精品解析：陕西省咸阳市武功县普集高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用两条直线平行列式求解即得. 【详解】由直线与直线平行，得， 所以. 故选：D 2. 如图是函数的导函数的部分图象，则的一个极大值点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据极大值点的定义结合图象判断即可. 【详解】极大值点处导数为0，且在该点左侧附近导数值为正，在该点右侧附近导数值为负，选项中只有符合. 故选：B. 3. 在等差数列中，，，则（ ） A. 2015 B. 2017 C. 2019 D. 2021 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出及公差，进而求出通项公式即可得解. 【详解】设等差数列的公差为，由，得， 由，得，整理得，解得， 因此等差数列的通项公式， 所以. 故选：B 4. 若函数是增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，对任意的恒成立，由参变量分离法可得出对任意的恒成立，结合基本不等式可求得的取值范围. 【详解】因为函数的定义域为，则， 因为是增函数，所以，即对任意的恒成立， 所以， 又时，，当且仅当时，即当时取等号， 所以，故实数的取值范围是. 故选：A. 5. 设数列的通项公式为，，记被3除所得的余数构成的数列记为，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理可得，再分别求出，即可求出，进而可得出答案. 【详解】因为， 所以 ， 则 ， 因为能被整除，， 所以， ， 因为能被整除，， 所以， 所以. 故选：D. 6. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得函数单调区间，进而可判断； 【详解】由， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以. 因为与大小不确定，所以B，D无法判定. 故选：C. 7. 已知一个圆锥形的容器，其母线长为10，要使其体积最大，则底面半径（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆锥的体积公式，求得，利用导数求得函数的单调性，确定最值大点，即可得到答案. 【详解】该容器的高为，体积为， 令， 则， 令，得，当时，；当时，， 则在单调递增，在单调递减； 所以当时，取最大值，此时体积最大. 故选：A. 8. 已知A是椭圆的右顶点，点B在圆上，点P在直线上运动，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求出点的坐标及圆的圆心和半径，再利用对称性及圆的性质求出最小值. 【详解】椭圆的右顶点，圆的圆心，半径， 由圆的性质知，，作点关于直线的对称点，连接， 线段与直线，圆分别交于点， 因此，当且仅当重合时取等号， 由，解得，即点，则， 所以的最小值为. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了有效地制定预防甲型流感的措施，某校校医室的有关人员，统计了从2025年1月6日至1月16日本校每日新增甲型流感的学生数，并制作了如图所示的折线图. 若将该校从2025年1月6日至1月16日每日新增甲型流感的学生人数按日期的顺序排列成数列，的前n项和为，则（ ） A. 时，数列是递增数列 B. 数列是递增数列 C. 数列的最大项是 D. 时，取最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用折线图中的数据逐项判断即可. 【详解】由表中数据可知，，，，， 所以当时，数列是递增数列，故A正确； 因为，，所以，故数列不是递增数列，故B不正确； 比其余各项大，故数列的最大项是，故C正确； 因为，，所以时，取最大值，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图，若正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，则（ ） A. 四面体的体积为 B. 三个向量，，可以构成空间向量的一组基 C. 异面直线，所成的角是60° D. 平面截该正方体的内切球所得截面的面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三棱锥的体积公式即可判断A；以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，判断，，是否共面即可判断B；利用向量法即可判断C；利用向量法求出正方体内切球的球心平面的距离，再利用勾股定理求出截面圆的半径，即可判断D. 【详解】对于A，三棱锥的高为，底面积， 所以，故A正确； 对于B，如图以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 故， 假设向量，，共面， 故存在唯一实数对，使得， 即， 所以，解得， 所以向量，，共面， 所以三个向量，，不可以构成空间向量的一组基，故B错误； 对于C，，， 则，所以， 所以，故C错误； 对于D，设正方体内切球的球心为，则，， 则， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以点到平面的距离， 又正方体内切球得半径， 所以平面截该正方体的内切球所得截面圆的半径， 所以平面截该正方体的内切球所得截面的面积为，故D正确. 故选：AD. 11. 已知是抛物线的焦点，，P是C上的任意一点，则（ ） A. 的最小值是2 B. 以P为圆心且过F的圆与C的准线相切 C. 的中点轨迹方程为 D. 使面积为5的点P有4个 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出抛物线方程，利用两点间距离公式，结合抛物线范围求出最小值判断A；利用抛物线定义及直线与圆的位置关系判断B；求出轨迹方程判断C；求出与直线平行且距离为的直线，确定该直线与抛物线的公共点个数判断D. 【详解】抛物线的焦点，则抛物线的方程为， 对于A，设且，则，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，点到抛物线的准线距离等于，因此以P为圆心且过F的圆与C的准线相切，B正确； 对于C，设线段中点坐标为，则点在抛物线上，即， 整理得，因此的中点轨迹方程为，C正确； 对于D，，当的面积为5时，点到直线的距离， 直线的斜率，设与直线平行，且距离为的直线方程为， 于是，解得或，当时，把与联立， 消去得，，即直线与抛物线相切， 该直线上有且只有1点（切点）符合题意，而直线上最多两点符合题意， 因此抛物线上最多有3点符合题意，D错误. 故选：ABC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与的等比中项是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的定义即可求解. 【详解】设与的等比中项是， 则， 即， 解得：， 故答案为： 13. 已知定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，确定其单调性，转换成，进而可求解； 【详解】设，则， 所以在上是增函数， 不等式可化为， 即，所以，解得. 故答案为： 14. 若关于的方程有4个不同的实数解，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将原方程变形为，令，利用导数证明的单调性从而得出的范围以及图象，结合图象知，关于的方程在上有两个不相等的实数解，再利用根的分布确定实数的取值范围. 【详解】显然，方程两边同时除以得，. 令，，当时，；当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 当，当时，则， 可得函数的图象如图所示， 由图可见，仅当时，两个不同的值对应着同一个值， 因此，要使方程有4个不同的实数解， 则关于的方程在上有两个不相等的实数解， 所以，解得 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若，求函数在区间上的最值. 【答案】（1） （2）最大值是，最小值是 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求得切线斜率，进而可求解； （2）求导，确定函数单调区间，进而可求解； 【小问1详解】 时，， ， 所以所求切线方程是，即. 【小问2详解】 时，， 令得， 的变化情况如下： 1 2 3 - 0 + 极小值 因为， 所以时，取最大值，最大值是；时，取最小值，最小值是. 16. 已知为数列的前n项和，，时，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用的关系，结合等比数列定义求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用错位相减法求出. 【小问1详解】 当时，，则，两式相减得， 而，，则，即，，又， 因此数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）知，， ， 则有， 两式相减，得， 所以 17. 如图所示，四棱柱的底面和侧面都是正方形. （1）证明：； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：由四棱柱的底面和侧面都是正方形， 得，而平面，则平面， 又平面，则，而，于是， 又，则是菱形，因此，而平面， 则平面，又平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件可得平面，再利用线面垂直的性质判定推理得证. （2）由（1）中信息，以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 在平面内过点作，由（1）知，平面，则， 又，于是直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 在菱形中，，则都是正三角形，令， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 设二面角的大小为，观察图形知为锐角， 因此， 所以二面角的余弦值为. 18. 对于函数，若存在区间和，使得在上是增函数，在上是减函数，则称函数为含峰函数，为峰点，区间称为函数的一个含峰区间. （1）判断函数是不是含峰函数？并说明你的理由； （2）证明函数是含峰函数，并指出该函数的峰点； （3）若实数是含峰函数，且是它的一个含峰区间，求的取值范围. 【答案】（1）不是，理由如下： 因为， 所以在区间上是减函数，在区间上是增函数， 不存在先增后减的区间，所以不是含峰函数. （2）证明：由，得， 令，得， 令，得， 所以对于任意整数，都存在，使函数在上是增函数，在上是减函数， 因此，函数是含峰函数，峰点为. （3） 【解析】 【分析】（1）对的单调性进行分析可知其是先减后增的函数，可以判断不是含峰函数， （2）结合导函数的正负与零点去证明是含峰函数，且根据单调增区间与减区间可得其峰点， （3）先求的导函数，再结合是它的一个含峰区间，可确定在之间存在一个极大值点，列出对应不等式组，求出的取值范围. 【小问1详解】 不是，理由略； 【小问2详解】 证明略，峰点为. 【小问3详解】 法1：函数的定义域为， 令，则， 因为，所以，所以在区间上单调递减，即在区间上单调递减. 根据题意，存在峰点，使函数在区间上是增函数，在区间上是减函数， 所以时，时， 因此，， 解得， 故的取值范围是. 法2：函数的定义域为，， 令，则（不合题意舍去）， 由，解得， 检验：时， 若，则， 所以此时， 同理若，则， 因此函数在区间上是增函数，在区间上是减函数， 所以函数在上是含峰函数. 故的取值范围是. 19. 已知双曲线（，）与直线相切于点，过点R与垂直的直线交x轴于点. （1）求C的方程； （2）过C的右焦点F的直线l与C的右支交于A，B两点. （Ⅰ）求直线l的倾斜角的取值范围； （Ⅱ）在x轴上是否存在异于F的点P，使得点F到直线，的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）双曲线C的方程为 （2）（Ⅰ）直线l的倾斜角的取值范围为； （Ⅱ）存在点满足题意 【解析】 【分析】（1）由题意易求得切线的方程，与双曲线方程联立可得，结合点在双曲线上，可得，求解即可得双曲线的方程； （2）（Ⅰ）分斜率是否存在两种情况讨论，当存在时，设直线的方程为，与双曲线方程联立，结合条件可求得或，可求倾斜角的取值范围；（Ⅱ）假设在x轴上存在，使得点F到直线，的距离始终相等，可得，进而可得恒成立，计算可求得定点. 【小问1详解】 由题意可得的斜率为， 又直线与直线互相垂直，可得的斜率，所以直线的方程为， 又因为直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为， 又点在双曲线是，所以①， 联立，消去可得， 整理得， 因为直线与双曲线相切，所以， 化简得②， 由①②解得，所以双曲线C的方程为； 【小问2详解】 （Ⅰ）由题意可得右焦点为， 当直线的斜率不存在时，显然直线与双曲线右支有两个不同的交点， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 联立，消去，可得， 因所双曲线与右支交于不同的两点， 则，解得或， 所以直线l的倾斜角的取值范围为； （Ⅱ）假设在x轴上存在，使得点F到直线，的距离始终相等， 则是的角平分线，则， 则，所以， 所以， 整理得， 所以， 所以， 整理得，解得，所以 当直线斜率不存在时，根据双曲线的对称性，可得也满足题意， 综上所述：存在点满足题意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. C. D. 2. 如图是函数的导函数的部分图象，则的一个极大值点为（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，，，则（ ） A. 2015 B. 2017 C. 2019 D. 2021 4. 若函数是增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设数列的通项公式为，，记被3除所得的余数构成的数列记为，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 6. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个圆锥形的容器，其母线长为10，要使其体积最大，则底面半径（ ） A. B. C. D. 8. 已知A是椭圆的右顶点，点B在圆上，点P在直线上运动，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了有效地制定预防甲型流感的措施，某校校医室的有关人员，统计了从2025年1月6日至1月16日本校每日新增甲型流感的学生数，并制作了如图所示的折线图. 若将该校从2025年1月6日至1月16日每日新增甲型流感的学生人数按日期的顺序排列成数列，的前n项和为，则（ ） A. 时，数列是递增数列 B. 数列是递增数列 C. 数列的最大项是 D. 时，取最大值 10. 如图，若正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，则（ ） A. 四面体的体积为 B. 三个向量，，可以构成空间向量的一组基 C. 异面直线，所成的角是60° D. 平面截该正方体的内切球所得截面的面积为 11. 已知是抛物线的焦点，，P是C上的任意一点，则（ ） A. 的最小值是2 B. 以P为圆心且过F的圆与C的准线相切 C. 的中点轨迹方程为 D. 使面积为5的点P有4个 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与的等比中项是________. 13. 已知定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为________. 14. 若关于的方程有4个不同的实数解，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若，求函数在区间上的最值. 16. 已知为数列的前n项和，，时，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 17. 如图所示，四棱柱的底面和侧面都是正方形. （1）证明：； （2）若，求二面角的余弦值. 18. 对于函数，若存在区间和，使得在上是增函数，在上是减函数，则称函数为含峰函数，为峰点，区间称为函数的一个含峰区间. （1）判断函数是不是含峰函数？并说明你的理由； （2）证明函数是含峰函数，并指出该函数的峰点； （3）若实数是含峰函数，且是它的一个含峰区间，求的取值范围. 19. 已知双曲线（，）与直线相切于点，过点R与垂直的直线交x轴于点. （1）求C的方程； （2）过C的右焦点F的直线l与C的右支交于A，B两点. （Ⅰ）求直线l的倾斜角的取值范围； （Ⅱ）在x轴上是否存在异于F的点P，使得点F到直线，的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $