精品解析：福建省漳州市第三中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

漳州三中2024-2025学年下学期八年级数学学科 阶段性教学诊断（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若不等式组解集，则其解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C D. 3. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 4. 如果(m+3)x＞2m+6的解集为x＜2，则m的取值范围是(　　) A. B. C. D. m是任意实数 5. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 全等三角形的对应角相等 C. 对顶角相等 D. 若，则 6. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（    ） A. 有一个锐角小于 B. 每一个锐角都小于 C. 有一个锐角大于 D. 每一个锐角都大于 7. 已知函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 8. 某品牌电脑的成本为2400元，标价为3150元，如果商店要以不低于的利润销售，最低可打（　　）折出售． A 7折 B. 7.5折 C. 8折 D. 8.5折 9. 已知关于的不等式的最小整数解为3，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点．下列结论：①；②；③平分；④若，则．其中一定正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 若 一个等腰三角形的两边长分别为2、4，则其周长为____． 12. 不等式x+3≤6的正整数解为___________________． 13. 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆，若衣架收拢，，如图②，则此时A，B两点之间的距离是______． 14. 如图，已知函数和的图象交点为P，则不等式的解集为________． 15. 如图，在中，，，的垂直平分线交于，交于，若，则的长为_____． 16. 如图，已知中，，，，点、分别在线段、上，将沿直线折叠，使点对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，线段的长为____________________． 三．解答题（共8小题，满分86分） 17. 解不等式，并将解集在数轴上表示出来． ． 18. 解不等式组，并求出它所有整数解的和． ． 19. 如图，在中，，求长． 20. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF. 求证：（1）DE=DF； （2）AD平分∠BAC． 21. 东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元，该商场为促销制定了两种优惠方案，甲方案：买一支毛笔就赠送一本书法练习本；乙方案：按购买金额打九折付款．某校欲为校书法小组购买这种毛笔10支，书法练习本本． （1）分别写出两种优惠方法实际付款金额（元），（元）与（本）之间的函数关系式； （2）比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱？ 22. 如图，在中，． （1）求作点到，的距离相等，且点在上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求的面积． 23. “戴口罩、勤洗手、常通风”已成为当下人们的生活习惯．某校为做好校园防护工作，计划采购一批A，B两种型号的口罩．已知购买300个型口罩和购买200个型口罩需要600元，购买250个型口罩和购买400个型口罩需要850元． （1）求A，B两种型号的口罩每个各多少元？ （2）计划购买A，B两种型号的口罩共6000个，其中型口罩的数量不超过型口罩数量的，求购买型口罩多少个时，购买这批口罩总费用最低，最低费用是多少元? 24. 如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，判断的形状为________，（不用写证明）； （3）探究：当为_________度时，是等腰三角形． 25. 已知一次函数，其中． （1）若点在的图像上，求k的值； （2）当时，，求的函数表达式； （3）对于一次函数，其中，若对任意实数x，总有，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州三中2024-2025学年下学期八年级数学学科 阶段性教学诊断（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴，故不正确； B．∵，∴，故不正确； C．∵，∴，∴，故正确； D．∵，∴，故不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 2. 若不等式组的解集，则其解集在数轴上表示正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，将解集表示在数轴上即可，注意端点是空心还是实心． 【详解】解：不等式组的解集在数轴上表示如下： 故选：B． 3. 为了丰富学生课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点， 故选：C 4. 如果(m+3)x＞2m+6的解集为x＜2，则m的取值范围是(　　) A. B. C. D. m是任意实数 【答案】B 【解析】 【详解】由含有m的不等式（m+3）x＞2m+6的解集为：x＜2， 根据不等式的基本性质3，可知m+3＜0， 解得m＜-3． 故选B． 5. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 全等三角形的对应角相等 C. 对顶角相等 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用不等式的性质、全等三角形的性质及绝对值的意义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、若，，则的逆命题为：若，则，，错误，为假命题； B、全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的两个是全等三角形，错误，为假命题； C、对顶角相等的逆命题为：相等的两个角是对顶角，错误，为假命题； D、若，则的逆命题为：若，则，正确，为真命题， 故选：D． 6. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（    ） A. 有一个锐角小于 B. 每一个锐角都小于 C. 有一个锐角大于 D. 每一个锐角都大于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反证法，直角三角形的两个锐角互余，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的第一步是假设原命题的结论不成立．原命题为“至少有一个锐角不大于”，其反面是“所有锐角都大于”． 【详解】解：原命题的结论是“至少有一个锐角不大于”，即存在一个锐角小于或等于． 