精品解析：江苏省盐城市盐城经济技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024年秋学期期末调研九年级数学试卷 分值：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，计24分） 1. 下列说法中不在同一直线上的三点确定一个圆； 长度相等的两条弧是等弧；相等的圆心角所对的弧相等； 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；正确的说法有 （ ）个 A. B. C. D. 2. 下列方程中，没有实数解的是（ ） A. B. C. D. 3. 甲布袋装有个红球和个白球，随机从甲袋中摸出一个球，摸出红球的概率是（　　） A. B. C. D. 4. 下列函数：①；②；③；④，其中随的增大而增大的函数是（ ） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 5. 如图，是的外接圆，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列关于二次函数的图像的性质描述，其中正确的是（ ） A. 图像开口向上 B. 图像顶点为 C. 图像可由函数的图像平移得到 D. 图像与轴交点为 7. 如图，在8×8的正方形网格中，点A，B，C，P，Q，M，N都在格点上(正方形的顶点即格点)，若⊙O是以A，B，C为顶点的三角形的外接圆，则下列各点中，在⊙O上的是（ ） A. 点P B. 点 Q C. 点M D. 点N 8. 已知二次函数 (a为常数)的图像上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，计24分） 9. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立冬”，4张“小寒”，1张“大寒”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“小寒”的可能性为______． 10. 圆心角为，半径为1的扇形的弧长是______． 11. 二次函数图像的顶点坐标是____________． 12. 如图，四边形内接于，，，，则的半径为________． 13. 如图， 经过A，B，C三点，分别与相切于A，B两点，，则的度数为__________． 14. 中，和均为锐角，，，且，则的值为_______． 15. 抛物线经过两点，则关于x的不等式的解集为_____________． 16. 如果一组数据3，5，x，6，8的众数为3，那么这组数据的方差为 _____． 三、解答题（共11题，计102分） 17. 解方程： （1）； （2） 18. “秋风响，蟹脚痒”，正是食蟹好时节．某蟹农在今年五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，为赶在食蟹旺季前上市销售，该蟹农于九月中旬在蟹塘中随机试捕了4次，获得如下数据： 数量/只 平均每只蟹的质量/g 第1次试捕 4 166 第2次试捕 4 167 第3次试捕 6 168 第4次试捕 6 170 （1）四次试捕中平均每只蟹的质量为____________； （2）若蟹苗的成活率为，试估计蟹塘中蟹的总质量为____________； （3）若第3次试捕的蟹的质量（单位：g）分别为：166，170，172，a，169，167． ①____________； ②求第3次试捕所得蟹的质量数据的方差． 19. 第一盒中有2个白球，1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出一个球． （1）求在第一盒中取出一个球是白球的概率； （2）用列表或画树状图方法求取出的2个球都是黑球的概率． 20. 关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求k取值范围； （2）若两根，满足，求k的值． 21. 如图是某风车平面示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，此时各叶片影子在点M右侧形成线段，O的对应点为D，测得，此时太阳的与地面的夹角为（即）． （1）求旋转中心到地面的距离的值． （2）风车转动时，要求叶片外端离地面的最低高度高于米，请判断此风车是否符合要求． 22. 如图，在中，，以为直径的与，分别相交于点D，E． （1）求证：； （2）若半径为5，，求扇形的面积． 23. 体育点燃梦想，奥运余温传至大湾区，第十五届全运会的举办将掀起新一轮运动浪潮．某市参加体育运动的人数逐年增多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人． （1）求该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率． （2）为支持市民的体育运动，市政府决定从某公司购买某种运动器材套装．该公司规定：若购买数量不超过120套，则每套售价2400元；若购买数量超过120套，则每增加10套，售价每套可降低50元，但最低售价不得少于1500元．已知市政府向该公司支付货款40万元，求该市政府购买的这种运动器材的套数． 24. 如图，在中，，点F在上，以为直径的与边相切于点D，与边相交于点E，且，连接并延长交于点G，连接． （1）求证：是的切线； （2）若长为，求图中阴影部分的面积． 25. 如图，已知的直径为，于点A，与相交于点D，在上取一点E，使得． （1）求证：是的切线． （2）当，时，求的长度． （3）填空：连接，当的度数为　　时，四边形为正方形． 26. 关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）判断方程是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）如图，已知、是半径为8的两条平行弦，，，且关于x的方程是“勾系一元二次方程”，则的度数为______． 27. 二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． （1）求二次函数的表达式； （2）当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； （3）设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期期末调研九年级数学试卷 分值：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，计24分） 1. 下列说法中不在同一直线上的三点确定一个圆； 长度相等的两条弧是等弧；相等的圆心角所对的弧相等； 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；正确的说法有 （ ）个 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆的认识，垂径定理推论，根据垂径定理的推论，确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关系判断即可，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【详解】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法正确； 能够重合的弧是等弧，原说法不正确； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法不正确； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，原说法不正确． 综上所述，正确的说法有1个． 故选：． 2. 下列方程中，没有实数解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，分式方程，二元二次方程，无理方程，根据题意逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，解得：，故A选项不正确，不符合题意； B. 方程两边同时乘以，得，， 解得：或， 经检验，是原方程的增根，原方程的解为， 故B选项不正确，不符合题意； C. ，方程有实数解，故C选项不正确，不符合题意； D. ， ∴ 又∵ ∴原方程无实数解， 故选：D． 3. 甲布袋装有个红球和个白球，随机从甲袋中摸出一个球，摸出红球的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率公式． 由甲布袋装有个红球和个白球，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：甲布袋装有个红球和个白球， 随机从甲袋中摸出一个球，摸出红球的概率是：， 故选：A． 4. 下列函数：①；②；③；④，其中随的增大而增大的函数是（ ） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数，反比例函数，二次函数的图象和性质．根据一次函数，反比例函数，二次函数的图象和性质判断选择即可．对于一次函数，当时，y的值随x的增大而增大．当时，y的值随x的增大而减小；对于反比例函数，当时，y的值随x的增大而减小．当时，y的值随x的增大而增大；对于二次函数，当时，图象开口向上，在对称轴左侧，y的值随x的增大而减小．在对称轴右侧，y的值随x的增大而增大．当时，图象开口向下，在对称轴左侧，y的值随x的增大而增大．在对称轴右侧，y的值随x的增大而减小． 【详解】①，其中，故y的值随x的增大而减小，不符合题意； ②，其中，故y的值随x的增大而增大，符合题意； ③，其中，故当时，y的值随x的增大而增大，符合题意； ④，其中，即其图象开口向上，对称轴为y轴，故当时，y的值随x的增大而减小，不符合题意． 综上可知y的值随x的增大而增大的函数为②③． 故选：D． 5. 如图，是的外接圆，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的性质；根据等腰三角形的性质可得，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半解题即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：． 6. 下列关于二次函数的图像的性质描述，其中正确的是（ ） A. 图像开口向上 B. 图像顶点为 C. 图像可由函数的图像平移得到 D. 图像与轴交点为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键；根据二次函数的图像和性质，二次函数图像的平移逐一判断即可． 详解】解：、， 图像开口向下，故本选项不符合题意； 、二次函数图像的顶点为，故本选项不符合题意； 、二次函数的图像可由函数的图像向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，故本选项符合题意； 、当时，， 图像与轴交点为，故本选项不符合题意； 故选：． 7. 如图，在8×8的正方形网格中，点A，B，C，P，Q，M，N都在格点上(正方形的顶点即格点)，若⊙O是以A，B，C为顶点的三角形的外接圆，则下列各点中，在⊙O上的是（ ） A. 点P B. 点 Q C. 点M D. 点N 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了外接圆的圆心，勾股定理， 先确定圆心的位置，再求出半径，即可判断答案． 【详解】解：如图所示，点O是的外接圆的圆心， 小正方形的边长为1，根据勾股定理可知，， ∴上的是点N． 故选：D． 8. 已知二次函数 (a为常数)的图像上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 先将二次函数的关系式配成顶点式，然后得出顶点坐标，再根据顶点到x轴的距离可得取值范围，求出解集即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向下，对称轴是，顶点坐标是． ∵二次函数的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度， ∴， 解得． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，计24分） 9. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立冬”，4张“小寒”，1张“大寒”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“小寒”的可能性为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了随机事件可能性的大小，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题关键．根据在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有4张“小寒”，进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有4张“小寒”， ∴从中随机摸出一张卡片，恰好是“小寒”的可能性为． 故答案为：． 10. 圆心角为，半径为1的扇形的弧长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键．根据弧长的公式进行计算即可． 【详解】解：由题知，扇形的圆心角为, 半径为1， 所以扇形的弧长为：. 故答案为：． 11. 二次函数图像的顶点坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的顶点式解析式，熟练掌握其性质是解决此题的关键．如果，那么函数图像的顶点坐标为，根据二次函数的顶点式解析式写出即可． 【详解】解：二次函数图像的顶点坐标是， 故答案为：． 12. 如图，四边形内接于，，，，则半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接，即可证得，进而可求得，再利用圆周角定理得到，运用含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是的直径，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵是直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 13. 如图， 经过A，B，C三点，分别与相切于A，B两点，，则的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理、圆的切线的性质、多边形内角和，牢记圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）是解题的关键． 连接，，根据多边形内角和可求得的度数，根据圆周角定理即可求得答案． 【详解】解：如图所示，连接，． ∵，分别与相切于，点， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 14. 中，和均为锐角，，，且，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角函数定义求值及勾股定理．过点作于点．在中，已知和的值，根据三角函数可求的长；在中，运用勾股定理可求的长，代入进行求解． 【详解】解：过点作于点．   在中，，， ． 在中，， ． ． 故答案为：． 15. 抛物线经过两点，则关于x的不等式的解集为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，二次函数的平移．直接利用二次函数大致图象结合不等式与函数关系得出答案． 【详解】解：∵抛物线经过两点， ∴把抛物线沿x轴向右平移1个单位后的图象经过， 即抛物线的图象经过， ∴关于x的不等式的解集为：． 故答案为： 16. 如果一组数据3，5，x，6，8的众数为3，那么这组数据的方差为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据众数的概念，确定x的值，再求该组数据的方差． 【详解】解：因为一组数据3，5，x,6，8的众数为3， 所以x=3， 该组数据的平均数为：， 方差， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平均数、众数、方差的意义．①平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体“平均水平”；②众数是一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，有时众数在一组数中有好几个；③方差是用来衡量一组数据波动大小的量． 三、解答题（共11题，计102分） 17. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，灵活运用直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程是解题关键． （1）利用完全平方公式将等号左边进行因式分解，再用直接开平方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 左边化成完全平方，得， ∴． 【小问2详解】 ， 提公因式分解因式，得， ∴． 18. “秋风响，蟹脚痒”，正是食蟹好时节．某蟹农在今年五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，为赶在食蟹旺季前上市销售，该蟹农于九月中旬在蟹塘中随机试捕了4次，获得如下数据： 数量/只 平均每只蟹的质量/g 第1次试捕 4 166 第2次试捕 4 167 第3次试捕 6 168 第4次试捕 6 170 （1）四次试捕中平均每只蟹的质量为____________； （2）若蟹苗的成活率为，试估计蟹塘中蟹的总质量为____________； （3）若第3次试捕的蟹的质量（单位：g）分别为：166，170，172，a，169，167． ①____________； ②求第3次试捕所得蟹的质量数据的方差． 【答案】（1）168 （2） （3）①164；②7 【解析】 【分析】（1）用四次试捕中蟹的总质量除以蟹的数量，即可求解； （2）用四次试捕中平均每只蟹的质量乘以成活的蟹的数量，即可求解； （3）①用第3次试捕的蟹的总质量减去其它蟹的质量，可得a的值；②根据方差公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：四次试捕中平均每只蟹的质量为 ； 故答案为：168 【小问2详解】 解：； 故答案为： 【小问3详解】 解：①； 故答案为：164 ② 【点睛】本题主要考查了求加权平均数，求方差，用样本估计总体，熟练掌握加权平均数，方差的求法是解题的关键． 19. 第一盒中有2个白球，1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出一个球． （1）求在第一盒中取出一个球是白球的概率； （2）用列表或画树状图的方法求取出的2个球都是黑球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率公式，以及用列表或画树状图的方法求概率，正确列表或者画树状图是解题关键． （1）直接利用概率公式求解，即可解题； （2）根据题意用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而得出取出的2个球都是黑球的情况数，最后结合概率公式求解即可． 【小问1详解】 解： 由题意得； 【小问2详解】 解：根据题意列表如下： 第一盒 第二盒 白 白 黑 白 白白 白白 黑白 黑 白黑 白黑 黑黑 黑 白黑 白黑 黑黑 （画树状图正确也可） 由表格可知总共有种情况，其中取出的2个球都是黑球的情况有种， ． 20. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若两根，满足，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，因式分解法求一元二次方程，理解并掌握根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． （1）两个不相等的实根，则根的判别式大于零，由此即可求解； （2）根据根与系数的关系可知，，代入得到关于k的一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意得，，， ∵ ∴ 整理得， ∴ 或 解得，， ∵， ∴． 21. 如图是某风车平面示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，此时各叶片影子在点M右侧形成线段，O的对应点为D，测得，此时太阳的与地面的夹角为（即）． （1）求旋转中心到地面距离的值． （2）风车转动时，要求叶片外端离地面的最低高度高于米，请判断此风车是否符合要求． 【答案】（1） （2）此风车符合要求 【解析】 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理求得，再利用三角形函数的定义求解即可； （2）过点C作，垂足为F，则四边形为矩形，利用特殊角的三角函数值求得，进一步计算即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点C作，垂足为F，则四边形为矩形． ∵， ∴，即， ∴叶片外端离地面的最低高度为， ∵． ∴此风车符合要求． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，平行线分线段成比例，及勾股定理和矩形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 22. 如图，在中，，以为直径的与，分别相交于点D，E． （1）求证：； （2）若半径为5，，求扇形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积和等腰三角形的性质以及圆周角定理．掌握扇形的面积公式、等腰三角形的性质以及圆周角定理是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理的推论得到，再根据等腰三角形的性质即可得到； （2）根据已知求出，根据扇形面积公式即可得到答案． 【小问1详解】 证明：连接 为的直径 又 【小问2详解】 又∵四边形内接于 ， 是的中位线 ∥， 23. 体育点燃梦想，奥运余温传至大湾区，第十五届全运会的举办将掀起新一轮运动浪潮．某市参加体育运动的人数逐年增多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人． （1）求该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率． （2）为支持市民的体育运动，市政府决定从某公司购买某种运动器材套装．该公司规定：若购买数量不超过120套，则每套售价2400元；若购买数量超过120套，则每增加10套，售价每套可降低50元，但最低售价不得少于1500元．已知市政府向该公司支付货款40万元，求该市政府购买的这种运动器材的套数． 【答案】（1） （2）200套 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加体育运动的人数的年平均增长率为，根据从2022年的25万人增加到2024年的36万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种运动器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款40万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市参加体育运动的人数的年平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该市参加体育运动的人数的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：∵元， ∴购买的这种运动器材的套数大于120套， 设购买的这种运动器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元，不符合题意，故舍去， 当时，售价元，符合题意， 答：购买的这种运动器材的套数为200套． 24. 如图，在中，，点F在上，以为直径的与边相切于点D，与边相交于点E，且，连接并延长交于点G，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的长为，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析； （2）阴影部分的面积为． 【解析】 【分析】（1）连接OD，由推出是等边三角形，再利用全等三角形判定定理证明，得到，再根据切线的判定定理即可证明； （2）由的长计算出半径，再根据含的直角三角形的性质求出的边长，利用阴影部分面积的面积扇形的面积，计算即可得到答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接OD， 与相切于点D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是的切线． 小问2详解】 的长为，， ， ， ， ， ， ，， 阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查的是切线的判定与性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质、含角的直角三角形、全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键． 25. 如图，已知的直径为，于点A，与相交于点D，在上取一点E，使得． （1）求证：是的切线． （2）当，时，求的长度． （3）填空：连接，当的度数为　　时，四边形为正方形． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，利用可证得，于是可得，则结论得证； （2）先利用勾股定理求出，再由直径所对的圆周角是直角、三线合一及垂直于同一直线的两直线平行可得，然后根据平行线分线段成比例定理即可求出的长度； （3）由可得，根据三角形的内角和定理及利用邻补角互补求角度可得，结合可证得四边形是矩形，然后由即可推出矩形为正方形． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴，即：， 在与中， ， ∴， ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：在中，，，， ∴， ∵是直径， ∴，即：， 由（1）可得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即：的长度是； 【小问3详解】 解：当的度数为时，四边形为正方形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形为正方形． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，等边对等角，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，三线合一，垂直于同一直线的两直线平行，平行线分线段成比例定理，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 26. 关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： （1）判断方程是否是“勾系一元二次方程”，并说明理由； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）如图，已知、是半径为8的的两条平行弦，，，且关于x的方程是“勾系一元二次方程”，则的度数为______． 【答案】（1）是，理由见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“勾系一元二次方程”的定义直接判断即可； （2）根据及根的判别式，再利用完全平方的非负性来判断即可； （3）连接，，作于，的延长线交于．关于的方程是“勾系一元二次方程”，则，再结合勾股定理，证明出，得出，从而得出，再利用圆周角定理求解即可． 【小问1详解】 解：方程是“勾系一元二次方程”，理由如下： ， 由题意知：， 满足且， 故方程是“勾系一元二次方程”； 【小问2详解】 证明：是“勾系一元二次方程”， ， ， 必有实数根； 【小问3详解】 解：连接，，作于，的延长线交于． 关于的方程是“勾系一元二次方程”， ， ，， ， ， ，，，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，一元二次方程的根的判别式，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 27. 二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． （1）求二次函数的表达式； （2）当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； （3）设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，最小值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标表示两点距离，二次函数最值，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）可求，设，由，得，则 ，解得，（舍去），故； （3）分当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方，得到这个面积是关于m的二次函数，进而求最值即可． 【小问1详解】 解：把，代入得， ，解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图： 由得抛物线对称轴为直线， ∵两点关于抛物线对轴对称， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴； 【小问3详解】 存在，理由： 当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时， 设点，则点，设直线交轴于点， 设直线表达式为：， 代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得 则， 则， 则 ， 即存在最小值为； 此时，，点Q不在在点P上方时， 故舍去 当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时， 同上可求直线表达式为：， 令，得 则， 则， 则 即存在最小值为； 当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方同理可求， 即存在最小值为， 综上所述，的面积是否存在最小值，且为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $