精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

石嘴山市第一中学2024-2025学年第二学期高一年级3月月考 数学 试题 考试时间：120分钟 全卷总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 下列说法正确的是（ ） A. 向量与向量是相等向量 B. 若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C. 与实数类似，对于两个向量有三种关系 D. 向量的模是一个正实数 【答案】B 【解析】 【分析】选项A，由向量相等、相反定义可判断； 选项B，由向量共线的定义可判断； 选项C，由向量定义可判断； 选项D，零向量的模长为0，故可判断. 【详解】向量与向量模长相等，方向相反，为相反向量，故选项A不正确； 由向量共线的定义可知，选项B正确； 由向量的定义，向量有模长和方向两个要素，不可比较大小，故选项C不正确； 零向量的模长为0，因此向量的模不一定为正数，故选项D不正确. 故选：B 【点睛】本题考查了向量的定义、模长、共线向量、相等向量、相反向量等基本概念，考查了学生概念理解的能力，属于基础题 2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a=2，A=45°，B=30°，那么b=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据在△ABC中，a=2，A=45°，B=30°，直接利用正弦定理求解. 【详解】因为在△ABC中，a=2，A=45°，B=30°， 所以由正弦定理得， 解得， 故选：A. 【点睛】本题在考查正弦定理的应用，属于基础题》 3. 已知平面向量，，若存在实数，使得，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知条件即可得，进而可求出实数的值. 【详解】∵，∴，则，解得或， 又，∴，∴， 故选:D. 【点睛】本题考查了由向量共线求参数的值，属于基础题. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据数量积求出，再根据向量夹角的坐标公式求解即可. 【详解】因为，，，即，解得，所以， 所以． 故选：C． 5. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】 由余弦定理得，代入化简得，故可得答案. 【详解】由余弦定理得，所以， 所以，得，故是等腰三角形． 故选：A 【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查同角三角函数的基本关系，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题. 6. 已知平面内的向量在向量上的投影数量为，且，则的值为（  ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 分析】根据向量投影概念和模长公式进行推算即可求出结果. 【详解】由题意可得向量在向量上的投影数量为：，又，， 所以，所以， 故选：A. 7. 在中，角所对的边分别为，若，则的值是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理，化简可得，联立题目给出的等式可算出，接着根据同角三角函数的基本关系可得到，. 【详解】在中，由余弦定理得，， 根据题意，，可得，A为锐角，则，因此，故选C. 【点睛】本题主要考查根据三角形中的边角关系式求三角函数值，利用余弦定理等价变形是解决本题的关键. 8. 如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，，则的最大值是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点可建立坐标系，设，；根据可求得，从而得到，利用三角函数值域求解方法可求得结果. 【详解】以为轴，以为原点，建立坐标系，如下图所示： 设，，则，， ，， ，解得： ，即的最大值为 本题正确选项： 【点睛】本题考查利用圆的参数方程求解最值的问题，关键是能够建立坐标系，利用圆的参数方程将问题转化为三角函数最值的求解问题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 下列结论恒为零向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项直接求解判断即可. 【详解】对于A，，A错； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 10. 已知中，角的对边分别为，，，则以下四个命题正确的有（ ） A. 当，，时，满足条件的三角形共有1个 B. 若，则 C. 若，，则为等腰直角三角形 D. 若，则一定是等边三角形 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A：利用余弦定理分析运算；对于B：利用正弦定理结合倍角公式分析判断；对于C：利用余弦定理分析运算；对于D：根据角的范围结合余弦函数分析判断. 【详解】对于选项A：由余弦定理， 可得，则， 因为， 所以该方程无解，即不存在满足条件的三角形，故A错误； 对于选项B：因为，由正弦定理可得， 则， 且，则， 可得，整理得， 可得或，即或， 所以或，故B错误； 对于选项C：由余弦定理，则， 因为，可得， 则，则， 所以为等腰直角三角形，故C正确； 对于选项D：因为，则， 可得， 若，则， 可得，即， 所以一定是等边三角形，故D正确； 故选：CD. 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若为锐角，则实数的取值范围是. B. 已知 是单位向量，，若向量 满足，则的最大值为1. C. 点 在 所在的平面内，若 分别表示 的面积，则 . D. 点 在 所在的平面内，满足，且则点 是 的内心. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A向量数量积的坐标表示列不等式求参数范围；B设、，，应用向量坐标表示将问题化为定点到圆上点距离的最值；C根据向量的线性关系确定O的位置，由此求三角形的面积关系；D根据已知条件确定是角平分线的交点，即可判断. 【详解】A：因为为锐角，所以，解得， 当，即时，故且，错误； B：不妨设、，设，所以， 因为，则， 所以点到的距离恒为，又，所以，正确； C：因为，取的中点，则， 所以为的中点，连接，因为是的中点，所以， 是的中点，所以，， 所以，正确； D：平面内及一点满足，可得，所以在的平分线上， ，可得，所以在的平分线上， 则点是的内心，正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：应用向量的坐标表示及夹角的坐标公式，数形结合法求参数或最值，利用向量的线性关系确定O的位置，进而判断面积关系或哪种心. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设x，，向量、、且，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用向量共线和垂直求出的值，然后求出的坐标，最后用模长公式求解即可. 【详解】因为，，， 所以，即，所以，解得， 因为，，， 所以，解得 所以，，所以 所以 故答案为：. 13. 已知三角形的两个顶点、的坐标分别为、，且、所在直线的斜率之积等于，顶点的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设点，根据可求出顶点的轨迹方程. 【详解】设点，则，，其中， 由题意可得，化简可得. 故顶点的轨迹方程为. 故答案为：. 14. 已知点，且平行四边形的四个顶点都在函数的图像上，设为原点，已知三角形的面积为，则平行四边形的面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】首先确定是奇函数，因此平行四边形的顶点关于原点对称，是平行四边形对角线的交点，从而面积易求． 【详解】由得或， 又∵ ∴是奇函数，其图象关于原点对称， 平行四边形的四个顶点都在函数的图象上，则关于原点对称，关于原点对称，即是行四边形对角线的交点， 而，∴． 故答案为． 【点睛】本题考查函数的奇偶性，解题关键是确定函数为奇函数，从而坐标原点是行四边形对角线的交点，这样才能非常容易地求出面积． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 在中，内角所对的边分别为，的面积为，已知. （1）求角； （2）若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】（1）由题意，利用三角形的面积公式和余弦定理，求得，再利用同角三角函数的基本关系式，即可求解. （2）由正弦定理，化简得，再利用三角函数的图象与性质，即可求解. 【详解】（1）∵，， ∴， 在中，由余弦定理得， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）由正弦定理得 所以 因为，所以， 所以，即的取值范围为. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中合理利用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式化简是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 16. 已知向量 （1）求的坐标 （2）若与共线，求实数 【答案】(1)；(2) 【解析】 【分析】（1）由已知条件直接利用两个向量的加减法的法则求出结果；（2）先计算出的坐标，由两个向量共线的坐标表示即可得出结果． 【详解】（1）由已知可知  （2）由得， 又因为与共线， 所以，解得. 【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，向量共线的坐标表示，属于基础题． 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若，求面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦函数公式，化简得，求得，即可求解； （2）由余弦定理可得，结合，求得，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 因为，则，所以， 因为，所以. （2）因为，， 由余弦定理可得，整理得， 又，解得， 所以. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 18. 已知ABC中三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且，. （1）若，求的值； （2）当取得最大值时，求A的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求出，再利用两角和差的正弦公式求，求得； （2）将化简，并用正弦定理将用解的三角函数式表示，再分析其求最值时的值. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， ∴，∵，∴， ∴. （2） 当且仅当，即时取到最大值 【点睛】本题考查了两角和差的正弦公式，正弦定理，平面向量数量积的定义，三角函数的最值，这是一道考查了多个基本知识的综合题，属于中档题. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为， （1）若， ①求； ②若，设点为的费马点，求； （2）若，设点为的费马点，，求实数的最小值． 【答案】（1）①；② （2）. 【解析】 【分析】（1）①利用正弦定理角化边，然后利用余弦定理来求解；②利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案； （2）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 ①由正弦定理得，即， 所以，又， 所以； ②由①，所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设，由得： ，整理得， 则 ； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以，即， 所以或， 当时，，为直角三角形， 当， 则， 得，在三角形中不可能成立， 所以为的直角三角形， 因为点为的费马点，则， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石嘴山市第一中学2024-2025学年第二学期高一年级3月月考 数学 试题 考试时间：120分钟 全卷总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 下列说法正确的是（ ） A. 向量与向量是相等向量 B. 若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C. 与实数类似，对于两个向量有三种关系 D. 向量的模是一个正实数 2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a=2，A=45°，B=30°，那么b=（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，若存在实数，使得，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 6. 已知平面内的向量在向量上的投影数量为，且，则的值为（  ） A. B. 1 C. D. 7. 在中，角所对的边分别为，若，则的值是 A. B. C. D. 8. 如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，，则的最大值是 A B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 下列结论恒为零向量的是（ ） A B. C. D. 10. 已知中，角的对边分别为，，，则以下四个命题正确的有（ ） A. 当，，时，满足条件的三角形共有1个 B. 若，则 C. 若，，则为等腰直角三角形 D. 若，则一定是等边三角形 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若为锐角，则实数取值范围是. B. 已知 是单位向量，，若向量 满足，则的最大值为1. C. 点 在 所在平面内，若 分别表示 的面积，则 . D. 点 在 所在的平面内，满足，且则点 是 的内心. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设x，，向量、、且，，则___________. 13. 已知三角形的两个顶点、的坐标分别为、，且、所在直线的斜率之积等于，顶点的轨迹方程为______. 14. 已知点，且平行四边形的四个顶点都在函数的图像上，设为原点，已知三角形的面积为，则平行四边形的面积为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 在中，内角所对的边分别为，的面积为，已知. （1）求角； （2）若，求的取值范围． 16. 已知向量 （1）求的坐标 （2）若与共线，求实数 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若，求的面积． 18. 已知ABC中三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且，. （1）若，求的值； （2）当取得最大值时，求A的值. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为， （1）若， ①求； ②若，设点为费马点，求； （2）若，设点为的费马点，，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$