反证法需假设结论的反面成立，即“两个锐角都大于”．此时，两个锐角的和将超过，与直角三角形中两锐角之和为矛盾． 因此，假设不成立，原命题成立．选项中对应“每一个锐角都大于”的是D． 故选：D． 7. 已知函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察函数图象得到即可． 【详解】解：由图象可得：当时，， 所以关于x的不等式的解集是． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 8. 某品牌电脑的成本为2400元，标价为3150元，如果商店要以不低于的利润销售，最低可打（　　）折出售． A. 7折 B. 7.5折 C. 8折 D. 8.5折 【答案】C 【解析】 【分析】设最低可打折，根据电脑的成本为2400元，标价为3150元，如果商店要以不低于的利润销售，可列不等式求解． 【详解】解：设最低可打折，则 ∴， ∴最低打八折， 故选：C． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，根据利润＝售价−进价，可列不等式求解，难度一般． 9. 已知关于的不等式的最小整数解为3，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，先解出不等式，然后根据最小整数解为3得出关于的不等式组，解之即可求得的取值范围．正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质． 【详解】解：解不等式，得：， 不等式有最小整数解3， ， 解得：， 故选：B． 10. 如图，在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点．下列结论：①；②；③平分；④若，则．其中一定正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定，证明即可判定①；过点作于，于，由全等三角形的性质得，即得，根据角平分线的判定即可判定③；由全等三角形的性质和三角形内角和定理可得，即得，即可判定②；在线段上截取，连接，证明得，根据②可得为等边三角形，即得，即得，即可判定④；综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； 过点作于，于， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，故③正确； ∵，， ∴， ∴，故②错误； 在线段上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由②得， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有个， 故选：． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 若 一个等腰三角形的两边长分别为2、4，则其周长为____． 【答案】10 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可分两种情况讨论：①当2为腰时②当4为腰时;再根据三角形的三边关系确定是否能构成三角形，再计算三角形的周长，即可求出； 本题主要考查等腰三角形的性质，还涉及了三角形三边的关系，熟练掌握以上知识点是解题关键． 【详解】解：①当2为腰时，另两边为2、4，，不能构成三角形，舍去; ②当4为腰时，另两边为2、4，，能构成三角形， 此时三角形的周长为 故答案为：10． 12. 不等式x+3≤6的正整数解为___________________． 【答案】x＝1，2，3 【解析】 【详解】x+3≤6，解得x≤3,故原不等式的正整数解为x＝1，2，3.故答案为x＝1，2，3. 13. 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆，若衣架收拢，，如图②，则此时A，B两点之间的距离是______． 【答案】20 【解析】 【分析】此题考查等边三角形，掌握等边三角形的判定和性质是解决本题的关键； 根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形进行分析解答即可． 【详解】连接， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为：20． 14. 如图，已知函数和的图象交点为P，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系是解决问题的关键．此题可根据两直线的图象以及两直线的交点坐标来进行判断． 【详解】解：由图知：当直线的图象在直线的上方时，不等式成立； 由于两直线的交点横坐标为：， 观察图象可知，当时，； 故答案为：． 15. 如图，在中，，，的垂直平分线交于，交于，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形，勾股定理，由线段垂直平分线的性质及三角形外角的性质可求解，，再利用含角的直角三角形的性质可求解，再利用勾股定理可求解的长．解题的关键是：熟记含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质及三角形的外角性质． 【详解】解：的垂直平分线交于，交于， ，， ， ， 根据勾股定理． 故答案为：． 16. 如图，已知中，，，，点、分别在线段、上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，线段的长为____________________． 【答案】4或 【解析】 【分析】由为直角三角形，分两种情况进行讨论：①；②．分别依据含角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到的长． 【详解】解：分两种情况： 如图，当时，是直角三角形， 在中，，，， ，， 由折叠可得，， ， ， ， ， 如图，当时，直角三角形， 由题可得，，， ，， ，， 设，则，， 又， ， 解得：， ，， 故答案为：4或． 【点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 三．解答题（共8小题，满分86分） 17. 解不等式，并将解集在数轴上表示出来． ． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据去分母，去括号，移项等过程求解不等式，在数轴上表示解集即可，正确求出不等式的解集是解题关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 将解集表示在数轴上．如图所示： 18. 解不等式组，并求出它所有整数解的和． ． 【答案】不等式组的解集为； 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再找出符合条件的整数解求和即可．解题的关键是求出不等式组的解集． 【详解】解：， 解①得， 解②得， 不等式组的解集为， 则不等式组的整数解为， ． 19. 如图，在中，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质及勾股定理可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键． 20. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF. 求证：（1）DE=DF； （2）AD平分∠BAC． 【答案】见解析. 【解析】 【分析】（1）可由HL得到Rt△BED≌Rt△CFD，得出DE=DF， （2）由角平分线的判定定理，即可得到AD平分∠BAC． 【详解】证明：（1）∵D是BC的中点， ∴BD=CD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠BED=∠CFD=90° 在Rt△BED和Rt△CFD中 ∴Rt△ BED≌Rt△ CFD（HL）， ∴DE=DF； （2）又∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴D在∠BAC的平分线上 即AD平分∠BAC． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形角平分线的判定定理问题，能够掌握并熟练运用． 21. 东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元，该商场为促销制定了两种优惠方案，甲方案：买一支毛笔就赠送一本书法练习本；乙方案：按购买金额打九折付款．某校欲为校书法小组购买这种毛笔10支，书法练习本本． （1）分别写出两种优惠方法实际付款金额（元），（元）与（本）之间的函数关系式； （2）比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱？ 【答案】（1）； （2）买书法练习本50本时，乙种优惠方法省钱；买书法练习本50本时，甲、乙两种优惠方法付款相同；买书法练习本大于10本小于50本时，甲种优惠方法省钱 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解一元一次不等式，解决本题的关键是读懂题意，列出符合题意的函数关系式．解决方案类问题，会用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据（元）毛笔总价钱本练习本总价钱和（元）（毛笔总价钱练习本总价钱），列式即可； （2）比较（1）中的关系式即可，要注意分情况讨论． 【小问1详解】 解：当时， ； ； 【小问2详解】 解：①当时，． 即买书法练习本50本时，乙种优惠方法省钱； ②当时，． 即买书法练习本50本时，甲、乙两种优惠方法付款相同； ③当时，． 即买书法练习本大于10本小于50本时，甲种优惠方法省钱． 22. 如图，在中，． （1）求作点到，的距离相等，且点在上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）24 【解析】 【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）作的角平分线交于点D，则点到，的距离相等，根据角平分线的作法，画出图形即可； （2）过点D作于H，根据角平分线的性质得，再根据三角形的面积公式即可解决问题． 【小问1详解】 解：作的角平分线交于点D，则点到，的距离相等， 如图，点D即为所求； 【小问2详解】 解：过点D作于H， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴的面积 ． 23. “戴口罩、勤洗手、常通风”已成为当下人们的生活习惯．某校为做好校园防护工作，计划采购一批A，B两种型号的口罩．已知购买300个型口罩和购买200个型口罩需要600元，购买250个型口罩和购买400个型口罩需要850元． （1）求A，B两种型号的口罩每个各多少元？ （2）计划购买A，B两种型号的口罩共6000个，其中型口罩的数量不超过型口罩数量的，求购买型口罩多少个时，购买这批口罩总费用最低，最低费用是多少元? 【答案】（1）A型口罩每个1元，B型口罩每个1.5元 （2）购买型口罩1500个时，购买这批口罩总费用最低，最低费用是8250元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用． （1）设A型口罩每个x元，B型口罩每个y元，根据“购买300个型口罩和购买200个型口罩需要600元，购买250个型口罩和购买400个型口罩需要850元”列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设总费用为W，购买型口罩a个，则购买型口罩个，由题意：购进A型口罩的数量不超过B型口罩数量的，列出一元次不等式，解之即可确定出a的取值范围，利用总价单价数量，即可得出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设A型口罩每个x元，B型口罩每个y元，根据题意得： ， 解得， 答：A型口罩每个1元，B型口罩每个1.5元； 【小问2详解】 解：设总费用为W，购买型口罩a个，则购买型口罩个， ∵型口罩的数量不超过型口罩数量的， ∴， 解得， 结合（1）得， ∵， ∴取最大值1500时，总费用为W为最低，最低费用为（元）， 答：购买型口罩1500个时，购买这批口罩总费用最低，最低费用是8250元． 24. 如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，判断的形状为________，（不用写证明）； （3）探究：当为_________度时，是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）直角三角形 （3）125或140或110 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的性质可得，再结合即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，求出，即可得解； （3）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，求出，，再由三角形内角和定理可得，分三种情况：当时；当时； 当时，分别求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 解： 由（1）可知，是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，的形状为直角三角形； 故答案为：直角三角形； 【小问3详解】 解：由（1）可知，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上所述，当为125或140或110度时，是等腰三角形． 故答案为：125或140或110． 【点睛】本题考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 25. 已知一次函数，其中． （1）若点在的图像上，求k的值； （2）当时，，求的函数表达式； （3）对于一次函数，其中，若对任意实数x，总有，求a的取值范围． 【答案】（1）. （2）或. （3）. 【解析】 【分析】(1)根据点(1,3)在的图像上，可以求得的值； (2)根据当时,，和分类讨论的方法可以求得的值,从而写出的函数表达式； (3)根据题意，可以写出对应的不等式组，即可得到的取值范围. 【小问1详解】 由点(1,3)在的图像上，， 解得； 【小问2详解】 ∵当时，， ∴当时，当时， ， 即，解得，∴； 同理当时，当时， ，得，， 故答案为或. 【小问3详解】 ∵对于一次函数，其中,对任意实数，总有， ∴，得. 【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式,解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $