精品解析：福建省福州青鸟北附高级中学2024-2025学年高二上学期第二次适应性诊断（期中考试）数学试题

福州青鸟北附高级中学2024—2025学年秋季学期第二次适应性诊断 高二数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填写在答题卡上. 一、单选题：（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 平行线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5 2. 给定圆的方程，则过坐标原点和圆心的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则的值为（　　） A. 5 B. C. 3 D. 4 4. 已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（    ） A. B. C. D. 5. 已知点在圆外，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. ∪ 6. 已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 直线与直线相交于点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若有2个正确选项，每对一个得3分；若有3个正确选项，每选对一个得2分） 9. 已知，分别为直线l1，l2的方向向量（l1，l2不重合），，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中，正确的是（ ） A. ⇔l1//l2 B. ⊥⇔l1⊥l2 C. ⇔α//β D. ⊥⇔α⊥β 10. 已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A. 圆心C的坐标为 B. 点Q在圆C外 C. 若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D. 若M是圆C上任一点，则的取值范围为 11. 已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（ ） A. 的最小值为12 B. 的最小值为6 C. 的最小值为 D. 的最大值为2 12. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 若直线经过第三象限，则， C. 点在直线上 D. 存在使得直线与直线垂直 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 若直线和直线垂直，则______． 14. 已知圆C1：（x+1）2+（y-1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为______． 15. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影是____________.（用坐标表示） 16. 设点，点和分别为直线和轴上的两动点，则的周长的最小值为__． 四、解答题：（本题共6小题，共66分） 17. 已知的三个顶点坐标分别为、、，求该三角形的外接圆的方程. 18. 已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3）， （1）求AB边所在的直线方程； （2）求AB边的高所在直线方程. 19. 设直线，直线. （1）若，求，之间的距离； （2）求直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最大时的直线的方程. 20. 如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． （1）证明：； （2）点在棱上，当二面角为时，求． 21. 已知直线，一束光线从点处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A． （1）试判断由此得到的的个数； （2）求直线BC的方程． 22. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求的最大值； （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州青鸟北附高级中学2024—2025学年秋季学期第二次适应性诊断 高二数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填写在答题卡上. 一、单选题：（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 平行线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线间距离公式计算． 【详解】由已知所求距离为. 故选：A． 2. 给定圆的方程，则过坐标原点和圆心的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得圆心为，从而可得直线方程的斜率为-4，由直线的点斜式方程即可求解. 【详解】由圆的标准方程可知，圆心为， 则过坐标原点和圆心的直线方程的斜率为： ， 由直线的点斜式可得 ，即 . 故选：B. 3. 已知，且，则的值为（　　） A. 5 B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，代入坐标计算可得答案． 【详解】由题意可得，则，解之可得. 故选：D． 4. 已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线的方向向量即可求得斜率，再利用直线的点斜式方程求出结果. 【详解】由题意知直线的方向向量是，可得其斜率为 ， 所以直线的方程为，即. 故选：C 5. 已知点在圆外，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. ∪ 【答案】B 【解析】 【分析】根据二元二次方程表示圆及点在圆外列不等式求参数范围即可. 【详解】圆的方程可化为，则，可得， 又点在圆外，则，可得， 所以. 故选：B 6. 已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线 、 的斜率后即可求直线/的斜率的范围. 【详解】如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 7. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，，进而求出线线角的向量公式即可求出结果. 【详解】如图，以D为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为2，则. 所以，又 所以. 故选：C. 8. 直线与直线相交于点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线、所过定点的坐标，分析可知，即，求出点的轨迹方程，分析可知，设，可知直线与曲线有公共点，利用直线与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】直线的方程可化为，由可得， 对于直线，由可得， 所以，直线过定点，直线过定点， 又因为，则，即， 则，， 所以，，所以，， 当，，点不在直线上， 所以，点的轨迹是曲线， 设可得， 由题意可知，直线与曲线有公共点， 且圆的圆心为原点，半径为，所以，，解得， 当，时，；当，时，. 因此，的取值范围是. 故选：B. 二、多选题：（本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若有2个正确选项，每对一个得3分；若有3个正确选项，每选对一个得2分） 9. 已知，分别为直线l1，l2的方向向量（l1，l2不重合），，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中，正确的是（ ） A. ⇔l1//l2 B. ⊥⇔l1⊥l2 C. ⇔α//β D. ⊥⇔α⊥β 【答案】ABCD 【解析】 【分析】根据方向向量的关系和法向量的关系可判断线线关系和面面关系，即可得到答案． 【详解】解：若两条直线不重合，则空间中直线与直线平行（或垂直）的充要条件是它们的方向向量平行（或垂直）， 故选项A，B正确； 若两个平面不重合，则空间中面面平行（或垂直）的充要条件是它们的法向量平行（或垂直）， 故选项C，D正确． 故选：ABCD． 10. 已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A. 圆心C的坐标为 B. 点Q在圆C外 C. 若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D. 若M是圆C上任一点，则的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】A.将圆的一般方程转化为标准方程求解；B.利用点与圆的位置关系判断；C.根据点在圆C上，求得m，从而得到点P的坐标，再利用斜率公式求解；D．由的取值范围为求解； 【详解】圆C：的标准方程为 所以圆心坐标为，故A错误； 因为，所以点Q在圆C外，故B正确； 若点在圆C上，则， 解得，则，所以直线PQ的斜率为，故C错误； ，，因为M是圆C上任一点， 所以的取值范围为，即，故D正确； 故选：BD 11. 已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（ ） A. 的最小值为12 B. 的最小值为6 C. 的最小值为 D. 的最大值为2 【答案】AC 【解析】 【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案. 【详解】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 12. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 若直线经过第三象限，则， C. 点在直线上 D. 存在使得直线与直线垂直 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角，即可判断A；利用特殊值判断B；将点的坐标代入方程即可判断C；根据两直线垂直求出参数的值，即可判断D. 【详解】对于A：直线的斜率，所以该直线的倾斜角为，故A正确； 对于B：当，时，直线经过第三象限，故B错误； 对于C：将代入方程，则，即点在直线上，故C正确； 对于D：若两直线垂直，则，解得，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 若直线和直线垂直，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用两直线垂直斜率乘积为计算可得. 【详解】易知直线的斜率为， 直线的斜率为, 由两直线垂直可得，解得. 故答案为： 14. 已知圆C1：（x+1）2+（y-1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：在圆C2上任取一点（x，y），则此点关于直线的对称点（y+1，x-1）在圆C1：上，所以有（y+1+1）2+（x-1-1）2=1，即， 所以答案为． 考点：点关于直线的对称点的求法． 点评：本题考查一曲线关于一直线对称的曲线方程的求法：在圆C2上任取一点（x，y），则此点关于直线的对称点（y+1，x-1）在圆C1上． 15. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影是____________.（用坐标表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量坐标运算求解作答. 【详解】空间向量，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量是， 所以向量在向量上的投影向量的坐标是. 故答案为：. 16. 设点，点和分别为直线和轴上的两动点，则的周长的最小值为__． 【答案】 【解析】 【分析】由题可求点关于轴的对称点，关于的对称点，然后利用数形结合即得. 【详解】因为点，则关于轴的对称点为， 设关于的对称点为， 则，解得，即， 所以，， 所以的周长为， 则当共线时，的周长的值最小， 此时三角形周长为. 故答案为：． 四、解答题：（本题共6小题，共66分） 17. 已知的三个顶点坐标分别为、、，求该三角形的外接圆的方程. 【答案】 【解析】 【分析】 设所求圆的标准方程为，将的三个顶点坐标代入圆的标准方程，可得出关于、、的方程组，求出这三个未知数的值，由此可求得所求圆的标准方程. 【详解】设所求圆的标准方程为， 将的三个顶点坐标代入圆的标准方程，可得，解得. 因此，的外接圆方程为. 【点睛】本题考查三角形外接圆方程的求解，考查计算能力，属于中等题. 18. 已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3）， （1）求AB边所在的直线方程； （2）求AB边的高所在直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两点式可得直线AB的方程,化为一般式即可； （2）可得直线AB的斜率,由垂直关系可得AB边高线的斜率,可得高线的点斜式方程,化为一般式即可. 【小问1详解】 因为A（-1，5）、B（-2，-1）， 所以由两点式方程可得，化为一般式可得：； 【小问2详解】 直线AB的斜率为. 所以由垂直关系可得AB边高线的斜率为， 故AB边的高所在直线方程为,化为一般式可得：. 19. 设直线，直线. （1）若，求，之间的距离； （2）求直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最大时的直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，然后根据平行线之间的距离公式计算； （2）利用二次函数知识得到，再代入已知条件即可得到结果. 【小问1详解】 根据两直线平行，可知，解得，所以的方程是，即. 所以的距离是. 【小问2详解】 由于的横纵截距分别为和，即和，故根据题意有，， 而相应面积. 所以即要求在时的最大值， 由于，且当时， 故最大时有.将代入， 知此时的方程为，即. 20. 如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． （1）证明：； （2）点在棱上，当二面角为时，求． 【答案】（1）证明如下： 以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， ， 又不在同一条直线上， . （2）1 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明； （2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设， 则， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， ， 化简可得，， 解得或， 或， . 21. 已知直线，一束光线从点处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A． （1）试判断由此得到的的个数； （2）求直线BC的方程． 【答案】（1）1个 （2） 【解析】 【分析】（1）利用点关于直线的对称点解决问题；（2）由第一问的基础上求解直线BC的方程. 【小问1详解】 如图，设，点A关于x轴的对称点为，点B关于直线的对称点为． 根据光学知识，直线AB′与直线BC关于直线l对称，点C在直线上，点C又在直线上，又直线的方程为， 由得． 又直线的方程为， 由得． 所以，即， 解得或-3． 当时，符合题意； 当时，点B在直线上，不能构成三角形． 综上，符合题意的只有1个． 【小问2详解】 由（1）得，则直线的方程为， 即直线BC的方程为． 22. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求的最大值； （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，和 【解析】 【分析】（1）代入和的公式，即可求解； （2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式，结合余弦值，即可求解； （3）首先求的最小值，分和两种情况求的最小值，对比后，即可判断直线方程. 【小问1详解】 ， ， ； 【小问2详解】 设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形， 其中、、、． 即点在正方形的边上运动，，， 可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则． 因为，所以的最大值为． 【小问3详解】 易知，设，则 当时，，则，，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立，当且仅当时等号成立． 综上，满足条件的直线有且只有两条，和． 【点睛】关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第3问的关键是理解，同样是转化为代数与几何相结合的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $