根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在四边形中，，，，，，则对角线的长是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】延长到点E，使得，连接，证明，得到，过点作，垂足为，得，运用勾股定理可求出对角线的长． 【详解】解：延长到点E，使得，连接， ∵四边形的内角和为， ， ，， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 过点作，垂足为， 则， 设，则， 在中，， 故， 解得， 故， ， 故答案为：#． 【点睛】本题主要考查了四边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，补角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 三、解答题（共78分） 19. （1）计算：． （2）计算：． 【答案】（1），（2）. 【解析】 【分析】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂，再计算加减即可； （2）先根据二次根式的乘除法则运算，再计算加减即可. 【详解】（1）原式=， . （2）原式=， . 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算和零指数幂、负整数指数幂，，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画，使的三边长分别为3、4、5； （2）在图2中以格点为顶点画，使的三边长分别为、、． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意找到长度分别为3、4、5的线段，然后顺次连接即可； （2）根据勾股定理找到长度分别为、、的线段，然后顺次连接即可； 【小问1详解】 ，，， ∴如图所示，即为所求， 【小问2详解】 根据勾股定理可得，，，， ∴如图所示．即为所求， 【点睛】此题考查了勾股定理和网格综合题，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 21. 如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中求10秒后的值是解题的关键．开始时，米，米，即可求得的值，10秒后根据，长度即可求得的值，即可解题． 【详解】解：在中，，米，米, （米）， 此人以的速度收绳，10秒后船移动到点的位置， （米）， （米）， 米， 答：船向岸边移动了米． 22. 如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处． （1）请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； （2）当时，求蚂蚁爬过的最短路径长的平方． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）蚂蚁可从柜角A处沿着木柜的前面和右侧面爬到柜角处；也可从柜角A处沿着木柜的前面和上面爬到柜角处； （2）分别计算和即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示： 蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的和 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵ ∴蚂蚁爬过的最短路径长的平方为 【点睛】本题考查了勾股定理与最短路径问题．根据立体图形的侧面展开图找到最短路径是解题关键． 23. 如图，用两个边长为的小正方形拼成一个大正方形． （1）大正方形的边长是______； （2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为? 【答案】（1）大正方形的边长为； （2）沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为． 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，能根据题意列出算式是解此题的关键． （1）根据已知正方形的面积关系即可求出大正方形的边长； （2）先求出长方形的边长，再判断即可． 【小问1详解】 解：大正方形的边长为，则， ∵， ∴． 答：大正方形的边长为； 【小问2详解】 解：∵长方形纸片的长宽之比为， ∴设长方形纸片的长为，宽为，则， 解得， ∵， ∴， ，， ∵大正方形的边长为，，，， ∴， ∴沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为． 24. 【发现问题】小明在课外书上遇到了下面这道题：已知点，求线段的长度．小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决．思路如下：在平面直角坐标系中，设 要求线段．的长度可以用如下的方法，如图，过 作x轴的垂线，垂足为A，过作x轴的垂线，垂足为B，线段长度可表示，作y轴的垂线，垂足为C，过 作y轴的垂线，垂足为D，延长交 于点E，则线段的长度可以表示，，中，，据勾股定理可得： （1）【解决问题】 ①则线段长度______； ②如果点， 点 ，线段长度是______． （2）【知识迁移】 ①点，在x轴上找一点P，使得的值最大，请直接写出这个最大值是______； ②点 ，在x轴上找一点，使得最小，请直接写出这个最小值是______． （3）【拓展延伸】 ①代数式 的最小值是______； ②代数式 的最大值是______． 【答案】（1）； （2）​​​​​​​； （3）； 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式，是解题的关键： （1）直接利用两点间的距离公式进行计算即可； （2）①连接并延长，交轴与点，此时最大为长，利用两点间的距离公式进行求解即可；②作关于轴的对称点，连接，得到的最小值即为的长，进行求解即可； （3）利用数形结合结合的思想，将代数式的最值转换为坐标系中两点间的距离，进行求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴； 故答案为：； ②点， 点 ， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 ①如图所示，连接并延长，交轴与点， ∴最大为的长， ∵， ∴的最大值； ②作关于轴的对称点，连接交轴于点， 此时的值最小，为：的长， ∵， ∴， ∴的最小值为：； 【小问3详解】 ①， 可转化为：已知点，在轴上找一点，使的值最小， 由（2）②可知，作点关于轴的对称点，的最小值即为的长， ， ∴代数式 的最小值是； ②， 参考（2）①中的图形，点，点， ∴代数式的最大值为：． 25. 如图，折叠正方形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平后连接，将沿折叠，使点落在正方形内一点处，连接并延长交于点，连接． （1）若正方形的边长是，求的长． （2）如图，在长方形中，，，为边上的一点（不与点重合），将沿着折叠，点的对应点落在长方形的内部，连接，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）的长为； （2）长为或． 【解析】 【分析】本题考查了正方形和矩形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的定义等知识，掌握相关知识点的应用是解题的关键． （）由正方形的性质得，，由折叠的性质可知， ，，，，然后证明，设，则，，再通过勾股定理即可求解； （）分若，则易得点在的垂直平分线上，过点作于点，交于点，则易得，然后由勾股定理即可求解；，若，过点作于点，交于点，则易得，设，则，，然后由勾股定理即可求解； 【小问1详解】 解：∵ 四边形是正方形， ∴，， 由折叠的性质可知， ，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则，， ∴ 在中，，即， 解得， ∴的长为； 【小问2详解】 解：若，由折叠的性质可知，，， ∴ 此种情况不存在； 如图，若，则点在的垂直平分线上， 过点作于点，交于点，则， ∴， ∴ 在中，由勾股定理，得， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理，得， 即，解得， ∴的长为， 如图，若，过点作于点，交于点，则， 在和 中，由勾股定理，得 ，， ∴， ∴，解得， ∴， 由，， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得：， ∴的长为， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省德州乐陵市开元中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 下面四组数，其中是勾股数组的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ） A 对顶角相等 B. 两直线平行，同位角相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 直角三角形有两个锐角 4. 在△ABC中，三边长满足b2-a2=c2，则互余的一对角是（ ） A. ∠A与∠B B. ∠C与∠A C. ∠B与∠C D. ∠A、∠B、∠C 5. 若，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 等边三角形的高是，则该三角形的边长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点P，则P的坐标为（　　） A. （﹣1，0） B. （﹣5，0） C. （1，0） D. （0，﹣1） 8. 如图，阴影部分表示以各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则阴影部分面积是（　　） A. B. C. 14 D. 24 9. 《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 若，化简二次根式结果是（ ） A. B. C. D. 12. 已知，则值为（ ） A. B. C. 2025 D. 2020 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 14. 有如下一串二次根式：；；；，仿照，写出第个二次根式______． 15. 如图是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），且大正方形的面积是，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为．如果将四个全等的直角三角形按如图的形式摆放所围成的大正方形的面积是，那么一个直角三角形的面积为______． 16. 如图，某港口P位于南北延伸的海岸线上，东面是大海.“远洋”号、“长峰”号两艘轮船同时离开港口P，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12n mile，“长峰”号每小时航行16n mile，它们离开港东口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB=20n mile，已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，那么“长峰”号航行的方向是________. 17. 已知，，则______． 18. 如图，在四边形中，，，，，，则对角线的长是___________． 三、解答题（共78分） 19. （1）计算：． （2）计算：． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画，使的三边长分别为3、4、5； （2）在图2中以格点为顶点画，使的三边长分别为、、． 21. 如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 22. 如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处． （1）请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； （2）当时，求蚂蚁爬过的最短路径长的平方． 23. 如图，用两个边长为的小正方形拼成一个大正方形． （1）大正方形的边长是______； （2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为? 24. 【发现问题】小明在课外书上遇到了下面这道题：已知点，求线段的长度．小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决．思路如下：在平面直角坐标系中，设 要求线段．的长度可以用如下的方法，如图，过 作x轴的垂线，垂足为A，过作x轴的垂线，垂足为B，线段长度可表示，作y轴的垂线，垂足为C，过 作y轴的垂线，垂足为D，延长交 于点E，则线段的长度可以表示，，中，，据勾股定理可得： （1）解决问题】 ①则线段长度是______； ②如果点， 点 ，线段长度是______． （2）【知识迁移】 ①点，在x轴上找一点P，使得的值最大，请直接写出这个最大值是______； ②点 ，在x轴上找一点，使得最小，请直接写出这个最小值是______． （3）【拓展延伸】 ①代数式 的最小值是______； ②代数式 的最大值是______． 25. 如图，折叠正方形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平后连接，将沿折叠，使点落在正方形内的一点处，连接并延长交于点，连接． （1）若正方形的边长是，求的长． （2）如图，在长方形中，，，为边上的一点（不与点重合），将沿着折叠，点的对应点落在长方形的内部，连接，当为等腰三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$