精品解析：2025届吉林省白城市第一中学高三一模数学试题

白城一中2025学年高三第一次模拟考试 数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点处，则小虫爬行的最短路程为（ ） A. B. 16 C. 24 D. 3. 若复数满足（其中是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 4. 单位圆O：上有两个动点，，且满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 从某市参加升学考试学生中随机抽查名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法错误的是（ ） A. 总体指是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩 B. 样本是指名学生的数学成绩 C. 样本量指的是名学生 D. 个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩 6. 已知圆，过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，三角形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 若数列前n项和满足，则（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为递增数列 C. ，，不为等差数列 D. 的最小值为 8. 设为虚数单位，，若是纯虚数，则( ) A. 2 B. C. 1 D. 二、多项选择题（本大题共3小题.每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9. 已知随机变量X，Y，其中，已知随机变量X的分布列如下表 X 1 2 3 4 5 p m n 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与相交于点，与的一条渐近线相交于点的离心率为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 若是公比为的等比数列，记为的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为递减数列 B. 若，则为递增数列 C. 若，则 D. 若，则是等比数列 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数的最小值为___________. 13. 等比数列的公比为，其通项为，如果，则______；数列的前5项和为______． 14. 某校决定从高一、高二两个年级分别抽取100人、60人参加演出活动，高一100人中女生占，高二60人中女生占，则从中抽取1人恰好是女生的概率为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，为边上的高，已知. （1）若，求的值； （2）若，，求最小值及取最小值时k的值. 16. 数列中，，且. （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 17. 已知函数. （1）设为的导函数，求在上的最小值； （2）令，证明：当时，在上. 18. 已知函数，其中. （1）证明：当时，； （2）若时，有极小值，求实数的取值范围； （3）对任意的恒成立，求实数的取值范围. 19. 在三棱锥中，分别是线段的中点，分别是线段上的点，且.求证: （1）四边形是梯形； （2）三条直线相交于同一点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白城一中2025学年高三第一次模拟考试 数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，利用等差数列的性质可得，再由求和公式可得结果. 【详解】因为， 所以， 可得. 故选：D. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的求和公式，意在考查学生灵活运用数学知识解答问题的能力，属于中档题. 2. 如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点处，则小虫爬行的最短路程为（ ） A. B. 16 C. 24 D. 【答案】A 【解析】 【分析】可先求出侧面展开扇形的圆心角，利用余弦定理即可求出. 【详解】如图，设圆锥侧面展开扇形的圆心角为， 则由题可得，则， 在中，， 则小虫爬行的最短路程为. 故选：A. 3. 若复数满足（其中是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过复数的除法运算算出复数，再求出模即可. 【详解】，∴. 故选：A 4. 单位圆O：上有两个动点，，且满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，进一步设，，，从而将表示成与有关的三角函数，进一步即可求解. 【详解】连接，因为，即，则． 不妨设，，， 则， 故. 故选：D． 5. 从某市参加升学考试的学生中随机抽查名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法错误的是（ ） A. 总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩 B. 样本是指名学生的数学成绩 C. 样本量指的是名学生 D. 个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩 【答案】C 【解析】 【分析】根据总体、样本、样本容量和个体的定义直接判断选项即可. 【详解】总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩，A正确； 样本是指名学生的数学成绩，B正确； 样本量是，C错误； 个体指的是该市参加升学考试的每一名学生的数学成绩，D正确. 故选：C 6. 已知圆，过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，三角形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件设，得，在中，用表示，由此得到关于的方程，三角恒等变换化简解得，即可在中求解. 【详解】因为可化为， 设，， 三角形直角三角形，，， 所以，所以， 即，所以 整理可得：， ，所以， 解得，，所以； 因此中，. 故选：B 7. 若数列的前n项和满足，则（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为递增数列 C. ，，不为等差数列 D. 的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】降次作差即可得到，根据等差数列的定义即可判断A，根据数列单调性即可判B，求出相关值即可判断C，利用对勾函数的性质即可判断D. 【详解】当时，， 当时，，∴， 对于A：不满足，故A不正确； 对于B：，故B不正确； 对于C：，，，三项可构成等差数列，且公差为8，,故C不正确； 对于D：当时，， 当时，， 根据对勾函数的性质知在时单调递增， 则当时，有最小值，故的最小值为．故D正确. 故选：D． 8. 设为虚数单位，，若是纯虚数，则( ) A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算化简复数，进而根据纯虚数列出关系式即可求解. 【详解】∵是纯虚数 ∴，且 ，故 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题.每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9. 已知随机变量X，Y，其中，已知随机变量X的分布列如下表 X 1 2 3 4 5 p m n 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由分布列的性质和期望公式求出可判断ABC；由方差公式可判断D. 【详解】由可得：①， 又因为，故C正确. 所以， 则②，所以由①②可得：，故A正确，B错误； , ，故D错误. 故选：AC. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与相交于点，与的一条渐近线相交于点的离心率为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意分析可知：直线与双曲线一条渐近线平行，求点.对于A：根据向量垂直分析运算；对于B：可得，结合双曲线的定义运算求解；对于C：可知为的中点，则，代入双曲线方程运算求解；对于D：结合余弦定理可得，进而列式求解即可. 【详解】由题意可知：双曲线的渐近线为， 因为直线斜率，则直线与双曲线的一条渐近线平行， 可知， 联立方程，解得，即， 对于选项A：因为， 若，则， 解得，即，所以，故A正确； 对于选项B：若，则， 且，可得， 所以，故B错误； 对于选项C：若，可知为的中点，可得， 且在双曲线上，则， 即，解得，所以，故C正确； 对于选项D：因为，即， 且，即， 解得， 若，即，解得， 所以，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 2．焦点三角形的作用 在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 11. 若是公比为的等比数列，记为的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为递减数列 B. 若，则为递增数列 C. 若，则 D. 若，则是等比数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据递增，递减数列的定义即可判断AB正确，利用特殊数列可知C错误，根据等比数列的定义可知D正确． 【详解】在等比数列中，， 当时，显然有，故数列为递减数列，故A正确； 当，显然有，故为递增数列，故B正确； 若等比数列满足，则则，故C不正确； 设等比数列的公比为，若，则，所以是等比数列，公比为，故D正确； 故选：ABD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数的最小值为___________. 【答案】9 【解析】 【分析】由题意得，原函数表达式可化为关于的表达式，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题，即可得答案. 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， ∴已知函数的最小值为9. 故答案为：9. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，难点在于将原函数的表达式中的分子按照分母的形式进行配凑，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题. 13. 等比数列的公比为，其通项为，如果，则______；数列的前5项和为______． 【答案】 ①. 或 ②. 或 【解析】 【分析】利用给定条件，结合等比数列通项列出方程，求解方程得；分类求出的通项，再求出前5项和. 【详解】等比数列的公比为，由，得， 整理得，所以或； 当时，，数列的前5项和为， 当时，，数列的前5项和为， 所以数列的前5项和为或. 故答案为：或；或 14. 某校决定从高一、高二两个年级分别抽取100人、60人参加演出活动，高一100人中女生占，高二60人中女生占，则从中抽取1人恰好是女生的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式即可求解. 【详解】用分别表示取的一人是来自高一和高二，表示抽取一个恰好是女生，则由已知可知：,且, 所以 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，为边上的高，已知. （1）若，求的值； （2）若，，求的最小值及取最小值时k的值. 【答案】（1） （2）的最小值为，此时k的值为 【解析】 【分析】(1)由余弦定理可以得到与边之间关系，结合第一问的条件利用等面积法既可以求得；(2)参照第一问的解法，再结合第一问的结论，可以求得的取值范围，再利用二倍角公式即可求得. 【小问1详解】 设a，b，c分别为角A，B，C所对的边，，则. 在中，由余弦定理得. 由，得，所以. 因为，所以，于是， 而. 【小问2详解】 法一：由（1）知， 如图，在中，过B作的垂线，且使， 则，则， 即，所以. 于是，即 令函数，，则在上单调递增， 所以，此时. 故所求的最小值为，此时k的值为. 法二：由， 得，即， 化简得，即， 因为，，所以， 于是，即 令函数，，则在上单调递增， 所以，此时. 故所求的最小值为，此时k的值为. 16. 在数列中，，且. （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） 证明：因为， 所以， 即. 因为，所以， 所以， 所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）将变形并求出，根据等比中项法即可得证； （2）根据（1）可求出的通项，再利用分组求和结合等比数列的前n项和公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以. 17. 已知函数. （1）设为的导函数，求在上的最小值； （2）令，证明：当时，在上. 【答案】（1）1 （2） 由题意知，又因为， 所以， 令， 则， 因为，所以，所以， 因此在上单调递增， 所以当时，，所以， 所以在上单调递增，所以， 即当时，在上. 【解析】 【分析】（1）通过判断的正负得到在上的单调性，再利用单调性求出最小值即可； （2）因为，则，令，求导，通过分析的正负，得到的单调性，从而得出的最值及的正负，即可得到的单调性和最值，从而得证. 【小问1详解】 由题意知， 令，则， 因为当时，，即， 所以即在上单调递增， 所以在上的最小值为. 【小问2详解】 略 18. 已知函数，其中. （1）证明：当时，； （2）若时，有极小值，求实数的取值范围； （3）对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 因为，则对任意恒成立， 可知在内单调递减，则， 所以当时，. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性，结合单调性分析证明； （2）求导，令，利用导数分析可知在内单调递增，分类讨论的符号，进而分析的极值，即可得结果； （3）构建，分析可知原题意等价于对任意恒成立，根据端点效应可得，并代入检验说明其充分性即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，则， 令，则对任意恒成立， 可知在内单调递增，则， 当，即时，则对任意恒成立，即， 可知在内单调递增，无极值，不合题意； 当，即时，则在内存在唯一零点， 当时，，即；当时，，即； 可知内单调递减，在内单调递增， 可知存在极小值，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 【小问3详解】 令， 则， 原题意等价于对任意恒成立， 且，则，解得， 若，因为，则， 则， 可知在内单调递增，则，即符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 19. 在三棱锥中，分别是线段的中点，分别是线段上的点，且.求证: （1）四边形是梯形； （2）三条直线相交于同一点. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由中位线性质和平行线分线段成比例可证得且，由此可得结论； （2）设，可证得平面，平面，则，由此可得结论. 【详解】（1）分别是边的中点，，， 由得：，且， 且，四边形是梯形. （2）由（1）知：相交，设， ，平面，平面，同理可得：平面， 又平面平面，，和的交点在直线上， 三条直线相交于同一点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $