精品解析：浙江省宁波市海曙区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024学年第一学期八年级数学学科期末试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，如果一个式子中含有二次根式，那么它们有意义的条件是：二次根式中的被开方数都必须是非负数．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不为零，列式解答即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故选：C． 2. 已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则这个等腰三角形的周长是（ ） A. 8 B. 10 C. 4或8 D. 6或10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系， 根据等腰三角形的定义分两种情况讨论，再结合三角形的三边关系得出答案． 【详解】解：等腰三角形的两条边长分别是2和4， 若三边长为2，2，4；因为，所以不符合题意； 若三边为2，4，4；根据三角形三边关系，符合题意， 则等腰三角形的周长为． 故选：B． 3. 点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特征进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴点所在的象限为第三象限， 故选C． 4. 根据下列表述，能够确定位置的是（ ） A. 诸暨市在宁波市的正西方向上 B. 从学校出发走2千米正好到达小刚家 C. 我校位于北纬29.5°，东经121.5° D. 小丽坐在宁波剧院的第二排 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了位置的确定， 根据确定位置需要两个量，逐项判断即可． 【详解】解：因为A中没有距离不能确定宁波市的位置，所以A不符合题意； 因为B中没有方向不能确定小刚家，所以B不符合题意； 因为C是根据经纬定位法得出位置的，所以C符合题意； 因为D中没有列数不能确定位置，所以D不符合题意． 故选：C． 5. 若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质， 根据不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：因为，根据不等式的基本性质3，得，再根据不等式的基本性质1，得，所以A符合题意； 因为，根据不等式的基本性质1，得，所以B不符合题意； 因为，当时，得不成立，所以C不符合题意； 因为，根据不等式的基本性质3，得，所以D不符合题意． 故选：A． 6. 能说明命题“对于任意实数，都有”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了假命题的反例，绝对值的性质， 根据时，判断是否成立即可解答． 【详解】解：当时，，所以该命题是假命题． 故选：C． 7. 一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据一次函数的图象，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，随的增大而减小，当时，， ∴当时，的取值范围是； 故选D． 8. 如图，已知，，，分别以，两点为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，，直线分别交，于点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题的关键． 连接，过点作于点H，过点作于点M，根据尺规作图的过程可知是的垂直平分线，可知，再结合，可得，接下来根据三角形内角和定理得，利用等积法求得，在中，求出，设，则，，在中，，据此列方程并解方程即可得到答案． 【详解】如图所示，连接，过点作于点H，过点作于点M， 根据尺规作图的过程可知是的垂直平分线， ∴. ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵ ∴ 解得 在中， 设，则， 在中，， ∴ 解得， 即的长为， 故选：B． 9. 一次函数的图象一定经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象经过的象限， 分两种情况讨论得出结论，再判断答案即可． 【详解】解：当时，，所以直线经过第一，三，四象限； 当时，不能确定，所以直线经过第二，四象限． 所以不论何种情况一次函数的图象一定经过第四象限． 故选：D． 10. 如图，在中，，，分别以，为边向外作正和正，连结，在的边变化过程中，当取最长时，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理， 根据等边三角形的性质证明，可得，再根据当点A，B，D共线时，最大，即最大，然后作出图形，并作，根据勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴当点A，B，D共线时，最大，即最大． 过点C作，交于点F， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 则． 根据勾股定理，得． 中，． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 点关于轴对称的点坐标是 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了关于轴对称的点的坐标，关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此进行解答即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点在第三象限，坐标是， 故答案为：． 12. 若，则值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的求值， 将数值代入，再根据二次根式的乘除法计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 13. “x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了把文字语言转化为数学语言，理解好题意是解题关键． 根据x与5的差不小于x的3倍，可知x与5的差大于等于x的3倍，从而可以用相应的不等式表示出来. 【详解】解：“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为， 故答案为：. 14. 若点A（－5，m），B（n，4）都在函数的图象上，则的值为________． 【答案】-1 【解析】 【分析】把AB坐标代入函数解析式，消去b即可得到答案． 【详解】把点A(-5，m)，B(n，4)分别代入y＝x＋b得， 由②得，n=4-b③， ①+③得，m+n=b-5+4-b=-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，把A、B坐标代入解析式消去b是解题的关键． 15. 如图，直线与轴交于点，与直线交于点，点为轴上的一点，若为直角三角形，则点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出交点B的坐标，即可得出点C，再求出直线与x轴的交点坐标D，接下来得出，进而证明是直角三角形，可得答案． 【详解】解：如图所示， 将两个关系式联立，得， 解得， ∴点． 当时，，， 解得，， ∴点． 过点B作轴，于点C， 则是直角三角形， ∴点． 则 ∴， ∴， 此时点与点D重合，点． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，直角三角形的性质和判定，等边对等角，求一次函数值，注意分情况讨论，不能丢解． 16. 如图，延长至C，连接． （1）若，则________； （2）若，则________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】（1）先根据平角的定义求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可； （2）如图所示，过点C作于E，连接，求出得到，可以推出，则，证明，得到，证明，得到，即可推出，则，从而得到． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，过点C作于E，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 三、解答题（17－19题各6分，20－21题各8分，22－23题各9分，共52分） 17. 解一元一次不等式组 【答案】 【解析】 分析】本题主要考查了解一元一次不等式组， 先分别求出每个不等式的解集，再求出解集的公共部分即可． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得． 所以不等式组的解集是． 18. 下面两个网格图都是由相同的小正方形组成的，和的顶点都在格点，请按下列要求在相应的网格中作图． （1）如图1，作，使与关于直线对称． （2）如图2，把绕点按顺时针方向旋转90°，作出旋转后所得的． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转作图，作轴对称图形， 对于（1），作点B关于直线的对称点P，连接，则即为所求作； 对于（2），将点E，D分别绕点F顺时针旋转得到点Q，R，连接，则即所求作． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求作； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求作． 19. 一次函数（，都是常数，）的图象经过，两点． （1）求这个一次函数的表达式． （2）判断是否在直线上？ 【答案】（1） （2）是 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键． （1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）把点的坐标代入解析式进行检验即可． 【小问1详解】 解：把，代入得： ，解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴在直线上． 20. 为了美化环境，某小区需要购买甲、乙两种石材共7000块．已知甲、乙两种石材单价分别是50元和150元． （1）求购买甲、乙两种石材所需总费用（元）与甲种石材数量（块）的函数关系； （2）若该小区计划购买甲种石材的数量不多于乙种石材数量的2.5倍．问：该小区所购买的甲种石材多少块时，所需总费用最省？求出最省费用． 【答案】（1）y （2）该小区所购买的甲种石材为5000块时所需费用最省，最省费用为550000元 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，一元一次不等式的应用，一次函数图象的性质， 对于（1），根据总费用等于甲种石材的费用加上乙种石材的费用可得关系式； 对于（2），先列出不等式，求出解集，再根据一次函数的性质得出答案即可． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：， . 一次函数中，， 所以随的增大而减小，当取5000时， ， 所以该小区所购买的甲种石材为5000块时所需费用最省，最省费用为550000元． 21. “书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进，两类图书，已知购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元． （1），两类图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店计划恰好用元来购进这两类图书，设购进类本，类本． ①求关于的关系式． ②进货时，类图书的购进数量不少于500本，已知类图书每本的售价为38元，类图书每本的售价为30元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1），两类图书每本的进价分别为32元，24元 （2）①，②当购进类图书501本，类图书1332本时，书店所获利润最大，最大利润为10998元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用， （1）设类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元，根据“购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元．”列出方程组，即可求解； （2）①根据“用元全部购进两类图书，”列出方程，再变形，即可求解；②设书店所获利润为w元，根据题意，列出W关于x函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设，两类图书每本的进价分别为元，元． ，解得 答：，两类图书每本的进价分别为32元，24元． 【小问2详解】 ①依题意； ∴ ②解得 设利润为元． 因为小于0，所以随的增大而减小， 当取501时， ， 所以当购进类图书501本，类图书1332本时，书店所获利润最大，最大利润为10998元． 22. 如图，在等边三角形中，点是边上的一点，点是延长线上的一点，且． （1）当是的中点时，求的度数． （2）当是边上的任意一点时，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）证明，，可得，再结合三角形的外角的性质可得答案； （2）作交于点，可得，证明，再结合全等三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 解：在等边中，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 证明：∵为等边三角形， ∴，， ∴， 作交于点， ∴，，， ∴为等边三角形；， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 23. 如图，点，点，，线段的端点从点出发沿线段向点运动，同时另一端点随之只在轴上运动，运动过程中点始终不在点左边，当点到达点后，两点都停止运动，设点的坐标为． （1）求直线的表达式． （2）求的最大值． （3）求点运动的总路程； （4）当点的横坐标为时，求与轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）4 （3）6 （4） 【解析】 【分析】对于（1），将点的坐标代入关系式得出方程组，求出解； 对于（2），当时有最大值，根据点的坐标可得，再结合勾股定理求出，接下来证明，可得，即可得出结论； 对于（3），根据点Q在x轴上运动的过程，可得答案； 对于（4），先求出点的坐标，作轴，再根据勾股定理求，进而求出点， 然后求直线表达式，即可得出答案. 【小问1详解】 解：设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， 所以； 【小问2详解】 解：当时有最大值， ∵点， ∴，根据勾股定理，得. ∵， ∴， ∴， ∴． 所以的最大值为4. 【小问3详解】 解：当点P与点A重合时，点在，运动到点再运动回到，运动的总路程为6； 【小问4详解】 解：把代入得， 所以， 作轴于点， 在中，， ， 设直线的表达式为，根据题意，得 ， 解得， 所以， 当时，， 所以当点的横坐标为时，与轴的交点坐标为． 【点睛】本题主要考查了求一次函数关系式，勾股定理，全等三角形的性质和判定，掌握待定系数法求一次函数的关系式时解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期八年级数学学科期末试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则这个等腰三角形的周长是（ ） A. 8 B. 10 C. 4或8 D. 6或10 3. 点所在的象限为（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 根据下列表述，能够确定位置的是（ ） A. 诸暨市在宁波市的正西方向上 B. 从学校出发走2千米正好到达小刚家 C. 我校位于北纬29.5°，东经121.5° D. 小丽坐在宁波剧院的第二排 5. 若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 能说明命题“对于任意实数，都有”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数图象如图所示，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，，，分别以，两点为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，，直线分别交，于点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数的图象一定经过（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，在中，，，分别以，为边向外作正和正，连结，在的边变化过程中，当取最长时，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 点关于轴对称的点坐标是 ____________． 12. 若，则值为______． 13. “x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为______． 14. 若点A（－5，m），B（n，4）都在函数的图象上，则的值为________． 15. 如图，直线与轴交于点，与直线交于点，点为轴上的一点，若为直角三角形，则点的坐标为______． 16. 如图，延长至C，连接． （1）若，则________； （2）若，则________． 三、解答题（17－19题各6分，20－21题各8分，22－23题各9分，共52分） 17. 解一元一次不等式组 18. 下面两个网格图都是由相同的小正方形组成的，和的顶点都在格点，请按下列要求在相应的网格中作图． （1）如图1，作，使与关于直线对称． （2）如图2，把绕点按顺时针方向旋转90°，作出旋转后所得的． 19. 一次函数（，都是常数，）的图象经过，两点． （1）求这个一次函数的表达式． （2）判断是否在直线上？ 20. 为了美化环境，某小区需要购买甲、乙两种石材共7000块．已知甲、乙两种石材的单价分别是50元和150元． （1）求购买甲、乙两种石材所需总费用（元）与甲种石材数量（块）函数关系； （2）若该小区计划购买甲种石材的数量不多于乙种石材数量的2.5倍．问：该小区所购买的甲种石材多少块时，所需总费用最省？求出最省费用． 21. “书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进，两类图书，已知购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元． （1），两类图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店计划恰好用元来购进这两类图书，设购进类本，类本． ①求关于的关系式． ②进货时，类图书的购进数量不少于500本，已知类图书每本的售价为38元，类图书每本的售价为30元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？ 22. 如图，在等边三角形中，点是边上的一点，点是延长线上的一点，且． （1）当是的中点时，求的度数． （2）当是边上任意一点时，求证：． 23. 如图，点，点，，线段的端点从点出发沿线段向点运动，同时另一端点随之只在轴上运动，运动过程中点始终不在点左边，当点到达点后，两点都停止运动，设点的坐标为． （1）求直线的表达式． （2）求的最大值． （3）求点运动的总路程； （4）当点的横坐标为时，求与轴的交点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$