解答04 立体几何（八大考点训练+真题模拟题练）-2025年高中数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用）

2025年高中数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用） 解答04 立体几何与空间向量 【考点01 平行问题】 【例1】如图，正方形所在的平面与平面四边形所在的平面互相垂直，是等腰直角三角形，， (1)求证：平面； (2)设线段的中点分别为，求证：平面. 【例2】如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，平面平面，，，，，，且. (1)已知点为上一点，且，证明：平面； 【变式1-1】如图，在直三棱柱中，为的中点，.    (1)证明：平面. 【变式1-2】在三棱柱中，点在上，且，为线段上的动点. (1)若为的中点， （i）在图中画出的重心，并说明点与线段BE的位置关系； （ii）求证：平面. 【变式1-3】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为圆锥底面圆周上异于的一点，为上一点，且平面． (1)求的值； 【考点02 垂直问题】 【例3】如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且，BD,CD不垂直，平面平面.    (1)证明：； 【例4】如图，在几何体中，互相平行，四边形与四边形 是全等的等腰梯形，平面平面，，点分别为的中点.证明：平面平面.    【变式2-1】如图所示，四棱柱的底面和侧面都是正方形. (1)证明：； 【变式2-2】如图，四边形为矩形，≌，且二面角为直二面角． (1)求证：平面平面； 【变式2-3】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.证明：是等腰三角形. 【考点03 直线与平面夹角问题】 【例5】如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【例6】如图，在空间几何体ABCDPE中，正方形PDCE所在平面垂直于梯形ABCD所在平面，，，点F在线段AP上， (1)求二面角的余弦值; (2)为线段EF上一点，若直线BQ与平面BCP所成角的正弦值为，求线段FQ的长. 【变式3-1】如图，在三棱柱中，平面，平面平面．    (1)证明：平面； (2)若，，，求直线与平面所成的角的正弦值． 【变式3-2】如图，在三棱柱中，底面是正三角形，，，侧面是矩形． (1)求证：三棱锥是正三棱锥； (2)若三棱柱的体积为，，求直线与平面所成角的正弦值． 【变式3-3】如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，． (1)证明：平面平面； (2)是边上的点，且与平面所成角的正切值是，求的面积． 【考点04 平面与平面夹角问题】 【例7】如图所示，在圆台中，四边形为过的圆台截面，为底面圆O的内接正三角形.    (1)证明：平面平面； (2)若，求平面和平面夹角的余弦值. 【例8】如图，四棱锥中，平面，，，，，点在棱上． (1)当时，求证：平面； (2)若直线与平面所成的角为，二面角的余弦值为，求． 【变式4-1】底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【变式4-2】如图，在三棱锥中，，，. (1)证明：平面； (2)若，是棱上一点且，求平面与平面的夹角. 【变式4-3】如图，在圆锥中，是底面圆上的四点，为直线与圆的另一交点，为母线上一点，且. (1)证明：平面底面圆； (2)为底面圆的劣弧上一点（与点均不重合），且平面与平面所成角的余弦值为，求的正弦值. 【考点05 空间中的距离问题】 【例9】如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且，的中点为，的中点为. (1)证明：平面； (2)若直线与面所成角为，求点到平面的距离. 【例10】如图，在四棱锥中，平面，是线段上的动点. (1)当是线段中点时，求证：平面； (2)设是的中点，当二面角的余弦值为时，求点到平面的距离. 【变式5-1】如图，四棱台中，底面是边长为4的菱形，，． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若该四棱台的体积等于，且，求直线到平面的距离． 【变式5-2】如图，几何体中，四边形是梯形，平面，，，且，点是棱上的点（不含端点）． (1)若，求证：平面； (2)当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求点到平面的距离． 【变式5-3】如图，在三棱锥中，平面ABC，为锐角，动点D在的边AC上，，，，三棱锥的体积为. (1)证明：平面平面PAB. (2)当点P到直线BD的距离为时，求PD与平面ABC所成的角. 【考点06 存在性问题】 【例11】如图，等腰梯形中，，于点，且．沿把折起到的位置，使． (1)求证：平面． (2)求三棱柱的体积． (3)线段上是否存在点，使得平面．若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【例12】如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2． (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【变式6-1】如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为线段上一点． (1)求证：； (2)是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式6-2】已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，E为的中点，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面所成的角为， （I）求三棱锥的体积； （II）试问在侧面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出点到直线的距离；若不存在，请说明理由. 【变式6-3】如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【考点07 体积问题】 【例13】如图，平面四边形中，，且，现将△沿折起，使得，如图． (1)证明：平面⊥平面； (2)点在线段上，平面把三棱锥分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值． 【例14】如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，且满足，，平面平面. (1)求证：； (2)若，点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积. 【变式7-1】如图，三棱柱中，点在底面的射影为，，，，，是的中点. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱柱的体积. 【变式7-2】如图，四棱锥中，，，M为的中点，平面. (1)求证：； (2)若，，平面平面，二面角的正弦值为，求四棱锥的体积. 【变式7-3】如图，在三棱锥中，已知为锐角三角形，平面平面，，点是的中点． (1)求证：； (2)若，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积． 【考点08 最值范围问题】 【例15】如图，圆台下底面圆的直径为，是圆上异于、的点，、是圆台上底面圆上的两点，是的中点，，. (1)证明：平面． (2)求四面体的外接球的表面积； (3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【例16】如图，在直三棱柱中，，，，分别为棱，上的动点且，点在平面上的射影为点，的中点为． (1)求证：平面； (2)求点的轨迹长； (3)求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． 【变式8-1】如图，三棱锥中，，且，. (1)当三棱锥的体积最大时， ①求证：； ②求其外接球的表面积； (2)设为的中点，记平面与平面的夹角为，求的最小值. 【变式8-2】如图，在长方体中，，．为线段上一动点，记．以点为坐标原点，分别以，，为轴正方向，轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系. (1)写出点的坐标（用表示）； (2)当平面时，求的值； (3)过点、、作截面，求点到该截面距离的最大值. 【变式8-3】如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点在线段PB上（不含端点）． (1)证明：； (2)若直线PC与AB所成角的余弦值为． （i）当直线PB与平面所成角为60°时，求PF； （ii）设平面与平面的夹角为，求的取值范围． 一、 1．（2025·新疆喀什·二模）如图，△PAC为圆锥PO的轴截面，B 为底面圆周上一点，，，点D在线段BC上，且 ．    (1)证明：AD⊥PB ； (2)若二面角A−PB−O的余弦值为，求圆锥PO 的侧面积． 2．（2025·内蒙古赤峰·一模）如图所示，三棱柱中，平面平面，，，点为棱的中点，动点满足. (1)当时，求证：； (2)若平面与平面所成角的正切值为，求的值. 3．（2025·云南·模拟预测）如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，. (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)若点是平面内的动点，且满足，设直线与平面所成角为，求的最大值. 4．（2024·25高三下·湖南长沙·开学考试）如图，四棱锥中，四边形是菱形，平面，，，，分别是线段和上的动点，且，. (1)若，求的值； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若直线与线段交于点，于点，当的长度最小时，求的值. 5．（2025·河北·一模）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，. (1)证明：是等腰三角形. (2)若平面平面，求点到平面的距离. 6．（2025·河南·二模）如图，三棱柱中，侧面与底面垂直，且，，为侧棱的中点，三棱锥的体积为.    (1)求三棱柱的高； (2)已知点在上，且，若平面，求实数的值； (3)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 7．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）在如图所示的五面体中，四边形与均为等腰梯形，，，，，，、分别为、的中点，与相交于点．    (1)求证：平面； (2)若平面，求二面角的余弦值． 8．（2025·陕西渭南·二模）如图，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，为的中点，，侧面底面. (1)证明：； (2)当时，求平面与平面夹角的余弦值. 9．（2025·宁夏石嘴山·一模）如图1所示，在平行四边形中，，垂足为A，，将沿AB折到的位置，点M为棱AB的中点，点N在棱上，如图2所示． (1)证明：平面平面； (2)当二面角的大小为， ①求四棱锥的体积； ②若直线PC与平面所成角的正弦值为，求点C到平面的距离． 10．（2025·山西晋中·模拟预测）如图，四棱锥的底面为正方形，，且.    (1)求证：平面平面. (2)若，且三棱锥的体积是四棱锥体积的一半. （i）求点到平面的距离； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 11．（2025·湖南·模拟预测）如图，四边形是边长为的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上一动点（点与点、不重合）. (1)求证：； (2)当点为半圆弧上靠近点的三等分点时，求二面角的正弦值. 12．（2025·贵州六盘水·一模）在四棱台中，底面为平行四边形，侧面为等腰梯形，且侧面底面，与BC的距离为，点分别在棱，上，且． (1)求证：平面； (2)求四棱台的高； (3)求异面直线与所成的角的余弦值． 1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 3．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 5．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 6．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，． (1)求证：//平面； (2)若，求三棱锥的体积． 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高中数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用） 解答04 立体几何与空间向量 【考点01 平行问题】 【例1】如图，正方形所在的平面与平面四边形所在的平面互相垂直，是等腰直角三角形，， (1)求证：平面； (2)设线段的中点分别为，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为正方形所在的平面与平面四边形所在的平面互相垂直， ，平面，平面平面, 故平面，平面，故， 是等腰直角三角形，，结合， 则，即， 又平面， 故平面； （2）取的中点为N，连接， 由于线段的中点为，故， 而正方形中，，故， 结合线段的中点为，可得， 即四边形为平行四边形，故， 平面，平面， 故平面. 【例2】如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，平面平面，，，，，，且. (1)已知点为上一点，且，证明：平面； 【详解】（1）证明：如图， 连接交于点，取中点为，连接，，， 在四边形中，，， 故四边形为平行四边形. 故为中点，所以在中，为中位线， 则且，又且， 故且，即四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 平面，即平面. 【变式1-1】如图，在直三棱柱中，为的中点，.    (1)证明：平面. 【详解】（1）连接， ∵E为中点，为的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面；    【变式1-2】在三棱柱中，点在上，且，为线段上的动点. (1)若为的中点， （i）在图中画出的重心，并说明点与线段BE的位置关系； （ii）求证：平面. 【详解】（1）（i）连结，交于点，连结交BE于点. 因为为的中点，为的中点， 所以为的重心，所以. 又因为为的中线， 所以点也为的重心，所以点在线段BE上. （ii）连结，并延长交AC于点，连结DG. 因为为的重心，所以. 又因为，所以，即. 又因为平面，平面，所以平面. 【变式1-3】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为圆锥底面圆周上异于的一点，为上一点，且平面． (1)求的值； 【详解】（1）因为平面，平面平面， 所以由线面平行的性质定理可得， 又是圆锥底面的圆心，为底面直径，所以为的中点， 所以. 【考点02 垂直问题】 【例3】如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且，BD,CD不垂直，平面平面.    (1)证明：； 【详解】（1）过点作于，    由平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，故，又为直径，易知， 且平面，所以平面，平面， ，且，平面，， 平面，平面，故. 【例4】如图，在几何体中，互相平行，四边形与四边形 是全等的等腰梯形，平面平面，，点分别为的中点.证明：平面平面.    【答案】证明见解析. 【详解】如图，因为四边形是等腰梯形，点G为的中点，点H为的中点， 所以，又平面平面，平面， 平面平面， 所以平面， 又平面， 所以， 取的中点M，连接， 则四边形是边长为2的菱形， 所以， 又， 所以， 因为且都在面内， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面.    【变式2-1】如图所示，四棱柱的底面和侧面都是正方形. (1)证明：； 【详解】（1）由四棱柱的底面和侧面都是正方形， 得，而平面，则平面， 又平面，则，而，于是， 又，则是菱形，因此，而平面， 则平面，又平面，所以. 【变式2-2】如图，四边形为矩形，≌，且二面角为直二面角． (1)求证：平面平面； 【详解】（1）由四边形为矩形，得，二面角为直二面角，即平面平面， 平面平面，平面，则平面，又平面， 则，由≌，得，即， 平面，于是平面，又平面， 所以平面平面. 【变式2-3】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.证明：是等腰三角形. 【答案】证明见解析 【详解】设为的中点，连接，，如图所示. 因为，，， 所以，所以， 故，即， 又，，平面，， 所以平面，因为平面，所以， 因为平面平面，平面平面， ，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以， 在中，，为的中点， 所以，即是等腰三角形. 【考点03 直线与平面夹角问题】 【例5】如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）    取中点，连接， 因为，所以， 为的中点，所以为的中位线，所以， 又，所以四边形为平行四边形，有， 又因为平面平面，则， 由于平面，所以平面， 又因为，所以平面． （2）解法一：由（1）可知：两两垂直，如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 在中，由余弦定理可得：，则， 于是， 则， 设平面， 于是，即， 令，则， 设直线与平面所成角为， 那么， 即直线与平面所成角的正弦值为．    解法二：在中，由余弦定理可得：，则， 如图，连接，由（1），平面平面，则， 又因为，四边形为正方形，为的中点，， 由于平面，则平面， 如图，记，过点作，连接， 由于平面平面，则， 又因为平面，则平面， 所以即为直线与平面所成角，由于， 则， 由于，则为的三等分点，则， 于是， 即直线与平面所成角的正弦值为．    解法三：设直线与平面所成角为，点到平面的距离为，则， 在中，，则， 过作交的延长线于，易得， 且易证平面， 由于，则， 在中，，且， 又，则．    【点睛】 【例6】如图，在空间几何体ABCDPE中，正方形PDCE所在平面垂直于梯形ABCD所在平面，，，点F在线段AP上， (1)求二面角的余弦值; (2)为线段EF上一点，若直线BQ与平面BCP所成角的正弦值为，求线段FQ的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由四边形PDCE为正方形得，因为平面平面ABCD，平面平面， 平面PDCE，，所以平面ABCD， 又DA，DC在平面ABCD内，所以，， 由得， 以为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面PBC的一个法向量为， 则即 取，则， 设平面ABP的一个法向量为， 则即 取，则， 所以， 因为二面角的平面角为钝角， 所以二面角的余弦值为 （2）设， 则， 因为BQ与平面BCP所成角的正弦值为， 所以， 解得或， 因为，所以， 故 【变式3-1】如图，在三棱柱中，平面，平面平面．    (1)证明：平面； (2)若，，，求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）过作于， 因为面面，面面，在平面内， 所以面，而平面，故， 因为面，在面内， 所以，为面内两条相交直线， 所以面． 因为在三棱柱中，四边形是平行四边形， 所以，所以面．    （2）解法一：由（1）可知：直线，，两两垂直， 由题意，，， 可得：，， 所以在平行四边形中，由性质可得： 可得：． 由（1）知：面，由直角三角形面积, 可得：， 所以点到面的距离为． 又因为，而平面，平面， 所以面，所以点到面的距离为． 设直线与面所成的角为，则． 故直线与面所成的角的正弦值为． 解法二：    由（1）可知：直线，，两两垂直，故以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，，， 所以，，，， 设面的法向量为，， 由可得：，令，得， 所以 所以， 故直线与面所成的角的正弦值为． 【变式3-2】如图，在三棱柱中，底面是正三角形，，，侧面是矩形． (1)求证：三棱锥是正三棱锥； (2)若三棱柱的体积为，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）过点作平面于点， 平面，所以 又，平面 平面平面, 同理可证，故是的垂心， 又是正三角形，则是的中心，因此三棱锥是正三棱锥 （2）因为三棱柱的体积为， 结合，可知底面积为，所以高， 以的中点为坐标原点，以为的正方向， 过且与平行的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因为， 则，取，则 又， 设直线与平面所成角为， 所以. 【变式3-3】如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，． (1)证明：平面平面； (2)是边上的点，且与平面所成角的正切值是，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题设得，从而. 又是直角三角形，所以. 取AC的中点O，连接DO、BO，则DO⊥AC， 又是正三角形，故. 则在直角中，， 又，所以， 故. 而,平面， 故平面，而平面， 所以平面⊥平面. （2）设，与平面所成角为, 结合（1）结论，以为坐标原点,为轴，为轴，为轴，建立的空间直角坐标系， 则，, , 设平面的法向量， 则,则,令,则, 故, 由,则 故 则,解得 故, 则, 所以边上的高为, 故. 【考点04 平面与平面夹角问题】 【例7】如图所示，在圆台中，四边形为过的圆台截面，为底面圆O的内接正三角形.    (1)证明：平面平面； (2)若，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：设，连接，如图，    因为为底面圆O的内接正三角形，所以O为正三角形的中心， 则，且M为中点， 因为四边形为过的圆台截面，且关于底面直径对称， 所以，则， 因为，平面，所以平面， 因为平面CEF，所以平面平面； （2）由分析知，O为正三角形的中心，所以， 因为，所以，故M为中点， 因为，所以， 又因为，所以四边形为平行四边形，， 因为平面，平面，所以平面， 以O为原点建立空间直角坐标系如图，    连接，因为，所以三角形满足，为正三角形， 所以， 不妨设，则，，， 所以，， 设平面ABF法向量为，则，即， 解得， 易知平面法向量， 设平面和平面夹角为，则， 所以平面和平面夹角的余弦值为 【例8】如图，四棱锥中，平面，，，，，点在棱上． (1)当时，求证：平面； (2)若直线与平面所成的角为，二面角的余弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接交于点，连接， 由 知，，∴， ∵，∴，∴， 又平面，平面，∴平面． （2）∵平面，∴为与底面所成的角， 即，∴， 又四边形是直角梯形， 故以为坐标原点，分别以，，为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ∴，，， 设平面法向量为，则 ， 即 ，令，则， 设， 则， 设平面的法向量为，则， 即 ，令，则， 因为二面角的余弦值为， ∴，解得， 所以，， 所以. 【变式4-1】底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【详解】（1）因为四边形为菱形，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以平面； （2）由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，则，， 设，，则，， 设平面的一个法向量为， ， 令得，故， 直线与平面所成角的正弦值为， 即， 化简得，负值舍去，则， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角余弦值为. 【变式4-2】如图，在三棱锥中，，，. (1)证明：平面； (2)若，是棱上一点且，求平面与平面的夹角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在中，由，，则， 由，为公共边，则， 所以，由图可知， 则，即，， 因为，平面，所以平面. （2）在中，由，则， 由，则，即两两垂直， 以以原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 在中，由，，则， 设，则，，，， 取，，，， 由，则，可得， 设平面的法向量，则； 令，则，，所以平面的一个法向量. 平面的一个法向量， 设平面与平面所成角的大小为， . 【变式4-3】如图，在圆锥中，是底面圆上的四点，为直线与圆的另一交点，为母线上一点，且. (1)证明：平面底面圆； (2)为底面圆的劣弧上一点（与点均不重合），且平面与平面所成角的余弦值为，求的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设交于点，连接， 设圆的半径为，则可得， 在中，， 所以， 故，所以， 又，所以为正三角形，因此为的中点， 易得，故，所以为的中点，所以. 又底面圆，所以底面圆， 又平面，所以平面底面圆. （2）以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 连接，设，平面的一个法向量为， 则， 故， 由得 令，解得， 又平面的一个法向量为， 则， 解得或（舍去）， 所以，则， 故. 【考点05 空间中的距离问题】 【例9】如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且，的中点为，的中点为. (1)证明：平面； (2)若直线与面所成角为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图，设的中点为，连结， 因为的中点为，的中点为，所以是的中位线， 所以，，因为底面是菱形， 所以，，所以，， 得到四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，故平面. （2）由题意得平面，连接， 如图，作，以为原点建立空间直角坐标系， 因为，底面是菱形，所以，，， 设，则，， 则，，而的中点为， 的中点为，由中点坐标公式得， 则，易得面的法向量为， 因为直线与面所成角为，所以， 由图形得是锐角，解得，则此时，， 得到，而，， 设面的法向量为， 则，， 令，解得，，故， 设点到平面的距离为，由点到平面的距离公式得 . 【例10】如图，在四棱锥中，平面，是线段上的动点. (1)当是线段中点时，求证：平面； (2)设是的中点，当二面角的余弦值为时，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）记的中点为，连接， 因为是线段中点，所以且， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为平面平面，所以， 又，所以两两垂直， 以分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 则， 当M与B重合时，二面角为，不合题意， 设，则， 设平面，平面的法向量分别为， 则，， 取，得， 由题可知，解得（负根舍去）， 则，则点到平面的距离为. 【变式5-1】如图，四棱台中，底面是边长为4的菱形，，． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若该四棱台的体积等于，且，求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1） 连结，交于点，连结，则为的中点， 由四棱台，得平面平面， 又平面平面，平面面， 所以， 因为，所以， 因为为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，故， 又平面平面，所以平面． （2）取的中点，连结， 由四棱台得，，，， 所以四边形为平行四边形，， 则， 所以，所以， 由（1），知，又，所以， 因为，所以， 又平面， 所以平面． （3）解法一：菱形的面积， 由四棱台且， 可得， 四棱台的体积， 从而， 解得， 因为，所以， 故，从而，所以， 所以， 取的中点，则两两垂直，如图，以为坐标原点，分别，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面即平面的法向量， 则即 整理，得令，得， 从而点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为． 解法二： 延长交于点，取的中点，连结交于点，连结，，则的中点均为， 因为平面，所以， 因为，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 过点作于，且平面平面平面，所以平面， 故为点到平面的距离即为直线到平面的距离， 因为，所以点到的距离等于点到的距离， 又中，， 设点到的距离为，则， 所以，解得， 所以直线到平面的距离为． 【变式5-2】如图，几何体中，四边形是梯形，平面，，，且，点是棱上的点（不含端点）． (1)若，求证：平面； (2)当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面，，所以两两垂直， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 因为，所以，则，故． 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，故． 因为，所以， 显然平面，所以平面． （2），，，，，， 则，，，． 不妨设， 所以，则． 则． 设平面的法向量为， 则，得，取，则，，因此． 设平面的法向量为， 则，得，取，则，，因此． 因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为， 所以，解得或． 由于，故， 此时，所以， 又平面的法向量， 所以点到平面的距离． 【变式5-3】如图，在三棱锥中，平面ABC，为锐角，动点D在的边AC上，，，，三棱锥的体积为. (1)证明：平面平面PAB. (2)当点P到直线BD的距离为时，求PD与平面ABC所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为平面ABC，平面ABC， 所以，，， 所以，同理得. 又因为， 所以. 因为为锐角三角形，所以. 由余弦定理，可知， 所以，所以， 又因为，，PA，平面PAB， 所以平面PAB，所以平面平面PAB. （2）如图，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，. 设，则. 由， 解得或（负值舍去），所以. 由（1）知PD与平面ABC所成的角为，所以， 所以，即PD与平面ABC所成的角为. 【考点06 存在性问题】 【例11】如图，等腰梯形中，，于点，且．沿把折起到的位置，使． (1)求证：平面． (2)求三棱柱的体积． (3)线段上是否存在点，使得平面．若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，为的中点，证明见解析. 【详解】（1）证明：∵，∴． ∵在等腰梯形中，， ∴在四棱锥中，． 又，平面， ∴平面． 又∵平面，∴． ∵在等腰梯形中，，，且， ∴，，， 由勾股定理得，故， ∴， ∴由勾股定理逆定理得． ∵，平面， ∴平面． （2）∵，平面， ∴． （3）线段上存在一点，使得平面，为的中点，证明如下： 证明：取的中点，的中点，连结，，． ∵，分别为，的中点， ∴且． ∵且， ∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴． 又∵平面，平面， ∴平面． 【例12】如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2． (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在 ， 【详解】（1）证明：，， 又平面平面， 所以平面， 平面，， 又平面平面， 平面； （2）平面， ∴ 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，， ，设平面的法向量为， 则，故可设.， 所以点B到平面的距离为. （3）存在，理由如下： 假设在线段上存在一点，使得平面平面， 设， 则，， ， 设平面的法向量， 由， 得， 令，得． 设平面的法向量为， ， 故， 取，得． 因为平面平面， 所以， 解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且． 【变式6-1】如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为线段上一点． (1)求证：； (2)是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或 【详解】（1）连接，因为在三棱柱中，，， 所以四边形为菱形，所以， 又平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为、平面，，所以平面， 因为平面，所以. （2）取线段的中点，连接， 在菱形中，，则，故为等边三角形， 因为为的中点，则，且平面， 如图，以的中点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，建立空间直角坐标系， 因为，，， 则、、、， ，， 设， 则， 记平面的法向量，， 则，取，可得，， 得， 易得平面的一个法向量为， 由题意：， 整理可得，即， 解得：或，经验证，或均符合题意． 所以或. 【变式6-2】已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，E为的中点，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面所成的角为， （I）求三棱锥的体积； （II）试问在侧面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出点到直线的距离；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（I）8；（II）存在， 【详解】（1）由四边形是直角梯形，，， 可得，，从而是等边三角形， ，BD平分.∵E为的中点，，， 又，，平面，平面 平面，平面，所以平面平面. （2）（I）在平面内作于，连接，由（1）有平面， 又平面，∴平面平面. 因为平面平面，平面，平面 为与平面所成的角，则， 由题意得，，，为的中点， .又， 所以三棱锥P-BDC的体积为； （II）方法一：（向量法）以OB，OC，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标 系， 则，，，， 假设在侧面内存在点，使得平面成立， 设， 由题意得， ，， ，由，得， 解得，， 满足题意，，点N存在. ，，， 所以，，， 所以点到直线PC的距离 方法二：（传统方法）由条件可知，， 且三角形为，的等腰锐角三角形， 所以点B在三角形内的射影N为等腰锐角三角形的外心， 所以点N必在侧面PCD的内部. 由（I）知三棱锥的体积为，， 由体积转化可得，， 在直角中，由勾股定理可得， E为PC的中点， 所以点到直线PC的距离 【变式6-3】如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，且 【详解】（1）因为底面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 则，，. 设平面的法向量是，则， 令，则，，于是. 因为，所以，， 又因为平面，所以，平面. （2）设平面的法向量为，则，， 则，取，可得，，则， 设二面角的平面角大小为，则为锐角， 所以，， 所以，二面角的平面角的余弦值为. （3）假设存在满足题意的点，且， 则 由于平面的一个法向量， 由题意可得：， 整理可得，解得， 据此可得存在满足题意的点，且. 【考点07 体积问题】 【例13】如图，平面四边形中，，且，现将△沿折起，使得，如图． (1)证明：平面⊥平面； (2)点在线段上，平面把三棱锥分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 证明： 由题设可得， . 又， 取的中点，连接，.则，， 又因为是正三角形，所以， 所以为二面角的平面角． 在中，， 又，，所以， 故.所以平面⊥平面. （2）由题设及（1）知，，，两两垂直， 以为坐标原点， 的方向为x轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的距离为D到平面的距离的， 即为的中点，得.故，，. 设是平面的法向量，则，即， 可取. 设是平面的法向量，则即， 可取． 则. 由图知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 【例14】如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，且满足，，平面平面. (1)求证：； (2)若，点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接BD，在直角梯形ABCD中，易得， 又， 又平面平面，平面平面，平面， 平面平面， ，又，平面， 平面平面， . （2）如图，取的中点的中点，连接， 由题意可得， 平面平面平面平面，平面， 平面， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则， 令得， 又平面平面的一个法向量， ，令，解得或（舍）. 即为的靠近的三等分点时，二面角的平面角为， 平面，且， 到平面的距离为，又四边形的面积为3， 四棱锥的体积. 【变式7-1】如图，三棱柱中，点在底面的射影为，，，，，是的中点. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱柱的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 证明：连接并延长交于，连接， 由题意平面，平面， 所以， 又，所以与全等，即，所以， 又，即，所以，， 所以， 所以，即，所以为的中点， 又是的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2） 过点作，如图建立空间直角坐标系， ， 设，则有， ， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以，解得，即， 所以三棱柱的体积为. 【变式7-2】如图，四棱锥中，，，M为的中点，平面. (1)求证：； (2)若，，平面平面，二面角的正弦值为，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：取中点N，连接， ∵，又∵， ∴∴四点共面， ∵平面，平面， 平面平面，∴， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵，∴， ∴. （2）∵，，，∴， ∴， ∵，都在平面内， ∴平面， 由（1）知四边形为等腰梯形，， 则， 由等腰梯形的性质可知，， 解得：，又， 可知，如图建系， 设，，，，， ，，，， 设平面与平面的一个法向量分别为，， 易知：， 令，得 可得： 设上一点，∴， 因为在平面内，即坐标平面面内， ∴ ∴，平面的一个法向量. ∴令得： 可得： 二面角平面角为，所以 ∴，即， ∴. 【变式7-3】如图，在三棱锥中，已知为锐角三角形，平面平面，，点是的中点． (1)求证：； (2)若，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图，过点作于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又平面，所以． 又，，，平面， 所以平面． 因为平面，所以． （2）由（1）可知，可以以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，， ∵为锐角三角形，则，，，， 故， 因此，． ∴是平面的一个法向量, 设平面的法向量为， 则，即，化简得， 取，则，，因此． 由题意知，解得， 因此三棱锥的体积为． 【考点08 最值范围问题】 【例15】如图，圆台下底面圆的直径为，是圆上异于、的点，、是圆台上底面圆上的两点，是的中点，，. (1)证明：平面． (2)求四面体的外接球的表面积； (3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为，，所以，，所以，， 因为为圆的一条直径，是圆上异于、的点，则， 因为，、平面，，故平面. （2）因为平面，且为正三角形， 将三棱锥补成正三棱柱， 设正的中心为点，正的中心为，则的中点为外接球球心， 的外接圆半径为，， 所以，外接球的半径为， 因此，四面体的外接球的表面积为. （3）因为平面，， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，过点作垂直于底面的垂线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、， 设点，连接、， 因为，所以，，， 易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 不妨设，， 则， 设，则， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 【例16】如图，在直三棱柱中，，，，分别为棱，上的动点且，点在平面上的射影为点，的中点为． (1)求证：平面； (2)求点的轨迹长； (3)求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：在中，由余弦定理得，，故， 由勾股定理得，所以． 又∵，，平面， 所以平面． （2）如图，因为点在平面上的射影为点， ∴平面， 则，且点在上， 则，，， 在直角中，，则点在以为圆心，半径为的圆上． 当点与A重合时，点与重合，点为的中点，此时， 当点与重合时，点为中点，而四边形为正方形，则 则，因此点的轨迹所对圆心角为， 则点的轨迹长为； （3）以为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，如图建系． 则，，， 由（2）知的轨迹方程为. 设为，则，， ，，． 设平面的法向量为， 则, 则取． 设平面的法向量为， 则， 则取． 故． 令， 则 ， 令，则，则， 因函数在上单调递增， 则在上单调递减， 则， ∴设平面与平面所成角为，则， ∴平面与平面所成角的余弦值的取值范围为． 【点睛】关键点睛：对于分式型代数式的最值求解，常利用换元，上下同除，分离常数等手段来处理. 【变式8-1】如图，三棱锥中，，且，. (1)当三棱锥的体积最大时， ①求证：； ②求其外接球的表面积； (2)设为的中点，记平面与平面的夹角为，求的最小值. 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【详解】（1）① 三角形的面积为定值，且 ， 当三棱锥 的体积最大时， 平面， 平面 ，； ②由①知，当三棱锥的体积最大时，平面 ， 平面 ， 平面 ，， 又 为的中点， 到的距离相等， 即为三棱锥 的外接球的球心. 设外接球半径为，则， 三棱锥的外接球的表面积为 ； （2）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 设为的中点，， 可设 ，由 ，得， 又 ，设平面的法向量 ， 则，即，令则 ， 可得平面的法向量 又 ，设平面的法向量 ， 则 ，即，令，则 ， 可得平面的法向量 , 则 ； 设 ，则 ， 易知 单调递减： 单调递增， 当 时， ， 所以 的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第二小问中，如何设点 坐标是解题关键，利用空间向量法表达出，通过构造函数，求出函数的最小值是难点. 【变式8-2】如图，在长方体中，，．为线段上一动点，记．以点为坐标原点，分别以，，为轴正方向，轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系. (1)写出点的坐标（用表示）； (2)当平面时，求的值； (3)过点、、作截面，求点到该截面距离的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）解：如图所示： ， 故， 因为， 所以； （2）解：因为， 则，， 设平面的法向量为， 故且， 取，则， 由于平面时， 故， 即，解得； （3）解：， 设平面的法向量为， 则有 取， 则， 所以， 所以当时，取最大值. 所以. 【变式8-3】如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点在线段PB上（不含端点）． (1)证明：； (2)若直线PC与AB所成角的余弦值为． （i）当直线PB与平面所成角为60°时，求PF； （ii）设平面与平面的夹角为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【详解】（1）证明：取中点为，连接， 因为， 所以， 又因为，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以. （2）（i）因为为等腰三角形，， 所以， 因为为等边三角形，所以， 设， 所以， ，， 所以， ，所以或， 又因为， 所以， 所以两两互相垂直， 以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系， ， 则， 设，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则， 取，得， 所以， 解得或0（不符合题意，舍去）， 所以，即. （ii）设平面的法向量为， ， 则， 取，得， 所以 ， 令，则， 所以， 因为时，， 所以， 所以. 一、 1．（2025·新疆喀什·二模）如图，△PAC为圆锥PO的轴截面，B 为底面圆周上一点，，，点D在线段BC上，且 ．    (1)证明：AD⊥PB ； (2)若二面角A−PB−O的余弦值为，求圆锥PO 的侧面积． 【答案】(1)详见解析； (2) 【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系：    设，则， 所以， 所以，则； （2）设平面APB的一个法向量为， 则，即， 令，得，所以， 易知是平面PBO的一个法向量， 所以， 解得，即圆锥的高为， 则圆锥的母线长为， 所以圆锥的侧面积为. 2．（2025·内蒙古赤峰·一模）如图所示，三棱柱中，平面平面，，，点为棱的中点，动点满足. (1)当时，求证：； (2)若平面与平面所成角的正切值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）方法一：由可得，， 即，即. 如图： 当时，在中，，，，因为，所以，又，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又平面，所以. 又在平行四边形中，，，为中点，所以， ，平面， 所以平面. 又平面，所以. 