2.3.2实数的运算 课件 2024—2025学年湘教版数学七年级下册

第二章实数 2.3.2实数的运算 湘教版 七年级数学下册 1.教学目标 1.理解实数运算的意义，掌握实数运算法则、顺序，准确进行加、减、乘、除、乘方、开方运算，能运用运算律简化运算。 2.熟练掌握实数的大小比较方法． 3.通过类比有理数运算探究实数运算，培养观察、类比、归纳及运算能力，体会特殊到一般的数学思想。 2.新知导入 上学期我们学过有理数的加、减、乘、除法则以及乘方运算，一起来回顾一下。 有理数的加法运算律有： a＋b＝b＋a，a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c. a×b＝b×a，a×(b×c)＝(a×b)×c， a×(b＋c)＝a×b＋ac. 提示：有理数的运算律可以顺用，也可以逆用． 乘法的运算律有： 3.新知探究 把数从有理数扩充到实数以后，实数也可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且非负数可以进行开平方运算，任意实数都可以进行开立方运算. 运算顺序： 乘方、开方 乘除 加减 同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的. 4.新知讲解 在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算律等，对于实数仍然成立. 前面所学的有关数、式、方程（组）的性质、法则和解法，对于实数仍然成立. 4.新知讲解 填空（a，b，c 是任意实数）： （1）a + b = ____________（加法交换律）； （2）(a + b) + c = ____________（加法结合律）； （3）ab = ____________（乘法交换律）； （4）(ab)c = ____________（加法交换律）； b + a a + (b + c) ba a(bc) 4.新知讲解 （5）a(b + c) = __________（乘法对加法的分配律）； ab + ac (b + c)a = __________（乘法对加法的分配律）； ba + ca （6）实数的减法运算规定为 a－b = a + _______； (－b) （7）实数的除法运算规定为 a÷b = a · ______（b≠0）； （8）如果 a ≠ 0，b ≠ 0，那么 ab ______0； ≠ （9）若 ab = 0，则 a =_____或 b = _____. 0 0 4.新知讲解 在实数范围内，每个正实数a有且只有两个平方根，分别为± ，且它们互为相反数，其中 是a的算术平方根； 0的平方根是0； 负实数没有平方根. 对于实数a，它有几个平方根？ 4.新知讲解 （1）对于实数a，它有几个平方根？ 当a为非负实数时，根据平方根的定义得 设a是非零实数，由于（-a）2 = a2 ，因此a和-a是a2的两个平方根. （2）对于实数a，它有几个立方根呢？ 每个实数a有且只有一个立方根，记作 4.新知讲解 （1）16－5_____0； > （2） －5_____0； < （3） －4_____0； = 对于实数 a，b： 如果 a－b > 0，则称 a 大于 b（或者 b 小于 a），记作 a > b（或 b < a）； 如果 a－b < 0，则称 a 小于 b（或者 b 大于 a），记作 a < b（或 b > a）； 如果 a－b = 0，则称 a 等于 b，记作 a = b . 作差法 4.新知讲解 要注意的是，对于任何实数 a，b，在 a > b，a = b，a < b 这三种关系中，有且只有一种成立 . 对于实数有：正实数大于一切负实数；两个负实数，绝对值大的数反而小；（定义法） 数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.（数轴法） 一般地，（平方（立方）法） 对于两个正实数 a，b，若 a > b，则 ，反过来也成立 . 对于两个正实数a，b，若 a > b，则 ，反过来也成立 . 4.新知讲解 例2 比较下列各组数的大小. （1） 2. 5与 （2） 3与 ； （3） -3与- ； 解 ：（1） 因为2. 52 = 6. 25， 又6. 25 < 7， 所以2. 5 < . （2） 因为33 = 27， ，又27 > 25， 所以3 > . （3）因为 |－3|=3， ，由（2）知 3 > ， 所以－3 < . 4.新知讲解 因为1< <2 ．所以的整数部分是1，小数部分是-1 （1）兀的整数部分 ，小数部分各是多少？ （2） 的整数部分，小数部分各是多少？ 因为3＜兀＜4，所以兀的整数部分是3 ，小数部分是兀-3 4.新知讲解 不用计算器，分别估计 与 在哪两个相邻整数之间. 所以 应介于 10 和 11 之间， 即 10 < < 11. 由于 102 = 100 < 115， ，112 = 121 > 115， 由于 43 = 64 < 121， ，53 = 125 > 121， 所以 应介于 4 和 5 之间， 即 4 < < 5. 4.新知讲解 解 ：依次按键： 例3 用计算器计算：2 × （结果精确到0. 01）. 显示结果：4. 472 135 955. 所以2 × ≈ 4. 47. 在实数运算中，当遇到无理数并且要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数（一般比计算结果要求的精确度多保留一位）去代替无理数进行计算，最后再四舍五入. 4.新知讲解 例4 利用 和 计算 的值（结果精确到 0.001）. 解 由于需精确到 0.001，于是只需取 ， 故 ≈ 1.4142 + 2.6457 = 4.0599 ≈ 4.060. ， 5.课堂练习 1. 比较 与 的大小. 解 因为 ， 又 ，所以 . 5.课堂练习 2. 不用计算器，分别估计 与 在哪两个相邻整数之间. 所以 应介于 6 和 7 之间， 即 6 < < 7. 由于 62 = 36 < 37， ，72 = 49 > 37， 由于 33 = 27 < 36， ，43 = 64 > 36， 所以 应介于 3 和 4 之间， 即 3 < < 4. 5.课堂练习 3. 利用 和 计算 的值（结果精确到 0.001）. 解 由于需精确到 0.001，于是只需取 ， 故 ≈ 1.2599 + 2.2360 = 3.4959 ≈ 3.496. ， 5.课堂练习 1.如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是2和 . 点B为线段AC的中点，则点C表示的实数为____________. 2.在如图所示的数轴上，点B与点C到点A的距离相等，A，B两点对应的实数分别是 和-1，则点C对应的实数是( ). D 5.课堂练习 3.我们用[a]表示不大于a的最大整数，a-[a]的值称为数a的小数部分，如[2.131=2，2.13的小数部分为2.13-[2.13]= 0.13. 设 的小数部分为a，求a+[ ] - 的值, 解：∵4<5<9，∴2< <3，∴[ ]=2， ∴ 的小数部分为5-[ ]= -2，∴a= . ∵9<13<16，∴3< <4，∴[ ]=3， ∴a+[ ] - = . 5.课堂练习 4.有一张面积为100 cm2的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长与宽之比为5:3，面积为150cm2(如图)，能将这张贺卡不折叠地放入此信封吗?请通过计算说明你的判断， 解：不能. 由题意可设长方形信封的长为5xcm，宽为3x cm, ∴5x·3x=150，∴ x= (负值已舍去) ∴长方形信封的宽为 cm. ∵正方形贺卡的面积为100 cm2 ∴正方形贺卡的边长为 =10(cm) ∵( )2=90，90 <100，∴ < 10. ∴不能将这张贺卡不折叠地放入此信封。 6.课堂小结 1. 实数的运算:实数也可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且非负数可以进行开平方运算，任意实数都可以进行开立方运算.. 2. 实数比较大小： (1)作差法； （2）定义法； （3）数轴法； （4）平方/立方法. 1.从课后习题中选取； 2.完成同步课时的习题. 课后练习 $$