2.1.1 平方根 课件 2024--2025学年湘教版七年级数学下册

第二章实数 1.1.1平方根 湘教版 七年级数学下册 1.教学目标 1.能准确理解平方根和算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根； 2.会求一个非负数的平方根和算术平方根； 3.通过对平方根概念的探究过程，经历从具体到抽象、从特殊到一般的思维过程，培养归纳概括能力。 2.新知导入 我国南朝科学家祖冲之（429—500）推算出了圆周率π的值在 3. 141 592 6 和 3. 141 592 7 之间 . 古往今来，数学家们乐此不疲地寻求 π 的精确值，如今借助超级计算机，π 的值已经推算到了小数点后万亿位以上，但还是无法穷尽. 除此之外，还有很多像 π 这样的数，它们都不是有理数，从而我们需要扩充对数的认识 . 3.新知探究 说一说：小明将一个长为 2、宽为 1 的长方形纸片，按下图所示方法剪拼成了一个正方形 . 观察图中过程，由此你能发现这个正方形的面积是多少吗？它的边长呢？ 2 1 4.新知讲解 展开铺平 剪开拼图 这个正方形的面积是多少？它的边长呢？ 沿虚线对折 沿虚线对折 1 1 1 1 1 1 1 1 4.新知讲解 这个问题的实质就是要找一个数，使它的平方等于给定的数。 2 1 1 1 1 由 S正方形 = 边长2 S正方形 = 2 ( ？ )2 = 2 4.新知讲解 抽 象 若 r2 = a，则 r 是 a 的一个平方根. 如果有一个数 r，使得 r2 = a，那么 r 叫作 a 的一个平方根，也叫作二次方根. 这就是说， 因为 22 = 4，所以 2 是 4 的一个平方根. 因为(－2)2 = 4，所以 －2 也是 4 的一个平方根. 4.新知讲解 4的平方根除了2和-2以外， 还有其他的数吗？ 探 究 4.新知讲解 因为边长大于 2 的正方形，它的面积一定大于 4，所以比 2 大的数都不是 4 的平方根. 类似地，边长小于 2 的正方形，它的面积一定小于4，从而比 2 小的正数都不是 4 的平方根. 又由于 (－b)2 = b2，因此，大于 －2 或小于－2 的负数都不是 4 的平方根. 0 显然不是 4 的平方根. 所以 4 的平方根有且只有两个：2 与 －2. 互为相反数 一般地，如果 r 是正数 a 的一个平方根，那么 a 的平方根有且只有两个：r 与－r. 4.新知讲解 正数 a 的正平方根叫作 a 的算术平方根，记作 ， 读作“根号 a”； 正数 a 的负平方根 ， 记作 ，读作“负根号 a” ， 这样，正数 a 的两个平方根可以用“ ”来表示，读作“正、负根号 a”. 4.新知讲解 一个正数有两个平方根，且它们互为相反数.一个正数只有一个算术平方根. 4 的平方根是________， 4 的算术平方根是________， 2 的算术平方根是________. 2 的平方根是________， 0和负数的平方根 【思考】0的平方根是多少？负数有平方根吗？ 由于02= 0，而非零数的平方不等于0，因此0的平方根就是0本身. 0的平方根也叫作0的算术平方根，记作 ，即 = 0. 在目前我们所学习的数中，由于同号两数相乘得正数，且 02= 0，因此，不存在一个数的平方是负数，从而负数没有平方根. 4.新知讲解 4.新知讲解 求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方. X 2 = a 根号 被开方数 （a 是非负数） 读作“正、负根号 a” 平方 开平方 互为逆运算 根据这种关系，可以求一个数的平方根. 4.新知讲解 平方根与算术平方根的区别与联系： 类别 名称 平方根 算术平方根 区别 定义不同 个数不同 表示方法不同 结果不同 联系 具有包含关系 存在条件相同 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的平方根. 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个正数 x 就叫作 a 的平方根. 两个，且互为相反数 一个 一正一负 正数 平方根包含了算术平方根 被开方数为非负数，0 的平方根与算术平方根都是 0. 4.新知讲解 例1 分别求下列各数的平方根： （1） 36； （2） （3）1.21 解 ：（1） 由于（±6）2 = 36，因此36的平方根是6与-6， 即 4.新知讲解 （3）由于 (±1.1)2 = 1.21，因此 1.21 的平方根是 1.1 与－1.1，即 . （1）36；（2） ；（3）1.21. 4.新知讲解 分别求下列各数的算术平方根： （1）100；（2）1.96；（3） . 解：（1）因为 102 = 100， 所以 . （2）因为 1.42 = 1.96，所以 . （3）因为 ( )2 = ，所以 . 说说你发现了什么规律？ 正数越大，它的算术平方根也越大. 例2 4.新知讲解 议一议 下列各数有平方根吗？如有，分别是多少？ （1）| -81 |； （2）（-5）2. 解：（1）| -81 |=81，81的平方根为±9. （2）（-5）2=25，25的平方根为±5. 5.课堂练习 1.一个正数m的平方根是2a - 8与10 - 4a，则m的值是 2. 的算术平方根是 . 3. 若正方形的面积是100，则该正方形的边长是( ). A.100的平方根 B. 的平方根 C.100的算术平方根 D. 的算术平方根 C 3 36 19 5.课堂练习 4.已知2a-1的平方根为± ，3a- 2b +1的平方根为±3， 求 4a-b 的平方根. 解：2a-1的平方根为± ，∴ 2a-1 = 3，∴ a =2. ∵ 3a - 2b+1的平方根为±3，∴ 3a- 2b +1=9. ∴b= -1. ∴ 4a-b=8+1=9. ∴4a- b的平方根为±3. 5.课堂练习 1. 分别求下列各数的平方根： （1）64； （2） ；（3）6.25. 解：（1） ； （2） ； （3） . 5.课堂练习 2. 分别求下列各数的算术平方根： （1）81； （2） ；（3）0.16. 解：（1） ； （2） ； （3） . 5.课堂练习 3. 判断下列说法是否正确，并说明理由. （1） 的值是±4；（2）(－4)2 的平方根是－4. 解：（1）不正确， ； （2）不正确， (－4)2 的平方根是±4. 2. 平方根的性质 （1）正数有且只有两个平方根，它们互为相反数； （2）0 有一个平方根，就是 0； （3）负数没有平方根. 1. 平方根的定义 若 r2 = a，则 r 是 a 的一个平方根. 6.课堂小结 3. 平方根的表示方法 平方根： （a ≥ 0）算术平方根： （a ≥ 0） 1.从课后习题中选取； 2.完成同步课时的习题. 课后练习 $$