方法二：（向量方法） 因为平面平面，平面平面，所以过作于，则平面； 连接，因为，所以. 在中，，，. 所以，则， . ， 当时，. . 所以. （2）如图，由（1）得：两两垂直，故可以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示坐标系. 平面中，，. ， 设平面的法向量为：， 则, 令，则； 平面中，由（1）可知，， 设，因为，， 所以. ， 设平面的法向量为， 则, 令，则； 由题意，设平面与平面所成角为，且，则.，解得. 即平面与平面所成角的正切值为时，的值为. 3．（2025·云南·模拟预测）如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，. (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)若点是平面内的动点，且满足，设直线与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2). (3) 【详解】（1）证明：连接交于点，再连接， 如图，把四棱台补成四棱锥， 由棱台的性质，得，又因为， 所以分别为的中点， 在中，因为分别为的中点， 所以， 即，又平面平面， 所以平面； （2）由（1）知平面， 故直线到平面的距离即为点到平面的距离. 以为坐标原点，以的方向分别为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则， . 设为平面的一个法向量， 则，即，令，则， 所以， 设点到平面的距离为， 则， 故直线到平面的距离为. （3）设点， 因为， 所以，化简得， 则点到直线的距离为. 连接，因为平面，所以是在平面内的射影， 故就是与平面所成的角， 则， 当时，的值最大， 故的最大值为. 4．（2024·25高三下·湖南长沙·开学考试）如图，四棱锥中，四边形是菱形，平面，，，，分别是线段和上的动点，且，. (1)若，求的值； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若直线与线段交于点，于点，当的长度最小时，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由于四边形是菱形，且，取中点，则，即， 又平面，故可以以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 由，， 可知，， ∴， 易知，因为，所以， 得到，得到. （2）由（1）知 ， 设平面的一个法向量为，则 令，则，，， 设直线与平面所成角为， 则. （3）设，， 则， 由于，，共线，不妨设，易知， 又，则有， 所以，则， 则， 即， 记，则， 令，得到， 在上，在上， 可知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在处取到极小值，此时的长度最小，此时. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是关于为关于的函数，再一个关键是根据平面向量基本定理，得到. 5．（2025·河北·一模）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，. (1)证明：是等腰三角形. (2)若平面平面，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设为的中点，连接，. 因为，，， 所以，所以， ，即， 又，，平面，，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面平面，平面平面，， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以， 在中，，为的中点，所以，即是等腰三角形. （2）建立如图所示以为坐标原点，为轴，过与平行方向为轴， 为轴的空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则取，则. 设平面的法向量为， 则取，则. 因为平面平面，所以，解得（舍去）， 所以，， ， 所以，，所以， 所以，所以是等腰直角三角形， 取的中点，连接，则. 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以的长为点到平面的距离. 因为，所以点到平面的距离为. 6．（2025·河南·二模）如图，三棱柱中，侧面与底面垂直，且，，为侧棱的中点，三棱锥的体积为.    (1)求三棱柱的高； (2)已知点在上，且，若平面，求实数的值； (3)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为平面， 所以， 又，所以， 在中，，， 所以， 所以， 所以， 设三棱柱的高为，则，解得； （2）设的中点为，连接、， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面， 因为平面，，平面， 所以平面平面，又平面平面，平面平面， 所以， 因为为的中点，所以为的中点， 所以，即； （3）过点作于点，连接， 因为侧面与底面垂直，侧面底面， 所以平面， 因为且，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 如图建立空间直角坐标系，因为平面，所以， ，则，，，， 因为，则，所以，则， 又，， 设平面的法向量为， 则，取， 又， 设平面的法向量为， 则，取， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为.    7．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）在如图所示的五面体中，四边形与均为等腰梯形，，，，，，、分别为、的中点，与相交于点．    (1)求证：平面； (2)若平面，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，取的中点，连接、， 结合已知可得且， 所以四边形为平行四边形，所以为中点， 因为为的中点，为中点，则，且， 因为为的中点，则，且， 则，且，故四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面． （2）因为，，为的中点，则， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以， 因为，则，故， 因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、、， 设平面的一个法向量为， ，， 由，令，则，， 可得平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为，， 由，令，则，， 可得平面的一个法向量为， 所以，， 由图可知，二面角的平面角为锐角， 所以，二面角的余弦值为. 8．（2025·陕西渭南·二模）如图，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，为的中点，，侧面底面. (1)证明：； (2)当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：等边三角形中，为中点，， 侧面底面，侧面底面， 又平面平面， 又平面. （2）在中，， ， . 由（1）知，平面， 又平面， 两两垂直， 以分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则不妨取，则， 平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则不妨取，则， 平面的一个法向量为. 记平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 9．（2025·宁夏石嘴山·一模）如图1所示，在平行四边形中，，垂足为A，，将沿AB折到的位置，点M为棱AB的中点，点N在棱上，如图2所示． (1)证明：平面平面； (2)当二面角的大小为， ①求四棱锥的体积； ②若直线PC与平面所成角的正弦值为，求点C到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)① ；② 【详解】（1）由题意可知，图2中，，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）①：由图1知，可得， 在图2中取AD中点O，连接， 因为，，所以为二面角的平面角， 所以，则为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面,平面， 所以平面，所以四棱锥的高为， 所以， 故四棱锥的体积为； ②以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴，平行于PO的直线为z轴，建立空间直角坐标系,则，，，，，， 设，平面的法向量为，， ， 则， 取，则． 又，所以 因为直线PC与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得，，， 此时，又因为，设点到平面的距离为d， 则. 10．（2025·山西晋中·模拟预测）如图，四棱锥的底面为正方形，，且.    (1)求证：平面平面. (2)若，且三棱锥的体积是四棱锥体积的一半. （i）求点到平面的距离； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明过程见解析； (2)（i）；（ii） 【详解】（1）在中，，得， 则，即， 因为四边形为正方形，则， 又因，平面，平面，则平面， 又因平面，则平面平面. （2）（i）以点为坐标原点，分别为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 则， 得，即， 因， ，且， 则， 因，则，即， 设平面的法向量， 则，即，取，则， 则点到平面的距离为.    （ii）， 设平面的法向量， 则，即，取，则， 所以， 则平面与平面夹角的余弦值为. 11．（2025·湖南·模拟预测）如图，四边形是边长为的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上一动点（点与点、不重合）. (1)求证：； (2)当点为半圆弧上靠近点的三等分点时，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为点为半圆弧上一动点（点与点、不重合），则， 因为四边形为正方形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，则， 因为，，、平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）因为平面，，则平面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 平面内过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 当点为半圆弧上靠近点的三等分点时，， 由于四边形是边长为的正方形 ，则、、、， 所以，，， 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以，， 故， 因此，二面角的正弦值为. 12．（2025·贵州六盘水·一模）在四棱台中，底面为平行四边形，侧面为等腰梯形，且侧面底面，与BC的距离为，点分别在棱，上，且． (1)求证：平面； (2)求四棱台的高； (3)求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 (3) 【详解】（1）取的中点，连接， 则是梯形的中位线， 所以且， 又因为且，所以且， 所以四边形AEFG是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）分别取的中点，如图所示： 因为侧面为等腰梯形，所以， 因为侧面底面，侧面底面，所以底面， 因为，所以，平面， 所以平面，平面， 所以，即， 且，所以为与BC的距离， 所以，解得． 所以四棱台的高为2． （3）以OA，OB，所在直线分别为轴如图建立空间直角坐标系， 则； 所以 所以； 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 2．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解； (2) 【详解】（1）因为为的中点，所以， 四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面，所以平面； （2）如图所示，作交于，连接， 因为四边形为等腰梯形，，所以， 结合（1）为平行四边形，可得，又， 所以为等边三角形，为中点，所以， 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以， 四边形为平行四边形，， 所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，， 因为，所以，所以互相垂直， 以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， ，，， ，设平面的法向量为， 平面的法向量为， 则，即，令，得，即， 则，即，令，得， 即，，则， 故二面角的正弦值为. 3．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； （3）由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； （2）连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. 【点睛】 5．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面平面， 所以，同理， 所以为直角三角形， 又因为，， 所以，则为直角三角形，故， 又因为，， 所以平面. （2）由（1）平面，又平面，则， 以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，    则， 所以， 设平面的法向量为，则，即 令，则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以， 所以， 又因为二面角为锐二面角， 所以二面角的大小为. 6．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，． (1)求证：//平面； (2)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，设，则，，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点， 于是，即， 则四边形为平行四边形， ，又平面平面， 所以平面. （2）过作垂直的延长线交于点， 因为是中点，所以， 在中，， 所以， 因为， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面， 即三棱锥的高为， 因为，所以， 所以， 又， 所以. 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)1 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， ， ， 又不在同一条直线上， . （2）设， 则， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， ， 化简可得，， 解得或， 或， . 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． （2）不妨设，，． ，，又，平面平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：    设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$